§1 基本立体图形-1.1 构成空间几何体的基本元素 1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台 课件(共68张PPT)

(共68张PPT)
第六章 立体几何初步
§1 基本立体图形
1.1 构成空间几何体的基本元素 1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
必备知识解读
知识点1 空间几何体的有关概念
1 构成空间几何体的基本元素
点、线（直线和曲线）、面（平面和曲面）是构成几何体的基本元素.
（点动成线，线动成面，面动成体）
. .
2 平面
平面是空间最基本的图形，平面是无
限延展的.
（1）平面的画法
一般地，用平行四边形表示
（也可用有边界的其他平面图形表示.）平面（如图6-1.1-1）.当平面水平放置时，通
常把平行四边形的锐角画成 ，横边长画成邻边长的两倍.当两个平面相交时，可
以像图6-1.1-2那样，把被遮挡部分画成虚线或不画,两平面相交的直线需要画出.这样，
看起来立体感强一些.
. .
（2）平面的表示
平面通常用希腊字母 ， ， （在图中，一般将希腊字母写在平行四边形内.）
等来表示，如平面 、平面 、平面 等（如图6-1.1-1（1）所示）；也可以用表
示平行四边形顶点的字母表示，如平面 ,还可以用表示平行四边形顶点的两个
相对顶点的字母表示，如平面 （如图6-1.1-1（2））.
. .
. .
. .
3 多面体及其相关概念
有些几何体是由平面多边形围成的，称为多面体.这些多边形称为多面体的面，
两个相邻的面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点.
特别提醒 如无特别说明，我们研究的多面体都是凸多面体，即把一个多面体的任意
一面延展为平面，其余的面都在这个平面的同一侧.
学思用·典例详解
例1-1 下列说法正确的是( )
B
A.平面是有界限的
B.长方体是空间几何体，也是多面体
C.当两个平面相交时，被遮挡部分应画成实线
D.一个多面体可以有三个面
【解析】平面是没有界限的，可以无限延展，故A错误.
长方体由六个面围成，每个面都是矩形（包括它的内部），因此它是空间几何体，
也是多面体，故B正确.
当两个平面相交时，应把被遮挡部分画成虚线或不画，以增强立体感，故C错误.
多面体是由平面多边形围成的，这里的多边形包括它内部的平面部分，因此一个多
面体至少有四个面，故D错误.
例1-2 [多选题]下列实物能近似看成多面体的是( )
ABD
A.钻石 B.骰子 C.足球 D.金字塔
【解析】钻石、骰子、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近
似看成多面体.足球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体.
知识点2 棱柱
1 棱柱的概念
棱柱 有两个面是边数相同的多边形，且它们所在平面平行，其余各面都是四边
形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，像这样的几何体称为棱
柱.
图形
图6-1.1-3
底面 两个互相平行的面称为棱柱的底面，简称底.
侧面 其余各面称为棱柱的侧面.
侧棱 相邻侧面的公共边称为棱柱的侧棱.
顶点 侧面与底面的公共顶点称为棱柱的顶点.
对角线 既不在同一底面上也不在同一个侧面上的两个顶点的连线称为棱柱的对角
线.
高 过上底面上一点作下底面的垂线，这点和垂足间的距离称为点
到下底面的距离，也是两底面间的距离，即棱柱的高.
记法 棱柱可以用它的两个底面各顶点的字母来表示，也可以用它的某一条对角
线的两个端点的字母来表示，如图6-1.1-3中的棱柱既可表示为棱柱
,也可表示为棱柱 .
续表
2 棱柱的性质
关于侧棱 侧棱都相等.
关于截面 两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；
过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形.
3 棱柱的分类
通常从“侧面或底面的形状”这些角度描述棱柱,对棱柱进行分类.
侧面形状 直棱柱（侧面平行四边形都是矩形）
斜棱柱
底面形状 棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别
称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
既考虑侧面又 考虑 底面形状 正棱柱（底面是正多边形的直棱柱）
正棱柱的底面可以是正三角形、正方形、正五边形……这样的棱
柱分别称为正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱……
4 几种特殊的四棱柱
（1）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体.
（2）直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体.
（3）长方体：底面是矩形的直平行六面体称为长方体.
（4）正方体：棱长都相等的长方体称为正方体.
它们之间的关系如下：
学思用·典例详解
图6-1.1-4
例2-3 如图6-1.1-4所示的几何体中，棱柱的个数为( )
D
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】根据棱柱的定义知，这四个几何体都是棱柱.
例2-4 ［多选题］下列说法正确的是( )
AB
A.一个正方形沿不平行于正方形所在平面的方向平移一段距离一定可以形成四棱柱
B.棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
D.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
图6-1.1-5
【解析】A正确；B正确，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面
一定是全等的，故棱柱中至少有两个面的形状完全相同；C错误，
正六棱柱的两个相对侧面互相平行;D错误，“其余各面都是平行
四边形”并不能保证“每相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如
图6-1.1-5所示的几何体就不是棱柱.
例2-5 [教材改编P210练习T2][多选题]下列集合间关系正确的是( )
ABC
A.正方体长方体 B.长方体直平行六面体
C.正四棱柱长方体 D.直平行六面体正四棱柱
【解析】 正方体都是长方体，但长方体不一定是正方体，正方体长方体 ，
A正确；
底面是矩形的直平行六面体是长方体，长方体直平行六面体 ，B正确;
底面是正方形的长方体为正四棱柱，正四棱柱长方体 ，C正确；
正四棱柱都是直平行六面体，但直平行六面体不一定是正四棱柱， 错误.
知识点3 棱锥
1 棱锥的概念
棱锥 一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的几何体称为棱锥. 图形 及记 法 （1）用表示顶点和底面各顶点的字母表示,如棱锥
（图（1））,棱锥 （图（3））.
（2）用顶点和底面一条对角线端点的字母表示,如棱锥
（图（2））.
（3）图（1）中的棱锥也可记作棱锥 ，棱锥
，棱锥 （三棱锥任意一个面均可作为底
面）.
底面 多边形那一面称为棱锥的底面，简称底.
侧面 其余各面称为棱锥的侧面.
顶点 各个侧面的公共点称为棱锥的顶点.（注意与棱柱的顶点进行区分）
侧棱 相邻两个侧面的公共边称为棱锥的侧棱.
高 顶点到底面的距离称为棱锥的高.（图（3）中线段 的长度）
续表
. .
. .
2 棱锥截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么截面和底面相似.
3 棱锥的分类
按底面多边形的边数分类：棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……这
样的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥……
4 特殊棱锥
正四 面体 定义 三棱锥也叫作四面体,四个面均为正三角形的三棱锥叫作正四面体.
性质 正四面体的各面都是全等的正三角形,所有棱长都相等.
正棱 锥 定义 如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直
的直线上，那么这个棱锥称为正棱锥.
性质 正棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高
都相等，称为正棱锥的斜高.（斜高为侧面三角形的高，并不是棱锥
的高）
正三棱锥与 正四面体
. .
学思用·典例详解
【想一想丨问题质疑】
有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？
提示 不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面是有一个公共顶点
的三角形”，如图6-1.1-6所示的几何体就不是棱锥.
图6-1.1-6
例3-6 下列说法正确的是( )
A
A.棱锥的各个侧面都是三角形
B.由五个平面围成的几何体一定是四棱锥
C.三条侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥
D.棱锥的高一定小于侧棱长
【解析】由棱锥定义可知A正确；
三棱柱由五个平面围成,故B错误；
若正方体上底面的中心为,则三棱锥 的侧棱
,其底面 不是正三角形,故三条侧棱都相等的三棱锥不一定是正三
棱锥,故C错误；
由长方体顶点构成的棱锥,它的高和侧棱 相等,故D
错误.（棱锥的高小于等于侧棱长）
知识点4 棱台
1 棱台的概念
棱台 用一个平行于底面的平面去截棱锥（如果棱锥被平行于底面的平面所截， 那么截面和底面相似，也就是说棱台的上下底面相似 ），截面与底面之 间的部分称为棱台. 图形及 记法 用上底面、下底面多边形各顶点的字母来表
示，如棱台 .
. .
. .
下底面 原棱锥的底面称为棱台的下底面.
上底面 原棱锥的截面称为棱台的上底面.
侧面 其余各面称为棱台的侧面.
侧棱 相邻两个侧面的公共边称为棱台的侧棱.
高 上底面、下底面之间的距离称为棱台的高.
续表
知识剖析
棱台的结构特征
（1）各侧棱的延长线交于一点.
（2）各侧面均为梯形.
（3）棱台的上、下两个底面互相平行，且是两个相似的多边形，相似比
.#1.1.1.3
2 棱台的分类
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……所截得的棱台，分别称为三棱台、四棱台、五
棱台……
3 正棱台
由正棱锥截得的棱台称为正棱台.正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰
梯形的高称为正棱台的斜高.
学思用·典例详解
例4-7 (2025·山西省大同市浑源县第七中学月考)下列命题中正确的是( )
C
A.有两个面相互平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
B.两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.两底面互相平行，且各侧棱延长后交于一点的多面体是棱台
D.用一个平面去截棱锥，棱锥的底面和截面之间的部分是棱台
图6-1.1-7
【解析】由图6-1.1-7（1）（2）知，A,B不正确；若一个多
面体为棱台，则需满足“两底面互相平行，且各侧棱延长后
交于一点”，故C正确；棱锥被平行于底面的平面所截，截面
和底面间的部分叫作棱台，如图6-1.1-7（3）中的截面
与底面 不平行，则棱锥的底面和截面之间的部分不是棱台，故D不正确.
点评 对于棱台的判断，关键要抓住两个特征:（1）侧棱的延长线交于一点;（2）
两底面平行.根据这两个特征，可以判断一个几何体是否为棱台.（【链接教材】此处
回答了教材第208页的【思考交流】）
释疑惑 重难拓展
知识点5 正方体的截面
截面形状 图形 性质
三角形 截面不可能是直角三角形、
钝角三角形
四边形 四边形中至少有一组对边平
行
截面形状 图形 性质
五边形 五边形有且仅有两组对边分
别平行，至少有两个内角相
等，截面不可能是正五边形
六边形 六边形的三组对边分别平
行，三组对角分别相等
说明 在学习了本章第4节平行关系之后，关于正方体截面的性质即可证明.#1.1
续表
学思用·典例详解
例5-8 [多选题](2025·上海市青浦高级中学质检)正方体截面的形状有可能为
( )
ABD
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
【解析】在正方体中，截面 为正三角形，平行于底面的所有
截面都是正方形，
分别取,,,,, 六条棱的中点，顺次连接这六个点所得的六边形为
正六边形，
所以选项A，B，D正确.
若截面为五边形，则必有两组对边平行,（因为截面与两个平行侧面的交线必定平行，
这种类似结论我们将在后续章节中讲解，此处仅作为解题工具）所以不可能为正五
边形，故选项C错误.
知识点6 长方体、正方体切割得到的特殊多面体
长 方 体 直三棱柱和
四个侧面为直角三角形的四棱锥
四个面均为直角三角形的三棱锥
长 方 体 三个侧面为直角三角形的三棱锥, ,
, ;
对棱相等、四个面为全等三角形的四面体
正 方 体 正四面体 ;
正三棱锥,,,
续表
学思用·典例详解
图6-1.1-8
例6-9 [多选题]如图6-1.1-8，在正方体上任意选择4个顶点，则这
4个顶点连线形成的几何体（图形）可以是( )
BCD
A.不是矩形的平行四边形
B.有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体
C.每个面都是等边三角形的四面体（即正四面体）
D.每个面都是直角三角形的四面体
【解析】若选取的4个顶点在同一个平面内,则构成矩形,不可能构成不是矩形的平行
四边形，故A错误；
在正方体中, 是有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等
边三角形的四面体,故B正确;
是每个面都是等边三角形的四面体，故C正确;
是每个面都是直角三角形的四面体,（也称为鳖臑，该模型在后续学习中还会
提及）故D正确.
. .
关键能力构建
题型1 简单多面体的识别
例10 [多选题](2025·上海市三林中学期中)一个多面体的所有棱长都相等，那么这个
多面体一定不可能是( )
BC
A.三棱锥 B.四棱台 C.六棱锥 D.六面体
【解析】当三棱锥是正四面体时，其所有棱长都相等，满足题意,所以A可能.棱台的
上底面与下底面的边长不相等，不满足题意，所以B不可能.正六棱锥的底面边长与
侧棱长不可能相等，不满足题意，所以C不可能.六面体是正方体时，满足题意，所
以D可能．
例11 对如图6-1.1-9所示的几何体描述正确的是__________（填序号）．
①这是一个六面体;
②这是一个四棱台;
③这是一个四棱柱;
④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到;
①③④⑤
⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到．
图6-1.1-9
【解析】①正确，因为该几何体有六个面，属于六面体．
②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点．
图6-1.1-10
③正确，如果把几何体正面或背面作为底面就会发现是一个四
棱柱．
④⑤都正确，如图6-1.1-10（1）（2）所示．
易错警示 在解答关于空间几何体概念的题时，要注意紧扣定义，这就需要我们熟
悉各种空间几何体概念的内涵和外延，切忌只凭图形主观臆断，如本例若意识不到
棱台各侧棱延长后交于一点则会做错.
图6-1.1-11
例12 如图6-1.1-11，四边形为长方形， ,
,，， ，请你判断这个几
何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱;若不是棱柱，请
【解析】 这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面， 这个几何体不是棱柱．
图6-1.1-12
如图6-1.1-12，在上取点，使,在上取点 ，
使,连接，，，则过点，， 的截面
将原几何体分成两部分，其中一部分是三棱柱
你用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几
何体的名称．
，其侧棱长为2；另一部分是四棱锥 ，即截去的几何体是一
个四棱锥.（截法不唯一）
题型2 关于正棱锥、正棱台的简单计算
正三 棱锥 设侧棱长,底面正边长,取中点 ,
则斜高,高 .
易知为正的中心（也是重心）,由三角形重心的性质可知, , 又,则, . 在中， ； 在中, ； 在中， . 正四 棱锥 设侧棱长,底面正方形边长,取 中
点,则斜高,高 .
易知为底面中心,则, . 在中， ; 在中， ; 在中， . 续表
正三 棱台 设侧棱长,上、下底面边长分别为 ,
,,分别为,的中点,斜高, ,
分别为上、下底面的中心, 高 .
易知,分别为正和正的中心, 则, , , . 续表
正三 棱台 方 法 一 在直角梯形 中， ； 在直角梯形 中， ； 在直角梯形 中, . 方 法 二 将棱台补为棱锥，结合相似比进行计算.
续表
例13 (2025·上海市行知中学期中)一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱
柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面
边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，， ，则
( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图6-1.1-13，设四棱锥为，三棱锥为 ，
图6-1.1-13
则三棱锥为正四面体，四棱锥为正四棱锥，显然 ．
（三棱锥和三棱柱同底等高）
设，正方形的中心为，正三角形的中心为，连接， ，
， ，
. .
则， ，
，
，即， ，
．
例14 (2025·陕西省西安市开学考试)正四棱台的高是17,两底面边长分别是4和16,求这
个棱台的侧棱长和斜高.
思路点拨 思路一 作出棱台的对角面，化为平面几何中的计算问题.
思路二 用“补形法“将棱台还原为棱锥，结合相似比计算.
图6-1.1-14
【解析】 设, 分别为棱台上、下底面正方形的中心,取
,的中点,,故为棱台的高, 为棱台的斜高.作
于点,于点 ,如图6-1.1-14.
易知,, ,
,,, ,
所以斜高 ,
侧棱 .
（或者在直角梯形 中，侧棱
）
故这个棱台的侧棱长为19，斜高为 .
延长各侧棱交于点 （图略），
易知，故 ，
由，解得 ，
则 ，
由，解得 .
同理，，故 ，
，
由，解得 ，
故这个棱台的侧棱长为19，斜高为 .
【学会了吗丨变式题】
已知正六棱锥底面边长为,高为 ,求侧棱长和斜高.
图D 6-1.1-1
【答案】如图D 6-1.1-1，为底面正六边形 的中心,取
中点,故为高, 为斜高.
易知为正三角形,, ,
故斜高 ,
侧棱 .
核心素养聚焦
考情揭秘
本节知识是立体几何的基础，突出的是对空间几何体的认识，主要考查空间几何体
的结构特征.一般以选择题的形式出现，难度不大.
核心素养：直观想象（空间几何体的认识）.
考向 几何体的结构特征
图6-1.1-15
例15 (全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔（图6-1.1-15）是古代世界建筑
奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边
长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧
面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】设正四棱锥的高为,底面边长为,侧面三角形底边上的高为 .依题意有
,且,因此有,化简得 ,解
得 （负值已舍去）．
高考新题型专练
1.[多选题](2025·河北省名校联盟期末)下列说法正确的是( )
AD
A.棱柱的侧面都是平行四边形 B.长方体是正四棱柱
C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【解析】对于A，由棱柱定义，棱柱的侧面都是平行四边形，A正确；
对于B，长方体不一定是正四棱柱，如长宽高不等的长方体，B错误；
对于C，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥，
C错误；
对于D，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，D正确．故选 ．
图6-1.1-16
2.[多选题](2025·河北省邢台市期中)某广
场设置了一些石凳供大家休息，如图6-1.1
-16，每个石凳都是由正方体截去八个相同
的正三棱锥得到的几何体，则下列结论正
确的是( )
ACD
A.该几何体的面是等边三角形或正方形 B.该几何体恰有12个面
C.该几何体恰有24条棱 D.该几何体恰有12个顶点
【解析】据题图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有
14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正
确．故选 ．
练习帮 习题课丨学业质量测评
1.以下说法正确的是( )
B
A.各侧面都是矩形的棱柱是长方体
B.直棱柱的侧面都是矩形
C.各侧面都是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥
D.底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱
【解析】各侧面是矩形，且上下底面也是矩形的棱柱才是长方体，故A选项错误；
由直棱柱的定义可知，B选项正确；底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，且有
公共顶点的四棱锥才是正四棱锥，故C选项错误；当直棱柱的底面为菱形时，四条边
也相等，但不满足正四棱柱的定义，故D选项错误．
图6-1.1-1
2.［教材改编P237 T2］如图6-1.1-1，将装有水的长方体水槽固
定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何
体是( )
A
A.棱柱 B.棱台 C.棱锥 D.不能确定
【解析】形成的几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，符合棱柱的
定义．
图6-1.1-2
3.(2025·广东省三校质检)如图6-1.1-2所示，在三棱台
中，沿截去三棱锥 ，则剩余的
部分是( )
B
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.以上都不正确
【解析】三棱台中，沿 截去三棱锥
，剩余部分是四棱锥 ．
4.如图6-1.1-3，能推断这个几何体为三棱台的是( )
C
图6-1.1-3
A.，，，
B.，，，，，
C.，，，，，
D.，，
【解析】根据棱台由棱锥截成，可知棱台上底面与下底面的对应边成比例，且比值
不是1（确保上下底面不全等）.
对于A， ，故A不正确；
对于B， ，故B不正确；
对于C， ，故C正确；
对于D，满足条件的是一个三棱柱，不是三棱台．
. .
. .
5.新情境 扭棱十二面体 (2025·江西省宜春市期中)“阿基米德多面体”是由边数不全相
同的
图6-1.1-4
正多边形为面的多面体，如图6-1.1-4，其中“扭棱十二面体”就是
一种“阿基米德多面体”．它是由80个正三角形和12个正五边形组
成的，若多面体的顶点数、棱数和面数满足：顶点数-棱数 面数
，则“扭棱十二面体”的顶点数为( )
C
A.56 B.58 C.60 D.62
【解析】由题意知多面体的面数为 ,
棱数为 ，（多面体的每条棱同时作为两个图形的棱）又顶点数-棱数
面数，则顶点数 .
6.一个棱柱至少有___个面；面数最少的一个棱锥有___个顶点；顶点最少的一个棱
台有___条侧棱.
5
4
3
【解析】棱柱最少有5个面（三棱柱）；面数最少的棱锥是三棱锥，有4个顶点；顶
点最少的棱台是三棱台,有3条侧棱.
7.一个正三棱柱的每一条棱长都是 ,则经过底面一边和相对侧棱的不在该底面上的端
点的截面面积为_ _____.
【解析】正三棱柱中,是满足条件的一个截面,易知 ,
,则等腰三角形底边上的高为 ,该截面面
积为 .
8.新情境 金石文化 (全国Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印
信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是
“半正多面体”（图6-1.1-5（1））.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的
多面体 .半正多面体体现了数学的对称美.图6-1.1-5（2）是一个棱数为48的半正多面
体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体
共有____个面，其棱长为________.
图6-1.1-5
图D 6-1.1-1
【解析】由题图可知第一层与第三层各有9个面,共18个面,第
二层有8个面,所以该半正多面体共有 个面.如图D
6-1.1-1,设该半正多面体的棱长为,则,延长 与
的延长线交于点,延长交棱长为1的正方体棱于点 ,由
半正多面体的对称性可知, 为等腰直角三角形,所以
,所以
,解得 .
9.正四棱台的高,侧棱,体对角线长分别为7,9,11,求它的斜高.
图D 6-1.1-2
【答案】如图D 6-1.1-2，在中，过点作 于
点，则,, .
故, ,
, .
故 ,
上底边长,下底边长 .
斜高 .
图6-1.1-6
10.新定义 曲率 (2025·山东省青岛市期中)北京大兴国际机场
（图6-1.1-6）的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画
空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲
性，规定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角
之和的差（多面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用弧
度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的
曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在
各顶点的曲率为 ，故其总曲率为 ．
（1）求四棱锥的总曲率；
【答案】因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中四个侧面是三角形，一个底面是四边
形，所以四棱锥的面角之和为 ,
故四棱锥的总曲率 .
（2）若多面体满足：顶点数-棱数面数 ，证明：这类多面体的总曲率是常数．
【答案】设多面体的顶点数为，棱数为，面数为,每个面分别记为
边形，则 ,
所有面角和为 ,
所以多面体的总曲率为 ,
故这类多面体的总曲率是常数.