§4 平行关系-4.1 直线与平面平行 课件(共68张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共68张PPT)
第六章 立体几何初步
§4 平行关系
4.1 直线与平面平行
必备知识解读
知识点1 直线与平面平行的性质定理
1 直线与平面平行的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平 面与此平面相交，那么该直线与交线平行. // , ,
，
则 .
知识剖析 （1）线面平行的性质定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.“线线平行”
是“线面平行”的必要条件.
（2）线面平行的性质定理中有三个条件： , , .这三个条件缺一
不可.
（3）当 时，过的任意一个平面与 的交线都与平行，即可以与 内的无
数条直线平行，但不是任意一条.平面 内凡是不与平行的直线，都与 异面.
. .
. .
2 直线与平面平行的性质定理的作用
（1）作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平
行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两
条直线平行.
（2）作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，
要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相
交，交线就是所要画的直线.
（3）作为画两个平面交线的依据.如果直线与平面 平行,点在平面 内,过
点作直线的平行线,则就是平面与平面 的交线.
. .
学思用·典例详解
例1-1 如果直线平行于平面 ，则( )
B
A.平面 内有且只有一条直线与 平行
B.平面 内有无数条直线与 平行
C.平面 内不存在与 垂直的直线
D.平面 内有且只有一条与 垂直的直线
【解析】过直线可作无数个平面与 相交，由线面平行的性质定理可知，这些交
线都与平行，所以在平面 内与直线 平行的直线有无数条，故A不正确，B正
确．平面 内存在与 异面垂直的直线，且有无数条，故C，D不正确．
例1-2 [教材改编P229 T3]直线平面 ， 内有有限条直线相交于一点，则这有
限条直线中与直线 平行的直线有( )
C
A.0条 B.1条 C.0条或1条 D.无数条
【解析】过直线和有限条直线的交点作平面 ，设平面 与 交于直线 ，则
.若所给直线中有1条直线是与重合的，则此直线与直线平行；若没有与 重合
的直线，则与直线 平行的直线有0条．
知识点2 直线与平面平行的判定定理
1 直线与平面平行的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平 行，那么该直线与此平面平行. ，
，且
.
知识剖析 （1）线面平行的判定定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.“线线平行”
是“线面平行”的充分条件.
（2）线面平行的判定定理中有三个条件： ， ， .这三个条件缺
一不可.
（3）要证明平面外的一条直线与此平面平行，关键是在此平面内找到一条直线
与已知直线平行.通过直线间的平行，可以推证直线与平面平行，这是处理空间位置
关系的一种常用方法，即把空间问题转化为平面问题.
（4）判定定理给我们提供了一种画线面平行的方法：通常把表示直线的线段画
在表示平面的平行四边形外，并且使它与平行四边形内的一条线段平行或与平行四
边形的一条边平行.#1.4
. .
2 直线与平面平行的性质与判定的理解与应用
上述性质定理和判定定理可简要概括如下：
在以上关系中，第一条“线”都是指平面外的直线，“线线平行”中第二条“线”在不
同方向中意义有所不同：在性质定理中是指过平面外直线的平面（不止一个）与已
知平面的交线（不止一条），应用时应根据问题需要特指某直线；在判定定理中是
指已知平面内与已知直线平行的直线（不止一条），应用时只需要找到其中一条就
可以，可以借助平面几何知识寻找.
学思用·典例详解
例2-3 能保证直线与平面 平行的条件是( )
D
A. ,
B. , ,,
C. ,,,,,且
D. , ,
【解析】A错误,若 ,,则 或 ；B错误,若 , ， ,
，则 或 ;C错误,若满足此条件,则 或 或与 相交;D正
确, , , 恰好是判定定理所具备的不可缺少的三个条件.
图6-4.1-1
例2-4 [教材改编P231例4]在正方体中， 为
的中点，则下列直线中与平面 平行的是( )
B
A. B. C. D.
【解析】如图6-4.1-1所示，连接,,设,则 是
的中点，连接.在正方体中，为 的
中点， .
又 平面, 平面 ,
平面 .
关键能力构建
题型1 直线与平面平行的判定定理
1 中位线模型
母题 致经典·母题探究
图6-4.1-2
例5 （新课标全国卷Ⅱ节选）如图6-4.1-2，直三棱柱
中，是的中点.证明:平面 .
（【学审题】要证平面，需在平面内找到与
平行的直线,利用直线与平面平行的判定定理证明）
. .
【解析】如图6-4.1-3,连接,交于点，则为 的中点.
图6-4.1-3
又是的中点，连接，则为的中位线// .
因为 平面， 平面 ，
所以平面 （线面平行的判定定理）.
. .
. .
子题
如图6-4.1-4所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，为 的中点，
，求证：平面 ．
图6-4.1-4
证什么 平面
用什么 线面平行判定定理
差什么 平面内与 平行的直线
怎么找 作一个过且与平面相交的平面,故构造辅助平面,连接交
于点,连接交于点,则直线 就是要找的直线
怎么证 在中用中位线性质证明
图6-4.1-5
【解析】如图6-4.1-5，连接，交于点，取的中点 ，连
接,，交于点，连接 ．
在中，,分别为, 的中点，
则 ．
在中，，且为 的中点，
则为 的中点.
在中，,分别为, 的中点，
则 ．
又 平面， 平面 ,
所以平面 ．
素养聚焦 从母题和子题中可以看出，解决中位线模型的线面平行判定问题时，可以
尝试将中点（三等分点本身也提供了中点）放在一个三角形中进行探讨，寻找中位
线，进而证明线线平行、线面平行.
【学会了吗丨变式题】
1.在三棱锥中,是的重心,是线段上的点,且 ,求证：
平面 .
【答案】连接并延长,交于点,连接 ,如图D 6-4.1-1.
因为是的重心,所以,所以,所以 .
因为 平面, 平面,所以平面 .
图 D 6-4.1-1
2 平行四边形模型
母题 致经典·母题探究
例6 (全国Ⅲ卷节选)如图6-4.1-6，四棱锥中，,,,
为线段上一点，,为的中点.证明:平面 .
图6-4.1-6
图6-4.1-7
【解析】由已知得， .
如图6-4.1-7,取的中点,连接,,由为 的中点知
, .
又,故 ,
所以四边形为平行四边形,故 .
因为 平面,平面 ,
所以平面 .
名师点评 相比于中位线模型，本题中更容易得到平行四边形的结构特征，因此可尝
试构造平行四边形寻找线线平行的条件,进而证明线面平行.
子题
已知公共边为的两个全等的矩形和不在同一平面内，， 分别是对
角线，上的点，且，如图6-4.1-8所示．求证：平面 .
图6-4.1-8
图6-4.1-9
【解析】作交于点，作交于点 ，连接
，如图6-4.1-9，
则，, .
，， .
又， ，
四边形是平行四边形， .
又 平面， 平面 ，
平面 .
名师点评 事实上，本题还可以利用三角形相似进行证明.连接并延长与 的延长
线交于点，连接,则,可得,则.因为 平面
, 平面,故平面 .
使用直线与平面平行的判定定理时，关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直
线，一般遵循“先找后作”的原则，即现有的平面中没有出现与已知直线平行的直线
时，我们再考虑添加辅助线.具体操作中，我们可以利用几何体的特征，合理利用中
位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行.
【学会了吗丨变式题】
2.(2024·北京节选)如图6-4.1-10，在四棱锥中，， ，
，点在上，且，为线段的中点.求证：平面 ．
图6-4.1-10
图D 6-4.1-2
【答案】取的中点，连接, ，
如图D 6-4.1-2，则, ，
而,，故,且 ，
故四边形为平行四边形，故 ，
又 平面， 平面，所以平面 .
题型2 线面平行性质定理的应用
例7 (2025·山东师范大学附属中学段考)如图6-4.1-11所示，已知是平行四边形
所在平面外一点，是的中点，在上任取一点，过点和作平面 交平
面于,求证： .
图6-4.1-11
证什么
有什么用什么 是两平面的交线,可以用线面平行的性质定理证明
差什么 证明平行于所在的平面
怎么证 构造中位线模型证明
【解析】如图6-4.1-12所示，连接交于点，连接 .
图6-4.1-12
四边形为平行四边形， 点是 的中点.
又是的中点， .
平面， 平面，平面 .
平面 平面， .
应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得
交线与已知直线平行．还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的
位置关系，即在已知平面内，所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交
线相交的直线都与已知直线异面.
【学会了吗丨变式题】
图6-4.1-13
3.如图6-4.1-13所示，四边形所在平面为三棱锥 的
一个截面，四边形 为平行四边形.
（1）求证：平面 ；
【答案】 四边形为平行四边形， .
平面， 平面，平面 .
平面，平面 平面, .
平面， 平面,平面 .
（2）若,，求四边形 周长的取值范围.
【答案】同（1）可证,设, ,
,,, ，
，
又,,,,且 ,
四边形的周长为 ,
.
故四边形周长的取值范围是 .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
平行关系是空间位置关系的一类重要关系,线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和
纽带.高考对线面平行的判定考查频率较高,在新高考中作为多选题进行考查的可能性
也比较大.
核心素养：直观想象（观察空间几何体的直观图得出线面的平行关系），逻辑推理
（判定定理、性质定理的应用）.
考向1 线面平行的性质定理
图6-4.1-14
例8 (北京高考题节选)如图6-4.1-14所示，已知正方体
，点为的中点，直线交平面 于
点.求证：点为 的中点.
【解析】因为 是正方体，
所以 ，
又 平面, 平面 ,
所以平面 .
连接,因为 平面，平面 平面 ，
所以，所以 .
又点为的中点，所以点为 的中点.
考向2 线面平行的判定定理
例9 (2024·天津节选)如图6-4.1-15，已知四棱柱中,底面 为梯
形,，是的中点，是的中点，求证：平面 .
图6-4.1-15
图6-4.1-16
【解析】取的中点,连接, ,如图6-4.1-16.
由是的中点,得，且 .
由是的中点，得，且 ，则
,且 .
故四边形是平行四边形，故 .
又 平面, 平面 ,
所以平面 .
高考新题型专练
图6-4.1-17
1.[多选题](2025·河南省新乡市期中)如图6-4.1-17，在正方体
中，，，分别是棱，， 的中
点，则( )
AB
A.点在平面内 B.平面
C.点在平面内 D.点在平面 内
【解析】如图D 6-4.1-3，
图D 6-4.1-3
连接，，分别是棱，的中点，，若平面 ，
则 平面或平面 ，
这与 平面 矛盾，故D错误；
连接，由题意可知，，则， 平面 ，又
平面，平面 ，故B正确；
由 平面，平面 ，
可得点不在平面内，点在平面 内，故C错误，A正确．
故选 ．
2.[多选题](2025·安徽省六安市独山中学月考)在下列四个正方体中，, 为正方体的
两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面
平行的是( )
BCD
A. B. C. D.
图D 6-4.1-4
【解析】对于选项A,设正方体的底面对角线的交点为 ,
如图D 6-4.1-4（1）所示，连接，则 ，因为
与平面有交点，所以与平面 有交点，
即与平面 不平行.
对于选项B，如图D 6-4.1-4（2）所示，连接 ，因为
，,分别是所在棱的中点，所以 ，
所以，又 平面， 平面 ，
所以平面 .
同理C选项中有，D选项中有 ,均有
平面 .
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.已知直线平面 ， ，那么过点且平行于直线 的直线( )
D
A.有无数条，不一定在平面 内 B.只有一条，不在平面 内
C.有无数条，一定在平面 内 D.只有一条，且在平面 内
【解析】过点作与直线 平行的直线有且只有一条，由线面平行的性质定理得，该
直线一定在平面 内.
2.(2025·河北省邢台翰林高级中学质检)在棱长为的正方体 中，
，分别是棱，的中点，是棱上一点，,过，， 的平面与
棱交于点，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】易知平面，平面 平面， 平面 ，
.
易知,故 .
图6-4.1-1
3.如图6-4.1-1所示，在长方体中，， 分别是
棱和的中点，过的平面分别交和于点 ，
，则与 的位置关系是( )
A
A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面
【解析】,分别是,的中点， .
又 平面， 平面，平面 .
又 平面，平面 平面 ，
.
4.若平面 截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面 平行的棱有
( )
C
A.0条 B.1条 C.2条 D.1条或2条
图 D 6-4.1-1
【解析】如图D 6-4.1-1所示，四边形 为平行四边形，则
.
平面, 平面 ,
平面 平面,平面 平面 ,
.
平面, 平面 ,
平面 .
同理可得平面 .故选C.
图6-4.1-2
5.[多选题](2025·山东省淄博市高青县第一中学开学考试)如图6-
4.1-2所示,为矩形所在平面外一点,矩形对角线交点为,
为 的中点,则下列结论正确的是( )
AB
A. B.平面
C.平面 D.平面
【解析】矩形的对角线与交于点,所以为的中点.在中, 是
的中点,所以是的中位线,故,所以平面 .
因为点在上,所以与平面、平面 均相交.
6.三棱锥中，，过线段的中点作平面与直线，
都平行，且分别交,,于,,，则四边形 的周长为___．
2
【解析】因为平面，平面 平面， 平面 ，所
以，又点为 中点，
所以为三角形的中位线，故 ．
同理，，所以四边形 的周长为2．
图6-4.1-3
7.(2025·北京市房山区月考)如图6-4.1-3，在多面体 中，
四边形和都是直角梯形，， ，
，点为棱上一点，平面与棱交于点 ．
（1）求证：平面 .
【答案】因为，，所以,又 ，
所以四边形为平行四边形，则 ，
又 平面， 平面，所以平面 .
（2）求证： ．
【答案】因为平面， 平面,平面 平面 ，
所以 ．（线面平行的性质定理，由线面平行证线线平行）
8.(2025·河北省衡水市期末)如图6-4.1-4，三棱柱 的所有棱长都为2，
，为中点，为与交点．求证：平面 .
图6-4.1-4
图D 6-4.1-2
【答案】如图D 6-4.1-2，在三棱柱 中，取
中点，连接,，由,分别为和 的中点，
得且 ，（三角形的中位线定理）
由为中点，得且 ，
则且 ，
即四边形 为平行四边形，（构造平行四边形）
于是 ，
又 平面， 平面，所以 平面
.
B 综合练丨高考模拟
建议时间：40分钟
9.有下列四个条件： ， ，； ，； ，
， ； ,是异面直线，， ， ．其中能保证直线
平面 的条件是( )
C
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
【解析】①若 ， ，，则直线平面 ，故符合题意；
②若 ，，则 或直线平面 ，故不符合题意；
③若， ， ，则 或直线平面 ，故不符合题意；
,是异面直线，， ， ，则直线平面 ，故符合题意．综上
所述，符合题意的条件是①④．
图6-4.1-5
10.(2025·浙江省杭州高级中学月考)如图6-4.1-5，已知圆锥的顶
点为，为底面圆的直径，点， 为底面圆周上的点，并将
弧三等分，过作平面 ，使 ，设 与交于点 ，
则 的值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】如图D 6-4.1-3，连接交于点，连接 ，
图D 6-4.1-3
因为 ，平面， 平面，所以 .
连接,,因为为底面圆的直径，点，将弧 三等分，所以
，（圆周角为圆心角的一半）
，
所以且，所以 ，
又，所以 ，
所以，即 ，故选B．
图6-4.1-6
11.[多选题](2025·山东省青州第一中学月考)如图6-4.1-6，在四面
体中，若截面 是正方形，则下列结论中正确的是
( )
ABD
A. B.截面
C. D.异面直线与的夹角为
【解析】, 平面, 平面，平面 .又平面
平面，，从而易知截面 ，B正确；
同理可得，,, ，A正确；
, , 异面直线与的夹角为 ，故D正确;
根据已知条件无法得到， 长度之间的关系,故C不正确.
图6-4.1-7
12.[多选题](2025·四川省德阳市第五中学期末)如图6-4.1-7，在
正方体中，，，分别是，，
的中点， ，则下列说法正确的是
( )
ACD
A.若，则平面
B.若，则平面
C.若，则
D.若，则平面 截正方体所得的截面是五边形
图D 6-4.1-4
【解析】对于A，连接，在正方体中，可知 ，
当时，如图D 6-4.1-4,是的中点，则 ，所
以，由于 平面， 平面 ，
所以平面 ，故A正确.
图D 6-4.1-5
对于B，当时，如图D 6-4.1-5，点与点重合，连接
交于点，连接.若平面，因为 平面
，且平面 平面，则，由于
是的中点，则为 中点，这显然不符合题意，故B错误.
图D 6-4.1-6
对于C，如图D 6-4.1-6，连接,易知,又 ,
所以,因为为的中点，所以为 的中点，故
，故C正确.
对于D，如图D 6-4.1-7，取 ,
. .
图D 6-4.1-7
（延长，，交于点，连接，则可得 ,
即,即.又 ，所
以 ）
取，依次连接,,,,,则五边形
即为平面截正方体所得截面，故D正确．故选 ．
图6-4.1-8
13.如图6-4.1-8所示,在四棱锥中,底面 为平行四边
形,是上一点,当点满足条件:____时,平面 .
图D 6-4.1-8
【答案】是的中点等均可 如图D 6-4.1-8，连接
,与交于点，则为线段,的中点，连接.因为
平面, 平面,平面 平面 ,所以
.又为的中点,所以为的中点,故当为 的中点时,
平面 .
14.(全国Ⅲ卷改编)如图6-4.1-9，矩形所在平面与半圆弧 所在平面相交于
，是上异于,的点.在线段上是否存在点，使得平面 ？说明
理由.
图6-4.1-9
【答案】存在，当为的中点时,平面 .证明如下:
如图D 6-4.1-9，连接，交于点 .
图D 6-4.1-9
因为四边形为矩形,所以为 的中点.
连接（有中点，构造中位线）,因为为的中点,所以 .
又 平面, 平面,所以平面 .
. .
C 培优练丨能力提升
15.(2025·上海市第六十中学月考)如图6-4.1-10，在正方体中， ，
，分别是，， 的中点.
图6-4.1-10
（1）连接,,,求证：平面 ．
【答案】如图D 6-4.1-10（1）所示，连接,与交于点,连接, ,在正方体
中，,是的中点，所以
且 .
因为是的中点，是 的中点，
所以是 的中位线，
所以且,所以 ，
所以是平行四边形，所以 ，
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
（2）过，， 三点的平面截此正方体的截面为一个多边形.
（ⅰ）试画出此截面多边形（保留作图痕迹，不需要写作图步骤）；
【答案】画出的截面多边形 如图D 6-4.1-10（2）所示，
图D 6-4.1-10
（ⅱ）若正方体的棱长为6，求此截面多边形的周长．
图D 6-4.1-10
【答案】如图D 6-4.1-10（2）所示,易知
,所以
，
所以易得, ,所以
, ,所以截面多边形的周长等于
.
易知 ,
,
所以截面多边形的周长等于 .