§5 垂直关系-5.2 平面与平面垂直 课件 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共120张PPT)
第六章 立体几何初步
§5 垂直关系
5.2 平面与平面垂直
必备知识解读
知识点1 二面角
1 二面角的定义
（1）半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分,其中的每一部
分都称为半平面.
（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直
线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面.
2 二面角的表示
（1）如图6-5.2-1,以直线为棱、半平面 , 为面的二面角，记作二面角
或 .
图6-5.2-1
（2）若在 ， 内分别取不在棱上的点, ,这个二面角可记作二面角
或 ,如图6-5.2-1.
3 二面角的平面角
自然语言 图形语言 符号语言
以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平 面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射 线的夹角称为二面角的平面角. ,, ,
, ,
为二面角
的平面角.
4 二面角大小的度量
二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角 的取值范围是
.（当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是 ；当二面
角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是 ）
平面角是直角的二面角称为直二面角.
知识剖析 构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的
顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，
这三个条件缺一不可.前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在
的平面与棱垂直.
. .
. .
学思用·典例详解
例1-1 下列说法正确的是( )
B
A.二面角的平面角是从二面角的棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的最小
的角
B.二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱
C.如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别平行，则这两个
二面角相等
D.异面直线,分别和一个二面角的两个半平面垂直，则, 的夹角与这个二面角的
平面角互补
【解析】由二面角的平面角的定义可知A不正确，B正确；两个二面角的平面角的对
应边平行，由等角定理可知这两个角相等或互补，故C不正确；当二面角的平面角为
锐角或直角时，异面直线, 的夹角与这个二面角的平面角相等，当二面角的平面角
为钝角时，异面直线, 的夹角与这个二面角的平面角互补，故D不正确.
【想一想丨问题质疑】
二面角 的平面角的大小与点在 上的位置有关吗？为什么？
提示 无关.理由：若在上另取一点,在平面 内作,在平面 内作 ,
则在平面 内可得,在平面 内可得,所以 .
知识点2 平面与平面垂直的定义
1 平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平
面 与 垂直，记作： .
知识剖析 （1）两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况.两直线垂直是利用两
条直线的夹角是直角来定义的,两平面垂直是利用两个平面相交所成的二面角是直二
面角来定义的.
（2）如果两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两条直线可能平行、相交
（含垂直相交）或异面.
2 两个互相垂直的平面的画法
如图6-5.2-2，画两个互相垂直的平面时,通常把直立平面的竖边画成与水平平面
的横边垂直.
图6-5.2-2
学思用·典例详解
例2-2 如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么
这两个二面角的平面角的关系是( )
D
A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.无法确定
图6-5.2-4
【解析】如图6-5.2-4所示，取相邻的两个墙壁面及门与地面所在
的平面，构成两个半平面分别互相垂直的二面角 与二
面角 ，其中 ， .由于二面角 的
大小为 ，而二面角 的大小可随着门的转动而任意
改变，因此这两个二面角的平面角的关系无法确定．
知识点3 平面与平面垂直的性质定理
1 平面与平面垂直的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一 条直线垂直于这两个平面的交线，那 么这条直线与另一个平面垂直. ，
，
，
.
知识剖析 （1）面面垂直的性质定理可简记为“若面面垂直，则线面垂直”.
（2）平面与平面垂直的性质定理成立的条件有三个：
①两个平面垂直；②有一条直线在其中一个平面内；③这条直线垂直于两个平
面的交线.
2 平面与平面垂直的其他性质与结论
（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的
直线在第一个平面内.即 , ,, .
（2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平
面.即 , .
（3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在
另一个平面内.即 ， 或 .
（4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平
面.即, , .
（5）三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.即 ，, ,
, ,,, .
学思用·典例详解
例3-3 (2025·江苏省南京市月考)已知平面 , 和直线, ，则下列命题中正确的是
( )
D
A.若 ,,,则
B.若, ,,则
C.若 , ,则
D.若 ,, ，,则
【解析】对比面面垂直的性质定理可知，A项中缺少了条件 ， 项中缺少了条件
，C项中缺少了条件， ，只有D项具备了全部条件，故D正确.
例3-4 现有平面 , , .已知： , .求证： .
【解析】如图6-5.2-5，设，在 内任取一点，过作于点 .因为
,所以 .过作平面 交平面 于直线，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
图6-5.2-5
知识点4 平面与平面垂直的判定定理
1 面面垂直的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个 平面垂直. ，
.
知识剖析 （1）面面垂直的判定定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.
（2）由该定理可知要证明平面与平面垂直,可转化为从现有直线中寻找平面的
垂线,即证明线面垂直.
（3）两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，也是找
出一个平面的垂面的依据.
（4）过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面垂直，过这条直线可以作出
无数个平面与已知平面垂直，所以过平面外一点，可以作出无数个与已知平面垂直
的平面.
2 证明面面垂直的方法
（1）利用平面与平面垂直的定义，若两个平面所成的二面角是直二面角，则两
平面垂直.
符号表示：,, , ,,,
（2）利用平面与平面垂直的判定定理，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，
则两平面垂直.
符号表示： , .
（3）若一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直.
符号表示： , .
（4）若两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于
第三个平面.
符号表示： , .
学思用·典例详解
图6-5.2-6
例4-5 如图6-5.2-6（1）所示，已知中，
是斜边上的高.以为折痕将 折起，使
为直角，如图6-5.2-6（2）所示，求证：平面
平面,平面 平面 .
【解析】易知, ,
又 平面, 平面,且 ,
所以 平面 .
又 平面, 平面 ,
所以平面 平面,平面 平面 .
图6-5.2-7
例4-6 求证:如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个
平面互相垂直.
【解析】将题目转化为符号语言，已知直线平面 ,直线
平面 .求证： .
证明：过直线 作
平面 ，使得 ，如图6-5.2-7.
因为 ，所以.因为 ,所以 .
又 ，所以 .
释疑惑 重难拓展
知识点5 关于二面角的一个结论
设二面角 的大小为，是 内任一平面图形的面积，
它在平面 内的投影的面积为,则 .
我们从简单图形进行探究：
已知：二面角 的度数为,在平面 内有 ，面积
为,它在 内的投影为,面积为 .
求证： .
图6-5.2-3
证明：不妨假定的边在上（则与 重合，
与重合），如图6-5.2-3，作边上的高,则在
内的投影为.根据投影的性质，知 .
则 .
把换为 内的多边形或其他任意图形，所证公
式仍然成立.
因此，我们得到求二面角的另外一种方法——投影面积法.（解答题中使用此公
式时需先证明）
如果能够找到一个半平面内的图形在另一个半平面内的投影图形，那么投影图形的
面积与原图形的面积的比值即二面角的余弦值的绝对值.
. .
学思用·典例详解
例5-7 (2025·山东省日照市校际联考期中)已知正三棱锥 的棱长都为2，则侧
面和底面所成二面角的余弦值为( )
C
A. B. C. D.
图6-5.2-8
【解析】 如图6-5.2-8所示，过点作底面,点 为
垂足，连接,,,则 ,
,
点为等边三角形 的中心.
延长交于点，连接 ,
则, ,
为侧面与底面 所成的二面角的平面角.
，
在中， .
三个侧面在底面上的射影完全相同,且射影面积都是底面正三角形面积的 ,
且正三棱锥 的四个面面积相同，
由（ 为侧面与底面所成二面角的大小）知，侧面和底面所成二面角
（显然为锐角）的余弦值为 .
关键能力构建
题型1 面面垂直的判定定理的应用
1 基于鳖臑模型
图6-5.2-9
例8 (2025·辽宁省七校开学考试)如图6-5.2-9，在四棱锥
中， 平面，, .
（1）求证： 平面 ;
【解析】因为 平面,所以 .
又,,所以 平面 .
（2）求证：平面 平面 .
【解析】 因为,,所以 .
因为 平面,所以 .
又，所以 平面 .
因为 平面,所以平面 平面 .
因为,且由（1）知 平面 ,
所以 平面 .
又 平面,所以平面 平面 .
名师点评 上题涉及四个面都是直角三角形的三棱锥——鳖臑.此类问题考查的是线
线、线面、面面之间垂直关系的相互转化.
2 基于平行推论模型
图6-5.2-10
例9 (2025·山西省大同市第七中学月考)如图6-5.2-10，在三棱锥
中，，，分别为棱，， 的中点．已知
，，， .
求证：
（1）直线平面 ；
【解析】因为，分别为棱，的中点，所以 .
又 平面， 平面 ，
所以直线平面 .
（2）平面 平面 .
【解析】因为，，分别为棱，，的中点，， ，
所以, .
又，所以 ，
所以 ，即 .
因为，，所以 .
又， 平面， 平面 ，
所以 平面 .
又 平面，所以平面 平面 .
对于第（2）问，题中给出的数据条件较多，故思考能否找到三角形，利
用勾股定理逆定理证明线线垂直.,, 不构成三角形，因此需要转化为其他线段
长度.不难发现题中给出的中点条件较多，自然想到利用中位线性质得到, 的长
度，在中可证.再看条件，可结合平行性质 ，得到
的另一个垂直条件，于是可利用线面垂直判定定理证明 平面 ，
进而证得结论.
证明面面垂直的一般方法
先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明
面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明.
【学会了吗丨变式题】
1.如图6-5.2-11,为正三角形， 平面，//，且 ，
是 的中点．
图6-5.2-11
求证：
（1） ；
图D 6-5.2-1
【答案】 设，则 .如图D 6-5.2-1，
过点作交于点，则 .
因为 平面 ，
所以， .
因为, ,
取的中点，则,,所以四边形 是平
行四边形，又,,, 所以 平面,因为 ,
所以 平面,所以,又是的中点，所以 .
所以 .
又,所以 平面， ,所以
,所以 .
（2）平面 平面 ；
图D 6-5.2-1
【答案】 如图D 6-5.2-1所示，取的中点，连接 ，
，则，且 ,
所以四边形为平行四边形，所以 .
因为 平面，所以，所以 .
由（1）知，为的中点，所以 .
由（1）可知， 平面, 平面,所以平面 平面 .
因为, 平面, 平面 ,
所以 平面，又 平面,所以平面 平
面 .
（3）平面 平面 .
【答案】 由（2）知 平面，而 平面 ，
所以平面 平面 .
由（1）可知， 平面, 平面,所以平面 平面 .
题型2 面面垂直的性质定理的应用
例10 (2025·甘肃省张掖市开学考试)如图6-5.2-12，是四边形 所在平面外的一
点，四边形是边长为的菱形,且 .侧面 为正三角形，其所在的
平面垂直于底面,为 边的中点.
图6-5.2-12
求证：
（1） 平面 ;
图6-5.2-13
【解析】如图6-5.2-13，连接，，由题意知 为正
三角形，是的中点， .
又平面 平面，平面 平面 ，
平面 ,
平面（面面垂直的性质定理），又 平面
, .
又四边形是菱形，且 ，
是正三角形， .
又, 平面 .
. .
（2） .
【解析】由（1）可知， .
又, 平面 .
平面, .
面面垂直的性质定理的应用思路
在空间图形中，如已知条件中有面面垂直，一般需要作辅助线，考虑应用面面垂直
的性质定理得到线面垂直，继而可得线线垂直.在运用面面垂直的性质定理时，找准
两平面的交线是关键.
【学会了吗丨变式题】
图6-5.2-14
2.如图6-5.2-14所示，在四棱柱 中，已知平面
平面，且， .
（1）求证： ;
【答案】在四边形中，,, ,
又平面 平面，且平面 平面
， 平面, 平面 ，
又 平面， .
（2）若为棱的中点，求证：平面 .
【答案】在中，,为的中点， .
又在四边形中，,， ，
， , .
, ,
平面， 平面 ，
平面 .
题型3 垂直关系的综合应用
图6-5.2-15
例11 (2025·广西南宁市月考)如图6-5.2-15所示，在四棱锥
中，底面是边长为的正方形，,分别为,
的中点，侧面 底面，且 .
（1）求证：平面 ；
【解析】连接，则是的中点，为的中点，故在中, ，又
平面， 平面，平面 .
（2）求证：平面 平面 .
【解析】 平面 平面，平面 平面, ，
平面,则 .
又, ,即 .
又, 平面 .
又 平面， 平面 平面 .
思路点拨 （1）在平面内找与 平行的直线即可；（2）综合面面垂直的性质
定理和判定定理证明.
名师点评 除作中位线、构造平行四边形外，线面平行的性质定理及线面垂直的性质
定理等也都是证明线线平行的依据，至于线面平行、面面平行，归结到最后还是要
证明线线平行．
1.在解决垂直问题的过程中，要注意平面与平面垂
直的判定定理和性质定理的联合交替使用，即注
意面面垂直和线面垂直的互相转化.
2.在应用线面平行、垂直的判定定理和性质定理证
明有关问题时，除了运用转化思想，还应注意寻
找线面平行、垂直所需的条件．
【学会了吗丨变式题】
图6-5.2-16
3.(2025·北京市第一五九中学期中)如图6-5.2-16，在四棱锥
中，，，，平面 平
面，，点，分别是， 的中点．
求证：
（1） 平面 ；
【答案】因为平面 平面，且 垂直于这两个平面
的交线，所以 平面 .
（2）平面 ；
【答案】因为，，为 的中点，
所以，且,所以四边形 为平行四边形,
所以 .
又 平面， 平面，所以平面 .
（3）平面 平面 .
【答案】由（2）知四边形为平行四边形,因为 ,
所以四边形为矩形，所以, .
由（1）知 平面,所以 .
因为,, 平面,所以 平面,所以 .
因为点，分别是，的中点，所以 ,
所以，又,, 平面,所以 平面 .
因为 平面,所以平面 平面 .
题型4 求二面角
1 定义法
例12 正方体中，二面角 的平面角的余弦值为( )
D
A. B. C. D.
【解析】如图6-5.2-17，连接，交于点 ，
则 ,
连接，因为,为 的中点，
. .
图6-5.2-17
所以 ，（定义法找二面角的平面角）
则是二面角 的平面角，
不妨设正方体的棱长为1，则，在 中，
，
所以 .
. .
2 垂面法
图6-5.2-18
例13 [教材改编P248 T10]如图6-5.2-18所示， ,
, ,垂足分别为, .
（1）证明： ；
【解析】
平面, .
（2）若为等边三角形，求二面角 的大小.
【解析】假设平面与棱交于点，连接，，则， ，则
为二面角 的平面角.
为等边三角形， .
又与互补， 二面角 的大小为 .
思路点拨 （1）由, , 推出 平面 ，从而得出
;（2）作出二面角 的平面角，判断与 的关系，可转化为
求 ，再求出二面角的大小.
3 垂线法
例14 (2025·广东省江门市广雅中学月考)是边长为2的正三角形， 是以
为斜边的等腰直角三角形,且平面 平面.求二面角 的余弦值.
【解析】如图6-5.2-19，取的中点，连接 ,
图6-5.2-19
因为是以 为斜边的等腰直角三角形，
所以 ,
又因为平面 平面，平面 平面， 平面 ,
所以 平面 .
因为 平面，所以 .
作交于点,连接 ,
因为，，，, 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面，所以 ,
又因为，所以为二面角 的平面角.
在中,,,则由勾股定理得 ,
所以二面角的余弦值为 .
作二面角的平面角的三种常用方法
（1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于
棱的射线．如图6-5.2-20（1），则为二面角 的平面角．
（2）垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条
交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角．如图6-5.2-20（2）， 为二面角
的平面角．
（3）垂线法：过二面角的一个面内不在棱上的点向另一个平面作垂线，垂足为 ，
由点向二面角的棱作垂线，垂足为，连接，则 为二面角的平面角或其补
角．如图6-5.2-20（3），为二面角 的平面角．
图6-5.2-20
求二面角大小的步骤
先作出（找出）二面角的平面角,然后证明它是二面角的平面角，接着求出这个角的
大小，最后说明二面角为多少度，这个过程可以简记为:作（找）、证、求、答.
【学会了吗丨变式题】
图6-5.2-21
4.(2025·浙江省绍兴市期中)如图6-5.2-21，已知 ,斜边
平面 ,点 , ,为垂足， ,
,求二面角 的大小.
图D 6-5.2-2
【答案】如图D 6-5.2-2，在平面 内，过点作 ,垂足为
点,连接,设 .
, , .
又, 平面,而 平面 ,
,是二面角 的平面角.
由 , , ,知, .
, ， ,
,, .
在中， , ,
.
在中， .
,即二面角的大小是 .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考对本节的考查主要是面面垂直的判定定理和性质定理，一般结合线线、线面的垂
直关系进行综合考查，通常作为解答题的第一问证明，根据题意作出辅助线是解题的
关键.求二面角的大小也是高考的高频考点，在必修阶段，主要是通过找出或作出二面
角的平面角求解二面角的大小，找准二面角的平面角是解题的关键.将来在选择性必修
第一册中，会学习用空间向量为工具求解空间角的大小.试题难度一般为中等.
核心素养:直观想象（观察空间几何体的直观图得出面面的垂直关系），逻辑推理
（判定定理、性质定理的应用），数学运算（二面角的求解）.
考向1 面面垂直的判定定理的应用
例15 (2025·天津)已知，为两条直线， ， 为两个平面，则下列结论中正确的
是( )
C
A.若 ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 ， ，则 D.若 ， ，则
【解析】对于A，若 ， ，则或, 异面,故A错误；
对于B，若 ， ，则 ，故B错误；
对于C，若 ， ，则 ，故C正确；
对于D，若 ， ，则 或与 相交或 ,故D错误.
图6-5.2-22
例16 (2023·全国甲卷节选)如图6-5.2-22，在三棱柱
中， 平面， ．证明：平
面 平面 .
【解析】因为 平面, 平面，所以 ，
因为 ，所以 ,
又,, 平面 ,
所以 平面 ,
又 平面,所以平面 平面 .
考向2 面面垂直的性质定理的应用
图6-5.2-23
例17 (全国Ⅲ卷)如图6-5.2-23，点为正方形 的中心，
为正三角形，平面 平面,是线段 的
中点，则( )
B
A.，且直线， 是相交直线
B.，且直线， 是相交直线
C.，且直线， 是异面直线
D.，且直线， 是异面直线
图6-5.2-24
【解析】如图6-5.2-24，取的中点，连接， ，
，，因为是正三角形，所以 .设
，则 .
因为四边形是正方形且点 是其中心，所以
,, .
因为平面 平面，所以 平面，
平面，所以， ，
所以在中，，在中，，所以在等腰三角形
中，，所以.易知, 是相交直线.
考向3 求二面角的大小
例18 (2023·全国乙卷)已知为等腰直角三角形,为斜边, 为等边三角形,
若二面角为 ，则直线与平面 所成角的正切值为( )
C
A. B. C. D.
图6-5.2-25
【解析】如图6-5.2-25所示，取的中点为，连接， ，
则， .
又 平面, 平面,所以 即为二面角
的平面角，于是 .设 ，则
， ，
在 中，由余弦定理可得
.
由正弦定理得 ，
即,显然 是锐角，
所以 ，
所以 ,故选C.
图6-5.2-26
例19 新情境 坡屋顶 (2023·北京)坡屋顶是我国传统建
筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以
勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图6-5.2-26，某坡
屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯
形，两个面是全等的等腰三角形．若 ,
C
A. B. C. D.
,且等腰梯形所在的面、等腰三角形所
在的面与平面所成二面角的正切值均为 ．为这
个模型的轮廓安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为( )
图6-5.2-27
【解析】如图6-5.2-27,过作 平面,垂足为 ,
过分别作,,垂足分别为,,连接 ,
.（作出辅助线，找到题目中所提到的两个二面角的
平面角）
由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与平
面所成二面角的平面角分别为和 ，
,
平面, 平面, ,
,, 平面, ,
平面, 平面, ,
同理, .
又,故四边形 是矩形.
由得,, .
在直角三角形 中,
.
在直角三角形中, ,
.
,
棱长之和为 .
故所需灯带的长度为 .
6-5.2-28
例20 (2024·新课标Ⅰ卷节选)如图6-5.2-28，四棱锥 中，
底面，,,.若 ,且
二面角的正弦值为,求 .
思路点拨 几何法求二面角的平面角的关键是找半平面的垂线，
利用线面垂直关系或三垂线法找出平面角.本题一种解法是过点
找平面的垂线，另一种解法是过点找平面 的垂线.
【解析】 （考虑到平面 平面，故过点作交线的垂线 ，利
用面面垂直的性质定理可知即为平面 的垂线）
图6-5.2-29
如图6-5.2-29，作于点,于点，连接 ,
底面, 平面 ，
平面 底面 .
平面 底面,, 底面 ,
平面 .
平面, .
,,, 平面, 平面
,
平面 .
平面, .
,, 平面, 平面 ,
为二面角 的平面角.
由,可知 ,
设,,易知,,则 ，
平面, 平面 ,
.
,
解得 ,
. .
在直角三角形中， ,
,解得, ,
,
.
（考虑到平面 平面，故过点作交线的垂线 ，利用面面垂
直的性质定理可知即为平面 的垂线）
平面, 平面, .
,,, 平面 ,
平面 .
又 平面, 平面 平面 .
图6-5.2-30
如图6-5.2-30，作于点,又平面 平面 ,
平面 ,
平面 .
又 平面, .
取的中点,连接,,由得 ,
又,, 平面, 平面 ，
又 平面, .
即为二面角 的平面角.
平面, 平面, .
，解得 ，
设,则，即 ，
解得，即 .
高考新题型专练
1.[多选题](2025·山东省平邑第一中学月考)在棱长为2的正方体 中，
已知点在面对角线上运动，点，，分别为，，的中点，点
是该正方体表面及其内部的一动点，且平面 ，则下列选项正确的是
( )
ABD
A.平面
B.平面 平面
C.过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为
D.动点的轨迹所形成区域的面积是
【解析】对于A，如图D 6-5.2-3,，， ，
， 平面平面 .
平面，平面 ，故A正确.
图D 6-5.2-3
图D 6-5.2-4
对于B，如图D 6-5.2-4,连接,，， ，
平面 .
平面， ，
同理，，， 平面 ，
又 平面， 平面 平面 ，故B正确.
对于C，如图D 6-5.2-5，作出过，，三点的平面截正方体 所
得的截面图形，
由图可知截面为正六边形，边长为， 截面面积为 ，
（可将正六边形分为6个正三角形）故C错误.
. .
图D 6-5.2-5
图D 6-5.2-6
对于D，如图D 6-5.2-6，平面 ，
由面面平行的性质得始终在平面 内，
动点的轨迹所形成区域的面积是 ，故D正确．
故选 ．
图6-5.2-31
2.新考法 结构不良 如图6-5.2-31，在三棱柱 中，
，，平面 平面 ．
（1）求证： .
【答案】因为 ，所以 .
因为平面 平面，平面 平面
， 平面，所以 平面 .
因为 平面，所以 .
因为四边形 是平行四边形，
又，所以四边形是菱形，所以 .
因为，， 平面，所以 平面 .
因为 平面，所以 .
（2）从条件①,条件②这两个条件中选择一个作为已知，当直线与平面 所成
角为 时，
（ⅰ）求证：平面 平面 ；
（ⅱ）求二面角 的正弦值．
条件 ；
条件 .
【答案】选条件①.
（ⅰ）因为，所以平行四边形为矩形，所以 .
由（1）知， 平面，又 平面,所以 .
因为，， 平面，所以 平面 .
因为 平面 ，
所以平面 平面 .
（ⅱ）因为 平面， 平面 ，
所以直线与平面所成的角为，所以 .
因为 ，
所以,,, .
图D 6-5.2-7
如图D 6-5.2-7,作于点 .
因为平面 平面 ，
平面 平面， 平面 ，
所以 平面，又 平面 ,所以
.
作于点，连接 .
因为，， 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面，所以,（由知，为中点，即 与
的交点）
所以是二面角的平面角.（【三垂线定理】是 在平面
上的射影，因为,所以 ,即得二面角的平面角）
因为，所以 .
因为 平面, 平面,所以 ,
又，所以 ，
因为 平面, 平面,所以,所以 ，
所以二面角的正弦值为 .
. .
. .
选条件②.
（ⅰ）因为, ,
所以,所以 ,
由（1）知 平面，又 平面,所以 .
因为,, 平面 ,
所以 平面 .
因为 平面,所以平面 平面 .
（ⅱ）同条件①．
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.已知直线，，平面 ， ， ， ，则“ ”是“ ”的( )
D
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】若 ，则与 相交、平行或异面，故充分性不成立；
若，则 与 相交或平行，故必要性不成立．
“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件．
2.(2025·安徽省阜阳市第三中学月考)设,为两条不同的直线， , 为两个不同的
平面，下列命题正确的是( )
D
A.若 , ，则 B.若 , ，则
C.若 , ，则 D.若 , ，则
【解析】对于A，若 , ，则与 可能平行，可能相交，也可能异面,故A
错误；对于B，若 , ，则 或者 ,故B错误；对于C，若
, ，则 或者 或者 或者与 斜交,故C错误；对于D，
若 , ，则 ,故D正确.
3.把边长为4的正方形，沿对角线折成空间四边形，使得平面
平面，则空间四边形的对角线 的长为( )
A
A.4 B. C.2 D.
图D 6-5.2-1
【解析】如图D 6-5.2-1所示，取的中点，连接, ，则
， ，
因为平面 平面，且平面 平面 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以，即空间四边形的对角线 的长为4．
图6-5.2-1
4.如图6-5.2-1，在四面体中，， ，
， ，则四面体中存在面面垂直关系的对
数为( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】因为，，，所以 ，所以
.
又，， 平面， 平面 ，
所以 平面 .
又 平面， 平面 ，
所以平面 平面，平面 平面 .
因为，，，所以，所以 ，
又，，所以 平面 .
又 平面，所以平面 平面 ．
综上可知四面体中存在3对面面垂直关系．
5.(2025·山东省济南市月考)在正方体中，截面与底面
所成的二面角 的正切值等于( )
C
A. B. C. D.
图D 6-5.2-2
【解析】如图D 6-5.2-2，连接，交于点，则 ,连
接,则,所以为二面角 的平面角.
设,则,所以 .
图6-5.2-2
6.[多选题](2025·河南省南阳市六校联考)连接正方体每个面的中
心构成一个正八面体（如图6-5.2-2），则( )
AD
A.正八面体各面中心为顶点的几何体为正方体
B.直线与 是异面直线
C.平面 平面
D.平面平面
图D 6-5.2-3
【解析】对于A，如图D 6-5.2-3（1），正方体各面
中心为顶点的凸多面体为正八面体，
以正八面体各个面的中心为顶点的几何体是正方体，
故A正确；
对于B，如图D 6-5.2-3（2），连接，， ，
, ，
则,,,分别是,,, 的中点，
，， 直线与 互相平行，故
B错误；
图D 6-5.2-4
对于C，如图D 6-5.2-4，取中点，连接，， ，
设原正方体的棱长为1，则和都是边长为 的等边三
角形，，，是二面角 的平
面角，
， ，
，
平面与平面 不垂直，故C错误；
对于D，，，，， ，
平面平面，故D正确．故选 ．
图 D 6-5.2-5
7.已知直二面角 ，点 ,,为垂足， ,, 为垂足，若
,,则 的长为____.
【解析】如图D 6-5.2-5，连接, 二面角 为直二面角， 为两平面的交线，
且， ,， .
又, .
8.(2025·上海市大同中学学情调研)如图6-5.2-3，在几何体中，四边形
是菱形，且 ， 平面，，且 ．
图6-5.2-3
（1）证明：平面 平面 ；
【答案】 四边形为菱形， ,
平面,,又, 平面 ,
又 平面, 平面 平面 .
（2）求二面角 的大小．
【答案】由（1）知， 平面 ,
连接,则,又 ,
为二面角 的平面角.
在菱形中， ,，则 .
在中，， ，
即二面角的大小为 .
B 综合练丨高考模拟
建议时间：45分钟
9.将正方形沿折起, 使平面 平面,为的中点,则 的大小
是( )
D
A. B. C. D.
【解析】根据题意画出图形,如图D 6-5.2-6,设正方形的边长为2,折叠前后 ,
,在图D 6-5.2-6（2）中取的中点,连接,,则, .因为
平面 平面,,所以 平面,.在 中,
.又,,所以 ,所以
.
图D 6-5.2-6
10.(2022·全国乙卷)在正方体中，,分别为， 的中点，则
( )
A
A.平面 平面 B.平面 平面
C.平面平面 D.平面平面
图D 6-5.2-7
【解析】如图D 6-5.2-7，对于选项A，在正方体
中，因为,分别为， 的中点，所以
,又,所以，又易知 ,
，从而 平面，又 平面 ，所
以平面 平面 ，故选项A正确；
对于选项B，设,连接,在平面中，过点作,交 于
点,则易知异于点,因为 平面
,所以,又,所以 平面,又 平面 ,
所以平面 平面 不成立，故选项B错误；
对于选项C，由题意知直线与直线必相交，故平面与平面 不平行，
故选项C错误；
对于选项D，连接，，易知平面平面，又平面 与平面
有公共点，所以平面与平面 不平行，故选项D错误.故选A.
11.[多选题]在四棱锥中，侧棱 底面，底面 为菱形，过点
分别作，的垂线，垂足分别是，，底面对角线的交点为，过点 作
的垂线，垂足为 ，则( )
ABD
A.平面 平面 B.平面 平面
C.平面 平面 D.，，， 四点不可能共面
【解析】如图D 6-5.2-8， 底面， 平面， ，
图D 6-5.2-8
由四边形为菱形知，且 ，
平面， ，
，， 平面 ，
又 平面， 平面， 平面 平面，平面 平面
，故A，B正确；
过作于 ，
假设平面 平面，为平面与平面的交线， 平面 ，
平面， ，
又， 平面 ，
同理得 平面，，这与， 相交矛盾，
平面 平面 不成立，故C错误；
若，，，四点共面，则 平面，则平面 平面 ，由C知不正
确；
故，，， 四点不可能共面，故D正确．
故选 ．
12.(2025·北京市房山区调研)若 ， 是两个不同的平面，，是平面 及 外的
两条不同的直线，给出下列四个论断:
； ； ； .
以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个你认为正确的命题
___________________________________________．
（答案不唯一,如）
图D 6-5.2-9
【解析】如图D 6-5.2-9所示, , ，垂足分别为 ，
，， 平面，连接，，可证明
为二面角 的平面角，则 ，所以
，即 ,
即 .
图6-5.2-4
13.新考法 结构不良如图6-5.2-4，平行四边形的边 所在
的直线与菱形所在的平面垂直，且， ．
（1）求证：平面 平面 ；
【答案】，， 是等边三角形.
，为中点，故， .
平面， ，
，, 平面， 平面 ，
平面， 平面 平面 ．
（2）若，____，求二面角 的余弦值．
从， 这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题.
【答案】选①.
由（1）知 平面 ，
，， ，
平面平面， 平面 ，
平面， 平面，， ，
是二面角 的平面角.
，， ，
， ，
二面角的余弦值为 ．
选②.
由（1）得 平面 ，
，，， 平面平面 ，
平面 ，
平面， 平面，， ，
即为二面角 的平面角.
，， ，
， 二面角的余弦值为 ．
图6-5.2-5
14.(2025·北京市第五中学期中)如图6-5.2-5，在直三棱柱
中，，，，点 是线
段 的中点．
（1）求证： ；
【答案】在直三棱柱中， 底面 ，
底面，则 ，
又，，，则 ，所以
，
又，, 平面 ,
所以 平面 ，
又 平面，所以 ．
（2）求二面角 的余弦值．
图D 6-5.2-10
【答案】如图D 6-5.2-10，取的中点,连接,又点 是线段
的中点，则，且 ，
由（1）可知 平面，则 平面 ，
则 ,
过点作，垂足为，连接 ，
又,则 平面,则 ,
所以为二面角的平面角，（【三垂线定理】是 在平面
上的射影，,则,所以 即为所求二面角的平面角）
由，得 ，则为等腰直角三角形，且 ，所
以，在直角三角形中， ，
．
. .