§3 二倍角的三角函数公式 课件(共98张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共98张PPT)
第四章 三角恒等变换
§3 二倍角的三角函数公式
必备知识解读
知识点1 二倍角公式
1 二倍角公式
函数 公式 简记符号
正弦
余弦
正切
特别提醒 （1）二倍角是相对的，如 是 的二倍， 是 的二倍等，“倍”是描
述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想.
（2）对于和,,但是在使用时，要保证分母0且
有意义.
（3）一般情况下， , , .
2 二倍角公式的变形应用
（1）二倍角公式的逆用
,, .
.
, .
（2）配方变形
.
（3）因式分解变形
.
（4）升幂公式
； .
（5）降幂公式
； ；
； .
学思用·典例详解
例1-1 [教材改编P164例1]已知， 是第三象限的角，则 的值为
( )
A
A. B. C. D.
【解析】,是第三象限的角， ，
,
则 .
例1-2 ［教材改编P165 T1］利用倍角公式求下列各式的值：
（1） ;
【解析】 .
（2） ;
【解析】 .
（3） ;
【解析】 .
（4） .
【解析】 .
知识点2 半角公式
1 半角公式
； ;
.
上面有关半角三角函数的公式，称为半角公式（半角公式可由二倍角公式变形
得到）.
. .
2 半角公式根号前符号的确定原则
（1）当已知角 的终边所在的象限时，根据下表决定符号：
第一象限 第一、三象限 、 、 、
第二象限 第一、三象限 、 、 、
第三象限 第二、四象限 、 、 、
第四象限 第二、四象限 、 、 、
（2）当给出角 的范围（即某一区间）时，可先求出角的范围，然后根据角
的终边所在的象限来确定符号.
（3）如果没有给出确定符号的条件，那么需要在根号前保留“ ”.
学思用·典例详解
例2-3 ［教材改编P168 T7］若，，，则 __.
【解析】由，，得, ,
.
.
例2-4 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为 是第一象限角，所以,所以 .
例2-5 ［教材改编P167 T2］求值： ________.
【解析】原式 .
释疑惑 重难拓展
知识点3 万能公式
;
;
.
由上可知，只要求出某一个角的半角的正切值，就可以求出该角的任一个三角
函数值，因此以上公式称为万能公式.
知识剖析 1.在使用万能公式时，必须是在它们都有意义的前提下进行.
2.万能公式的好处在于把三角函数式转化为用 表示的式子.
学思用·典例详解
例3-6 若, 是第三象限角，则 ( )
A
A. B. C.2 D.
【解析】 是第三象限角，是第二、四象限角， .
,
,
.
关键能力构建
题型1 利用二倍角公式化简、证明
1 无限制条件的三角函数式的化简问题
例7 化简：
观察待化简的式子可以发现：（1）涉及的角有 , , ,
（需要把 化为 ， 化为 ；（2）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关
系进行名称的统一）；（3）次数为2（有降次的可能）；（4）有平方项（可以进行
配方）.由于侧重角度不同，出发点不同，所以本题的化简方法不止一种.
【解析】 （从“角”入手，倍角变单角）
原式
.
（从“名”入手，异名化同名）
原式
.
（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
原式
.
（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）
原式
.
2 有限制条件的三角函数式的化简问题
例8 化简：
（1）,其中 ;
【解析】 ,
,, .
故原式 .
（2）,其中 .
【解析】原式
（注意式子的正负，必要时要分类讨论）.
①当,时,,, ,此时原式
.
②当时，, ,此时原式
.
. .
两题均含有根式，因此化简的关键是将根号下内容转化为完全平方的形
式.（1）中观察式子结构特征，利用公式 即可化简；（2）中根号下
的“1”可巧妙的转化为 （同角三角函数的关系式），再结合
，利用完全平方公式化简.
名师点评 处理根式化简的关键是“升幂”，将根式下的结构变形为平方形式，常用的
变形技巧为
,
,
，
，
.
需要特别注意的是开根号后的结果为正，要取绝对值，最后要根据题中角的范围，
判断正负，去绝对值符号.
化简三角函数式的原则和要求
（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
①一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从
而正确使用公式；
②二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”；
③三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“通分”“去
根号”“降幂”等.
（2）化简的要求:
①尽量使三角函数种数最少;
②尽量使项数最少;
③尽量使分母不含三角函数;
④尽量使被开方数不含三角函数.
【学会了吗丨变式题】
1.化简： .
【答案】原式 .
3 利用二倍角公式证明
例9 证明： .
【解析】
因为左边
右边,
所以原式成立.
因为左边
右边，
所以原式成立.
题型2 利用二倍角公式求值
1 给角求值
例10 的值为( )
B
A. B. C. D.2
【解析】 原式
（半角公式）
.（诱导公式变形）
原式
（二倍角公式）
.
致敬经典
二倍角公式在解决连乘式求值问题中的妙用
例11 求值： .
【解析】 原式
（分子、分母再乘以 ,是为逐次逆用二倍角公式作准备）
.
设原式, ,
则
.
由于,故 .
名师点评 方法1通过添加一个正弦值，即可逐次逆用二倍角公式求值.方法2称为配
对法，即通过给每一个余弦值配对，逆用二倍角公式，观察目标式中各角之间的关
系特征，问题的一般化结论为：… .
对于给角求值问题，需观察题中角之间的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角
的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数
基本关系对已知式进行转化.
【学会了吗丨变式题】
2.求值: .
【答案】 原式
.
令原式乘以 得,
,
则原式 .
2 给值求角
例12 (2025·江西省南昌市第三中学月考)已知,,且 , ,则
( )
C
A. B.或 C. D.或或
【解析】,且 ,
, ,
,
,且 ,
, 【明易错】若不由 ， 的正负性，进一步
缩小 的范围，而仅由 ，得 ，就会得到错误答
案：或或 ,
又， .
. .
解决给值求角问题的基本思路
给值求角问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角，其求解的关键在
于“变角”，注意选择一个适当的三角函数，并且根据题设确定所求角的范围，进而
求出角，而确定角的范围是至关重要的一步.
3 给值求值
例13 (2025·山东省聊城第一中学月考)已知,,则
的值为_____.
【解析】 将角 视为整体，再利用二倍角公式.
，
其中 ,
.
, ,
, .
原式联想与的关系，,而与 的三角函
数值可利用诱导公式求解
.
. .
由分母中“”，联想到，而其中的角正是“ ”.
原式 .
, ， ,
,
.
又 ，
原式 .
对所求的式子先化切为弦，再利用 .
原式
①.
由已知可得 ②，
, ,
故 .
由②可求出 ③.
④，
将②③④代入①得，
原式 .
名师点评 整体思想是三角函数求值中的常见思想.本题的前两种方法尤为值得注意，
更为重要的是本题中的角“”与“ ”的变换方法，即
，这
种变换方法还有其他的形式：
① ；
；
.
当然，还应熟知一些互余的角,如与，与 等.
此外在解本题的过程中，要特别注意条件 的应用，否则，在求解过程中
很容易得到与 这种多解的情况.
解决给值求值问题的思路
已知 的某个三角函数值，求 的三角函数值,常见解法是：先根据角 的取值范
围，确定 的取值范围;再根据已知的某个三角函数值和二倍角公式，求得 的三
角函数值.
【学会了吗丨变式题】
3.(2025·湖南省衡阳县第一中学期末)已知，， ，则
( )
A
A. B. C.1 D.
【解析】因为，， ，
所以【小技巧】先利用平方差公式约去 ,
化简得 ，
解得或 ，
因为，，所以，所以 ，
.
. .
. .
题型3 二倍角公式的综合应用
1 与三角函数性质的综合
例14 求函数 的最小值，并判
断其单调性.
【解析】第一步 变形
.
第二步 求范围
因为，所以，所以，，当 ，即
时，取得最小值，最小值为 .
第三步 判断单调性
因为在， 上单调递增，
所以在， 上单调递减.
例15 (2025·北京市清华大学附属中学月考)已知函数
，且满足的图象过点 ．
（1）求函数 的解析式及最小正周期；
【解析】因为的图象过点 ，
所以，所以 ，
所以
，最小正周
期为 ．
. .
（2）若关于的方程在区间上有两个不同解，求实数 的取值范围．
【解析】由，整理得.因为 ，所
以 ，
由于在区间 上有两个不同解，
所以，，即， ．
要研究三角函数的性质，需将所给函数式利用和（差）角公式或二倍角公式化为
或的形式，进而依据 或
的性质对待求函数进行性质方面的研究.
2 与解三角形的综合
例16 在锐角三角形中，角,,的对边分别为，，，三角形的面积为 ，
已知 .
（1）证明： ；
【解析】因为,所以,又,所以 ,所以
.
（2）若，，求 的周长．
【解析】由余弦定理得, ,
由（1）得,所以，即 ，
在锐角三角形中，， ，
所以或 ，
若 ，则，所以， ，与
为锐角三角形矛盾，舍去；
所以，故，即，所以，解得 ，则
.
所以的周长为 ．
3 与向量的综合
例17 (2025·广东省深圳市南头中学期中)已知向量 ，，
，，且 .
（1）求及 ；
【解析】 .
.
，， .
（2）若的最小值为，求 的值.
【解析】， .
①若，则当时，取得最小值 ，这与已知矛盾.
②若，则当 时，取得最小值 ,由已知得
，
解得或 （舍去）.
③若，则当时，取得最小值 .由已知得 ，解得
，这与 矛盾.
综上所述， 的值为 .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
二倍角公式是三角恒等变换的重要工具，也是高考的必考点之一.考查内容主要涉及
利用二倍角公式进行化简、求值，且常与同角三角函数的基本关系以及三角函数的
图象、性质相结合进行综合命题.各种题型都会出现，试题难度中等.
核心素养：逻辑推理（以二倍角公式为依据研究三角函数的性质），数学运算
（求三角函数值）.
考向1 二倍角公式的简单应用
例18（1）(2025·全国二卷)已知 ,,则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
（2）(2023·新课标Ⅰ卷)已知，，则
( )
B
A. B. C. D.
【解析】依题意，得
所以，所以 ，所以
.
（3）(2023·新课标Ⅱ卷)已知 为锐角，，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】由题意，,得 ，又
为锐角，所以，所以 .
考向2 二倍角公式与三角函数性质的综合
例19 (2022·北京)已知函数 ，则( )
C
A.在上单调递减 B.在 上单调递增
C.在上单调递减 D.在 上单调递增
【解析】依题意可知 ，
对于A选项，因为，所以，函数 在
上单调递增，所以A选项不正确；
对于B选项，因为，所以，函数在 上
不单调，所以B选项不正确；
对于C选项，因为，所以，函数在 上单调递
减，所以C选项正确；对于D选项，因为，所以 ，函数
在 上不单调，所以D选项不正确.
考向3 二倍角公式与解三角形的综合
例20 [多选题](2025·全国一卷)已知的面积为 ，
， ,则( )
ABC
A. B.
C. D.
【解析】对于A， ，
所以 ,故A正确.
对于B，令,,,则为 的外接圆半
径,由,得.若 ,则由余弦定理可
得,所以，即,即，则 ,所
以,矛盾.故,即 .
【另解】根据和差化积公式，由 可得
,即 ,又
,所以可得 .
由及正弦定理得，即 ,故
根据余弦定理可得 .
由知,均为锐角,所以 .
从而由,得，又 ，
所以,所以
所以,又 ,
所以.因为,所以 ,所以
,所以,所以 ，故B正确.
对于C，,所以 ，故C正确.
对于D， ,故D错误.
故选 .
名师点评 试题的解题思路不同于常规试题中进行适当三角变换消元后就可以通过联
立方程求解未知量，而是要通过所给的三个已知条件找到突破口，其中最关键的就
是将已知等式进行变形，能从条件
中发现, 均为锐角也很重要.
例21 (2022·新高考全国Ⅰ卷)记的内角，，的对边分别为,, ,已知
.
（1）若,求 ；
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
因为，所以 .
（2）求 的最小值.
【解析】由（1）得 ，
所以，且 ,
所以, ，
所以，解得 ，
由正弦定理得
，当且仅当 时取等号，
所以的最小值为 .
高考新题型专练
1.［多选题］在中，已知 ，则以下四个结论正确的是
( )
ACD
A.的最大值为 B. 的最小值为1
C.的取值范围是 D. 为定值
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，
所以，由，得，所以 .
对于A，，当且仅当
时等号成立，故A正确；
对于B，，因为 ，可得
，，所以 ，可得
，故B错误；
对于C， ，因为
，，，所以 ，故C
正确；
对于D， ，故D正确．故
选 ．
2.新考法 结构不良 (2025·北京师范大学第二附属中学月考)已知函数
从0， ．从下列四个条件中选择两个作为已
知条件，使函数 存在且唯一确定，并解答下面的问题．
；
为偶函数；
的最大值为1；
图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
（1）求 的解析式；
【答案】因为 ，
所以 ,
显然 为奇函数，故②不能选.
若选择①③，即 的最大值为1，
所以，解得，所以 ,
又，所以，即 ， ，解得
, ，
故 不能唯一确定，故舍去.
若选择①④，即 图象的相邻两条对称轴之间的距离（相邻两条对称轴之间的距
离为半个最小正周期）为 ，
所以 ，解得，所以 ,
又 ，
所以，解得，所以 .
若选择③④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，
所以 ，解得，所以 ,
又 的最大值为1，
所以，解得，所以 .
. .
（2）设，求函数在 上的单调递增区间．
【答案】由（1）可得
，
令， ，
解得， ，
所以函数的单调递增区间为， ，
又 ，
所以在上的单调递增区间有和0， .
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.(2025·江西省九江一中期末)已知是角 终边上一点，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】是角 终边上一点， ，
.
2.(2025·山东省德州市第二中学检测)若, 是第三象限角，则
( )
A
A. B.3 C. D.
【解析】由 是第三象限角，知是第二或第四象限角，所以 ，故由
得， .
3.设，， ，则有( )
C
A. B. C. D.
【解析】 ，
， ，根据正弦函数和正切函数的图
象可知 ，即 .
4.函数 的最小正周期是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 ，所以最小正周期
.
5.(2025·甘肃省酒泉市敦煌中学期中)已知，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 .
，所以
.
6.函数 的最大值为( )
B
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】，因为 ，所
以当时，取得最大值，且 .
7.(2025·广东省阳江市期中)若,则 的值为__.
【解析】
,
.
8.新考法 结构不良 在，， 三个条件
中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解．
问题：若锐角 满足____，求 的值．
【答案】选择条件①.
由条件①，得 ，
由，得 ，
因为 是锐角，所以，所以 ．
因为 ， ，
所以 ．
选择条件②.
由条件②，得，故 ．
由，得 ，
因为 是锐角，所以，可得 ，
因为 ， ，
所以 ．
选择条件③.
由条件③，得 ，
所以 ．
由，得， ，
因为 是锐角，所以， ，
所以， .
因为 ， ，
所以 .
B 综合练丨高考模拟
9.(2025·江苏省南京市南京外国语学校期中)已知的内角，， 的对边分别为
，，，且，则 的最小值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为 ，
所以 ，
由正弦定理得 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，故选C.
10.(2025·河北省石家庄市期中)若， ，则
( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为，两边同时平方可得， ，所以
，
因为 ，所以 ，所以， ，
故，所以 ，
故 ，即
，
所以 ．
11.(2025·福建省福州市期末)已知方程 的两根为
， ，且 ，，则 的值是( )
B
A. B. C. D.或
【解析】由题意知
，， ，
，
， .
， .
12.(2025·湖北省高中协作体期末)已知 ，
，则 ___.
0
【解析】因为 ，所以 ，
化简得 ，
又 ，
所以
.
13.(2025· 新课标Ⅱ卷)记的内角,,的对边分别为,, ,已知
.
（1）求 ;
【答案】由，得 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以，故 .
（2）若,，求 的周长.
【答案】第1步：利用正弦定理求 的值
由，得 ，
由正弦定理，得，所以 ，
因为 ，所以 .
第2步：利用两角和的正弦公式及三角形的内角和定理求 的值
，
所以
.
第3步：求 的周长
（基本量法） 由正弦定理，得 ，
.
所以的周长为 .
（整体思想法） 由正弦定理 ，得
，
所以 ，
所以的周长为 .