§3 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件(共127张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共127张PPT)
第六章 立体几何初步
§3 空间点、直线、平面之间的位置关系
必备知识解读
知识点1 空间图形基本位置关系的认识
1 用集合的观点认识点、线、面及其关系
由于直线和平面都是点的集合,因此点与直线的关系、点与平面的关系是元素与
集合的关系,用“ ”或“ ”表示,直线与平面的关系是集合与集合的关系,用“ ”或“ ”
表示.（【注意】与集合中的“ ”“ ”“ ”不同，注意区分）
. .
. .
2 平行关系的定义
（1）直线与平面平行
若直线与平面 无公共点，称直线与平面 平行，记作： .
.
（2）平面与平面平行
若两个平面 和 不相交，则称这两个平面平行，记作:
.
特别提醒 ,当 时,直线和 不一定平行,例如在长方体
中,直线与直线不相交,即 ,但是直线 与直线
不平行.
3 点、直线、平面之间的位置关系
位置关系 符号表示 图形表示
点与线 点在直线 上
点在直线 外 点与面 点在平面 内
点在平面 外 位置关系 符号表示 图形表示
线与面 直线在平面 内
直线与平面 相交
直线与平面 平行
续表
位置关系 符号表示 图形表示
面与 面 平面 与 平行
平面 与 相交
续表
特别提醒 （1）一般地，用大写字母，，， 表示空间中的点，用小写字母 ,
,， 表示直线,用希腊字母 , , ， 表示平面.
（2）用集合语言描述位置关系时，“ , , ”等符号虽然来源于集合符号，但
在读法上却用几何语言.例如， 读作“点在平面 内”； 读作“直线 在
平面 内”；读作“平面 ， 相交于直线 ”.
（3）几何符号的用法原则上与集合符号的用法一致，但个别地方与集合符号略
有差异.例如，不用来表示直线,相交于点,而是简记为 ,这里
的 既可以理解为一个点，又可以理解为只含一个元素（点）的集合.#1.3
学思用·典例详解
图6-3-5
例1-1 图6-3-5为一个三棱柱，看图回答下面的问题:
（1）判断点与直线 的位置关系，并用符号语言表示；
【解析】点在直线外，用符号语言表示为 直线 .
（2）判断点与平面、平面 的位置关系，并用符号语言表示.
【解析】点在平面外，点在平面 内.
用符号语言表示为 平面， 平面 .
图6-3-6
例1-2 在如图6-3-6所示的正方体 中，
（1）与 所在直线平行的面有___个；
2
【解析】与所在直线平行的面有平面和平面 ,共2个；
（2）与 所在直线平行的面有___个；
1
【解析】与所在直线平行的面只有平面 个；
（3）与 所在直线相交的面有___个;
2
【解析】与所在直线相交的面有平面和平面 ，共2个;
（4）与 所在直线相交的面有___个.
6
【解析】与所在直线相交的面有平面、平面、平面 、平面
、平面、平面 ，共6个.
例1-3 如图6-3-7，四棱台是由四棱锥 截得的.
图6-3-7
（1）直接判断平面与平面 的位置关系;
【解析】平面与平面 平行.
（2）直接判断平面与平面 的位置关系.
【解析】平面与平面 相交.
知识点2 四个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论
1 四个基本事实及其表示
基本 事实 自然语言 图形语言 符号语言
基本 事实1 过不在一条直线上的三个 点，有且只有一个平面. 给定三点，，，若
直线 ，则有且只有一个平
面 （或平面 ），使得
， , .
基本 事实2 如果一条直线上的两个点 在一个平面内，那么这条 直线在这个平面内. 若，，且 ，
，则 .
基本 事实 自然语言 图形语言 符号语言
基本 事实3 如果两个不重合的平面有 一个公共点，那么它们有 且只有一条过该点的公共 直线. ,且
，且
，其中 表示一条直线.
基本 事实4 平行于同一条直线的两条 直线互相平行. 给定直线,,,若 ,
，则 .
续表
知识剖析
对四个基本事实的理解
1.“不在一条直线上”“三个点”是基本事实1的重点字眼，如果没有前者，那么只
能说“有一个平面”，但可能不唯一；如果将“三个点”改成“四个点”，那么过四个点不
一定存在一个平面.由此可见，“不在一条直线上的三个点”是确定一个平面的恰到好
处的条件.这里的“有且只有”包括存在性和唯一性两个方面,“有”表示“平面存在”，“只
有”表示平面唯一.
2.从集合的角度看基本事实2，即如果一条直线（集合）上有两个点（元素）属
于一个平面（集合），那么这条直线就是这个平面的真子集.这个结论阐述了两个观
点：一是整条直线在平面内，二是直线上的所有点在平面内.#1.1.1.2
3.基本事实3表达了不重合的平面与平面有两种位置关系：两个平面相交于一条
直线和两个平面平行.事实上，对于不重合的两个平面，如果两个平面有一个公共点，
那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了
它们的交线.
4.基本事实4表述的性质通常叫作空间平行线的传递性，这是对初中所学的平行
线的传递性的推广.
5.若无特殊说明，本书中的两条直线、两个平面均分别指不重合的直线和平面.#1.1.1.5
2 四个基本事实的作用
公理 作用
基本事实1 ①确定平面；②证明点、线共面，所谓点、线共面就是指几个点或几
条直线在同一平面内；③证明两个平面重合.
基本事实2 ①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.
基本事实3 ①判断两个平面相交；②证明三点共线或三线共点.点共线问题就是证
明三个或三个以上的点在同一条直线上；线共点问题就是证明三条或
三条以上的直线交于一点.
基本事实4 判断或证明空间中的两条直线平行.
3 基本事实1，2的三个推论
推论 自然语言 图形语言 符号语言
推论1 一条直线和该直线外一点 确定一个平面. 点与共面于平面 ,
且平面唯一.
推论2 两条相交直线确定一个平 面. 与 共面于平面
，且平面唯一.
推论3 两条平行直线确定一个平 面. 直线 直线, 共面于平
面 ，且平面唯一.
说明 基本事实1及以上推论给出了确定平面的依据.
学思用·典例详解
例2-4 （1）如果一条直线过平面内一点与平面外一点，那么这条直线和这个平面有
____个公共点.
一
【解析】这条直线和这个平面只有一个公共点.假如这条直线和这个平面有两个及以
上公共点，由基本事实2可得，这条直线上所有的点都在这个平面内，与已知矛盾，
这说明直线与这个平面有两个及以上公共点是不可能的，所以这条直线和这个平面
只有一个公共点.
（2）若平面 与平面 相交，则平面 与平面 有______个公共点.
无数
【解析】根据基本事实3，如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，
所有这些公共点的集合是这两个平面的交线，且公共点在这个交线上，故平面 与
平面 有无数个公共点.
例2-5 若直线与平面 相交于点，，，， ，且，则， ，
三点的位置关系是______.
共线
【解析】如图6-3-8，
图6-3-8
因为，所以，确定一个平面，设该平面为 ，则，，均在平面
内，因为点在直线上，所以点在平面 内.又点，，在平面 内，所以平面
， 相交于，，三点所在直线（基本事实3），故，， 三点共线.
例2-6 [教材改编P222 T3][多选题]下列命题是假命题的是( )
ABD
A.空间任意三个点确定一个平面
B.一个点和一条直线确定一个平面
C.两两相交的三条直线确定一个平面或三个平面
D.两两平行的三条直线确定三个平面
【解析】当三个点共线时，可作无数个平面，故A是假命题.
如果这个点在这条直线上，这时有无数个平面，如果这个点不在这条直线上，由推
论1知，有且只有一个平面，故B是假命题.
图6-3-9
三条直线可能交于同一点，如图6-3-9（1）所示，也可能有
三个不同的交点，如图6-3-9（2）所示.对于图6-3-9（1），
由推论2知，可以确定一个或三个平面；对于图6-3-9（2），
由推论2及基本事实1知，可以确定一个平面.所以两两相交
的三条直线确定一个或三个平面，故C是真命题.
两两平行的三条直线可能在同一个平面内,此时确定一个平面，故D是假命题.
知识点3 空间两条直线的位置关系
1 异面直线
不同在任何一个平面内（不共面）的两条直线称为异面直线（异面直线既不相
交也不平行）.即若,是异面直线，则不存在平面 ，使 且 .
. .
2 异面直线的画法
为了表示异面直线, 不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面衬托，如
图6-3-1.
图6-3-1
3 空间两条直线位置关系的分类
（1）从有无公共点的角度分类.
（2）从是否共面的角度分类.
知识剖析 四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形.可知，空间四边形
中，任意两条对边均为异面直线.若不是异面直线，则为共面直线，则,,,
四点共面，与空间四边形的定义相矛盾.
4 异面直线的判定方法
在直线上任取两点,，在直线上任取两点,，若点不在平面 内，则
直线, 是异面直线.
学思用·典例详解
例3-7 [教材改编P226 T2]异面直线是指( )
A
A.不同在任何一个平面内的两条直线
B.平面内的一条直线与平面外的一条直线
C.分别位于两个不同平面内的两条直线
D.空间中两条不相交的直线
【解析】由异面直线定义可知，A正确；在长方体中，直线 在
平面内，直线在平面外，与平行，故B错误；直线 和
分别在平面内和平面内，与 平行，故C错误；
空间中两条不相交的直线可能是异面直线，也可能是平行直线，故D错误.
点评 不能简单地认为异面直线是分别在两个不同平面内的直线.
图6-3-10
例3-8 ［多选题］(2025·江苏省无锡市期中)如图6-3-10所示,长方体
中，下列直线中与 能组成异面直线的是
( )
AD
A. B. C. D.
【解析】因为不在平面内，故与 是异面直线，选A；
因为与 平行，故不选B；
因为与相交于点 ，故不选C；
因为不在平面内，故与 是异面直线，选D.
知识点4 空间等角定理
自然 语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 图形 语言 ___________________________________________________ 相等 ___________________________________________________
互补
符号 语言 在与中，,，则 或 . 知识剖析 （1）空间等角定理是平面几何中等角定理的推广，它表明把空间中的一
个角平移后角的大小不变.
（2）空间等角定理实质上是由如下两个结论合成的：
①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同（或方向都相反），
则这两个角相等；
②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一
组对应边方向相反，则这两个角互补.
（3）由空间等角定理可推得，如果两条相交直线与另两条相交直线对应平行，
那么这两组直线所夹的锐角（或直角）相等.
学思用·典例详解
图6-3-11
例4-9 已知点，分别是正方体的棱，
的中点.求证： .
【解析】如图6-3-11，连接.因为点，分别为， 的中
点,所以 .
所以四边形 为平行四边形.
所以 .
又，所以 .
所以四边形 是平行四边形.
所以.同理可得 .
又的两边与的两边方向相同，所以 .
知识点5 异面直线的夹角
1 异面直线的夹角
如图6-3-2，已知两条异面直线,，过空间任一点作直线, ，这时
，共面，我们把与所成的不大于 的角称为异面直线,的夹角.
也常称为异面直线,所成的角,异面直线夹角的范围是
图6-3-2
. .
知识剖析（1）研究异面直线的夹角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线.这
是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题.
（2）异面直线夹角的大小与所选的点 的位置无关，不过为了方便计算异面直
线夹角的大小，点 常取在异面直线的其中一条直线上，特别是某些特殊的点上.
（3）若直线，直线，则或其补角为异面直线, 的夹角.
. .
2 直线垂直
若两条异面直线,的夹角是直角，则称这两条直线互相垂直，记作： .
两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直.例如，长方体
中，直线与是相交垂直，直线与 是异面垂直.
学思用·典例详解
例5-10 [教材改编P227 B组T1]在正方体 中，求：
（1）异面直线与 的夹角；
【解析】因为 ，
所以就是异面直线与 的夹角.
因为 ,
所以异面直线与的夹角为 .
（2）异面直线与 的夹角.
【解析】如图6-3-12，连接, .
图6-3-12
因为 ,
所以即直线与 的夹角.
又 ，
所以为正三角形，从而 ，
即异面直线与的夹角为 .
释疑惑 重难拓展
知识点6 平面分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢？三个平面呢？
（1）两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分,如图6-3-3（1）;
图6-3-3
②当两个平面相交时，将空间分成四部分,如图6-3
-3（2）.
（2）三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分,如图6-3-4（1）；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分,如图6-3-4
（2）；
③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分,如图6-3-4（3）；
④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部
分,如图6-3-4（4）；
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分,如
图6-3-4（5）.
图6-3-4
学思用·典例详解
例6-11 (2025·广东省广州市期末)空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别
分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是
( )
B
A.25 B.26 C.28 D.30
【解析】先研究直线分一个平面：
1条直线分一个平面为2部分，2条直线最多分一个平面为4部分，
图6-3-13
3条直线最多分一个平面为7部分，如图6-3-13（1）,
4条直线最多分一个平面为11部分，如图6-3-13（2）.
由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，4
个，8个区域，
第4个平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个
平面分成7个区域，
所以4个平面最多可将空间分成 （个）区域，
第5个平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域，
（利用特殊到特殊，通过简单情况的理解，逐步到复杂情况的分析）
所以5个平面最多可将空间分成 （个）区域.
关键能力构建
题型1 点、线共面问题
例12 如图6-3-14，已知直线，，， .求证：直线
，，和 共面．
图6-3-14
【解析】 （辅助平面法）
因为,所以,确定一个平面 .（推论3）
因为,,所以 , .
又,,所以 .
因为,所以 ,所以直线与点同在平面 内.
又,所以直线,确定一个平面 .
因为, ,所以 ,即直线与点同在平面 内.
由推论1，可得平面 和平面 重合，则 .
所以,,, 共面.
. .
（纳入平面法）
因为,所以,确定一个平面 .
因为,,所以 , .
又,,所以 .
则,,都在平面 内,即在, 确定的平面内.
同理可证在, 确定的平面内.
因为过与 只能确定一个平面,
所以,,,共面于, 确定的平面.
证明点、线共面的方法
证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有：
（1）辅助平面法，先证明有关点、线确定平面 ，再证明其余点、线确定平面 ，
最后证明平面 , 重合;
（2）纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内.
【学会了吗丨变式题】
1.如图6-3-15所示，,,,求证:直线,, 在同一平面内.
图6-3-15
【答案】 （纳入平面法） 因为 ，
所以和确定一个平面，设为 .
因为,所以,，又 ,所以 .
同理可证 .
又,,所以 .
所以直线,, 在同一平面内.
（辅助平面法） 因为,所以,确定一个平面，设为 .
因为,所以,确定一个平面,设为 .
因为, ,所以 ，
因为, ,所以 .
同理可证 , , , ,
所以不共线的三个点,,既在平面 内,又在平面 内，
所以由基本事实1可知，平面 和 重合，即直线,, 在同一平面内.
题型2 点共线、线共点问题
例13 如图6-3-16，在正方体中，设与平面交于点 ,求
证：,, 三点共线.
图6-3-16
图6-3-17
【解析】如图6-3-17，连接,,显然 平面, 平
面, 平面 .
同理 平面 .
平面 平面 .
平面, 平面 .
又 平面, 平面 .
点在平面与平面的交线上，即,故, ,
三点共线.
例14 如图6-3-18所示，在四面体中,，分别为，的中点,在上, 在
上,且有.求证:，， 交于一点.
图6-3-18
证明“三条直线,,交于一点”的基本思维为：第一步，说明直线, 交于
一点；第二步，说明直线是分别过直线,的两平面的交线；第三步，说明点 是
两平面的公共点，由基本事实3可知，点在直线上，即,, 交于一点.
证明的关键仍然是寻找两个平面及交线.
显然本题中为平面与平面的交线，而, 分别在这两个平面内，于是，
还需要解决两个问题，问题1，直线, 是否是相交直线，问题2，它们的交点是
否在平面和平面 内.
首先，利用基本事实4的平行传递性证明,平行，得出,,, 四点共面，再说
明,不平行，是相交直线，问题1得到解决，再说明两直线的交点在直线,
上，而两直线分别在平面和平面 内，故问题2得到解决.
【解析】如图6-3-19所示,连接， .
图6-3-19
，分别为，的中点, .
又 ，
，,，，， 四点共面.
又, ,
与不平行,与 相交.
延长，，设交点为,则 平面， 平面，而平面 平面
, .
即，，交于一点 .
证明点共线的方法
证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.此类问题的证明
常用以下两种方法：
（1）先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3
知这些点都在这两个平面的交线上；
（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.
证明三线共点的方法
证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第
三条直线也过该点.常结合基本事实3，证明该点在不重合的两个平面内，即该点在
两个平面的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.
【学会了吗丨变式题】
2.三个平面 ， ， 两两相交于三条直线，即,, ,若直
线和不平行，求证：,, 三条直线必相交于同一点.
【答案】如图D 6-3-1，
图D 6-3-1
,, , .
直线和不平行，, 必相交.
设,则, .
, , , ,又, .
故,, 三条直线必相交于同一点.
题型3 平面的交线问题
图6-3-20
例15 如图6-3-20，，分别是正方体 的棱
，的中点,试画出平面与平面 的交线.
易知点为平面与平面 的一个公共点，本
题难点在于另一个公共点不能在现有的图形中直接找出，因此需
要延长两个平面内的线段，延展平面寻找公共点.
具体作法是分别延长两个平面内一条表示直线的线段，找出它们
的交点，即为两个平面的一个公共点.
观察平面中的直线，直线,与公共点 有关，因此可利
用的直线为和，不难发现，与平面内的直线
可相交，故延长与 即可得到两平面的一个公共点.同理，延
长与 也可得到两平面的公共点.
【解析】如图6-3-21，
图6-3-21
在平面内，与不平行，分别延长与，则与 必相交,设交
点为 .
因为，， 平面， 平面,所以 平面
平面 ，
又 平面 平面 ，
连接，则平面 平面 .
故直线 即所求两平面的交线.
找平面交线的突破口
基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，
只要找出这两个平面的两个公共点，就找到了它们的交线.因此求两个平面的交线的
突破口是找到这两个平面的两个公共点.
题型4 空间点、线、面的位置关系
图6-3-22
例16 [多选题]如图6-3-22所示，在长方体
中,与相交于点 ，则下列说法中正确的是( )
ABC
A.点在直线上，点在直线 外
B.直线与相交，直线与 异面
C.平面与平面 平行
D.直线与平面 相交
【解析】A中，点是直线与的交点，点在直线上，点显然在直线
外，故A正确；
B中，直线与相交于点,直线与 异面，故B正确；
C中，两平面没有公共点，即互相平行，故C正确；
D中，直线与平面 平行，故D错误.
例17 ， 是两个不重合的平面，下列说法中正确的是( )
D
A.若平面 内有两条直线，都与平面 平行，则
B.若平面 内有无数条直线平行于平面 ，则
C.若直线与平面 和平面 都平行，则
D.若平面 内所有的直线都与平面 平行，则
思路点拨 从平面与平面平行的定义，即两平面没有公共点出发进行判断.
图6-3-23
【解析】A，B都不能保证 ， 无公共点，如
图6-3-23（1）所示；
C中当 ， 时， 与 可能相交，如
图6-3-23（2）所示；
只有D能保证 ， 一定无公共点．
例18 在正方体中，，，，分别是棱，，，
的中点.求证：
（1） ;
【解析】如图6-3-24，连接，，在中，因为，分别为， 的中
点，所以且 .
同理可证且 .
在正方体中，，所以四边形 为平行
四边形，则 .
所以 .
（2） .
图6-3-24
【解析】如图6-3-24，取的中点，连接, ，则
,又,
所以 .
所以四边形为平行四边形，所以 .
因为,,且,
所以 ,所以四边形为平行四边形，
所以，所以 .
同理可证 .
因为的两边与 的两边分别对应平行，且方向都相
反，所以 .
（在证明时，也可以通过证明 来实现．由于
，故只需要证明 ，在这些边所在的直角三角形中
利用勾股定理即可证明）
思路点拨 根据平面图形边的中点，应用中位线的性质建立平行关系，进而应用基
本事实4和等角定理证明.
解决空间点、线、面位置关系问题的着眼点
1.证明两直线平行的两种方法：
（1）应用基本事实4，证明过程中要充分应用平面几何知识，如三角形的中位线定
理等；
（2）证明在同一平面内，两直线无公共点.
2.空间中直线与平面有且只有三种位置关系：直线在平面内（有无数个公共点），
直线与平面相交（有且只有一个公共点），直线与平面平行（无公共点）．判断空
间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观判断，然后依据基本事实
给出证明.另外,借助模型（如正方体、长方体）举反例也是解决这类问题的有效方法.
3.两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关
系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转
换成图形语言，借助空间图形进行判断.
题型5 求异面直线的夹角
例19 在空间四边形中，已知，，，分别是， 的中
点，，则异面直线与 夹角的大小为( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图6-3-25，取的中点,连接，， ,
图6-3-25
,,,分别是,的中点， ,
, ,
是异面直线与 的夹角或其补角.
, ,
,
，
异面直线与的夹角为 .
注意两条异面直线夹角的范围是
易错警示 两条异面直线的夹角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形
的内角可能等于两条异面直线的夹角，也可能等于其补角.
. .
例20 (2025·山东省泰安第一中学期中)在正方体中，， 分别是
，的中点，则异面直线与 所成的角的大小为_____．
【解析】 如图6-3-26所示，连接，，并设它们相交于点，取
的中点，连接，，，则， ，（利用中位线作平行线，
将两条异面直线平移到一个三角形中，找异面直线所成的角）
图6-3-26
为异面直线与 所成的角（或其补角）．
（异面直线所成角的范围是 ）
，为的中点， .
故异面直线与所成的角为 .
. .
. .
图6-3-27
如图6-3-27所示，连接，取的中点，连接 ，
则, ,
为异面直线与 所成的角（或其补角）．
连接，设 ，则
, ,
取的中点，连接，，则 ，
，
， .
故异面直线与所成的角为 .
图6-3-28
如图6-3-28，连接，分别取,的中点， ，连
接 .
,分别是, 的中点，
,又, .
连接,,,,则 ,
四边形 为平行四边形，
与必相交，设交点为,则为异面直线与 所成
的角（或其补角）.
设,则,, ,
, .
故异面直线与所成的角为 .
图6-3-29
如图6-3-29，在正方体 的右侧补
上一个与其大小相等的正方体，连接，易得 ，
就是异面直线与 所成的角（或其补角）.
设,则,, ,
， .
故异面直线与所成的角为 .
求两条异面直线的夹角的一般步骤
第一步：作 用平移法作出异面直线的夹角，常用方法为：
1.直接平移法（利用图中已有的平行线）；
2.中位线平移法；
3.补形平移法.
第二步：证 证明平行关系，说明作出的角或其补角就是要求的角.
第三步：算 在构造的三角形中利用勾股定理或余弦定理等，计算所求角度.
第四步：结 论 若所求的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线的夹角；若求出的
角是钝角，则它的补角就是所求角.
【学会了吗丨变式题】
3.(2025·北京市育才学校期中)如图6-3-30，在棱长为2的正方体
中，是底面的中心，,分别是,的中点，则异面直线与 所成的
角的余弦值为_ ___.
图6-3-30
【解析】如图D 6-3-2，取的中点，连接，， .
图D 6-3-2
点是底面的中心，为 的中点，
,，又,，且 ，
四边形 为平行四边形.
，即异面直线与所成的角也就是直线与所成的角，即
（或其补角）.
在中，， ，
，
，即是以 为斜边的直角三角形，
.
故异面直线与所成的角的余弦值为 .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
点、线、面的位置关系是构成立体几何部分的基本内容，四个基本事实是构建立体
几何的基石.本节内容为基础部分，在高考中的体现主要在选择题、填空题部分，以
判定几何体中直线与直线、直线与平面以及平面与平面之间的位置关系的形式出现，
属于基础题.
核心素养：直观想象（根据直观图作出异面直线的夹角），数学运算（由三角形边
长求夹角）.
考向 异面直线的夹角
例21 (全国乙卷)在正方体中，为的中点，则直线与
所成的角为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 如图6-3-31所示，连接,，易知 ，
图6-3-31
所以异面直线与所成的角等于 的大小.（借助“平移”，可将异面直线所
成角等价转化为相交直线的夹角）
设正方体的棱长为1，
则易知,, .
所以，所以，即 .
所以，所以 .
图6-3-32
（【另解】已知三边长，也可用余弦定理求角）
如图6-3-32所示，连接,,, ，易知
，
所以异面直线与所成的角等于 的大小.
根据为正方形的对角线的中点，易知,,
三点共线.
由正方体易知 ，
所以为等边三角形，所以 .
又为 的中点，
所以 .（结合图形，将所求角转化为等
边三角形的某个内角的一半）
命 题 探 源 本题以正方体为载体，考查两条异面直线的夹角，通过平移将空间问题平面
化，体现了对直观想象素养的考查，在三角形中利用边角关系求解则体现了对
数学运算素养的考查.教材第225页【例2】，第227页【习题 】B组第1题
均为此类问题.
变式探源
(全国Ⅱ卷)在长方体中,,,则异面直线 与
所成角的余弦值为( )
C
A. B. C. D.
图6-3-33
【解析】 如图6-3-33,补上一个相同的长方体
，连接, .
易知，则（或其补角）为异面直线与 所成的角.
因为在长方体中，， ，所以
， ，
,所以 ，即
异面直线与所成角的余弦值为 .
图6-3-34
如图6-3-34，连接，交于点，取的中点 ，连
接，，易知为的中点，所以，则
（或其补角）为异面直线与 所成的角.
因为在长方体中，， ，
， ，
，所以 ，
.
所以，即异面直线与 所成角
的余弦值为 .
高考新题型专练
1.[多选题](2025·辽宁省抚顺德才高级中学期中)设表示一个点，， 表示两条直
线， ， 表示两个平面，下列说法正确的是( )
CD
A.若, ，则
B.若， ，则
C.若, ，, ，则
D.若, ， ，则
图 D 6-3-3
【解析】当时,, ,但可能属于 ，也可能
不属于 ，故A错；
当 时，B错；
如图D 6-3-3，,, ,
由直线和直线外一点确定唯一平面 ，
又,由与确定唯一平面 ，但 经过直线和点 ，
与 重合， ，故C正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故D正确．
故选 ．
2.[多选题](2025·江苏省常州高级中学段考)如图6-3-35为一正方体的展开图，则在原
正方体中( )
BCD
图6-3-35
A. B.
C.直线与所成的角为 D.直线与所成的角为
【解析】画出原正方体的示意图，如图D 6-3-4所示，
图 D 6-3-4
由图可知与 不平行，A选项错误；
根据正方体的性质可知，，所以四边形 是平行四边形，所以
，而，所以 ，所以B选项正确；
根据正方体的性质可知，三角形是等边三角形，直线与所成的角为 ，
所以直线与所成的角为 ，C选项正确；
根据正方体的性质可知，三角形是等边三角形，直线与所成的角为 ，
所以直线与所成的角为 ，D选项正确．故选 ．
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建设时间:15 分钟
图6-3-1
1.(2025·湖北省广水市第一高级中学月考)如图6-3-1, ,
, ,, ,则平面与平面 的交线是
( )
D
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
【解析】 ,, , .又 平面，故直线
为平面与平面 的交线.
图6-3-2
2.如图6-3-2，在正方体中，，分别为， 的
中点，则下列直线中与直线 相交的是( )
D
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
【解析】根据异面直线的概念可知直线,,都和直线 为
异面直线.因为直线和 在同一平面内，且这两条直线不平行,所
以直线和直线 相交.
图6-3-3
3.(2023·上海春季)如图6-3-3，在正方体中，
是上的动点，则下列直线中，始终与直线 异面的是
( )
B
A. B. C. D.
【解析】对于A，如图D 6-3-1（1），当点为 的中点时，（【解题关键】找出
易证明两直线不异面的特殊位置的点）连接,,则在上， 平面
，又 平面，所以与 共面，故A不正确；
图D 6-3-1
对于B，如图D 6-3-1（2），连接,易知 平面
， 平面，且 平面
,不在上,所以与 为异面直线，故
B正确；
当点与点重合时，连接, （图略），由正方
体的性质，易知，与 相交，故C,D不正
确.故选B．
4.数学文化 九章算术(2025·浙江省卓越联盟段考)刍甍是中国古代算术中的一种几何
形体，《九章算术》中记载“刍甍者，下有褒有广，而上有褒无广”，意思为“底面有
长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱”.刍甍字面意思为茅草屋顶，如图6-3-4
的五面体可视为一刍甍，其中为矩形，和 都是等腰三角形，
，，若，且 ，则异面直线
与 所成角的大小为( )
C
图6-3-4
A. B. C. D.
【解析】如图D 6-3-2所示，作，交于点，则异面直线与 所成角即
为 .
图D 6-3-2
设，则，， ，所以
，故为等边三角形，故 ，故选C.
图6-3-5
5.[教材改编P265 T7][多选题]如图6-3-5是正方体的展开图，则
在这个正方体中，下列命题正确的是( )
CD
A.与平行 B.与 是异面直线
C.与是异面直线 D.与 是异面直线
图D 6-3-3
【解析】把正方体的平面展开图还原,如图D 6-3-3，由正方体的
结构特征可知，与 异面，故A错误；
BM与 平行，故B错误；
平面， 平面， 平面， ，
故与 是异面直线，故C正确；
平面， 平面， 平面， ，
故与 是异面直线，故D正确．
6.已知，，若 ，则 等于____________.
或
【解析】由空间等角定理（此时有两种情况，切勿遗漏），可知与 相等
或互补，故 或 .
. .
7.在空间四边形中,，，分别是,的中点,若异面直线 与
互相垂直,则 ____.
图D 6-3-4
【解析】如图D 6-3-4,连接,,取的中点,连接，,
在空间四边形中,，，分别是, 的中点,
,,且 .
异面直线与 互相垂直,
,
.
图6-3-6
8.如图6-3-6，在正方体 中，
（1）求直线与 夹角的大小；
【答案】在正方体中,因为 ,所以
是异面直线与 的夹角.
又 ,所以异面直线与的夹角是 .
（2）作出异面直线与 的夹角；
【答案】如图D 6-3-5，连接,交于点，则是的中点，取的中点 ,连
接,则,所以是异面直线与的夹角（可知 ）.
图D 6-3-5
（3）作出异面直线与 的夹角，并求出该角的正切值.
【答案】因为,所以是异面直线与 的夹角.
因为 ，
所以异面直线与的夹角的正切值为 .
B 综合练丨高考模拟
建设时间:25 分钟
9.图6-3-7所示的是所有棱长都相等的正三棱锥的平面展开图（D,分别为, 的中
点），则在正三棱锥中，下列说法正确的是( )
A
图6-3-7
A.直线与直线相交成 角 B.直线与直线 相交
C.直线与直线异面 D.直线与直线 平行
【解析】将题中的平面展开图还原成正三棱锥，如图 所示，点与点
重合，易知在中，，是等边三角形，故 ，
即直线与相交成 角．由图易知（与异面，与平行；与 异
面）其余选项均错误.
图D 6-3-6
. .
10.(2025·江苏省南京市第一中学期末)直四棱柱 的底面是边长为
的正方形，侧棱，,分别是,的中点，则过点,, 的平面截
直四棱柱 ，所得截面的面积为( )
D
A. B. C. D.
图D 6-3-7
【解析】如图D 6-3-7，设直线分别交,的延长线于点, ，
连接，交于点，连接，交于点，连接, ，
所以过点,,的平面截直四棱柱 的截面为五
边形 .
由平行线分线段成比例可知， ，故
，
故,为等腰直角三角形，所以 ，
故，则， .
连接，易知 ，
所以五边形可以分成等边三角形和等腰梯形 两部分，
等腰梯形的高 ，
则等腰梯形的面积为 .
又 ，
所以五边形的面积为 .
图6-3-8
11.新定义 两点可视(2025·河北省邢台市第一中学月考)如图6-
3-8，正方体中，,,,,分别为线段 ,
,,,的中点，连接,，对空间任意两点, ，
若线段与线段不相交或与线段不相交，则称, 两
点可视，下列选项中与点 不可视的为( )
B
A.点 B.点 C.点 D.点
【解析】对于A，如图D 6-3-8,连接,,，因为,, 平面，
平面，且，所以直线与是异面直线，所以点与点 可视，
故A错误；
图D 6-3-8
图D 6-3-9
对于B，如图D 6-3-9，连接,,，得, 平面，且与
相交.连接,,，因为，，所以四边形 是平行四边
形，得与相交，所以点与点 不可视，故B正确；
图D 6-3-10
对于C，如图D 6-3-10，连接,，，因为,,
平面， 平面，且，所以直线 与
是异面直线，所以点与点 可视，故C错误；
图D 6-3-11
对于D，如图D 6-3-11，连接，,因为,, 平面
， 平面，且，所以直线与 是
异面直线，所以点与点 可视，故D错误.
12.[多选题](2025·贵州省六盘水市期中)如图6-3-9所示，在四面体中，， ，
，，分别是，，，， 的中点，则下列说法正确的是( )
ABC
图6-3-9
A.，，，四点共面 B.
C. D.四边形 为矩形
【解析】由条件易知，，， ，对于A，有
，所以，，， 四点共面（推论3），故A正确；对于B,根 据空间等角
定理，得，故B正确；对于C，由空间等角定理知 ,
，则，故C正确．没有充分理由推证四边形 为
矩形，故选 ．
. .
. .
13.在长方体中，底面是正方形，，，，，
分别是，，，的中点，则异面直线与 的夹角的余弦值为_ ___.
图D 6-3-12
【解析】如图D 6-3-12,在长方体中，取 的
中点，连接, ,
因为,,,分别是,,, 的中点，由长方体的性质可知
,
所以（或其补角）为异面直线与 的夹角.
设正方形的边长为，因为,所以 ,
,
, ,
在 中，由余弦定理得
（异面直线
夹角范围为（0，,所以其余弦值一定为正）,所以异面直线 与
的夹角的余弦值为 .
. .
. .
14.如图6-3-10，已知正方体中，，分别是， 的中点，
且， ．
图6-3-10
（1）求证：，，， 四点共面.
【答案】连接， 正方体中，，分别是， 的
中点，，故，，， 四点共面．
（2）若交平面于点，求证：，， 三点共线．
【答案】在正方体中，连接 ，
， 平面 ．
又， 平面，即是平面与平面 的公共点，
同理，也是平面与平面 的公共点．
平面 平面 ．
又 平面 ，
, 平面, 平面 .
故，即，， 三点共线．
C 培优练丨能力提升
图6-3-11
15.如图6-3-11，正方体的棱长为1，为 的中
点，为线段上的动点，过点，， 的平面截该正方体所得
的截面记为 .则下列说法正确的是__________（写出所有正确说
法的编号）.
①②③⑤
①当时， 为四边形；
②当时， 为等腰梯形；
③当时，与的交点满足 ；
④当时， 为六边形；
⑤当时，的面积为 .
图D 6-3-13
【解析】连接, .对于①，当
时，如图D 6-3-13（1）.
在平面内，过点作 ，交
于点,连接 ,
则是四边形 .
对于②，当时，如图D 6-3-13（2）.连接,, ,
显然,则 是等腰梯形.
对于③，当 时，如图D 6-3-13（3）.
过点作交线段的延长线于点，则 .
过点作交线段的延长线于点,则, .
连接交于点，易知 ,
则,故 .
对于④，当时，由③易知 为五边形.
对于⑤，当 时，如图D 6-3-13（4）.
同③可过点作交线段的延长线于点,交于点,显然点 为线段
的中点，所以为菱形,易得其面积为 .
综上，正确说法的编号是①②③⑤.