§2 复数的四则运算 课件(共100张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共100张PPT)
第五章 复数
§2 复数的四则运算
必备知识解读
知识点1 复数的加法与减法
1 复数的加法法则
对任意两个复数和 ，我们规定：两个复数的和仍是一
个复数，两个复数的和的实部是它们的实部的和，两个复数的和的虚部是它们的虚
部的和.也就是: .
. .
2 复数的相反数
给定复数，若存在复数，使得，则称是 的相反数，记作
.
设的相反数是，则 ，
解得，，即 .
3 复数的减法法则
对任意的复数和非零复数 ，规定复数的减法：
，即减去一个复数，等于加上这个复数的相反数，也就是：
.
由此可见,两个复数的差仍是一个复数，两个复数的差的实部是它们的实部的差，
两个复数的差的虚部是它们的虚部的差.#1.1
. .
特别提醒 1.两个复数的和或差仍是复数，但不一定是虚数,如 .
2.把复数的代数形式看成关于“ ”的多项式，则复数的加法、减法运算类似于多
项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了.
3.复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形,即各复数的实部分
别相加（减），虚部分别相加（减）.
4.若,则, .
5.，这一结论可以推广到 个复数的运算：
.
6. .#1.2.5
4 复数加法的运算律
对任意,, ,有
（1）结合律： ；
（2）交换律： .
（加法运算律在实数集、复数集中均成立.）
学思用·典例详解
例1-1 已知是虚数单位，则复数 的虚部是( )
C
A.1 B. C. D.
【解析】 .
故复数的虚部为 ．
例1-2 (2025·吉林省通化市期中)已知复数，，则
( )
A
A. B. C. D.
【解析】
．
例1-3 ［教材改编P183 T1］计算 .
【解析】
.
例1-4 (2025·安徽省淮北市期末)已知复数满足，则 的虚部是( )
B
A.2 B. C. D.
【解析】设 ，
由，得，所以，即 ．
知识点2 复数加、减法的几何意义
1 复数加法的几何意义
图5-2-1
如图5-2-1,设, 分别
与向量， 对应.根据平面向量的坐标
运算，得 .
这说明两个向量， 的和就是与复数
对应的向量.因此，复数的加法可以按照向
量的加法来进行，这是复数加法的几何意义.
2 复数减法的几何意义
两个复数, 在复平面内对应的向量分别是
,，那么这两个复数的差对应的向量是,即向量 .
图5-2-2
如果作,那么点对应的复数就是
（如图5-2-2所示）.
这说明两个向量与的差 就是与复数
对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
学思用·典例详解
例2-5 ［教材改编P182例4］设向量,分别与复数, 对应，
计算,并在复平面内作出 对应的向量.
【解析】 .
在复平面内作出对应的向量 ,如图5-2-3所示.
图5-2-3
例2-6 (2025·湖北省黄石市期中)已知复数, 在复平面内对应的向量分别为
，为坐标原点,则 对应的点在( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】 由题知，，，故 在
复平面内对应的点 在第二象限．
,在复平面内对应的向量 ，故
在复平面内对应的点为 ，在第二象限．
知识点3 复数的乘法
1 复数的乘法法则
设和 是任意两个复数，我们定义复数的乘法如下：
.
也就是说，两个复数的积仍然是一个复数.复数的乘法与多项式的乘法是类似的，
但在运算过程中，需要用 进行化简，然后把实部与虚部分别合并.因此多项式
的乘法公式在复数运算中仍适用,例如, ,
，
.
. .
2 复数乘法的运算律
对任意,, ,有
（1）结合律： ；
（2）交换律： ；
（3）乘法对加法的分配律： .
对于复数，定义它的乘方 .根据乘法的运算律，实数范围内正整
数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，即对任意复数,,和正整数， ，
有，， .
特别提醒 实数集内乘法的一些重要结论在复数集内不一定成立.
（1）当时，有;当时，.而，故和 未必相
等.例如，当时，,,此时 .
（2）当,时，有;当, 时，
且,但, .
需注意：的充要条件是或 .这是因为
或 .
3 复数乘法中有关共轭复数的重要结论
（1）互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数（或其共轭复数）
模的平方.即若，则 .（利用此结论
在复数集中可以将分解为 ）
（2） .
. .
学思用·典例详解
例3-7 (2025·安徽省皖南八校期中)复数 在复平面内对应的点位于
( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】，故复数 在复平面内对应的
点的坐标为 ，位于第一象限．
例3-8 复数的实部与虚部相等，则实数 ( )
B
A. B.0 C.1 D.2
【解析】 ,又该复数实部与虚部相等,
，解得 ．
例3-9 [教材改编P183例6]计算 ．
【解析】 ．
例3-10 (2025·云南省云天化中学期中)复数的共轭复数为，且满足 ，
则 ( )
C
A.2 B. C.5 D.
【解析】设，则 ，
，
所以有, ，
解得, ，
即, ,
所以 .
（【另解】 ）
知识点4 复数的除法
1 复数的倒数
给定复数，若存在复数，使得，则称是的倒数，记作 .设
和 ，则
，所以 解得
所以的倒数（这里要求， 不能同时为0，
即 ）.
2 复数的除法法则
对任意的复数和非零复数 ，规定复数
的除法：
，即除以一个复数，等于乘这个复数的倒数.因此
.
在实际计算时，通常把分子和分母同乘分母的共轭复数 ，化简
后得： .由此可见，在进行复数除法运算时，实际
上是将分母“实数化”.与分母“有理化”类似.#1.2
. .
. .
特别提醒 1.复数的除法是作为复数乘法的逆运算来定义的，因此,定义本身提供了求
两个复数的商的另外一种方法——待定系数法，即设 ，
则,由此依据复数相等的充要条件求出， 即可.
， .#1.4
学思用·典例详解
例4-11 ［教材改编P190 T11］设,则 ( )
C
A.2 B. C. D.1
【解析】 ，
故 .
.
例4-12 (2025·天津市塘沽一中期中)若复数，为虚数单位 是纯虚数，则
实数 的值为( )
A
A. B. C.4 D.6
【解析】 因为为纯虚数，所以
解得 ．
由题意可设且 ，
则 ，（转化为乘法）
根据复数相等，得
解得 .
释疑惑 重难拓展
知识点5 的几何意义
1设复数, 在复平面内对应的点分别是
,,则，即 表示复数
, 在复平面内对应的点之间的距离.
2 的几何意义的应用.
（1）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数 对应的
点为圆心， 为半径的圆.
（2）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数 ,
的对应点, 为端点的线段的垂直平分线.#2.2
（3）,当时，表示复数 在复平面内
对应的点组成的集合是以复数,的对应点, 为端点的线段.
（4）,当时，表示复数 在复平面内
对应的点组成的集合是分别以复数,的对应点,为端点的两条射线（以 为端
点的射线的方向与方向相同，以为端点的射线的方向与 方向相同）.
说明POINT
该知识点常见于各类数学竞赛及强基计划，学有余力的同学可学习掌握.#3.1
学思用·典例详解
例5-13 设 为非零实数，则
（1）满足的复数 一定是纯虚数吗？
【解析】满足的复数在复平面内对应的点组成的集合是以点
与点为端点的线段的垂直平分线，即复数 对应的点在虚轴上.
故这样的复数 可能是纯虚数也可能是零.（易忽略坐标原点也在虚轴上）
（2）满足的复数 一定是实数吗？
【解析】满足的复数在复平面内对应的点组成的集合是以点
与点 为端点的线段的垂直平分线，
即复数对应的点在实轴上，故复数 一定是实数.
. .
知识点6 复数乘法几何意义初探
在复平面内，设复数所对应的向量为 .
若所对应的向量为，则是 与 的数乘，即
是将沿原方向伸长或压缩 倍得到的.
所对应的向量为，则是将逆时针旋转 得到的.
学思用·典例详解
例6-14 在复平面内有一个正方形，其顶点按逆时针方向依次为，，，
为坐标原点.已知点，求点 的坐标.
【解析】点对应的复数为，向量可由逆时针旋转得到，所以点
对应的复数为 ，
所以点的坐标为 .
关键能力构建
题型1 复数的四则运算
1 直接运算
例15 计算：
（1） ;
【解析】 .
（2） ；
【解析】原式
.
（3） .
【解析】， ,则原式
.
名师点评 在复数的乘方运算中,经常要计算的乘方, 的乘方有如下规律:
，,,，
一般地，对任意自然数 ，有
,,, .
2 基于方程思想下的运算
例16（1）(2025·山东省聊城市期中)设复数满足，则 ( )
A
A.1 B. C. D.2
【解析】由题意得 ,
则,故 .
（2）(2025·江苏省南通市期末)已知为虚数单位，则复数 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】由题意得 ,
则 .
名师点评 复数常见运算小结论：
.
解决复数四则运算问题的思路
（1）两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）.
复数的减法是复数的加法的逆运算.当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有
实部相加（减），所有虚部相加（减）.
（2）复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成 ，并将实
部、虚部分别合并.
（3）复数的除法一般先写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母
同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·江苏省南通市期中)已知是虚数单位，若，则 的
值是( )
B
A. B. C. D.1
【解析】 ，
，， ．
2.［多选题］已知复数，其中 是虚数单位，则下列结论正确的是
( )
AB
A. B.的虚部为
C. D. 在复平面内对应的点在第四象限
【解析】 ,
，A正确;
,的虚部为 ,B正确；
,C错误;
,
在复平面内对应的点在第三象限，D错误.
（【拓展】复数 具有如下性质：
（1）,;（2） ;
（3） ）
题型2 复数加、减法的几何意义的应用
例17 如图5-2-4所示，在复平面内，平行四边形的顶点,, 分别对应复数0,
, .求：
图5-2-4
（1）向量 对应的复数；
【解析】因为，所以向量对应的复数为 .
（2）向量 对应的复数；
【解析】因为，所以向量 对应的复数为
.
（3）向量 对应的复数.
【解析】因为,所以向量 对应的复数为
.
例18 设,,已知,,求 .
【解析】 设,，,,, ,
由题设知,, .
又由,可得 .
，
.
,
将已知数值代入，可得 ,
.
在复平面内分别作出复数,对应的向量,， ,
,
,不共线（若,共线，则 或0）.
以，对应的线段为邻边作平行四边形（图略）,则由 可知四
边形 为菱形.
又, ,
即四边形为正方形，故 .
名师点评 设,，,,,,则 ，该
结论应牢记,做题时可直接运用.
利用向量加、减法的几何意义解题的注意点
1.向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据.
2.利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三
个向量及其对应的复数.
3.注意向量对应的复数是 （终点对应的复数减去起点对应的复数）.
【学会了吗丨变式题】
3.［多选题］非零复数,分别对应复平面内的向量， ，且
,线段的中点对应的复数为 ,则( )
AD
A. B.
C. D.
图D 5-2-1
【解析】如图D 5-2-1，由向量的加法及减法法则可知，
, .
由复数加法及减法的几何意义可知，对应 的模，
对应 的模.
又，所以四边形是矩形，则 .
又因为线段的中点对应的复数为,所以 ,所以
.
题型3 共轭复数问题
关于共轭复数的几个常用性质
（1）若，则 .利用此性质，在复数集
中可以将分解为 .
（2） ;（利用此性质可证明一个复数为实数）
对于非零复数，是纯虚数 .（利用此性质可证明一个复数为纯虚数）
（3）若,则, .
, .
.
例19（1）(2025·山东省青岛市期中)已知，其中 为虚数单位，则在复
平面内复数的共轭复数 所对应的点在( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】，所以， 在复平面内所对应的点位于
第四象限.
（2）(2025·陕西省榆林市第一中学月考)若复数满足，其中 为虚数
单位，则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】 设，则 .
故 ，
所以解得所以 .
设 ,
由复数的性质可得 ，
则 ，
所以解得所以 .
由共轭复数的性质，将等式 ①两边都变形为其共轭复数，
则，即 ②，由①②构建方程组，消去 ，解得
.
求与共轭复数有关问题的策略
1.设,则 ，代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转化
为方程（组）求解.
2.结合题设，利用共轭复数的性质，对已知条件进行变形，简化运算.
【学会了吗丨变式题】
4.(2022·全国甲卷)若，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】.（利用 可简化运
算）
题型4 复数运算在求模中的应用
1 求复数的模
例20 (2025·河南省濮阳市质检)已知复数满足为虚数单位 ，
则 ( )
C
A. B. C.1 D.
【解析】 ，则 .
，则 .
母题 致经典·母题探究
例21 设复数满足，求 的最大值与最小值.
【解析】,（【明易错】与 是不一样的，一个结果为复数，一
个结果为实数）
1 （“1”的代换）
设,则 .
，
, ,
的最大值为3，最小值为0.
. .
. .
子题
已知复数满足，则 __.
思路一
思路二
【解析】 因为复数只需满足，所以不是唯一的，令 ，将其代
入所求式，
即 .
由得 ，
所以 ，
因为与为共轭复数，所以 ，
故 .
2 解含复数模的方程
例22 已知复数满足，求 .
【解析】 由条件得 ，
故的虚部为，于是设（ ）（不可省略），
代入等式得 ，
即 ，
则 ，
解得或 ，
故或 .
当时， ;
当时， .
. .
由条件得 ，
则 ，
解得或 .
当时，, ;
当时，， .
【学会了吗丨变式题】
5.(2025·华中师大一附中期末)若复数满足，是虚数单位，则
____．
【解析】由题知， ，
于是 .
6.若复数满足，求 .
【答案】（可看作实部），则 ，
化简得，解得 .
所以 .
（【另解】直接设 ，代入计算即可）
. .
题型5 复数范围内的解方程问题
1 解实系数一元二次方程
例23 [教材改编P190 T8]已知是方程 的一个根，
则 ___.
4
思路一
思路二
【解析】 把代入方程，得 ，
解得 .
由一个根是，可知另一个根是 ，则
.
教材深挖
对实系数一元二次方程在复数范围内根的分析
对于实系数一元二次方程,且,, ,其根的判别式
.
当时，方程有两个不同的实根 ;
当时，方程有两个相同的实根 ;
当时，方程有两个共轭的复数根 .
实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，若复数 是实系数一
元二次方程的根，则复数 是该方程的另一根,即实系数一元二次方程的两根为
共轭复数.
2 解复系数一元二次方程
例24 在复数集内解方程 .
【解析】因为,, ,
所以 .
设,则
解得或
所以的平方根为 ,
所以 ,
得, ,
即原方程的根为, .
另解POINT
也可对等式左边进行因式分解,则,所以, .
复数范围内的解方程问题的一般思路
复数范围内解方程的一般思路是依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等
的充要条件求解.
对于实系数一元二次方程，也可以利用求根公式求解.此外，对于复系数一元二次方程，
根与系数的关系也是成立的.注意求方程中参数的取值时，不能盲目利用判别式求解.
【学会了吗丨变式题】
7.(2025·广东省深圳市模拟)已知是关于的方程 的一个
根，则 的根为( )
D
A. B. C. D.
【解析】是关于的方程的一个根，则也是关于
的方程 的一个根，
故解得
则，即，解得 ．
8.［教材改编P189 T7］在复数范围内分解因式：
_ ______________________．
【解析】
.
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考比较注重对复数四则运算的考查，主要通过运算来体现对复数的相关概念及几
何意义的考查，在进行除法运算时容易出现计算错误，应引起重视.试题一般出现在
第二题的位置,为容易题.
核心素养：数学运算（复数的四则运算、模的求解等）.
考向1 复数的四则运算
例25（1）(2025· 全国一卷) 的虚部为( )
C
A. B.0 C.1 D.6
【解析】 ，其虚部为1.
（2）(2025· 全国二卷)已知，则 ( )
A
A. B. C. D.1
【解析】 .
（3）(2024· 新课标Ⅰ卷)若,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】 （解方程法） 因为，所以 ，
即，即 ，
所以 .
（取倒数法） 因为，所以 ，
即 ，
即 ，
所以 .
考向2 与共轭复数有关的四则运算
例26（1）(2024·全国甲卷)若,则 ( )
A
A. B. C.10 D.2
【解析】因为，所以，所以 .（【另解】
,即 ）
（2）(2023· 新课标Ⅰ卷)已知，则 ( )
A
A. B. C.0 D.1
【解析】因为，所以，所以 .
（3）(2023·全国乙卷)设,则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】，所以 .
考向3 复数模的求解
例27（1）(2025·天津)已知是虚数单位，则 _____.
【解析】 .
（2）(2025·北京)已知复数满足，则 ( )
B
A. B. C.4 D.8
【解析】 由可得， ，所以
.
，则 ，根据复数模
的性质，得 .
（3）(2023·全国乙卷) ( )
C
A.1 B.2 C. D.5
【解析】 .
命题 探源 本题源自教材第190页第11题，都是先进行复数的运算，再利用模的公式求 解，突出高考源于教材、回归教材的本质. 素养 探源 素养 考查途径
数学运算 通过模的公式求解.
变式探源
(2022·全国甲卷)若,则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为，所以 ，
所以 .
考向4 复数的几何意义
例28 (2023· 新课标Ⅱ卷)在复平面内， 对应的点位于( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】因为 ，所以该复数在复平面内对
应的点为 ，位于第一象限.
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·陕西省安康市期末)已知复数， ，
则( )
ABD
A. B. 的最小值为1
C.当时，的实部大于0 D.当时，
【解析】因为，所以，故 ，所以
，故A正确；
，
所以 ，
当时， 取最小值1，故B正确；
，当时， 的实部小于0，故C错误；
当时， ，故D正确.
故选 .
2.［多选题］(2025·江苏省南京市期末)已知，是复数，是 的共轭复数，下列
说法正确的是( )
BCD
A.若，则 B.若，则或
C.若是纯虚数，则 D.若，则
【解析】对于选项A，假设，，此时 ，但
，A错误.
对于选项B，设, ，所以
.
所以若,则,所以或 ,所
以或 ；
若，将代入②中得 ，
由得，则，此时 .综上，B正确.
对于选项C，若是纯虚数，设, ，
此时 ，C正确.
对于选项D，设，所以，D正确.故选 .
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：20分钟
1.复数 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】 ．
2. ( )
C
A. B.1 C. D.
【解析】由题意知， .
3.(2025·广东省广州市期中)设，，其中 是虚数单位，
若复数是纯虚数，则 的值为( )
D
A.1 B. C.0 D.
【解析】 复数 是纯虚数，
，, ．
4.(全国Ⅰ卷)若,则 ( )
D
A.0 B.1 C. D.2
【解析】 因为 ，所以
．
因为，所以 .
5.若复数满足，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】 ,
,
.故选C.
6.(2025·河北省张家口市期中)已知是实数,是实数，则 的值为( )
A
A. B. C.0 D.
【解析】是实数， ,即
.故选A.
7.［多选题］(2025·陕西省榆林市期末)对于两个复数, ，下
列结论正确的是( )
ABD
A. B. C. D.
【解析】 ，A正确；
，B正确；
，即 ，C错误；
，D正确.
故选.
8.(2025·四川省资中县月考)若,为实数，为虚数单位，则 ___.
3
【解析】 由已知得， ,由复数相等
的定义知， .
由,得解得 所以
.
B 综合练丨高考模拟
建议时间：20分钟
9.若复数满足方程，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】依题意， ，
所以 .
10.已知复数，那么 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】复数 ，
， ，
．
11.已知，，是的共轭复数，且，则
( )
D
A.2 B. C. D.
【解析】由 ，得 ，
，
, ,又,则，又 ,
则，，,，即 ，
（上下同除以），解得或 （舍去）.
. .
. .
12.[多选题](2025·河北省邯郸市期末)已知复数， ，则下列说法
正确的是( )
CD
A.
B.复数 对应的点位于复平面第四象限
C.
D.若复数满足，则的最大值是
【解析】对于A，, ，故A错误；
对于B， ，其对应的点位于复平面第三象限，
故B错误；
对于C，因为 ，所以
，故C正确；
对于D，由可知，复数对应的点的轨迹为以点 为
圆心，半径为5的圆，而可理解为点到圆 上的点
的距离，（复数模的几何意义）
图D 5-2-1
如图D 5-2-1所示，当且仅当圆上的点在 处（三点共线）时，
距离最大，为 ，
故D正确.故选 .
13.[教材改编P190 T8](2025·辽宁省辽阳市期末)已知是关于 的方程
在复数范围内的一个根，则实数 ____.
【解析】因为是方程的一个根，所以 是方程
的另一个根，则由根与系数的关系得 ，解得
.
14.(2025·四川省成都市期末)已知复数， .
（1）若是纯虚数，求 的值；
【答案】依题意， ，则
，
由是纯虚数，得解得，所以 .
（2）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中 是原点，且
，求 .
【答案】依题意，，， ，
由，整理得
解得或，所以或 .
C 培优练丨能力提升
15.[多选题]已知集合，，其中 为虚数单位，则下列元素属于
集合 的是( )
BC
A. B. C. D.
【解析】根据题意,在, }中,
当时, ;
当时, ;
当时, ;
当时, .
所以,1,, }.
选项A中, ;
选项B中, ;
选项C中, ;
选项D中,.故选 .