§5 垂直关系-5.1 直线与平面垂直 课件(共103张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共103张PPT)
第六章 立体几何初步
§5 垂直关系
5.1 直线与平面垂直
必备知识解读
知识点1 直线与平面垂直
1 直线与平面垂直的定义
如果直线与平面 内的任何一条直线（“ 任何一条直线”与 “所有直线” 等价，
但与 “无数条直线”不等价）都垂直,那么称直线与平面 垂直,记作 .直线 称为
平面 的垂线,平面 称为直线的垂面，它们唯一的公共点 称为垂足.
. .
2 直线与平面垂直的画法
图6-5.1-1
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四
边形的一边垂直，如图6-5.1-1所示.
发散探讨 在空间中：（1）过一点有几条直线与已知平面垂直？
（2）过一点有几个平面与已知直线垂直？
（1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.证明如下：
设已知点为，已知平面为 ，易知过点有直线与 垂直. 假设过点 可作
, ,则，可确定平面 ，设,则, ,在平面内
过一点 有两条直线与已知直线垂直,这是不可能的.综上,在空间中过一点有且只有一
条直线与已知平面垂直.
（2）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.证明如下：
设已知点为，已知直线为，易知过点有平面与垂直.假设过点 可作平面
，平面.若点不在上，则过点及可确定平面 （若点在 上，
,过与可确定平面）,设,,则, ,在平面内过一
点 有两条直线与已知直线垂直，这是不可能的.综上，在空间中过一点有且只有一
个平面与已知直线垂直.
3 空间中的各种距离
点到直线 的距离 过直线外一点作与直线垂直并相交的垂线,该点与垂足之间线段的长度
即该点到直线的距离.
点到平面 的距离 过平面外一点作平面的垂线，该点与垂足之间线段的长度即该点到平面
的距离.
直线到平 面的距离 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离
就是这条直线到这个平面的距离.
平面到平 面的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距
离都相等，我们把它叫作这两个平行平面间的距离.
说明 线面距与面面距最终都会转化为点到平面的距离.
学思用·典例详解
例1-1 直线 平面 ，直线 ，则与 不可能( )
A
A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直
【解析】假设，由 ， ，得 ，这与已知 矛盾，所以直线
与不可能平行．易得与可能相交，也可能异面，且一定垂直于 .
点评 直线与平面垂直的定义具有判定和性质两重作用：
（1）判定：判定直线与平面垂直.
（2）性质：证明直线与直线垂直,若直线 平面 ，直线 平面 ，则 .
例1-2 下列命题中正确的是( )
B
A.若直线与平面 内的无数条直线垂直，则
B.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内
C.若直线不垂直于平面 ，则 内没有与 垂直的直线
D.若一个平面内的三个不共线的点到另一个平面的距离都相等，则这两个平面平行
图6-5.1-3
【解析】如图6-5.1-3所示，直线与 内的无数条直线垂直，但
与 斜交，故A不正确；（与 平行或在 内时，都可以与
内的无数条直线垂直，同学们可以尝试画出示意图）
由直线与平面垂直的定义知，B正确；同样由图可得,不垂直于 ，
但 内有与 垂直的直线，且这样的直线有无数条，故C不正确；
不共线的三点在另一个平面两侧时，这两个平面不平行，故D不
正确．
知识点2 直线与平面垂直的性质定理
1 直线与平面垂直的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
垂直于同一个平面的两条直线 平行. 直线 平面 ,直线 平面
.
知识剖析 1.线面垂直的性质定理可简记为“若线面垂直，则线线平行”.
2.线面垂直的性质定理的作用：（1）证明线线平行；（2）利用直线与平面垂
直的性质定理可构造平行线，即这些直线都垂直于同一个平面.
2 与线面垂直相关的几个重要结论
（1）垂直于同一条直线的两个平面平行．
（2）如果平面外一条直线垂直于该平面的一条垂线，那么这条直线平行于这个
平面．
（3）如果一条直线和一个平面垂直，那么它与这个平面的平行线垂直．
学思用·典例详解
例2-3 [多选题]在空间中，下列说法正确的有( )
AD
A.平行于同一直线的两直线平行 B.垂直于同一直线的两直线平行
C.平行于同一平面的两直线平行 D.垂直于同一平面的两直线平行
【解析】A是基本事实4，正确；
垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交、异面，B错误；
平行于同一个平面的两条直线可以平行、相交、异面，C错误；
D是线面垂直的性质定理，正确．
知识点3 直线与平面的夹角
1 相关概念
如图6-5.1-2,一条直线与一个平面 相交，但不与这个平面垂直，这条直线称为
这个平面的斜线，斜线与平面的交点称为斜足，过斜线上斜足以外的一点 向平面
作垂线，过垂足和斜足的直线 称为斜线在这个平面上的投影.（有时我们也称
之为射影）
图6-5.1-2
. .
2 直线与平面的夹角
平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面的
夹角.（直线与平面的夹角也常称为直线与平面所成的角）
特别提醒 1.点是斜线上异于斜足的任意一点，点 具有任意性.
2.斜线在平面上的投影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.
. .
. .
3 直线与平面的夹角的范围
直线与平面的夹角 的取值范围是 .
（1）当一条直线垂直于平面时，我们说它们的夹角是直角.
（2）当一条直线与平面平行，或在平面内时，就说它们的夹角是 .
（3）与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面的夹角 的范围是
.
学思用·典例详解
图6-5.1-4
例3-4 [教材改编P240 例2]如图6-5.1-4，在正方体
中，直线与平面 夹角的余弦值是
( )
D
A. B. C. D.
【解析】连接,易知 平面，所以直线 与平
面的夹角为.令,则 ，所以
，
所以 .
点评 求一条直线与平面的夹角，可先作出直线在平面上的投影，从而得到直线与
它在平面上的投影的夹角，即可求解.
知识点4 直线与平面垂直的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 垂直，那么该直线与此平面垂直. ， ，
, ,
.
知识剖析 1.直线与平面垂直的判定定理可简述为“若线线垂直，则线面垂直”.
2.该定理有五个条件： , ,,, ,这五个条件缺一不可.
但对, 在什么位置（过不过交点）、以什么方式（共面或异面）都不作要求，
正是这种不作要求的“宽松”条件，使得证明直线与平面垂直的方法很灵活.
3.“两条相交直线”是定理的关键，应用定理时不能忽略.例如：若一条直线与一
个平面内的两条 不相交的直线都垂直，则该直线与该平面不一定垂直.
学思用·典例详解
图6-5.1-5
例4-5 如图6-5.1-5,已知,分别是平面 的垂线和斜线，，
分别是垂足和斜足，且有直线 ,.求证： .
【解析】由题意可知， , ,
.
又, ,
平面 .
平面, .
点评 本题实际上就是三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜
线的投影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它
也和这条斜线的投影垂直.在客观题中可直接应用.
释疑惑 重难拓展
知识点5 点在平面内投影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点
在平面内的投影位置来确定，（自点向平面 引垂线所得到的垂足叫作点 在平面
上的投影）
因此确定这个点的投影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面
的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行
确定.
1.如果一个角所在平面外一点到角两边的距离相等，那么这一点在平面内的投
影在这个角的平分线上.
2.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹
角相等，那么该斜线在平面内的投影是这个角的平分线所在直线.
. .
3.对于三棱锥 ，有下列结论：
（1）若,则点在平面内的投影为 的外心.
（2）若点到，，边的距离相等，且点的投影在 的内部，则
点在平面内的投影为 的内心.
（3）若,,则点在平面内的投影为 的垂心.
这些结论为确定点、斜线在平面内的投影的位置提供了重要的方法和依据，为
分析问题时的广泛联想提供了有力的支持.
学思用·典例详解
例5-6 [教材改编P248 T5](2025·河南省南阳市方城县第一高级中学期末)已知 是
所在平面外一点，，，两两垂直，且在所在平面内的投影
在内，则一定是 的( )
D
A.内心 B.重心 C.外心 D.垂心
图6-5.1-6
【解析】过点作 平面，垂足为，连接 并延长，
交于，连接并延长，交于 ，如图6-5.1-6，
因为，，故 平面，故 .
因为 平面，故 ，
故 平面 .
故，即.同理 .
故是 的垂心．
点评 若条件改成侧棱与底面所成角相等或 ，则顶点在底面的投影
是底面三角形的外心.
关键能力构建
题型1 线面垂直判定定理的应用
1 基于平面图形本身的垂直关系
已知条件中有一个线面垂直，这个条件往往可以从空间角度来提供一个线线垂直，
因此只需从平面内找出两条直线满足互相垂直的关系，而考题中往往会提供本身具
备直角的图形（如直角三角形、矩形、直角梯形等）.
图6-5.1-7
例7 如图6-5.1-7，已知 底面，其中 .求
证： 平面 .
思路点拨 本题中直接给出直角，据此可得垂直关系.
【解析】 底面， 平面， .
， .
又，且 平面， 平面 ，
平面 .
名师点评 本题中的几何模型是线面垂直中最为核心的模型：鳖臑，即四个面都为直
角三角形的三棱锥.它是各类考试中的热点模型.
2 基于平面图形伴随性质相关的垂直关系
所需要的证明两条相交直线垂直的条件，往往通过各自图形中的基于中点的伴随性
质（等边三角形三线合一、菱形对角线互相垂直等）来提供.
例8 (新课标全国卷Ⅰ节选)如图6-5.1-8,三棱柱中,, ,
.证明: .
图6-5.1-8
图6-5.1-9
【解析】取的中点,连接,, ,
如图6-5.1-9所示.
因为, ,
所以是正三角形,所以 .
因为,所以 .
又,所以 平面 ,
而 平面,所以 .
3 基于平面图形数量关系相关的垂直关系
已知条件中对线面关系的描述不多，但是给出了大量的数据信息，解题的关键是从
这些数据中发现隐含的垂直关系，判断的工具一般是勾股定理的逆定理．
图6-5.1-10
例9 如图6-5.1-10，在四面体中，已知， ，
是线段上一点，，点在线段 上，且
．求证： 平面 ．
【解析】在 中，
,, ，
,
为直角三角形,
.
又,,（等面积） .
, ，
平面 ．
. .
利用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直的步骤
（1）在这个平面内找两条直线，使要证直线和这两条直线垂直；
（2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
（3）根据判定定理得出结论.
【学会了吗丨变式题】
图6-5.1-11
1.(2023·全国甲卷节选)如图6-5.1-11，在三棱柱
中， 平面， ，
，到平面 的距离为1.
证明： .
图D 6-5.1-1
【答案】如图D 6-5.1-1，过作，垂足为 ，
平面， 平面， ，
又 ， ，
, 平面,且 ,
平面 ，
平面, ，
又, 平面，且 ，
平面， .
由已知条件易证 是直角三角形，
又,，为 的中点，
又, ，
又在三棱柱中，， .
题型2 线面垂直的性质定理的应用
例10 (2025·山东省安丘市青云学府开学考试)在正方体中，, 分
别为,上的点,且,,求证： ．
【解析】如图6-5.1-12，连接，,, .
图6-5.1-12
， ，
．
又， ，
平面 ①.
平面， 平面 ，
．
四边形为正方形， .
又 ， 平面 ，
而 平面， ．
同理可证, ，
又， 平面 ②．
由①②可知， ．
直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的又一种方法，从而我们可以
利用中位线定理、平行四边形的性质、基本事实4、线面平行的性质定理及线面垂直
的性质定理证明线线平行.但无论怎样，基本思路还是通过以平面或直线为桥梁，在
“平行”与“垂直”之间进行相互转化.
题型3 直线与平面的夹角
图6-5.1-13
例11 (2025·广东省中山市东升高级中学月考)如图6-5.1-13，已知
在平面 内,是平面 的斜线,且 ,
,.则与平面 的夹角的大小为____.
【解析】, ,
,为正三角形， .
又， 为等腰直角三角形.
,, 为等腰直角三角形.
图6-5.1-14
如图6-5.1-14，取的中点，连接,，则 ,易得
, .（【另解】也可以由
,,得 ）
又, 平面 , 平面 ， 平面 ,
为与平面 的夹角.
在中，, ,
,即与平面 的夹角为 .
求直线与平面的夹角的一般步骤
第一 步：作 在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键.
第二 步：证 证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平
面所成的角的定义.
第三 步：求 一般借助三角形的相关知识求角.
【学会了吗丨变式题】
2.如图6-5.1-15，在直三棱柱中,,,, ,
是线段的中点，是侧棱上的一点，若,则与底面 所成的角
的正切值为__.
图6-5.1-15
图D 6-5.1-2
【解析】如图D 6-5.1-2,取的中点,连接,,则易证
平面, .
又，, 平面, 平面 ,
平面, .
在矩形中，易得 ,
, .
平面,是与底面 所成的角，
在中， .
故与底面所成的角的正切值为 .
题型4 求点到平面的距离
例12 已知在中，,.是 所在平面外一点，
,,点是的中点，则点到平面 的距离为_ __.
已知条件中数据信息较多,不难发现“勾股数”, ,即
,,但这些垂直关系与点 无关.构造中位线,可利用平行性质将这些垂
直条件转移到点 .
图6-5.1-16
【解析】 （直接法） 如图6-5.1-16，连接, ，易知
,.分别取,的中点,,连接,， ,则
,, .
, 平面 ,
.
易证, .
又是的中点， .
, 平面 .
从而的长就是点到平面 的距离.
是 的中点，
在中， ,（直角三角形斜边对应中线长度是斜
边长度的一半）
,
，
即点到平面的距离为 .
. .
图6-5.1-17
（转化法） 如图6-5.1-17，过点作 的平行线，过点
作的平行线，两直线交于点 .
,, 四边形 为正方形.
连接 .
易知,又, ,
平面，.易知，又 ,
,
平面, .
, 平面 .
的长即点到平面的距离.在中，易得 .
点为 的中点,
故点到平面的距离为 .
求点到平面的距离的方法
从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的
距离.求点到平面的距离一般采用以下三种方法：
一是直接作出点到平面的垂线，当该点到已知平面的垂线不易作出时，可转化为过
与已知平面等距离的点作垂线，然后计算；
二是通过补形进行转化，转化为易于求解的点；
三是采用等体积法.（详见6.2节）
【学会了吗丨变式题】
3.(全国Ⅰ卷)如图6-5.1-18，直四棱柱的底面是菱形， ，
， ，，，分别是,， 的中点.
图6-5.1-18
（1）证明：平面 ；
图D 6-5.1-3
【答案】如图D 6-5.1-3，连接,.因为,分别为,
的中点,
所以，且 .
又为的中点，所以 .
由题设知且, 四边形 是平行四边
形，且,故且 ，因此四
边形为平行四边形，所以 .
又 平面，所以平面 .
（2）求点到平面 的距离.
【答案】如图D 6-5.1-3，过作于 .
图D 6-5.1-3
由已知可得，， ,
所以 平面，故 .
又,从而 平面 ，
故的长即到平面 的距离.
由已知可得,,所以 ，
故 .
从而点到平面的距离为 .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
垂直关系是立体几何中一种重要的空间位置关系,高考对线面垂直判定定理的考查频
率较高,属于中档题.对于空间角的计算也是高频考点,在选择题、填空题中求解线面
角问题,关键是找到直线在平面内的投影,要重视常见模型（正方体、长方体、鳖臑）
中的线面垂直关系,在解答题中求解线面角问题,通常用选择性必修第一册中的空间向
量知识求解.
核心素养：直观想象（观察空间几何体的直观图得出线面的垂直关系），逻辑推理
（判定定理、性质定理的应用）.
考向1 直线与平面垂直的判定
例13 ［多选题］(2025· 全国一卷)在正三棱柱中，为 的中点，则
( )
BD
A. B. 平面
C. D.平面
图6-5.1-19
【解析】如图6-5.1-19，由三棱柱的性质可知， 平面 ，
则,假设,因为,, 平
面,所以 平面,所以,与 为正
三角形矛盾，所以与 不垂直.故A错误.
因为三棱柱是正三棱柱，所以 平面 ，
则，因为为的中点，,所以 ，又
，, 平面，所以 平面 ，
又，所以 平面 故B正确.
，与相交，所以与 异面.故C错误.
， 平面， 平面，所以平面 故D正确.
故选 .
图6-5.1-20
例14 (2024· 新课标Ⅱ卷节选) 如图6-5.1-20，平面四边形
中,,，, ，
，点,满足，.将
沿翻折至，使得.证明: .
【解析】, ，
又 ,所以由余弦定理得 ，故
.
又，所以 .
由及翻折的性质（翻折不改变与 的垂直关系）
知, ,
又，， 平面，所以 平面 .
又 平面，所以 .
. .
考向2 直线与平面的夹角
例15 (2024·新课标Ⅱ卷改编)已知正三棱台的高为, ，
，则与平面 所成角的正切值为( )
B
A. B.1 C.2 D.3
【解析】如图6-5.1-21，分别取,的中点,,连接, .
图6-5.1-21
取,的重心分别为,,连接 ,
由正三棱台性质知 平面 ，
过点作，交于点,则 平面 ,
即 为正三棱台的高.
由上述可知，为直线与平面 所成的角.
易知四边形 为矩形，
所以 ，（利用正三角形的重心性质）
所以 .
在中, .
例16 (2022·全国甲卷)在长方体中,已知与平面 和平面
所成的角均为 ，则( )
D
A. B.与平面所成的角为
C. D.与平面所成的角为
图6-5.1-22
【解析】如图6-5.1-22，连接,易知是直线 与平
面所成的角，所以 ，
设，则在中， ，
.易知是直线 与平面
所成的角，所以 ，在 中，因
为，所以, ，
所以在中， ，所以A项错误.
易知是直线与平面 所成的角，所以在
中， ，所以
，所以B项错误.
在中，，而 ，所以C项错误.
易知是直线与平面所成的角，因为在 中，
，所以 ，所以D项正确．
高考新题型专练
1.[多选题](2022·新高考全国Ⅰ卷)已知正方体 ,则( )
ABD
A.直线与所成的角为
B.直线与所成的角为
C.直线与平面所成的角为
D.直线与平面所成的角为
图D 6-5.1-4
【解析】如图D 6-5.1-4，连接，则 ，在正方形
中，，所以，所以直线与
所成的角为 ．故A正确.
在正方体中， 平面，又
平面，所以，连接,则 ，因为
，， 平面，所以 平面
，又 平面，所以，所以直线与 所成的角为
．故B正确.
连接，交于点，则易得 平面，连接,因为 平面
，所以，为直线与平面 所成的角．设正方体的
棱长为 ，则易得
,，所以在中， ,所以
．故C错误.
因为 平面，所以为直线与平面 所成的角，易得
.故D正确．
2.新考法 结构不良 (2025·重庆市彭水第一中学开学考试)如图6-5.1-23（1），平面
四边形中， ，，，将沿 边折
起如图6-5.1-23（2），使____，点，分别为， 中点．在题目横线上选择下
述其中一个条件，然后解答此题.
;为四面体 外接球的直径;
平面 ．
图6-5.1-23
（1）证明：直线平面 .
【答案】，分别为，中点， ，
又 平面, 平面, 直线平面 .
（2）判断直线与平面 的位置关系，并说明理由．
【答案】直线 平面 ,理由如下.
选，在中，，，则 ，
又，，则 ，
又，， 平面 ，
，又， 平面 .
又,分别为,的中点，，则 平面 .
选为四面体 外接球的直径，
则 （直径所对的圆周角是直角）， .
又，， 平面 .
. .
,分别为,的中点，，则 平面 .
选 平面，则 ，
又，， 平面 ，
,分别为,的中点，，则 平面 .
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.设,是两条不同的直线， , 是两个不同的平面,则下列结论正确的是( )
C
A.若 , ,则 B.若 , ,则
C.若, ,则 D.若 , ,则
【解析】平行的传递性只有在线线和面面之间成立,线面混合时不一定成立,故A，B
错误;两条平行线中的一条直线垂直于某个平面,则另一条直线也垂直于该平面,故C正
确;D中的直线还可以与平面 平行、斜交或在 内.
图6-5.1-1
2.(2025·湖北省武汉市第四十九中学月考)如图6-5.1-1,如果 垂
直于菱形所在平面,那么与 的位置关系是( )
C
A.平行 B.垂直相交
C.垂直但不相交 D.相交但不垂直
【解析】连接,因为是菱形,所以 .
又 平面,所以 .
因为, 平面, 平面,所以 平面,又
平面,所以 .
显然直线与直线不共面,因此直线与 的位置关系是垂直但不相交.
3.所在平面外一点，分别连接,, ，则这四个三角形中直角三角形最多
有( )
A
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解析】假设三棱锥中，侧棱 底面，并且中 是直
角．因为的投影，所以 平面的斜线，所以 是直
角．由 底面，得，都是直角．因此三棱锥的四个面中 ,
,, 都是直角．所以三棱锥最多四个面都是直角三角形．故选
A．（由热点模型鳖月需可快速解答本题）
图6-5.1-2
4.(2025·北京师范大学第三附属中学期中)某建筑物的部分建筑
结构可以抽象为三棱锥 ，如图6-5.1-2，
，底面 是等腰直角三角形，且
，顶点到底面的距离为6，则点到平面
的距离为( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图D 6-5.1-1所示，取中点为，连接, ，
图D 6-5.1-1
因为，所以 ，
又因为是等腰直角三角形，且，所以, ，
因为，，是公共边，所以 ，
所以 ,
所以,，又， 平面， 平面 ，所以
平面 .
所以为点到底面的距离，即 .
在中，根据勾股定理得， .
因为，，， 平面， 平面 ，所以
平面 ，
所以为点到平面 的距离，
在等腰直角三角形中， .
5.如图6-5.1-3，已知垂直于正方形所在的平面，连接，，， ，
，则图中所标的各线段中，一定与垂直的线段有___ 条；若 ，则
的值是__．
图6-5.1-3
【解析】与为正方形 的两对角线，
，又 平面， ，
又， 平面 ，
，， ，
一定与 垂直的线段有3条.
， 平面， ，
又， 平面，同理 平面 ，
， ，
若,不妨设,则, ,
同理可得,又 ,
在中，由余弦定理可得 .
6.新考法 开放创新(2025·河北省承德市月考)如图6-5.1-4，在三棱柱 中，
已知 平面，，当底面 满足条件______________________
_______________时，有 （注：填上你认为正确的一种条件即可，不必
考虑所有可能的情况）
（答案不唯一）
图6-5.1-4
【解析】当底面满足条件时，有 ．理由如下.
平面， ，
四边形是正方形， .
， ，
又，，且， 平面 ，
平面 .
， 平面 ，
平面， ，
， 平面， 平面，故 .
当底面满足条件时，有 ．
图6-5.1-5
7.如图6-5.1-5所示，在正方体中，是 上一
点，是的中点， 平面 .
求证：
（1） ；
【答案】 四边形 为正方形，
.
平面， .
， 平面 .
又 平面， .
（2）是 的中点.
图D 6-5.1-2
【答案】如图D 6-5.1-2所示，设与的交点为，连接 ，
在中，， ,
， .
又， 四边形 为平行四边形，
，即是 的中点．（【另解】本题还可直
接连接，易知,,且是的中点，是 的
中位线，故是 的中点）
8.(新课标全国Ⅰ卷)如图6-5.1-6，三棱柱中，侧面为菱形，
的中点为，且 平面 .
图6-5.1-6
（1）证明： ;
【答案】如图D 6-5.1-3，连接,则为与 的交点.
图D 6-5.1-3
因为侧面 为菱形，
所以 .
因为 平面，所以 .
又,故 平面 .
因为 平面，所以 .
（2）若, ，，求三棱柱 的高.
【答案】如图D 6-5.1-3，作,垂足为点，连接 .
图D 6-5.1-3
作，垂足为 .
因为，，,所以 平面 ，
又 平面,所以 .
又，,所以 平面 .
因为 ,所以 为等边三角形，
又，所以 .
由于，所以 .
在中，由，且 ，
得 .
又为的中点，所以点到平面的距离为 .
故三棱柱的高为 .
B 综合练丨高考模拟
建议时间：30分钟
图6-5.1-7
9.(新高考全国Ⅰ卷)日晷（如图6-5.1-7所示）是中国古代用来测定
时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时
间.把地球看成一个球（球心记为）,地球上一点的纬度是指
与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与
垂直的平面.在点 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，
B
A. B. C. D.
点处的纬度为北纬 ，则晷针与点 处的水平面所成角为 ( )
图D 6-5.1-4
【解析】过球心、点 以及晷针的轴截面如图D 6-5.1-4
所示，其中为晷面与轴截面的交线， 为晷针所在直
线，为点处的水平面与轴截面的交线， ,
， ， ,所以
.故选B.
10.(2024·全国甲卷)设 , 为两个平面,,为两条直线,且 ,下述四个命题:
①若,则 或 ②若,则 或
③若 且 ,则 ④若与 , 所成的角相等,则
其中所有真命题的编号是( )
A
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④
【解析】，则 ， ，对于①，若,则 或 或
且 ，都能满足 或 ,①正确；
对于②，若，则可能 或与 相交，②错误；
对于③，若 且 ，则 ，③正确；
对于④，与所成角可以为, 内的任意角，④错误.故选A.
11.在四棱锥中， 底面，底面为正方形，且 ，
过点作的垂面分别交，，于点，，，则四边形 的面积为
( )
B
A. B. C. D.
【解析】根据题目中的条件可将四棱锥补成正方体 ，如图
D 6-5.1-5所示，
图D 6-5.1-5
因为 平面， 平面,所以 ，
又，，所以 平面 ，
又 平面,所以，同理 ，
因为，所以 平面 ，
所以为的中点，为的中点， .
连接,易知，且 ,
又为的中点，易知,且 ,
所以为正三角形 的中心.
图D 6-5.1-6
单独来看，连接 ,如图D 6-5.1-6，
,
,
所以 ，
.
所以 .故选B.
图6-5.1-8
12.[多选题]如图6-5.1-8，四棱锥 的底面为正方形，
底面 ，则下列结论中正确的是( )
ABC
A.
B.平面
C.与平面的夹角等于与平面 的夹角
D.与的夹角等于与 的夹角
【解析】A正确,因为 平面，而 平面，所以,又
为正方形，所以,而，所以 平面，则 .
B正确,因为，而 平面， 平面，所以平面 .
C正确，设与的交点为，连接，则与平面的夹角就是， 与
平面的夹角就是 ,易知这两个角相等.
D错误，与的夹角等于，而与的夹角等于 ，这两个角不相等.
13.(2025·上海市松江区立达中学期中)已知圆柱的底面半径为1，高为2， 为上底面
圆的一条直径，为下底面圆周上的一个动点，点 绕着下底面圆旋转一周，则
的面积的取值范围为_______.
,]
图D 6-5.1-7
【解析】如图D 6-5.1-7，过作垂直上底面圆于 ，则
,过作于，连接，所以 平面 ，所
以，则即点到 的距离.
又，，所以在 中，
，所以 的面积
, .
图6-5.1-9
14.(2026·四川省平武中学入学考试)如图6-5.1-9，在四棱锥
中，底面是平行四边形， , ,
,,,分别为,的中点，, .
（1）证明: ;
【答案】在中，,, ,
则,所以 .
因为,,且， 平面,所以
平面，因此 .
因为，所以 .
（2）求直线与平面 所成角的正弦值.
【答案】如图6-5.1-8所示，连接交于点,过作交于点,过点 作
交于点，连接 .
由（1）知 平面，所以 平面 .
故是直线与平面 所成的角.
由（1）知,又已知,,且, 平面 ,所以
平面 .
连接,在平行四边形中，, .（可利用余弦定理求得）
在中，由,得 .
在中，由，得 .
. .
图D 6-5.1-8
在中，由,,,得 .
（由余弦定理可得， ,所以
，从而求得 ）
在平行四边形中，（由 可得）,所
,
故, .
在中， .
因此，直线与平面所成角的正弦值为 .
. .
. .
15.新考法 结构不良(2025·北京市延庆区期末)从，平面 这两
个条件中选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
如图6-5.1-10，在四棱锥中， 平面， ，
， ，____．
图6-5.1-10
（1）求证：四边形 是直角梯形；
图D 6-5.1-9
【答案】选择①.
如图D 6-5.1-9,连接，因为 平面， 平面
，所以 ．
因为， ，
所以 ，
因为， ，
所以 ，
所以 ．
因为，所以 ，
又，所以四边形 是直角梯形．
选择②．
如图D 6-5.1-9，连接 ，
因为 平面， 平面，所以 ．
因为，，所以 ，
因为，，所以，所以．
因为平面， 平面，平面 平面 ，所以
，又，所以四边形 是直角梯形．
（2）求直线与平面 所成角的正弦值．
图D 6-5.1-10
【答案】选择①②相同.
如图D 6-5.1-10，延长到使，则四边形 为矩
形，将四棱锥补成一个长方体 ，
连接，，则与平面所成的角即与平面 所成
的角．
过作于，连接，由长方体的性质知， 平面
，
因为 平面，所以 ，
又，， 平面 ，
所以 平面，则为直线与平面 所成的角．
在中， ，
可求得 ，
在中，可求得 ，
所以 .
故直线与平面所成角的正弦值为 .
图6-5.1-11
16.如图6-5.1-11，直三棱柱 （侧棱与底面垂直的棱
柱）中，， ，，是 的
中点.
（1）求证: 平面 .
【答案】 三棱柱 是直三棱柱，
，且 ．
又是的中点， ．
平面， 平面 ，
.又, 平面 .
（2）当点在上的什么位置时， 平面 ？并证明你的结论．
【答案】当点为的中点时，满足 平面 .理由如下：
作，交于，延长交于，连接 .
平面， 平面， ．
又，， 平面 ．
易知,， 四边形 为正方形,
又为的中点，，为 的中点，
故当点为的中点时， 平面 .