§2 直观图 课件(共42张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共42张PPT)
第六章 立体几何初步
§2 直观图
必备知识解读
知识点1 直观图
1 直观图
概念 把空间图形在平面上反映出来的平面图形叫作空间图形的直观图
作图原理 平行投影
主要特征 具有较强的立体感
表达的位置关系主要为平行和垂直
度量关系主要是长、宽、高
画法 斜二测画法
2 斜二测画法
斜二测画法主要用于画多面体的直观图,它的具体步骤是:
（1）在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴,;再取 轴,使
,且 .
（2）画直观图时,把,,画成对应的,,,使
（或）, 所确定的平面表示水平平面.
（3）已知图形中平行于轴、轴或轴的线段,在直观图中分别画成平行于
轴、轴或 轴的线段.
（4）已知图形中平行于轴和轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于 轴
的线段长度为原来的一半.
（5）擦去辅助线,并将被遮线画成虚线.
知识剖析 1.建坐标系小技巧：利用原图的对称性和垂直关系,尽可能把关键点放在坐
标轴上,或者平行于坐标轴的直线上,尽可能让关键点对称地分布在坐标轴的两侧.
2.记忆口诀：先作轴,后画线；底面先画,再侧面；平行依旧,垂变斜；横
（平行于轴）等、纵（平行于轴）半、竖（平行于 轴）不变；眼见为实,遮虚线；
画出图形更直观.
3.斜二测画法保留了原图形中的三个不变性:（1）平行性不变,即在原图形中互
相平行的线段在直观图中仍然平行;（2）共线性不变，即在原图形中共线的点在直
观图中仍然共线;（3）共点性不变,即在原图形中相交的线段在直观图中仍然相交.
. .
. .
. .
学思用·典例详解
例1-1 [多选题](2025·上海市晋元高级中学月考)以下关于由斜二测画法画出的直观图
的结论中正确的是( )
AD
A.水平放置的角的直观图一定是角
B.相等的角在直观图中仍然相等
C.相等的线段在直观图中仍然相等
D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
【解析】对于A，水平放置的角的直观图仍然是角,只是角度改变了，所以A正
确．对于B，利用斜二测画法画直观图，水平放置的 的角的直观图是 或
的角，所以B错误．对于C，因为平行于轴的线段长度不变，平行于 轴的线段长度
变为原来的一半，所以C错误．对于D，根据斜二测画法知，直观图中平行性不会改
变，所以D正确．
例1-2 已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的
上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为,,,四棱锥的高为 .如果
按 的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的
高应分别为( )
C
A.,,, B.,,,
C.,,, D.,,,
【解析】由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为,,
和 ,再结合直观图的画法，直观图中的长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分
别为,,, .
释疑惑 重难拓展
知识点2 平面图形的面积与其直观图的面积间的关系
图6-2-1
（1）以三角形为例，则有 .如图6-2-1所
示， ,它的直观图的面积
.
,
,
.#1.3
（2）平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系： .
因为平面多边形可分割成若干个三角形，记其面积分别为,, , ，且这若
干个三角形的直观图的面积分别为,, , ,所以
，故 .
即若记一个平面多边形的面积为 ，该平面多边形由斜二测画法得到的直观图
的面积为，则有 .（由于画圆的直观图一般不用斜二测画法，因此圆的
面积及其直观图的面积不满足此关系）#2.2
. .
学思用·典例详解
例2-3 如图6-2-2所示，中,，边上的高 ，则其水平
放置的直观图的面积为___________．
图6-2-2
图6-2-3
【解析】 画轴，轴，两轴交于点，使 .作 的直观图
如图6-2-3所示，则，，故在 中，边
上的高为，所以 ，即
水平放置的直观图的面积为 ．
的面积为 ,由平面图形的面积与其
直观图的面积间的关系,可得水平放置的直观图的面积是 .
关键能力构建
题型1 用斜二测画法画直观图
1 画平面图形的直观图
图6-2-4
例4 用斜二测画法画出如图6-2-4所示的水平放置的 的直观
图．
【解析】（1）在三角形中建立如图6-2-5（1）所示的直角坐标系
，再建立如图6-2-5（2）所示的坐标系 ，使
．
（2）在图6-2-5（1）中作轴于，在坐标系中，沿 轴正方向取
，沿轴负方向取 ．
（3）在坐标系中沿轴正方向画平行于轴，且 ．
图6-2-5
（4）连接, ,去掉辅助线，得到
，即水平放置的平面图形
的直观图,如图6-2-5（3）所示．
例5 画正六边形的直观图.
【解析】（1）如图6-2-6（1），在正六边形中，取所在直线为 轴，对
称轴为轴，两轴相交于点 ．
图6-2-6
（2）如图6-2-6（2），画相应的轴与
轴，两轴相交于点，使 .
以为中心，在轴上取，在
轴上取 .
以点为中点画平行于轴，并且等于，以点为中点画平行于 轴，并
且等于 .
（3）连接,,,，并擦去辅助线，便得到正六边形 水平放置的直
观图A'B'C'D'E'F'，如图6-2-6（3）所示.
画平面图形直观图的关键
1.在已知图形中建立直角坐标系时尽量利用原图形的对称性和图形中的垂直关系.
2.画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以
分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类
是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过作过此点且与轴平行或垂
直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定.
2 画空间几何体的直观图
例6 [教材改编P217 T3]用斜二测画法画一个上底面边长为,下底面边长为 ，
高（两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度）为 的正四棱台.
图6-2-7
【解析】（1）画轴.如图6-2-7（1）所示，画轴、
轴、轴，三轴相交于点，使 ,
.
（2）画下底面.在平面上画边长为 的正方形的
直观图，即平行四边形 .
（3）画上底面.在上截取,过 分别作平
行于轴、轴的轴、轴，在平面 上用
画正四棱台下底面直观图的方法画出正四棱台的边长为 的上底面的直观图，即
平行四边形 .
（4）依次连接,,, ,整理（去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线）得到
正四棱台的直观图，如图6-2-7（2）所示.
例7 一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱
的上底面重合，圆柱的底面直径为,高（两底面圆心连线的长度）为 ，圆锥
的高（顶点与底面圆心连线的长度）为 ,画出此几何体的直观图.
思路点拨 这个几何体是一个简单的组合体，可以先画出下面的圆柱的直观图，再
画出上面的圆锥的直观图.
【解析】（1）画轴.如图6-2-8（1）所示，画轴、轴，使 .
图6-2-8
（2）画圆柱的下底面.在轴上取，两点，使，且 ，选择椭圆
模板中适当的椭圆（我们一般用椭圆作为圆的直观图），且其 过， 两点，使它
为圆柱的下底面.
. .
（3）画圆柱的上底面.在上截取，过点作平行于轴的轴 ，类
似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面.
（4）画圆锥的顶点.在上取点，使 .
（5）成图.连接，，， ，整理（去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线）
得到此几何体的直观图，如图6-2-8（2）所示.
画空间几何体的直观图的一般步骤
（1）画轴：通常以底面上的两条互相垂直的直线为轴、轴，高所在直线为 轴建系；
（2）画底面：根据平面图形的直观图画法画底面的直观图；
（3）确定顶点：利用与轴平行或在 轴上的线段确定有关顶点；
（4）连线成图：画图完成后，擦掉辅助线，看得见的部分用实线，被遮挡的部分用
虚线，就得到了几何体的直观图.
题型2 直观图的还原
图6-2-9
例8 如图6-2-9所示， 是水平放置的平面图形的斜二测直
观图，将其恢复成原图形．
思路点拨 本题是由平面图形的直观图还原成原图形，由于图
中没有给出轴和 轴，所以可在直观图中先画出夹角满足
的轴和 轴，然后按照斜二测画法的画法规则，确定原图．
【解析】画法如下：
（1）在已知图形中画坐标系，且使 ，在轴上，与 重
合，如图6-2-10（1）；
（2）画直角坐标系，在轴上取，即 ，如图6-2-10（2）；
（3）在图6-2-10（1）中，过点作轴，交轴于点 ，在图6-2-10（2）中
轴上取，过点作轴，并使 ；
（4）连接，，则为 原来的图形，如图 6-2-10（2）．
图6-2-10
由直观图还原为平面图形的关键点
（1）直观图中轴与轴的夹角为 （或）,还原为平面图形时,需还原成 .
（2）先找与轴、轴平行的直线或线段，平行于 轴的线段还原时长度不变，平
行于 轴的线段还原时为直观图中相应线段长的2倍.
（3）对于相邻两边不与轴、轴平行的顶点，可过该顶点作轴、 轴的平行线
确定其在直角坐标系 中的位置.
题型3 直观图的有关计算
图6-2-11
例9 (2025·河北省秦皇岛市期中)如图6-2-11所示，正方形
的边长为 ,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图
形的周长是___，原图形的面积是_____ .
图6-2-12
【解析】由直观图还原出平面图形,则平面图形为图6-2-12所示的平
行四边形，其中, ,所以
，所以原图形的周长
,原图形的面积是
.
图6-2-13
例10 如图6-2-13所示，四边形是一个梯形，, 为
的中点，, 为等腰直角三角形，则梯形
水平放置的直观图的面积为_ ___.
思路一
思路二
图6-2-14
【解析】 在原图形中，易知， .由图6-2-
14可知梯形水平放置的直观图仍为梯形，且上底 和下
底 的长度都不变.在直观图中，
,则梯形的高,所以梯形 的面积
.
由于原图形（梯形）的上底长为1，下底长为2，高为1，则其面积
，
故其直观图的面积 .
名师点评
图6-2-15
在斜二测画法中，的度数可以是 ，也可以是 .当 时，
如图 6-2-15所示，同理可求得梯形的高为，于是梯形 的面积
.
直观图相关计算的注意点
（1）直观图中任意一点距轴的距离都为原图形中对应点距轴距离的 倍；
.
由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换.
【学会了吗丨变式题】
图6-2-16
(2025·山东省新泰市第一中学期中)图6-2-16是水平放置的四边
形的直观图,则原四边形 的面积是( )
C
A.14 B.
C.28 D.
思路一
思路二
图D 6-2-1
【解析】 如图D 6-2-1，画平面直角坐标系 ，取
，过点作轴，在上截取 ，
，（原图形中平行于轴（或在 轴上）的线段在
斜二测画法中长度减半）再过点作轴，过点作 轴，
并截取,.连接 ，得直观图A'B'C'D'
的原四边形 .
由作法得 .
因为,所以梯形的高为 ,故
,则 .
. .
. .
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
图6-2-1
1.如图6-2-1所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是
( )
C
A. B. C. D.
【解析】由于直观图中的四边形右边的线段与 轴平行，且上下
两边与 轴平行或重合，所以平面图形中必有四边形右边的线段
与这两条平行的线段垂直，故选项C符合要求．
2.已知边长为1的菱形中， ，则用斜二测画法画出的这个菱形的直观
图的面积为( )
D
A. B. C. D.
图D 6-2-1
【解析】如图D 6-2-1,在菱形中，连接， ,
,则菱形的面积为
，所以用斜
二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为
.
3.(2025·安徽省六安新世纪学校期末)如图6-2-2，矩形 是水平放置的一个平面
图形的直观图，其中， ，则原图形是( )
C
图6-2-3
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.一般的平行四边形
【解析】画出原图形（图略），则在原图形中， ,
， .
，
，故四边形 是菱形．
图6-2-3
4.[多选题](2025·福建省厦门市期末)在如图6-2-3所示的水平放置的三
角形的直观图中，是中边的中点，且 轴，那么
在原平面图形 中 ( )
AC
A.与相等 B.的长度大于 的长度
C.的长度大于的长度 D.的长度大于 的长度
【解析】由直观图易知轴,由斜二测画法知在原图形中有,又为 边
上的中线,所以为等腰三角形,则在线段,,中，,相等且最长, 最短.
图6-2-4
5.如图6-2-4，是水平放置的平面图形 的直观图，
若，，，则原图形 的面积
是_____.
【解析】根据题意，设原图形的面积为 ，其直观图△O
'A'B'的面积为 ，
在中，，， ，则其面积
，
又由，得，即原图形的面积是 ．
6.［教材改编P216 T2］用斜二测画法画出底面边长为，侧棱长为 的正四
棱锥的直观图.
图D 6-2-2
【答案】（1）画轴.如图D 6-2-2（1）所示,画
轴、轴、轴，三轴交于点 ，且
， .
（2）画底面.以点为中心,在 平面内，画
出边长为 的正方形的直观图ABCD.
（3）画四棱锥的顶点.在轴上截取线段, 使 .
（4）成图.连接，，， ，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，即
得正四棱锥的直观图，如图D 6-2-2（2）所示.
B 综合练丨高考模拟
7.(2025·天津市汇文中学月考)如图6-2-5，是水平放置的 的直观图，但
部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点，均在坐标轴上，且 的
面积为12，则 的长度为( )
B
图6-2-5
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】根据题意，设的长度为，又由的坐标为，则 ，故
，
又的面积为12，则有，解得 ．
图D 6-2-3
图6-2-6
8.[多选题](2025·河南省许昌市期末)如图6-2-6所示，一个水
平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形 ，其
中, ,则( )
BD
A.原图形是一个正方形 B.原图形中的长为
C.原图形的周长为 D.原图形的面积为
【解析】还原该平面图形，如图D 6-2-3所示，易知四边形 为直角梯形，且
,,,则,所以四边形 的周
长为，四边形 的面积（也可以先求直观图（等腰梯形）的面积，
再除以，从而得到原图形的面积）为.故选 .
. .
9.若用“斜二测画法”作出边长为2的正三角形的直观图是,则 的
重心到底边 的距离是_ __.
图D 6-2-4
【解析】如图D 6-2-4（1）,取边所在的直线为 轴,过
边的中点且垂直于轴的直线为轴,因为 ,所以
,则在直观图（图D 6-2-4（2））中,
.由点向作垂线,垂足为 ,则在
中,, ,所以 ,又
因为重心到底边的距离是的 ,故所求距离为
.
C 培优练丨能力提升
图6-2-7
10.如图6-2-7，在平面直角坐标系中线段 在直观图上对应的线
段为，若，则与轴的夹角 的正切
值为_ ___.
【解析】设 ,在直观图中，由斜二测画法及余弦定理可得，
，
因为，所以 ，
整理得 ,因为,所以 ，
所以 ，又，所以 .