§1 基本立体图形-1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台 课件(共46张PPT)

(共46张PPT)
第六章 立体几何初步
§1 基本立体图形
1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
必备知识解读
知识点1 球
1 球的相关概念
球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面.
球面所围成的几何体称为球体，简称球.
图形
球心 半圆的圆心称为球心.
半径 连接球心和球面上任意一点的线段称为球的半径.
直径 连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径.
记法 球用表示它球心的字母来表示，如球 .
续表
2 球的性质
（1）球面上所有的点到球心的距离都等于球的半径；
（2）用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，其中过球心的平面截球面
得到的圆的半径最大，等于球的半径.
. .
3 旋转面与旋转体
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋
转面，例如球面.封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体，例如球.
知识剖析 （1）这条定直线称为旋转体的旋转轴.
（2）平面图形绕定直线旋转形成旋转体，这条定直线可以是平面图形的边所在
的直线，也可以不是，但定直线一定与平面图形在同一个平面内.
（3）旋转体是封闭的几何体，包括几何体的表面及其内部的所有点；旋转面是
由点构成的曲面，它没有厚度.
学思用·典例详解
【想一想丨触类旁通】
试用集合语言描述球面与球的定义.
提示 球面={空间中的点点到定点（球心）的距离定值（半径） ,
球={空间中的点点到定点（球心）的距离 定值（半径） .
例1-1 [多选题]下列说法正确的是( )
AD
A.空间中到定点的距离等于定长的点构成球面
B.封闭的旋转面就是旋转体
C.用平面截球,随着角度不同,截面可能不是圆面
D.球面可以看成一个圆绕着它的直径所在的直线旋转 所形成的曲面
【解析】空间中到定点的距离等于定长的点构成球面，并且这个距离就是球的半径
的长度,故A正确.
由旋转体的概念可知B不正确.
用平面截球,不管角度如何,截面都是圆面,故C错误.
由球面的概念可知，D正确.
点评 由D选项可知，一个旋转体或旋转面可以由多种不同途径旋转而成.
知识点2 圆柱、圆锥、圆台
1 圆柱、圆锥、圆台的相关概念
圆柱 圆锥 圆台
概念 以矩形的一边 所 在的直线为旋转轴， 其余各边旋转一周而 形成的面所围成的几 何体称为圆柱. 以直角三角形的一条直 角边 所在的直线为旋 转轴，其余各边旋转一 周而形成的面所围成的 几何体称为圆锥. 以直角梯形垂直于底边的
腰 所在的直线为旋转
轴，其余各边旋转一周而
形成的面所围成的几何体
称为圆台.
. .
. .
. .
圆柱 圆锥 圆台
图形
记法 用表示它的旋转轴的字母来表示. 圆柱 圆锥 圆台
高 在旋转轴上的这条边的长度称为它们的高. 底面 垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为它们的底面. 侧面 不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面称为它们的侧面. 母线 无论转到什么位置，不垂直于旋转轴的边都称为侧面的母线. 续表
2 圆柱、圆锥、圆台的性质
（1）平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆；
（2）过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰
梯形.
特别提醒 （1）圆柱的轴截面图形是一个由上、下底面直径和两条母线组成的矩形，
平行于轴的截面图形是一个由上、下底面的弦和两条母线组成的矩形．
（2）圆锥的轴截面图形是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰分
别是圆锥的两条母线.
（3）圆台的轴截面是一个由上、下底面直径和两条母线组成的等腰梯形.
（4）同棱锥与棱台的关系一样,圆台可认为是用平行于圆锥底面的平面截这个
圆锥而得到,且 .
3 圆柱、圆锥、圆台之间的关系
当底面变化时，圆柱、圆锥、圆台三者之间可以相互转化,如图6-1.3-1所示.
图6-1.3-1
学思用·典例详解
例2-2 [多选题] (2025·辽宁省沈阳市质检)下列说法不正确的是( )
BCD
A.矩形绕任何一条边所在的直线旋转，都可以形成圆柱
B.直角三角形绕一边所在的直线旋转形成的旋转体是圆锥
C.直角梯形绕一腰所在的直线旋转得到的旋转体是圆台
D.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱
【解析】矩形绕任何一条边所在的直线旋转,形成的几何体都是圆柱,故A正确.
直角三角形绕斜边所在的直线旋转（【易错点】此处易习惯性地以直角边所在的直
线为旋转轴）一周形成的旋转体不是圆锥（如图6-1.3-2（1）），故B不正确.
直角梯形绕其垂直于底边的腰所在的直线旋转得到的几何体是圆台，绕另一腰所在
的直线旋转得到的几何体不是圆台，故C不正确．
图6-1.3-2
只有当这两个平行截面与底面平行时，说法才正确,如图6-
1.3-2（2）中截面间的几何体就不是圆柱，故D不正确．
. .
例2-3 [多选题] 下列说法中正确的是( )
CD
A.圆台的截面是圆
B.用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
C.经过圆锥的任意两条母线的截面图形都是等腰三角形
D.圆柱的轴截面是经过母线的截面中面积最大的截面
【解析】平行于圆台的底面的截面才是圆，故A不正确.
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才可得到一个圆锥和一个圆台，故B不正确.
圆锥的所有母线交于顶点，且所有母线长度相等，因此经过圆锥的任意两条母线的
截面图形都是等腰三角形，故C正确.
因为过母线的截面面积等于母线长乘以底面弦长,在底面上，最长的弦为底面直径，
所以圆柱的轴截面是经过母线的截面中面积最大的截面，故D正确.
关键能力构建
题型1 不规则平面图形旋转形成的几何体
图6-1.3-3
例4 (2025·陕西省榆林市绥德中学段考)如图6-1.3-3阴影部分所示
的平面图形，绕中间轴旋转所形成的几何体为( )
C
A.一个球 B.一个圆柱
C.一个球中间挖去一个圆柱 D.一个球中间挖去一个棱柱
思路点拨 确定每部分旋转后的形状，组合后即得到所形成的几何体.
【解析】题图中圆绕中间轴旋转所形成的曲面围成的几何体为球，矩形及其内部绕
中间轴旋转形成圆柱，故得到的几何体为一个球中间挖去一个圆柱.
例5 [教材改编P210练习T3] 如图6-1.3-4，四边形 为直角梯形，试作出绕其各
条边所在的直线旋转所得到的几何体．
图6-1.3-4
【解析】
旋转轴 图示 几何特征
边 所在 直线 一个圆台.
边 所在 直线 由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的组合体.
旋转轴 图示 几何特征
边 所在 直线 由一个圆柱挖去一个同底圆锥而成的组合体.
边 所在 直线 由一个圆台挖去一个同底（上底面）圆锥后和一
个同底（下底面）圆锥拼接而成的组合体.
续表
知识延伸 由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体称为简单组合体.
组合体可以由简单几何体拼接而成,也可以由简单几何体截去或挖去一部分而成.
1.球、圆柱、圆锥、圆台是实际生活中常见的旋转体，在对组合旋转体进行形状描
述时，我们一般将组合旋转体分解为一些常见的简单旋转体．
2.不规则平面图形旋转问题的解法：
【学会了吗丨变式题】
图6-1.3-5
1.如图6-1.3-5所示的平面曲边图形中, ，曲边
为四分之一圆周，且圆心在上.该曲边图形绕 所在的
直线旋转一周，得到的几何体是由哪些简单几何体组成的？
图D 6-1.3-1
【答案】直线段，，及曲线段绕 所
在的直线旋转一周，分别形成圆锥、圆台、圆柱和
半球，如图D 6-1.3-1所示.
题型2 圆柱、圆锥、圆台基本量的计算
例6 轴截面图形为正方形的圆柱叫作等边圆柱.已知某等边圆柱的轴截面面积为
，则该等边圆柱的底面周长为____ .
思路点拨 作出圆柱的轴截面，建立轴截面的边长和圆柱的底面半径之间的关系即
可求解.
图6-1.3-6
【解析】如图6-1.3-6所示，作出等边圆柱的轴截面 ，由题
意知，四边形 为正方形，
设圆柱的底面半径为，则.轴截面 的面积
，解得 .
故该等边圆柱的底面周长 .
图6-1.3-7
例7 [教材改编P210 T5] 如图6-1.3-7，用一个平行于圆锥底面的
平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面半径的比是 ，截去
的圆锥的母线长是 ，则截得的圆台的母线长为______．
图6-1.3-8
【解析】如图6-1.3-8，设截得的圆台的母线长为 ，上、下底
面的半径分别是， ，根据相似三角形的性质得，
，解得 .
故所求圆台的母线长为 .
图6-1.3-9
例8 (2025·山西省太原市期中)从一个底面半径和高都是 的圆柱
中，挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，
得到如图6-1.3-9所示的几何体．如果用一个平行于底面且与圆柱
下底面距离等于 的平面去截此几何体，求所得截面的面积．
思路点拨 圆柱中挖去圆锥后的几何体被平行于底面的平面所截
得的截面是一个圆环面，它由圆柱被截得的圆面去掉圆锥被截得
的同心圆面得到，故先作出轴截面再求解．
【解析】该几何体的轴截面如图6-1.3-10所示，被平行于下底面的平面所截得的圆柱
的截面圆的半径，圆锥的截面圆的半径为 .
图6-1.3-10
， 是等腰直角三角形．
又， ．
.
故所求截面面积 .
圆柱、圆锥、圆台基本量的计算问题的求解策略
1.在求解与圆柱、圆锥、圆台有关的计算问题时，常需将空间问题转化为平面问题，
这时作出轴截面是至关重要的．在轴截面中寻求各个量之间的关系是基本方法．
圆柱 圆锥 圆台
轴截面形状 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形
轴截面中的长 度关系 母线长,高,底面半径,上底面半径,下底面半径
2.用平行于底面的平面去截圆柱、圆锥、圆台时，注意抓住截面的性质（与底面全
等或相似），同时结合旋转体的轴截面（经过旋转轴的截面）的几何性质，利用相
似三角形中的相似比，构造相关几何变量的方程（组）并求解．
【学会了吗丨变式题】
2.一个圆锥的母线长为，母线与旋转轴的夹角为 ，则该圆锥的高为______
.
图D 6-1.3-2
【解析】如图D 6-1.3-2所示，为圆锥的轴截面，则
为等腰三角形,由题意可知， ,
为圆锥的高．
在中， ,
即该圆锥的高为 .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
本节知识是立体几何的基础，突出的是对空间几何体的认识，主要考查空间几何体
的结构特征.一般以选择题的形式出现，难度简单或中等.
核心素养：直观想象（空间几何体的认识）.
考向 几何体的结构特征
例9 [多选题](2023· 新课标Ⅰ卷)下列物体中，能够被整体放入棱长为1单位： 的正
方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有( )
ABD
A.直径为 的球体
B.所有棱长均为 的四面体
C.底面直径为，高为 的圆柱体
D.底面直径为，高为 的圆柱体
【解析】因为球的直径小于正方体的棱长，所以选项A正确；
因为棱长为的正方体中可放入棱长为的正四面体，且 ，所以选项B
正确；
因为正方体的棱长为，体对角线长为，，所以高为 的圆柱体
不可能整体放入正方体容器中，所以选项C不正确；
因为正方体的体对角线长为，而底面直径为的圆柱体，其高 可忽略
不计，故只需把圆柱的底面与正方体的体对角线平行放置，即可以整体放入正方体
容器中，所以选项D正确.
高考新题型专练
1.[多选题] 用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是
( )
ABD
A.长方体 B.圆锥 C.圆台 D.棱锥
【解析】用一个平面截长方体的一个角，截面可以是三角形，所以A正确；
过圆锥的轴的截面是三角形，所以B正确；
用一个平面截圆台，无法得到形状为三角形的截面，所以C不正确；
用一个平面截棱锥的一个角，截面可以是三角形，所以D正确.故选 ．
2.[多选题] (2025·浙江省金华市曙光学校期中)下列说法中正确的是( )
BD
A.圆柱的母线和它的轴可以不平行
B.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
C.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋
转体为圆锥
D.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括一个
圆柱、两个圆锥
【解析】对于A，根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故A错误；
对于B，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故B正确；
对于C，当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故C错误；
图D 6-1.3-3
对于D，图D 6-1.3-3（1）是一个等腰梯形， 为较长的
底边，以 边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一
个组合体，如图D 6-1.3-3（2），包括一个圆柱、两个圆
锥，D正确．故选 ．
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
1.半圆绕着它的直径所在直线旋转一周所得的几何体是( )
A
A.球 B.球面 C.球或球面 D.以上均不对
【解析】半圆绕着它的直径所在直线旋转一周所得到的几何体是球.
2.某一工艺品的形状类似于一种旋转体，它的轴截面是圆，则这个旋转体是( )
C
A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台
【解析】对于A，圆柱的轴截面是矩形，故A不符合题意；
对于B，圆锥的轴截面是一个等腰三角形，故B不符合题意；
对于C，球的轴截面一定是圆，且用任意的平面去截球，得到的截面均为圆，故C符
合题意；
对于D，圆台的轴截面是等腰梯形，故D不符合题意.
图6-1.3-1
3.新情境 乾隆通宝(2025·山东省济南市期中)铜钱又
称方孔钱，是古代钱币最常见的一种.如图6-1.3-1为清
朝时的一枚“乾隆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，
若绕旋转轴（虚线）旋转一周,形成的几何体是( )
B
A.一个球 B.一个球挖去一个圆柱
C.一个圆柱 D.一个球挖去一个正方体
【解析】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球,正方形及其内部旋转一周后所得几
何体为圆柱，故题图中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一
个球挖去一个圆柱.
4.(2025·上海市金山区二模)已知圆锥底面半径为1，高为 ，则过圆锥母线的截面面
积的最大值为____.
【解析】依题意，设圆锥的母线长为 ，
圆锥的底面半径为1，高为 ，
，
设圆锥的轴截面的两母线的夹角为 ，则 ，
图D 6-1.3-1
则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为 ,
， 如图D 6-1.3-1，
故截面的面积为 ，当且仅当
时，等号成立，故截面的面积的最大值为 ．
B 综合练丨高考模拟
图6-1.3-2
5.新情境 碾子 碾子是我国古代用人力或畜力把高粱、谷
子、稻子等谷物脱壳或把谷物碾碎成碴子或粉末的石制
农业生产工具，由碾盘、碾滚、碾柱和碾架等组成
（如图6-1.3-2）．通过碾架把碾滚的轴固定在经过碾盘圆
圆心且垂直于碾盘面的碾柱上，推动碾架，让碾滚绕碾
A
A. B. C. D.
【解析】由题意可知，有，所以，于是 .
柱在碾盘面上转动3周，碾滚恰好自转了8圈，把碾滚看成高为，底面圆的直径为
的圆柱，则与 之比约为 ( )
图6-1.3-3
6.[多选题](2025·北京市中关村中学期中)如图6-1.3-3所示的几何体
是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点
的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，
则截面图形可能是( )
AD
A. B. C. D.
【解析】轴截面的图形是选项A,其他截面的图形如选项D.
7.圆台轴截面的两条对角线互相垂直，且上、下底面半径之比为，高为 ，则
其母线长为____.
20
【解析】已知圆台的上、下底面半径之比为,设圆台的上、下底面半径分别为 ,
，
图D 6-1.3-2
则圆台轴截面是上底为,下底为,高为 的等腰梯形，
如图D 6-1.3-2所示.
又圆台轴截面的两条对角线互相垂直，
所以,解得 ,故圆台的母线长为
.
8.一个圆台的母线长为，两底面面积分别为和 ，求：
（1）圆台的高；
图D 6-1.3-3
【答案】圆台的轴截面是等腰梯形 ，示意图如图D 6-1.3-3
所示，过点作交于点 .由已知可得上底面圆的半径
，下底面圆的半径 ，又母线长
，所以圆台的高
（2）截得此圆台的圆锥的母线长．
图D 6-1.3-3
【答案】如图D 6-1.3-3所示，延长，， 交于一点，设
交点为，则截得此圆台的圆锥的母线长为 .由
可得，即，解得 ，
即截得此圆台的圆锥的母线长为 .