第四章 三角恒等变换 章末总结 课件(共41张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共41张PPT)
第四章 三角恒等变换
章末总结
巧梳理 知识框图
提能力 专题归纳
专题1 三角函数最值的常见求法
三角函数的最值是函数最值问题的重要组成部分，也是历年高考命题的重点.三角函
数的最值问题，不仅可以考查三角函数自身的基础知识，也可以与一次函数、二次
函数、不等式等重要知识进行综合考查,解题方法灵活多变，下面我们来探讨三角函
数最值的常见求法.
1 一次函数模型
对于,型的函数，显然此时 ，
，利用一次函数的单调性便可以得到所求函数的最值.
例1 求函数 的最值.
【解析】 .
，（三角函数有界性的应用）
当时， ;
当时， .
. .
2 二次函数模型
对于 ，我们可以采用换元法转化为二次函数来
求解.事实上，令，则 ，显然原函数可化为二次函
数，问题转化为求二次函数在某一区间上的最值.注意的取值应与 的取
值保持一致.
例2 若，求函数的最值及取得最值时相应的
的值.
【解析】 ，令
，（在利用换元法解决问题时，要特别注意新元的取值范围）则
.
,则 ，
.（在此求出新元的取值范围）
从而原函数可化为 ，
则问题转化为求关于的二次函数在区间 上的最值.
显然，由二次函数的性质可知,当，即 时，函数取得
最小值 ；
当，即时，函数取得最大值 .
. .
. .
当与 同时存在于一个式子里时，我们经常用上面的方法来得到
二次函数，从而求得最值.注意设时， 是有范围限制的，这是很多
同学容易忽略的，必须重视.
3 化为某个角的一种三角函数的一次式
对于三角函数，我们研究其性质一般是化为或
的形式，然后利用正、余弦函数的性质研究.我们采用的方法有：①对于
型的函数，利用公式
其中, ；②对于
型的函数，利用降幂公式，将高次的式子转化
为低次的；③对于 型的函数，利用和差化积公式来解
决；④对于 型的函数，利用积化和差公式来解决.
例3 已知函数 .
（1）求 的最小正周期和最小值;
【解析】
,
因此的最小正周期为 ,最小值为 .
（2）将函数 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函
数的图象.当,时，求 的值域.
【解析】由条件可知, .
当,时，有，从而函数的值域为, ，则函数
的值域为, .
故在区间,上的值域是, .
4 利用有界性求最值
对于形如 的函数，我们可以反解，然后利用三角函数的有界性得到最值.
例4 求函数 的最大值.
【解析】将原式整理可得， ，
所以其中， ，
故 .
由，可得 .
下面验证等号可以取到：
当,即时,可取，令 ，则
成立.
故时，函数有最大值, .
专题2 利用互余关系巧解一类三角函数题
近几年的高考由于淡化了三角变换的人为技巧，因此对互余角的变换的考查便放在
了比较显著的位置，而恰到好处地利用角的互余关系常常能使我们的思路豁然开朗.
鉴于此，对于此类问题有关方法的探究就显得十分必要.互余关系有隐性与显性两种，
从高考试题来看，考查方式主要集中在三角求值与三角函数的性质上，下面举例加
以说明.
1 显性的互余关系
这类问题中角的互余关系比较明显，解决这类问题只需将角满足互余关系的函数换
名即可，积累一些常见互余关系的角能使我们的解题事半功倍.如 与 ；
与 等.
例5 若（ ），则（ ） ( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题意知， ，
又 ，且 ，
则 ，
即 .
例6 (2025·四川省泸县第二中学期末)函数 是( )
A
A.周期为 的奇函数 B.周期为 的偶函数
C.周期为 的奇函数 D.周期为 的偶函数
【解析】因为，所以 ，
所以 ]=
,所以函数是周期为 的奇函数.
2 隐性的互余关系
这类问题中角的互余关系不是很明显，需要结合条件和结论中函数名和角的关系去发现.
例7 已知,,,,则 的值为
___.
思路点拨 本题如果直接求出 ， ,则比较烦琐；如果从整体上考虑，化
繁为简，则事半功倍.若能注意到 ,将会为我们解决问
题打开突破口.这里发现 是解题的关键，这也是我们
所说的隐性的互余关系.
【解析】， ，
， ，
， ，
，
，
.
在三角变换中，要注意已知角与待求式中的角之间的关系，以确定角的变换方式.本
题的难点很多，首先是要发现 这一关系;其次，在解
题过程中还要时刻注意着角的范围这一隐含条件，如由 ,得到
等.这些都是成功解题不可或缺的.值得提及的是角的另外一些常见的
互余变换方式，如， .
一题一课·学一题会一类
一题看尽解三角形最值或范围问题
例8 在中，,,分别为三个内角,, 的对边，且满足
.
（1）若，，求 的面积.
【解析】由,,得, .
由正弦定理得,解得 ,
.
（2）若，求 的面积的最大值.
【解析】由余弦定理得 ,
,当且仅当时取等号， ,
故面积的最大值为 .
（3）若，求 的周长的最大值.
【解析】由余弦定理得, ,即
,即,当且仅当 时等号成立，则
.
的周长为，故 周长的最大值为6.
（4）若,求 的最大值.
【解析】 ,
, ,
,即, ,
故的最大值为 .
（5）若为锐角三角形，求 的范围.
【解析】 ,
为锐角三角形， ,
又 ,
, ,
,即, .
（6）若，求 的最大值.
【解析】由正弦定理得， ,
, .
（由（5）可知， ,代
入即可） ，
其中 .
故的最大值为 .
. .
说明 题干中的已知条件本身就是非常经典的试题的背景，在本章 节题型4中的
例20我们已经详细讲解过（得出 ），由题干及第（1）问我们可以发现在解三
角形的过程中，往往需要已知三个条件才能得出一个定值（如面积能直接求解出
来），若是只给出了两个已知条件，则会产生最值或取值范围问题，我们不妨研究
一下，借此体会数学问题中一题多变的奥秘.
一章一练·学思维知创新
例9 新定义 友好角 (2025·北京市清华大学附属中学测试)若
，则称 为 的“友好角”.已知 为锐角，则 在,
内的“友好角”的个数为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】由 ，
可得 ，
则有 ，
所以 .（倍角公式的应用）
因为 为锐角，所以也为锐角，所以 ，
所以 ①.
又 ，
当或 ，即或 时， ，则①式成立，满足题意；
当且 ，即或 时， ，
则由①可得， ，
因为,, 均不等于零，
所以，所以 ，
因为，所以 ，
所以，即 .
综上，, , ，共有3个取值.
例10 新定义 切比雪夫多项式 [多选题] (2025·山东省A9联盟开学考试)由倍角公式
可知，可以表示为 的二次多项式．一般地，存在一
个次多项式 ，使得
，这种多项式 称为切比雪夫多项式．运用探究切比雪夫多项
式的方法可得( )
ABD
A. B.
C. D.
【解析】对于A，
.
由切比雪夫多项式可知， ，
即 ，
令,可知 ，故A正确.
对于B， ．
由切比雪夫多项式可知， ，
即 ，
令,可知 ，故B正确.
对于D，因为 ， ，由 ,可得
， ．
又 ，所以 ，
所以 ．
令，可知 ，
展开即得 ，
所以，解得 .
因为，所以 ，
所以 ，
所以 ，故D正确.
对于C，假设，因为 ，
，所以假设不正确，故C错误．
故选 ．
尖子生 强基自招
命题点1 三角恒等变换
例11 (2025·北京大学强基计划)若 , 是 的两解，且
，求 .
【解析】因为, ，
所以两式作差可得， ,（和差化积公式的运用）
即， ，
所以或 ，
即或 .
当时， ， ，
与 矛盾，舍去；
当时， .
故 .
例12 (2025·山东大学强基计划)已知,，， ，
求 的值.
【解析】 ①， ②，
由得 ，
化简得 .
由 得
，
即 ，
所以 .
例13 (2024·全国高中数学联赛A卷一试)在 中，已知
，求 的值.
【解析】由条件知， ，
则或 ，即或 .
假设，则，则，但 ，相互矛盾，
因此只能是，由，可得 ，所以
， ，
所以 ，
又，所以化简得 ，
解得 .
命题点2 三角恒等变换与解三角形的综合
例14 (2025·山东大学强基计划)在中，， ，最长边的边长为
1，求最短边的边长.
【解析】记中，，，所对的边分别为,, .由
,得 ，
所以（大角对大边），因为,所以，即 是最短边.
由， ，
解得 ，
由正弦定理得,即 ,
解得,即最短边的边长为 .
. .
. .
. .
例15 (2022 ·全国高中数学联赛重庆市初赛选拔)已知，，分别为三个内角 ，
，的对边，，且，若为 的中点，
求 长的最小值.
【解析】由正弦定理可知
即为.
再由和差化积公式可知
，即
，
再由积化和差公式可知
，即，即，则 ，
此时 ，
再由余弦定理和基本不等式可知
，
即 ，
此时，所以 ,
当且仅当 时，等号成立.
故长的最小值为 .