§3 复数的三角表示 课件(共41张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共41张PPT)
第五章 复数
§3 复数的三角表示
必备知识解读
知识点1 复数的三角表示式
1 辐角
如图5-3-1，与复数对应的向量的模 称为这个复数的模，
且 .
图5-3-1
以原点为顶点，轴的非负半轴为始边、向量所在的射线为终边的角 ，称
为复数 的辐角.
说明 POINT
若，则与它对应的向量 缩成一个点(零向量)，它的方向是任意的，所以
复数0的辐角也是任意的.
2 复数的三角表示式
由图5-3-1可知，
因此， .
于是，任何复数 都可以表示为
（结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连）,其中
,, .
这个式子称为复数 的三角表示式，简称三角形式.
为了与三角形式区分， 称为复数的代数表示式，简称代数形式.
. .
3 辐角的主值
当时，的辐角有无穷多个值，这些值相差 的整数
倍.将满足条件 的辐角值，称为辐角的主值，记作 ，即
.
知识剖析 1. 在复数的三角形式中，辐角 的值可以用弧度表示，也可以用角度表示.
2.为了简单起见，复数化成三角表示式时，一般将辐角取主值.
3.坐标轴上的点对应的复数的辐角主值：当时，， ，
， .
4 复数相等的三角表示
每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值，并且可由它的模与辐角的主值唯一
确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
学思用·典例详解
例1-1 (2025·湖南省衡阳市期末)复数的辐角 可以是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 ，
， ，
所以 可以为 .
例1-2 [教材改编P195 A组 T2]下列复数中是三角形式的是( )
B
A. B.
C. D.
【解析】根据复数的三角形式的特征可知，只有选项B满足题意.
例1-3 复数 的辐角的主值是( )
C
A. B. C. D.
【解析】，故所求辐角的主值是 .
警示求解时易因未熟练掌握复数三角形式的结构特征而直接认为辐角的主值是 ．
知识点2 复数三角形式的乘除运算
1 乘法
设， ，
则
，
即 .
这就是说，两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐
角的和.
. .
知识剖析 1.复数三角形式的乘法可推广到有限个复数相乘，即 .
2. 若， ，则可得复数三角形式的乘方运
算： .
2 除法
设，，且 ，则
，
即 .
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等
于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
. .
学思用·典例详解
例2-4 若非零复数，则 ____.
【解析】复数与共轭复数在复平面内对应的点关于轴对称，因此 是 的一个辐
角,则 ,
故
.
点评 若非零复数，则 ，这是一个非常有用的结论.
例2-5 计算下列各式的值（结果写成三角形式）：
（1） ；
【解析】 .
（2） .
【解析】 .
知识点3 复数乘法的几何意义
图5-3-2
设， ，两个
复数，相乘时，可以先画出它们分别对应的向量， ，
然后把向量绕原点按逆时针方向旋转角（若 ，就
要把绕原点按顺时针方向旋转角 ），再把它的模变为
原来的倍，所得向量就表示复数， 的乘积，如图5-3-2
所示.这就是复数乘法的几何意义.
学思用·典例详解
例3-6 把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量
重合且模相等，已知，求复数 的代数表示式.
【解析】由复数乘法的几何意义得,
，
又 ,
.
释疑惑 重难拓展
知识点4 复数三角形式的开方运算
1 复数的 次方根
如果且，，那么叫作复数的 次方根，记作
.（复数的 次方根一定存在，且仍为复数）
. .
2 复数三角形式的开方运算
对任意非零复数，记且，即 ，
设 ，则
，
由复数相等的三角表示，可知
解得
即 .#1.4
由三角函数的周期性可知，辐角 不可能有无穷个取值，事实上，
它只有 个取值，分别为：
时，取；时，取；时，取 ；
……
时，取 .
复数的 次方根为
.#1.9
例4-7 [教材改编P195 B组 T4]求复数 的平方根及3次方根.
【解析】 ，
则的 次方根为
.当 时，
，
当时，原式 ，
当时，原式 .
所以的平方根为和 .
同理可求得 的3次方根为
，， .
关键能力构建
题型1 复数代数形式与三角形式的互化
例8 ［教材改编P192例1］将下列复数代数形式转化为三角形式（辐角 取主值）：
（1） ；
【解析】，，，所以 ，
则 .
（2） ；
【解析】，，，所以 ，
则 .
（3） ；
【解析】，， ，
所以，则 .
（4） .
【解析】，，，所以 ，
则 .
例9 ［教材改编P194 T2］将下列复数三角形式转化为代数形式：
（1） ；
【解析】 .
（2） .
【解析】 .
将复数的代数形式化为三角形式的一般步骤
题型2 复数三角形式的乘除运算
例10 计算下列各式,并把结果化为代数形式.
（1） ；
【解析】原式 .
（2） ；
【解析】原式 .
（3） ；
【解析】原式 .
（4） .
【解析】原式 .
例11 (2025·江西省宜春市期末)若复数 为纯虚数，则
正整数 的最小值为( )
A
A.4 B.6 C.8 D.10
【解析】因为 ，
所以 （三角形式下的
乘方运算）
因为复数为纯虚数，所以且 ，
所以 ，，得，，所以正整数 的最小值为4.
三角形式下复数的运算法则
复数三角形式下的乘法法则:模相乘,辐角相加.
复数三角形式下的乘方法则:模乘方,辐角 倍.
复数三角形式下的除法法则:模相除,辐角相减.
题型3 求 的模和辐角的主值
例12 设复数，求 的模和辐角的主值.
【解析】 ，（注意辐角的主值的范围，化简要彻底）
复数的模为32，辐角的主值为 .（复数乘积的辐角的主值不一定等于各复数辐角
的主值的和）
. .
. .
. .
例13 求复数 的模与辐角主值.
【解析】
（【关键点】利用倍角公式的目的是出现“ ”，便于与“1”相
消）
.
, , ，
],
.
. .
, ,
.
故复数的模是,辐角主值是 .
易错警示 从形式上看， 似乎就是三角形式，不少同学认为
，.错误之处在于没有考虑角 的范围，因此一定要用“模非负，
角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.
学业质量测评
1.复数 表示成三角形式正确的是( )
C
A. B.
C. D.
【解析】记辐角为，， ，又
，， .
2.设复数和的辐角的主值分别是 ， ，则 等于( )
D
A. B. C. D.1
【解析】因为复数和的辐角的主值分别是 , ,所以, ,
所以 .
3.复数 的辐角的主值是( )
A
A. B. C. D.
【解析】复数
（先变形为三角形式，再判断辐角主值）,由 知，
,故复数的辐角的主值为 .
. .
. .
4.，则 的值等于( )
C
A.3 B.12 C. D.
【解析】由题意，得 ，由复数相等
的定义，得
解得, .
5.已知,,其中 ，， 是虚数
单位，且,,则 的值是( )
A
A. B.
C. D.
【解析】由，，可得 ，
又 ，，所以 ，
， ，
所以 ,故选A．
6.[多选题]复数的三角形式是，则 的三角形式
可以是( )
AC
A. B.
C. D.
【解析】由题意可得， ，
则．故选 ．
7.计算： ___.
【解析】原式 .
8.[教材改编P195 B组 T4]求 的平方根．
【答案】 设的平方根为，其中, ，则
，
所以解得或
所以的平方根为和 ．
，
则的平方根为，其中 ,1，
所以的平方根为和 ．
9.如图5-3-1，复平面内的三角形是等边三角形，它的两个顶点， 的坐标分别
为,，求点 的坐标.
图5-3-1
【答案】将原点平移至点，建立复平面，则 ,
，
将绕点顺时针方向旋转 得
，
在原复平面中，点的坐标为，即 .