§1 复数的概念及其几何意义 课件(共69张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共69张PPT)
第五章 复数
§1 复数的概念及其几何意义
必备知识解读
知识点1 数系的扩充与复数的相关概念
1 复数的引入
为了解决像这样的方程在实数系中无解的问题，我们引进一个新数 ，
叫作虚数单位，并规定：
①它的平方等于，即 ；
②实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.
2 复数的概念及复数集
形如（其中,）的数叫作复数，通常用字母 表示，即
，其中称为复数的实部，记作，称为复数 的虚部，记作
，可用图5-1-1表示.
图5-1-1
全体复数构成的集合称为复数集（目前中学阶段接触到的最大数集），记作C.
. .
. .
3 复数的分类
对于复数 ,当且仅当 时, 它是实数;
当且仅当时, 它是实数0;当 时, 叫作虚数;
当且 时, 叫作纯虚数.
根据复数中, 的取值不同，复数可以有以下的分类：
复数
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图5-1-2表示.
图5-1-2
学思用·典例详解
例1-1 (2025·浙江省宁波市期末)复数 的虚部为( )
B
A. B. C. D.
【解析】复数的虚部为的系数.（此处易误认为虚部为 ）
例1-2 ［教材改编P177例1］指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯
虚数:
,,,, ,0.
【解析】实数: ,0；
虚数：，，， ；
纯虚数： .
【想一想丨牛刀小试】
判断下列说法是否正确.
（1） 不是复数，因为没有虚部；
提示错误，是复数，可以写成 的形式，因此它的虚部是0；
（2） 不是复数，因为没有实部.
提示错误，是复数，可以写成 的形式，因此它的实部是0.
知识点2 复数相等
两个复数与 相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，
即当且仅当且 . （复数相等的充要条件）
发散讨论
虚数为什么不能比较大小？
引入虚数单位后，规定，但 与0的大小关系不能确定，理由如下.
若，则,两边同乘，得,即 ,这与实数中的大小规定是
矛盾的；若，则 ,这与实数中的大小规定也是
矛盾的.因此虚数不能比较大小，但却有相等与不相等之分.
. .
学思用·典例详解
例2-3 (2025·广东省江门市段考)复数，若，则实数 的
值是( )
B
A. B. C. D.1
【解析】由题意得复数是实数，所以，解得,又 ，
所以 .
点评 对于复数，当 时，复数为实数，可以比较大小；当
时，不能比较大小.
知识点3 复数的几何意义
1 复数与复平面内的点的对应
图5-1-3
任何一个复数 ，都可以由一个有序实数对
唯一确定.因为有序实数对 与平面直角坐标系中的点
一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集是一一对
应的.
如图5-1-3，点的横坐标是，纵坐标是 ，复数
可以用点 表示.这个通过建立平面直角坐标系来表示复数
的平面称为复平面，轴称为实轴，轴称为虚轴. 复数 与复平面内的点
是一一对应的，这是复数的一种几何意义.
特别提醒（1）复平面内各象限内的点都表示虚数，且点的坐标是 ,而不是
．
（2）点所在象限由,的符号决定，特别地，当时，点 在虚轴上；当
时，点 在实轴上.
（3）复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是 ．
（4）实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数.
2 复数与复平面内的平面向量的对应
因为复平面内的点与平面向量（ 是坐标原点）是一一对应的，所以
一个复数与复平面内的向量 也是一一对应的.
为了方便,常把复数说成点或向量 ，并且规定，相等向量表
示同一个复数．
. .
. .
3 复数的模
向量的模称为复数 的模（两个复数一般不能比较大小，
但可以比较它们模的大小），记作或
由向量模的定义可知， .
如果，那么是一个实数，它的模
（ 的绝对值）.
. .
学思用·典例详解
例3-4 复数 在复平面内对应的点位于( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】由复数的几何意义知，复数 在复平面中对应点
，
又，所以， ，
所以点 位于第一象限.
【想一想丨教材深挖】
复平面内表示复数的点的位置与复数实、虚部的关系
（对教材P179第2题的探究）
如果是复平面内表示复数 的点，则
点的位置 实、虚部的条件
第一象限 ,
第二象限 ,
第三象限 ,
第四象限 ,
虚轴
实轴
例3-5 (2025·湖北省黄冈市期末)已知在复平面内，为原点，向量, 对应的复数
分别为，，那么向量 对应复数的虚部为( )
B
A.1 B.9 C. D.
【解析】由题意可知，, ，
可得 ，
所以向量对应的复数为 ，
所以向量 对应复数的虚部为9.
例3-6 ［教材改编P179例4］求下列复数的模：
（1） ；
【解析】 .
（2） ；
【解析】 .
（3） .
【解析】 .
知识点4 共轭复数
1 共轭复数的定义
若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.复
数的共轭复数用表示.当时， .
2 共轭复数的几何意义
在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等.
特别提醒 1.由共轭复数的定义可知，， .
2.实数的共轭复数是它本身，即 ,利用这个性质可证明一个复数为
实数.
3.若且，则 为纯虚数，利用这个性质可证明一个复数为纯虚数.
学思用·典例详解
例4-7 [多选题](2025·江西省宜春市期中)下列命题中正确的是( )
ABD
A.若是实数，则 B.若，则 是实数
C.若，则是纯虚数 D.若是纯虚数，则
【解析】设，则.对于A，若是实数，则 ，所以
，故A正确；对于B，若，则，即，所以 是实数，故B正
确；对于C，若，得， 可能是纯虚数，也可能是实数0，故C错误；对
于D，若是纯虚数，则且，可得 ，故D正确.
释疑惑 重难拓展
知识点5 复数的模的几何意义
（1）复数的模就是复数 在复平面内对应的点
到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义.
（2）复数在复平面内对应的点为， 表示一个大于0的常数，则满足条件
的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆， 表示圆的内部，
表示圆的外部.
学思用·典例详解
例5-8 ［教材改编P178例3］复数在复平面内对应的点为 ，
若，则满足条件的点 的集合是什么图形？
【解析】，， 点 的集合是以原点为圆心，1为半径的圆及
其内部.
关键能力构建
题型1 复数概念的考查
1 复数的分类
例9 [教材改编P180 A组 T1](2025·山东省实验中学月考)已知 ,复数
,当为何值时，复数 满足下列条件？
（1） 为实数；
【解析】要使为实数,需满足,且有意义，即 ,
（【注意】分母不为0，保证分式有意义）解得
. .
（2） 为虚数；
【解析】要使为虚数,需满足,且有意义，即 ,解
得且 .
（3） 为纯虚数.
【解析】要使为纯虚数,需满足,且,解得 或
.
求解复数分类问题的关键
（1）复数为纯虚数的充要条件是且 .
（2）复数为实数的充要条件是 .
（3）复数为虚数的充要条件是 .
依据复数的类型求参数时要先确定使代数式有意义的参数的取值，再结合以上结论
求解.
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·重庆市调研)“”是“复数 为纯虚数”的
( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】若，则复数是纯虚数，若复数 是纯虚数，
则且，所以，因此“ ”是“复数
为纯虚数”的充要条件.
2 复数相等的充要条件
例10（1）若,求实数, 的值.
【解析】由复数相等的充要条件，
得解得
（2）已知，求实数 的值.
【解析】因为,,所以由，
可得解得或
所以 .
. .
. .
（3）若关于的方程有实根，求实数 的值.
【解析】设方程的实根为 ,
则原方程可变为 ,（复数问题“实数化”）
所以解得或 .
解决复数相等问题的一般步骤
题型2 复数的几何意义
1 复数与点的一一对应
例11 ［教材改编P180 B组T1］当实数 为何值时，复数
在复平面内对应的点位于：
（1） 轴正半轴上;
【解析】若复数在复平面内对应的点位于 轴正半轴上，
则解得 .
（2） 轴负半轴上；
【解析】若复数在复平面内对应的点位于 轴负半轴上，
则解得 .
（3）第四象限的平分线上.
【解析】若复数在复平面内对应的点位于第四象限的平分线上， 该平分线方程为
则解得
.
. .
【解析】 为实数，
, 都是实数,
复数 在复平面内对应的点的坐标为
.
思路点拨 根据复平面内的点与复数的对应关系，列出不等式（组）、方程（组）
解答即可.
例12（1）(2025·四川省简阳中学模拟)已知 在复平面内对应的
点在第四象限，则实数 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
【解析】由已知可得复数在复平面内对应的点的坐标为 ，且该点在
第四象限，所以解得 .
（2）(2025·上海财经大学附属中学期末)在复平面内，复数， 对应的点
分别为，，若为线段的中点，则点 对应的复数是( )
C
A. B. C. D.
【解析】复数对应的点为，复数对应的点为 ．
利用中点坐标公式得线段的中点 ，
故点对应的复数为 ．
（3）新情境 欧拉公式 (2025·重庆市第一中学校入学考试)欧拉公式
（ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数
的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它被誉为“数学中的天桥”.
根据欧拉公式可知, 表示的复数对应的点在复平面中位于( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】 ,
因为是第二象限的角，所以， ，
所以 表示的复数对应的点位于第二象限.
求复数对应的点 的坐标中参数范围的一般步骤
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·湖南省株洲市期末)已知复数，则 在复平面内对应的点关于虚轴对
称的点是( )
D
A. B. C. D.
【解析】由复数，可知在复平面内对应的点 关于虚轴对称
（关于谁对称谁不变）的点是
. .
3.(2025·贵州省贵阳市段考)“”是“复数 在复平面内
对应的点位于第四象限”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由复数 在复平面内对应的点位于第四象限，得
解得 .
因为集合 ,
故“”是“复数 在复平面内对应的点位于第四象限”
的充分不必要条件．
2 复数与平面向量的一一对应
例13（1）已知,,,,为复平面的原点，试写出 ，
，， 所表示的复数；
【解析】表示的复数为（切勿写成）； 表示的复数为
；表示的复数为；表示的复数为 .
. .
（2）已知复数1,,, ,在复平面内画出这些复数对应的向量；
【解析】复数1对应的向量为，其中 ；
复数对应的向量为，其中 ；
复数对应的向量为，其中 ；
复数对应的向量为，其中 .
如图5-1-4所示.
图5-1-4
（3）在复平面内的长方形的四个顶点中，点，， 对应的复数分别是
,,,求点 对应的复数.
【解析】
记为复平面的原点，由题意得，， .
设,则, .
由题知，，所以解得
故点对应的复数为 .
根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对
应的复数即向量对应的复数.反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的
有向线段即复数对应的向量.
【学会了吗丨变式题】
图5-1-5
4.如图5-1-5，在平行四边形中，顶点，， 对应的复数
分别为0，，，则点 对应的复数为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由已知，得, ,则
点 对应的复数为
.
题型3 复数的模
1 复数的模的有关计算
例14 已知复数,则 的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题意得， ,
因为,所以 .
例15 已知，复数的实部为，虚部为1，则 的取值范围是________.
【解析】依题意，可知，则 .
因为，所以，即 .
例16 已知,求复数 .
【解析】 设，则 ,
.
因为,所以 .
根据复数相等的充要条件，
得解得
所以 .
因为，复数的实部为，虚部为5，所以 ,
，
即，得 ，
所以 .
2 复数的模的几何意义
例17 已知复数满足，则复数 在复平面内对应的点的轨迹是
( )
B
A.一个圆 B.两个圆 C.两个点 D.线段
【解析】因为复数满足 ，
即，所以或 ，
它表示以原点为圆心，半径为2和1的圆．
例18 ［教材改编P180 T5］若复数满足，则复数 在复平面上对
应的点构成的图形的面积为_____.
【解析】由，解得，则满足的复数 在复平
面上对应的点构成的图形是以原点为圆心，分别以2和4为半径的圆所夹的圆环，其
面积为 .
对复数的模的理解
（1）数的角度理解：首先应将复数化为标准的代数形式 ，得到
实部与虚部，再利用模的公式 求解,两个复数不全是实数不能比较大小，
但它们的模表示实数，可以比较大小．
（2）几何角度理解：表示点到原点的距离，也是向量 的模，要善于应用数形
结合的思想方法，把模的问题转化为几何问题来解决．
【学会了吗丨变式题】
5.［多选题］(2025·陕西省咸阳市武功县普集高级中学月考)已知复数 ，
，，在复平面内对应的点分别为， ，则( )
BD
A.， 两点在以原点为圆心的同一个圆上
B.，两点之间的距离为
C.满足的复数对应的点形成的图形的周长是
D.满足的复数对应的点形成的图形的面积是
【解析】对于A，，，所以 ，所
以， 两点不在以原点为圆心的同一个圆（圆上的点到原点的距离相等）上，故
A错误；
对于B，，两点之间的距离为 ，故B正确；
对于C，满足的复数对应的点 形成的图形是以原点为圆心，以5为半
径的圆，所以其周长为 ，故C错误；
对于D，满足的复数对应的点 形成的图形是以原点为圆心，分别以
， 为半径的两个圆所夹的圆环，
所以其面积为 ，故D正确．
故选 .
. .
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间:20 分钟
1.复数 的虚部是( )
C
A.3 B. C.1 D.
【解析】注意虚部是1而不是 ，对于初学者，此题容易错选D.
2.(2025·江西师范大学附属中学期末)在复平面内，复数 是纯
虚数，则 ( )
D
A. B. C.1 D.2
【解析】 复数 是纯虚数，
且， .
3.(2025·安徽省阜阳市调考)已知复数在复平面内对应的点为，则 ( )
C
A.1 B. C. D.0
【解析】根据题意可得，则 .
4.(2025·云南省昭通一中期末)已知复数的模为5，实部为4，则复数 为( )
B
A. B.或 C. D.或
【解析】已知复数的模为5，实部为4，则复数的虚部为 ，即复数
为或 .故选B.
5.(2025·北京市朝阳区期中)设是原点，向量，对应的复数分别为 ，
，那么向量 对应的复数是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 向量，对应的复数分别为， ，
， ，
，
向量对应的复数是 ．
6.[多选题](2025·湖南省郴州市期末)已知复数（其中 为虚数单位），则以下
说法正确的有( )
BCD
A.复数的虚部为 B.
C.复数的共轭复数 D.复数 在复平面内对应的点在第一象限
【解析】 复数， 复数的虚部为1，故A错误； ，故B正确；复
数的共轭复数，故C正确；复数在复平面内对应的点的坐标为 ，在第
一象限，故D正确．
7.为虚数单位,设复数,在复平面内对应的点关于原点对称,若,则
________.
【解析】根据复数的几何意义可得复数在复平面内对应的点为 ，此点关于
原点对称的点为，因此 .
8.[教材改编P180习题5-1 A组 T1]已知复数 ，
当实数取什么值时，复数 满足下列条件？
（1） 是实数；
【答案】当，即或时， 是实数.
（2） 是虚数；
【答案】当，即且时， 是虚数.
（3） 是纯虚数；
【答案】当即时， 是纯虚数.
（4）在复平面内对应的点在 轴的上方；
【答案】当，即或时，在复平面内对应的点在
轴的上方.
（5）在复平面内对应的点在直线 上.
【答案】当（复数 在复平面内对应的点
的坐标为 ）
，即，即或时， 在复平面内对应的点在直线
上.
. .
B 综合练丨高考模拟
建议时间:20 分钟
9.复数在复平面上对应的点绕原点按逆时针方向旋转 ，所得点对应的复
数是( )
C
A. B. C. D.
图D 5-1-1
【解析】如图D 5-1-1，复数 在复平面内对应的点为
，因为，所以 .
将点绕着原点逆时针旋转 ，得到的点与点关于 轴对称，
即点，因此，所求复数为 ．
10.(2025·山东省青岛市期末)若复数，， ，
在复平面内对应的点在同一个圆上，则正实数 的值为( )
D
A. B. C. D.
【解析】由于复数，，， 在复平面内
对应的点在同一个圆上（不在同一条直线上的三个点确定一个圆），且
,所以该圆以原点为圆心，则
，故 ，
由于为正实数，故 ．
. .
11.［多选题］(2025·辽宁省抚顺市期末)已知复数
，则下列说法正确的是( )
BCD
A.复数 的模的最大值为2
B.若，是纯虚数，则
C. 时，复数对应的点在第一象限
D.复数 的模为定值
【解析】对于A，D，
，故 ，A错
误，D正确；
对于B，且，即，又，故 ，
B正确；
对于C，当时， ，
故且，复数对应的点在第一象限，C正确.故选 .
12.新考法 数学文化[多选题]18世纪末期，测量学家韦塞尔首次利用坐标平面上的点
来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数 的模的
几何意义为复数对应的点到原点 的距离．下列说法正确的是( )
BCD
A.若，则或
B.复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为
C.若点的坐标为，则 在复平面内对应的点在第三象限
D.若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为
【解析】令（举反例），满足 ，故A错误；
复数与分别对应向量与 ，
则, ,
,
向量对应的复数为 ，故B正确；
点的坐标为 ，
在复平面内对应的点 在第三象限，故C正确；
设，， ，
复数满足， ，
复数 在复平面内对应的点所构成的图形（该图形为圆环）面积为
，故D正确．故选 ．
. .
. .
13.[开放题](2025·江苏省苏州市期中)写出一个同时满足下列条件①②的复数：
______________________．
① ；
② 在复平面内对应的点在第二象限．
（答案不唯一）
【解析】设复数，，且 在复平面内对应的点在第二象限，
可以取,,故 .