§4 平行关系-4.2 平面与平面平行 课件(共92张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共92张PPT)
第六章 立体几何初步
§4 平行关系
4.2 平面与平面平行
必备知识解读
知识点1 平面与平面平行的性质定理
1 平面与平面平行的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相 交，那么两条交线平行. ， ，
.
知识剖析 （1）面面平行的性质定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.
（2）面面平行的性质定理中有三个条件： ,, .这三个条
件缺一不可.
（3）平面平面 ,只是平面 与 无公共点,即平面 内的直线与平面
内的直线没有公共点，但直线与 可能平行,也可能异面.
（4）面面平行的性质定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是寻找
或构造与两个平行平面都相交的一个平面，此性质定理可用来证明线线平行.
2 平面与平面平行的其他性质
（1）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
（2）两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
（3）如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行
（面面平行的传递性）.
（4）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
（5）两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
. .
学思用·典例详解
例1-1 若平面平面 ，直线平面 ，点 ,则在平面 内过点 的所有直
线中( )
A
A.不一定存在与平行的直线 B.只有两条与 平行的直线
C.存在无数条与平行的直线 D.存在唯一一条与 平行的直线
【解析】当直线在平面 内且经过点时，可使直线平面 ,但这时在平面 内
过点的所有直线中，不存在与 平行的直线，而在其他情况下，都存在唯一一条与
平行的直线.
例1-2 如图6-4.2-1所示，平面平面 ,直线,夹在 ， 间，且两直线相交
于点,求证： .
图6-4.2-1
图6-4.2-2
【解析】因为与相交于点,所以,,, 四点共面.
如图6-4.2-2所示，连接,.因为 ，且 ， 与平面的交线分别为 ,
,所以 .（面面平行的性质定理）
在平面中， ,
所以 .
. .
知识点2 平面与平面平行的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，那么这两个平面平行. ， ，
, ,
.
知识剖析 （1）面面平行的判定定理可简述为“若线面平行，则面面平行”.该定理把
两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题.
（2）面面平行的判定定理包含三个条件：①平面 内有两条直线, ，②直线
,相交，③直线,都平行于平面 .三个条件缺一不可.
（3）“一个平面内有两条（或无数条）直线平行于另一个平面，则这两个平面
平行”是不正确的，因为两个平面相交时，也可在一个平面内找到无数条与另一平面
平行的直线.
学思用·典例详解
例2-3 [多选题]使平面 与平面 平行的条件（也就是寻找 的充分条件）可以
是( )
BCD
A. 内有无数条直线都与 平行 B. 内的任何直线都与 平行
C.两条相交直线同时与 ， 平行 D.两条异面直线同时与 ， 平行
. .
【解析】当 内有无数条直线与 平行时， 与 可能平行，也可能相交，故A不
满足题意．
假设 , ,且直线， ，当直线，是平面 内任意两条直线时，说
明，可以是 内任意两条相交直线，因为,均平行于 ，所以由面面平行的判
定定理，知 与 平行，故B正确．
两条相交直线同时与 ， 平行，即两条相交直线所在的平面 分别与 ， 平行，
即 ， ，可得 ，故C正确．
两条异面直线同时与 ， 平行，可在空间内除平面 ， 外找一点分别作两异面
直线的平行线,,则与所在平面 满足 ， ，则 ，故D正确.
释疑惑 重难拓展
知识点3 平行关系的相互转化及综合应用
1 证明线线平行的常用方法
（1）利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线.
（2）利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.
（3）利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的
一半.
（4）利用平行线分线段成比例定理.
（5）利用线面平行的性质定理.
（6）利用面面平行的性质定理.
（7）利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是
平行的.
2 证明线面平行的常用方法
（1）利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点.
（2）利用直线与平面平行的判定定理： ,, ,则 .要证明
,必须在平面 内找一条直线，使得 ，从而达到证明的目的，这三个条
件缺一不可.
（3）利用面面平行的性质：若平面平面 ，直线 ，则 .
（4）利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在
排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平
行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视.
3 平面与平面平行的判定方法
（1）根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.
（2）根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交
直线，分别证明它们平行于另一个平面，则这两个平面平行.
（3）根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面
平行.
（4）利用反证法．
4 平行关系的相互转化
学思用·典例详解
例3-4 如图6-4.2-3，在三棱柱中，截面与平面交于直线 ，则
直线与直线 的位置关系为______.
平行
图6-4.2-3
【解析】平面,又 平面，平面 平面 ,
.
例3-5 [多选题]下列命题中正确的是( )
CD
A.若一个平面内有一条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行
B.若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行
C.若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行
D.若一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行
【解析】如图6-4.2-4，长方体中,在上任取一点,过点 作
,交于点,则由直线与平面平行的判定定理知,平行于平面 .用同
样的方法可以在平面内作出无数条直线都与平面平行,但是平面
与平面不平行.所以A，B都不正确 正确，事实上,一个平面内任意一条直线
都平行于另一个平面,则这两个平面必无公共点（要注意“任意一条直线”与“无数条直
线”的区别） 是平面与平面平行的判定定理，正确.
图6-4.2-4
关键能力构建
题型1 面面平行性质定理的应用
图6-4.2-5
例6 如图6-4.2-5所示，在三棱柱中，是 的中
点，是的中点，设平面 平面 ，平面
平面，判断直线, 的位置关系，并证明．
思路点拨 由三棱柱，得平面平面 ，
若第三个平面与它们相交，则两条交线平行，可由此证明此题．
【解析】直线, 的位置关系是平行．证明如下.
连接 .
平面平面，平面 平面，平面 平面
,（三个条件缺一不可）
.（面面平行的性质定理）
同理可证 .
又是的中点，是的中点， .
又， ，
四边形为平行四边形， ，
．
利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤
（1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；
（2）判定这两个平面平行（此条件有时题目会直接给出）；
（3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面内；
（4）由定理得出结论.
【学会了吗丨变式题】
图6-4.2-6
1.(2023· 新课标Ⅰ卷节选)如图6-4.2-6，在正四棱柱
中，，.点,，， 分别
在棱,,,上，,, .证
明： .
图D 6-4.2-1
【答案】如图D 6-4.2-1，作，交于点 ，作
，交于点，连接 .
因为，所以 ，
因为平面平面,且平面 平面
，平面 平面 ,所以
.（面面平行的性质定理）
因为,所以四边形 为平行四边形，
所以,同理可得 .
所以 ,
因为，所以四边形 为平行四边形，
所以,又，所以 .
. .
. .
. .
. .
.
题型2 面面平行的判定及证明
例7 如图6-4.2-7所示，在三棱柱中，点，分别是与 的中
点．求证：平面平面.要证平面平面，只需证平面 内
有两条相交直线平行于平面
图6-4.2-7
. .
【解析】由棱柱的性质知，， .
又，分别为， 的中点，
所以， ，
故四边形为平行四边形， .
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
连接，则， .
因为， ，
所以， .
所以四边形为平行四边形，所以 .
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
由平面，平面 ，
平面， 平面 ，
且 ，（在运用判定定理证明面面平行时，一定要点明两直线相交）得
平面平面 .
. .
运用判定定理证明面面平行时的注意点
要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.
判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作”的原则，即先在一个平
面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.
【学会了吗丨变式题】
图6-4.2-8
2.如图6-4.2-8，在四棱锥中，底面 为平行四边形，
点,,分别在,,上，且 .求
证:平面平面 .
【答案】因为,所以 ,
.
又 平面, 平面,所以平面 .
因为四边形为平行四边形，,所以 .
又 平面, 平面,所以平面 .
又, 平面, ,
所以平面平面 .
题型3 直线、平面平行的综合应用
例8 平面平面 ，点 ，点 ，点 ，点 ，点， 分别在
线段，上，且.求证： ， .
易错点POINT
本题易忽略对, 的位置的讨论致误.
【解析】①如图6-4.2-9，当， 在同一平面内时，
图6-4.2-9
由 ， 平面， 平面，得 .
， ，
又 ， ， .
同理， .
. .
图6-4.2-10
②如图6-4.2-10，当与异面时，过点作,交平面
于,连接,，则平面， 平面
，
又 ，， 四边形 是平行四边形,
．
在上取一点，使，连接,, .
又，， ，
又，， 平面平面 .
平面， .（两平面平行，其中一个平面内的
任意一条直线都平行于另一个平面）
且 ， .
综上， , .
. .
. .
名师点评 线面平行、面面平行的性质定理的应用，往往需要“作”或“找”辅助平面，
但辅助平面不可乱作，要想办法将其与其他已知条件联系起来.如本题中作 的平行
线 后，就与其他条件联系起来了.
图6-4.2-11
例9 如图6-4.2-11所示,正方体 .
（1）求证：平面平面 ；
【解析】因为在正方体中，//
，所以四边形是平行四边形，所以 .
又 平面， 平面,所以平面 .
同理平面 .
又， 平面， 平面 ，
所以平面平面 .
（2）试找出体对角线与平面和平面的交点， ，并证明：
.
图6-4.2-12
【解析】如图6-4.2-12，连接，交于点，连接 ，
与交于点 .
因为 平面，所以点 平面 ，
所以点就是与平面 的交点.
（点在平面内，点又在直线上，所以点 为交点）
连接，交于点，连接，与交于点，则点就是与平面
的交点．
因为平面 平面，平面 平面 ，平面
平面 ，
所以 .（面面平行的性质定理）
在中，是的中点，所以是的中点，即 .
同理可证，所以是的中点，即 ，
所以 .
1.在遇到线面平行问题时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便
运用线面平行的性质．
2.线线平行、线面平行和面面平行可以相互联系、相互转化．在解决立体几何中的
平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．利用转化思想是解决这类问题最有效
的方法．
题型4 平行中的探索性问题
例10 在正方体中,，分别是， 的中点,在该正方体中是
否存在过顶点且与平面 平行的平面？若存在，试作出该平面，并证明你的结论；
若不存在，请说明理由.
图6-4.2-13
【解析】存在.与平面 平行的平面有如图6-4.2-
13所示的三种情况:
下面以图6-4.2-13（1）为例进行证明.
连接, .
易得四边形是平行四边形, .
又 平面， 平面， 平面
.
是的中位线, .
四边形是平行四边形， ，
.
又 平面, 平面， 平面
.
又 平面， 平面，且， 平面平面 .
例11 如图6-4.2-14，在棱长为1的正方体中，点,分别是棱 ，
的中点，是侧面内一点，若平面，则点 的轨迹长度为_ __.
图6-4.2-14
思路点拨 要求点的轨迹长度，需要先探求出点的轨迹，先找出过点 且与平
面平行的平面，再找出该平行平面与侧面的交线，即点 的轨迹.
图6-4.2-15
【解析】如图6-4.2-15所示，分别取，的中点， ，连
接，,,, .
因为,,， 为所在棱的中点，
所以,，所以 ，
又因为 平面, 平面,所以平面 .
因为， ,
所以四边形 为平行四边形，
所以,又 平面, 平面 ,
所以平面 .
又因为,且 平面, 平面，所以平面 平
面 .
因为是侧面内一点,且平面 ，
则点必在线段 上，
因为，所以点的轨迹长度为 .
【学会了吗丨变式题】
图6-4.2-163.
3.(2025·湖北省武汉市常青联合体期末)如图6-4.2-16，在三棱
柱中，，分别为线段， 的中点．
（1）求证：平面 .
【答案】因为在三棱柱中， ,因为
，分别为线段,的中点，所以 ,
所以 ，（平行的传递性）
又 平面， 平面 ，
所以平面 ．
（2）在线段上是否存在一点，使平面平面 ？若存在，请找出点
所在的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，点为 的中点，证明如下：（中点是经常出现的特殊点，可大胆
猜测为中点）
. .
. .
图D 6-4.2-2
如图D 6-4.2-2，为的中点.因为为 的中点，所以
，
因为 平面， 平面，所以 平
面 .
同理可得，平面 .
又，， 平面 ，
所以平面平面 ，
故在线段上存在一点，即的中点，使平面 平
面 ．
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考中一般考查空间中利用线线、线面、面面平行关系的相互转化解决问题，经常
与空间中的垂直关系、空间角问题综合在一起考查，通常在解答题的第一问中以证
明题的形式出现，新高考中作为多选题进行考查的可能性比较大，难度中等.
核心素养:直观想象（观察空间几何体的直观图得出面面的平行关系），逻辑推理
（判定定理、性质定理的应用）.
考向 考查面面平行的性质或判定
例12 (2025·上海节选)如图6-4.2-17，是圆锥的顶点，是底面圆心， 是底面直径，
且．已知是母线的中点，点，在底面圆周上，且弧的长为 ，
．设点在线段上，证明：直线平面 ．
图6-4.2-17
【解析】如图6-4.2-18，连接， ，
图6-4.2-18
因为是母线的中点，是底面圆 的直径，
所以 ，（中位线模型）
又 平面， 平面 ，
所以平面 .（线面平行的判定定理）
因为，所以 ，
因为，所以 ，
连接,因为 ,
所以为等边三角形，所以 .
又，所以 ，
所以四边形是平行四边形，则 .（平行四边形模型）
又 平面， 平面 ，
所以平面 .（线面平行的判定定理）
而，， 平面 ，
所以平面平面 .（面面平行的判定定理）
又 平面，所以平面 ．
（面面平行的性质）
例13 (2025· 全国二卷节选)如图6-4.2-19，在四边形中，,
，为的中点，点在上，，， .将四边形
沿翻折至四边形，使得面与面所成的二面角为 .证
明：平面 .
图6-4.2-19
【解析】 ， 平面， 平面，平面 ，
， 平面， 平面 ，
平面 .
平面， 平面， ，
平面平面 .
平面，平面 .
图6-4.2-20
如图6-4.2-20，延长至点，使得 ，连接
， ，
，，又 ，
四边形是平行四边形，， .
翻折后，， ，
四边形是平行四边形， .
平面， 平面,平面 .
高考新题型专练
图6-4.2-21
1.［教材改编P235 T3］[多选题] (2025·北京市第九中学月考)
如图6-4.2-21是一几何体的平面展开图，其中四边形 为正
方形，，，，分别为，，， 的中点．在此几
何体中，给出下列结论，其中正确的结论是( )
ABC
A.平面平面 B.直线平面
C.直线平面 D.直线平面
图D 6-4.2-3
【解析】作出立体图形如图D 6-4.2-3所示，连接，， ，
四点构成平面 .
对于A，因为，分别是，的中点，所以 ，又
平面， 平面，所以平面 ，
同理平面，又，， 平面
，所以平面平面 ，故选项A正确.
对于B，连接，，，，设的中点为，则也是的中点，连接 ,
所以，又 平面， 平面，所以平面 ，故选项B
正确.
对于C，由A中的分析可知，，所以，因为 平面
， 平面，所以平面 ，故选项C正确.
对于D，根据C中的分析可知，，再结合图形可得， ，则直线
与平面不平行，故选项D错误．故选 ．
图6-4.2-22
2.[多选题] (2025·浙江省杭州市期中)如图6-4.2-22,正方体
中，，分别为，的中点， 是
线段 上的动点（包括端点），下列说法正确的是
( )
ACD
A.对于任意点，与平面 平行
B.存在点，使得与平面 平行
C.存在点，使得直线与直线 平行
D.对于任意点，直线与直线 异面
【解析】对于A选项，如图D 6-4.2-4,连接，，取的中点，连接 ，则
，，则 ，
又，且,,, 平面,, 平
面 ,
则平面平面 ，（面面平行的判定定理的推论）
平面，平面 ，（面面平行的性质）故A正确；
. .
. .
. .
. .
图D 6-4.2-4
图D 6-4.2-5
对于B选项,由A知，平面平面，如图D 6-4.2-5，在平面内经过
的任意直线都平行于平面 ，（面面平行的性质）
由于 平面，则与平面 不平行，故B错误；
对于C选项，由A知，，当位于点时，满足与直线 平行，故C正确；
对于D选项,易知,连接,,则形成平面，且点在平面 外，
所以直线与直线异面，故D正确．故选 ．
. .
. .
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.如果平面平面 ，夹在 和 间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线
的位置关系是( )
D
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行、相交或异面
【解析】如图D 6-4.2-1，在正方体中，平面 平面
，且，且， 且
与 是异面直线，所以两条线段所在直线的位置关系可能是平行、相交或异面．
图D 6-4.2-1
2.若三条直线，，满足，且 ， ， ，则两个平面 ，
的位置关系是( )
C
A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.不能确定
【解析】由题意可知,在平面 内，但不相交，因为，所以所在平面
与平面 有可能平行，也有可能相交.
图6-4.2-1
3.(2025·江西省景德镇一中期末)如图6-4.2-1所示，是三角形
所在平面外一点，平面平面， 分别交线段,, 于
，，，若，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】平面平面，平面与它们的交线分别为 ，
，.同理可得，, ，
.
4.(2025·北京市京源学校期中)已知，是两条不同的直线， ， ， 是三个不同
的平面，则下列说法正确的是( )
D
A.若 ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 ， ，，则 D.若 ， ，则
【解析】由 ， ，可得 或 ， 相交，故A不正确；
由 ， ，可得，或，异面，或， 相交，故B不正确；
由 ， ，，可得 或 ， 相交，故C不正确；
若 ， ，则由面面平行的传递性得 ，故D正确.
图6-4.2-2
5.[多选题](2025·河北省承德市承德县六沟高级中学期中)如图6-
4.2-2，在棱长均相等的四棱锥中， 为底面正方形的
中心，，分别为侧棱， 的中点，则下列结论正确的有
( )
ABC
A. B.平面
C.平面平面 D.
【解析】对于A，连接，则为的中点，又为的中点，所以 ，A正
确；
对于B，连接，则为的中点，又为的中点，所以，又 平
面, 平面,所以由线面平行的判定定理，可得平面 ，B正确；
对于C，因为， 平面, 平面 ,所以由线面平行的判定定
理，可得平面，又由B得平面，，, 平面
，所以平面平面 ，C正确；
对于D，由B知， 平面， 平面，所以平面 ，
在平面中，与相交于点，则与不平行，D错误.故选 .
6.(2025·上海市高境第一中学期中)已知 ，是 ， 外一点，过 点的两条直
线，分别交 于，，交 于，，且，，，则 的
长为_______.
20或4
【解析】由已知 ， 平面， 平面 ，
图D 6-4.2-2
所以 .（面面平行的性质定理）
当平面 ， 在点同侧时，由可知点在面 一侧，（【明易错】
分别讨论两平面在点 的同侧和异侧）
如图D 6-4.2-2（1）所示，可知，且， ，
，则，即 ；
当平面 ， 在点异侧时，如图D 6-4.2-2（2）所示，可知 ，且
，，，则，即 .
综上所述， 或4.
7.(2022·天津节选)如图6-4.2-3，三棱柱中，为中点，为 中
点，为中点.求证：平面 .
图6-4.2-3
图D 6-4.2-3
【答案】 （面面平行） 如图D 6-4.2-3，连接 ，
取的中点，连接， ．
为 中点，
为 的中位线，
，
平面， 平面 ，
平面 ，
,分别为和的中点，为梯形 的中位
线， ，
平面， 平面，平面 ，
, 平面, 平面 ,
平面平面 ，
平面，平面 ．
图D 6-4.2-4
（线面平行） 如图D 6-4.2-4，延长, ，
设延长线交于点，连接 ，
,为中点，为 中点.
为中点， ,
平面， 平面，平面 .
图6-4.2-4
8.如图6-4.2-4，在三棱柱中，，， 分别
为，， 的中点．
（1）求证：平面 .
【答案】因为,分别为,的中点，则 ，又
平面， 平面,所以 平面
.
（2）求证：平面平面 ．
【答案】因为为的中点，为的中点，则， ，所以四
边形是平行四边形，所以 ，
又 平面， 平面,所以平面 ，
又平面，， 平面， 平面 ，
所以平面平面 ．
B 综合练丨高考模拟
建议时间：30分钟
9.已知正方体的棱长为2，为正方形 内的一动点
（包含边界），，分别是棱、棱的中点．若平面，则 的取
值范围是( )
A
A.， B.， C.， D.，
图D 6-4.2-5
【解析】如图D 6-4.2-5,连接， ，则
， 平面，故平面 ，
设为的中点，连接， ，
由于,分别是棱、棱的中点，故 ，且
，
则四边形 为平行四边形，
故 ，
又 平面， 平面,故平面 ，
又，， 平面 ，
故平面平面 ，
由于平面，故 平面 ，
又为正方形内的一动点，且平面 平面 ，
故即为动点 的轨迹，
而，故的取值范围是， ．
图6-4.2-5
10.[多选题]如图6-4.2-5所示,在正方体中，, ,
分别是,, 的中点，则下列结论正确的是( )
AC
A.平面 B.平面
C.平面 D.平面平面
【解析】 在正方体中，，分别是, 的中点，
.连接,, 平面, 平面
,平面 ,故A正确.
连接，,与平面相交，所在直线与平面 相交，
故B错误.
,分别是,的中点， 平面, 平面 ,
平面 ,故C正确.
所在直线与平面相交， 平面与平面 相交，故D错误.
11.如图6-4.2-6，四棱锥的底面是平行四边形，，，
分别是，的中点，平面平面， 平面，与 相交于
点，则 的长度为_ __.
图6-4.2-6
【解析】因为是平行四边形，所以， ．
因为，分别是，的中点，所以 ．
又，，所以，所以 ．
因为平面平面，平面 平面，平面 平面
，所以，所以是 的中点．
因为，所以 ，
所以 .
12.如图6-4.2-7，在长方体中，,,,分别为,,, 的中
点，是的中点，点在四边形内运动，则 满足 ________________ 时，
有平面 ．
图6-4.2-7
在线段 上移动
【解析】连接,当在线段上移动时，有，连接,则，, 平面,, 平面,,, 平面 平面.又 平面，平面 .
13.(2025·广东省广州市期中)如图6-4.2-8所示，在斜三棱柱中，，
分别为， 上的点．
图6-4.2-8
（1）当等于何值时,平面
【答案】如图D 6-4.2-6所示，连接，交于点，连接 .
图D 6-4.2-6
由棱柱的性质知，四边形为平行四边形，为 的中点．
,为平面与平面 的公共点，
平面 平面 ,
又 平面,且平面, .
又在中，为的中点，为 的中点.
故当时，平面 .
（2）若平面平面，求 的值.
【答案】 平面平面 ，
且平面 平面 ，
平面 平面 ，
，同理可得 ，
（由可得）,, ,
又,,即 .
. .
14.如图6-4.2-9（1），在边长为1的等边三角形中，,分别是， 上的点，
，是的中点，与交于点，将沿 折起，得到如图6-4.2-9
（2）所示的三棱锥，其中 .
图6-4.2-9
（1）求证：平面平面 ；
【答案】在等边三角形中， ,
，,， ，
平面, 平面，平面 .
同理可证平面 .
,, 平面 ,
平面平面 .
（2）若,分别为，的中点，为的中点，求异面直线与 的夹角的余弦值.
【答案】连接，则是 的中位线，
, ，
异面直线与的夹角即 .
在中，， ，
, 为直角三角形，
.
又在中，为边上的中线，易求得 ，
在等腰三角形中，易求得 .
故异面直线与的夹角的余弦值为 .
C 培优练丨能力提升
15.如图6-4.2-10，矩形和矩形中，，点，分别位于，
上，且，矩形可沿 任意翻折.
图6-4.2-10
（1）求证：当，，不共线时，总平行于平面 .
图D 6-4.2-7
【答案】在平面图形中，设与交于点 .
由于四边形和四边形都是矩形且 ，从而有
且, 四边形是平行四边形， .
又， 四边形 为平行四边形,
,即, .
矩形沿折叠之后，如图D 6-4.2-7，,, ,
,, 平面,, 平面 ,
平面平面 .
又 平面, 平面 ,
平面 .
故当，，不共线时，线段总平行于平面 .
（2）“不管怎样翻折矩形，总和 平行.”这个结论对吗？如果对，请证明;
如果不对，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立,并给出理由.
【答案】这个结论不对.
要使上述结论成立，，应分别为, 的中点.
由（1）知，平面平面，故要使 总成立，根据面面平行的性质
定理，只要与 共面即可.
连接，若要使与共面，只要与 相交即可.
由 平面, 平面,平面 平面 ,可知若要使
与相交,则交点只能为点,此时为矩形对角线的交点,, 应分别为
, 的中点.
由,可知它们确定一个平面，即，，， 四点共面.
又平面平面,平面 平面，平面 平面
, .