§6 简单几何体的再认识-6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积 课件(共65张PPT)

(共65张PPT)
第六章 立体几何初步
§6 简单几何体的再认识
6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
必备知识解读
知识点1 圆柱、圆锥、圆台的侧面积
圆柱 圆锥 圆台
侧面展 开图
侧面积
表面积
圆柱 圆锥 圆台
说明 其中为圆柱、圆锥底面半径，，分别为圆台上、下底面半径， 为母 线的长,为圆柱、圆锥的底面周长，, 分别为圆台的上、下底面周长. 续表
发散探讨
圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么联系？#1.1.1
图6-6.1-1
对于圆台侧面积 为上底面半径，
为下底面半径,为母线长：当 时，得
;当,时，得 .则圆柱可以
看作上、下底面半径相等的特殊圆台，圆锥可以看作上底面
半径为0的特殊圆台，圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间
的联系如图6-6.1-1所示.
学思用·典例详解
【想一想丨知识拓展】
图 6-6.1-3
圆台侧面积的推导过程如下:
如图6-6.1-3，设被截去小圆锥的母线长为，则 ，
解得， ，
所以圆台的侧面积
例1-1 矩形的两条邻边长分别为,，分别以，所在直线为轴旋转一周，若 ,
则所得的两个旋转体的侧面积和 的大小关系是 .
.
【答案】
【解析】以长为的边所在直线为轴旋转所得旋转体的侧面积 ；
以长为的边所在直线为轴旋转所得旋转体的侧面积 .
故 .
知识点2 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
直棱柱 正棱锥 正棱台
侧面展 开图
侧面积
直棱柱 正棱锥 正棱台
表面积 直棱柱的表面积等 于侧面积与两底面 面积之和. 正棱锥的表面积等于 侧面积与底面面积之 和. 正棱台的表面积等于侧面积
与上、下底面面积之和.
说明 其中为正棱锥的底面边长，,分别为正棱台的上、下底面边长， 为 直棱柱、正棱锥的底面周长,,分别为正棱台的上、下底面周长, 为直 棱柱的高, 为正棱锥、正棱台的斜高. 续表
知识剖析 将直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式进行类比，能发现它们的联系和
区别吗？（教材第251页【思考交流】）#1.1
图6-6.1-2
对于正棱台侧面积
当时，得 ;
当时，得 .
所以直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的联
系如图6-6.1-2所示,其中，分别为上、下底面的周长， 为正棱台和正棱锥的斜高,
为直棱柱的高.
学思用·典例详解
例2-2 若一个正六棱柱的底面边长为，侧面对角线的长为 ，则它的表面积为
_______.
【解析】正六棱柱的底面边长为，所以正六棱柱的底面积 （将一个底面
拆为6个正三角形），又侧面对角线的长为，所以侧棱长为 ，
则正六棱柱的表面积 .
. .
例2-3 棱长为 的正四面体的表面积为( )
D
A. B. C. D.
【解析】正四面体的四个面是全等的等边三角形，
三角形的高 ，
所以三角形的面积 .
因此，四面体的表面积 .
例2-4 [教材改编P252例3]已知正四棱台上底面边长为 ，侧棱长和下底面边长都
是 ,则它的表面积为_________________.
【解析】因为正四棱台的上、下底面边长分别为,，侧棱长为 ，所以斜
高 .
所以 .
故此正四棱台的表面积为 .
关键能力构建
题型1 柱体的侧面积
图6-6.1-4
例5 如图6-6.1-4，底面为菱形的直棱柱 的两个
对角面和 的面积分别为6和8，则棱柱的侧面积为
____.
20
【解析】设直棱柱的底面边长为 ，
侧棱长为，则有, ,
底面为菱形，与 互相垂直平分，
, ,
.
名师点评 直棱柱的特征之一是侧棱与底面垂直，直棱柱的侧面积底面周长 侧棱
长，因此在一些具体问题中，可采用“设而不求”的思想，只需求出底面周长与侧棱
长的乘积即可.
图6-6.1-5
例6 图6-6.1-5（1）中的机械设备叫作“转子发动
机”，其核心零部件之一的转子的形状是“曲侧面
三棱柱”，图6-6.1-5（2）是一个曲侧面三棱柱，
它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱
C
A. B. C. D.
【解析】由题意可知侧面积为（曲侧面三棱柱侧面积底面周长 高）
.
洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，
如图6-6.1-5（3）．若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则
其侧面积为( )
. .
公式法求解面积问题的解题步骤
公式法就是对于题设条件给出的规则几何体，直接利用计算公式求出它的面积的一
种方法.此种方法适用于简单几何体或由简单几何体构成的简单规则组合体的表面积
求解问题.基本的解题步骤为：第一步，确定几何体，分析题中所给几何体的结构特
征，确定几何体模型；第二步，计算表面积，根据几何体模型的表面积计算公式，
求出相应几何体的表面积；第三步，得到结论，将计算的表面积与题设要求对应即
得问题答案.
注意：（1）圆柱和直棱柱的侧面展开图都是矩形，解决其侧面积问题时，只需求出
相应底面周长及高，再代入侧面积计算公式即可求解.（2）斜棱柱的侧面积可利用
公式是直截面的周长，是侧棱长 求解.
【学会了吗丨变式题】
1.一个直棱柱的底面是菱形，棱柱的体对角线长分别是和，高是 ，则
这个直棱柱的侧面积是( )
A
A. B. C. D.
【解析】设底面菱形的对角线长分别为,，且 ,则由已知得出
（直棱柱的体对角线、高、菱形的对角线三者构成直角三角形）解
得所以菱形的边长为 .因为直棱柱的侧面均为
矩形，所以所求的直棱柱的侧面积 .
. .
题型2 锥体的侧面积
图6-6.1-6
例7 如图6-6.1-6，已知圆锥的母线长为，底面半径为 ,圆锥的表
面积是底面积的3倍，则这个圆锥的侧面展开图所成扇形的圆心
角的大小为___.
【解析】由圆锥的表面积是底面积的3倍可知， ,
即 ，
设圆心角为 ，由圆锥底面周长等于侧面展开后扇形的弧长可
知， ，解得圆心角 .
名师点评 在有关圆锥的侧面展开问题中，一定要注意展开以后的扇形的弧长即圆锥的
底面周长，通过这个“桥梁”可以得到底面半径与母线长的关系，从而使问题得以解决.
例8 (2025·河南省濮阳市期中)设正三棱锥 的侧面积是底面积的2倍，正三棱
锥的高 ，求此正三棱锥的侧面积及表面积.
图6-6.1-7
【解析】如图6-6.1-7所示，设正三棱锥的底面边长为 ，
斜高为，过点作，垂足为，连接，则 .
因为，所以,整理得 ,所以
.
因为,所以 （常利用高、斜高、底面边
心距三者之间的关系求解），即 ,解得
，则 .
所以, .
所以 .
故此正三棱锥的侧面积为，表面积为 .
. .
正棱锥的侧面积和表面积问题，经常涉及侧棱、高、斜高、底面内切圆半径和底面
外接圆半径五个量之间的关系，往往把它们转化成平面图形，即由侧棱、高、底面
外接圆半径所组成的直角三角形或由高、斜高、底面内切圆半径所组成的直角三角
形求出所需要的量，从而使问题得以解决．
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·浙江省宁波市北仑中学期中)已知正四棱锥的底面正方形的边长为4，高与斜
高的夹角为 ，则正四棱锥的侧面积为( )
A
A.32 B.48 C.64 D.
图D 6-6.1-1
【解析】如图D 6-6.1-1，在正四棱锥中，连接 ，
，交于点，连接，过点作于点，连接 ，则
正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成一个 .
， , 斜高 ,
.
题型3 台体的侧面积
例9 新情境 器具“斗” (2025·湖南省长沙市期中)“斗”不仅是我国古代容量单位，还
是量粮食的器具，如图6-6.1-8所示，其可近似看作正四棱台，上底面是边长为
的正方形，下底面是边长为的正方形，高为 ．“斗”的面的厚度忽略不计，
则该“斗”的侧面积与下底面的面积之比为( )
A
图6-6.1-8
A. B.16 C. D.4
【解析】由题意可知,四棱台的侧面均为等腰梯形,则其斜高为
，
（不熟练的情况下可以画出一个等腰梯形,利用图形辅助求解）
所以“斗”的侧面积为 ，下底面的面积为
，
所以 .
例10 (2025·河北枣强中学期末)某圆锥的侧面积为8，用一个平行于圆锥底面的平面
截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为 ，则该圆台的侧面积为
( )
D
A. B. C. D.
【解析】设圆台的上底面半径为,下底面半径为,截去的小圆锥的母线为 ,
则圆锥的底面半径为,圆锥的母线为 ,
圆锥的侧面积 ，
所以 ．
截去的小圆锥的侧面积 ，
故圆台的侧面积为 ．
名师点评 对于锥体与平行于底面的截面所构成的小锥体和原锥体，有如下比例关系：
对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比.
正棱台、圆台侧面积的求解策略
1.正棱台的侧面展开图是若干个全等的等腰梯形，求侧面积的关键是求出上、下底
面周长及斜高．在正棱台中要注意对两个直角梯形的运用：
①高、侧棱、两底面外接圆半径组成的直角梯形； ② 高、斜高、两底面内切圆半
径组成的直角梯形．
2.圆台的侧面展开图是一个扇环，扇环的面积可直接套用公式计算（需确定上、下
底面周长和侧面母线长），也可用两个扇形面积之差来计算．
【学会了吗丨变式题】
3.用油漆涂100个无盖圆台形水桶（桶内、外侧都要涂，且桶的厚度忽略不计），桶
口直径为，桶底直径为，母线长是，已知每需要油漆 ，
则共需要多少油漆？（精确到 ）
【答案】每个水桶需要涂油漆的面积为
名师点评 本题在求解时容易忽略“桶内、外侧都要涂”这个关键点，其实质是每个水
桶需要涂漆的面积是相应“无上底的圆台”的表面积的2倍.
,因此100个水桶需要油漆的质量为
4.[多选题](2025·贵州省贵阳市清华中学月考)正六棱台的上、下底面边长分别是2和6,
侧棱长是5,则下列说法正确的是( )
ACD
A.该正六棱台的上底面面积是 B.该正六棱台的侧面面积是15
C.该正六棱台的表面积是 D.该正六棱台的高是3
【解析】如图D 6-6.1-2，在正六棱台 中，
图D 6-6.1-2
因为,, ,
所以侧面梯形的高即正六棱台的斜高，为 ，
所以梯形的面积 ，故正六棱台的侧面积
，故B错误；
由图可知该正六棱台的上底面为6个边长为2的等边三角形组成，所以该正六棱台的
上底面面积 ，故A正确；
同理,下底面面积为 ，
所以该正六棱台的表面积是 ，故C正确；
正六棱台的高 ，故D正确．
故选 ．
题型4 组合体的表面积
图6-6.1-9
例11 新情境 半正多面体 (2025·广东省广州市期末)用两种或两
种以上的正多边形构建的凸多面体虽不是正多面体但有些类似，
这样的多面体被称为半正多面体．现将正四面体上的四个角都截
去，形成一个截角四面体（半正多面体），如图6-6.1-9．设原正
四面体的棱长为6，则截去四个角后得到的截角四面体的表面积
为( )
C
A. B. C. D.
【解析】设截角四面体中的正六边形的边长为，则由题意可知 ，所以
.则每个正三角形的面积为,每个正六边形的面积为 ，
所以所得的截角四面体的表面积为 .
图6-6.1-10
例12 如图6-6.1-10所示的几何体可以看作上半部分为圆柱，下半
部分为倒置的圆锥的组合体.现知 为3，柱体与锥体部分高之比
为，底面周长为 ，则该几何体的表面积为( )
D
A. B. C. D.
【解析】令圆锥底面中心为，则由题意可知，， ，令底面半径为
，
因为底面圆的周长为 ，所以 ，得 ，
所以圆锥的母线 ，
所以圆锥的侧面积为 ，
所以圆柱侧面积与上底面面积的和为 ，
故该几何体的表面积为 ．
求解组合体表面积的解题思路
求解组合体的表面积问题首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，将所给几何
体分割成基本的柱、锥、台体后，先求这些几何体的表面积，再通过求和或作差，
得到所求组合体的表面积.若遇到与旋转体有关的问题，应先根据条件确定各个旋转
体的底面半径和母线长，再代入公式求解.
【学会了吗丨变式题】
5.[多选题](2025·河北省石家庄市部分学校联考)已知一个等腰直角三角形的直角边长
为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为
( )
AB
A. B. C. D.
【解析】若绕直角边旋转，则得到的几何体为底面半径为1，高为1,母线长为 的圆锥,
故圆锥的表面积为 ，
若绕斜边旋转，则得到的几何体为同底的两个圆锥的组合体，每个圆锥的底面半径
和高都是，母线长为1，故组合体的表面积为 ，故选 ．
题型5 柱、锥、台侧面上的最短距离问题
图6-6.1-11
例13 (2025·福建省福州市期中)如图 6-6.1-11，已知正三棱柱的底面边长
为，高为.一质点自点 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点
的最短路线的长为____ .
13
思路点拨 既可以直接将正三棱柱的侧面沿侧棱展开求解，也可以将“绕
行两周”看作展开两次，得到展开图求解.
【解析】我们将“绕行两周”看作将正三棱柱 的侧面展开两次，得到展
开图（示意图）如图6-6.1-12所示，则 就是最短路线,
.
图6-6.1-12
例14 (2025·山东省青岛市期中)如图6-6.1-13所示，圆台母线长为 ，上、下底
面半径分别为,，从母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点 .
图6-6.1-13
（1）求这条绳长的最小值;
【解析】沿母线 将圆台侧面展开并补成扇形，如图6-6.1-14所示.
图6-6.1-14
易知，与 相似，
得.由,解得 .
因为的长与底面圆的周长相等，而底面圆的周长为 ,
又扇形的半径 ，
设扇形的圆心角为 ,则 ,解得,所以 .
在中，，所以 ，
即所求绳长的最小值为 .（原理是两点之间线段最短）
（2）求绳长最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离.
【解析】如图6-6.1-14所示，过点作，垂足为，交于点 ，则所求最
短距离即为 的长.
因为,所以 .
即绳长最短时,圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离为 .
最短路线的求解思路
求几何体侧面上两点间距离的最小值是一种常见的问题，常利用侧面展开图转化为
平面上两点间线段最短问题.求解时，注意图形特征，常构造直角三角形，利用勾股
定理等知识，这正是将空间几何问题转化为平面几何问题的体现.
A 基础练丨知识测评
建议时间：20分钟
1.已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是( )
B
A. B. C. D.
【解析】圆柱的底面半径和高都是2，所以圆柱的侧面积 ．
2.(2025·江苏省南京市临江高级中学期末)已知正四棱柱（即底面是正方形的直棱柱）
的底面边长为，侧面的对角线长是 ，则这个正四棱柱的表面积为( )
A
A. B. C. D.
【解析】设正四棱柱的高为，则，解得 这个正四棱
柱的表面积为 ．
3.侧棱长为的正四棱锥，如果底面周长是 ，则这个棱锥的侧面积是( )
A
A. B. C. D.
【解析】由于正四棱锥的侧棱长为，底面周长为 ，
所以这个棱锥侧面积是四个边长为 的等边三角形的面积之和，所以这个棱锥的侧面
积 ．
4.圆锥的侧面展开图是圆心角为 的扇形，则圆锥的表面积与底面积的比值为
( )
C
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】设圆锥底面半径为，母线长为 ．
由圆锥底面周长为，得 ，
圆锥的表面积，圆锥的底面积.故 .
5.若某正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱与底边的夹角为 ，则它的
表面积为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题可得，正四棱台的上底面的面积为，下底面的面积为 ，
侧面为等腰梯形，高为 ，所以该正四棱台的表面积为
．
图6-6.1-1
6.如图6-6.1-1,在长方体中,, ,
,在表面上由点到达点 的最短行程为( )
B
A.12 B. C. D.
【解析】当点经过平面与平面（或平面 与
平面）到达点时，最短行程为 ；
当点经过平面与平面或平面与平面到达点 时，最
短行程为；当点经过平面与平面
或平面与平面到达点时，最短行程为.所以在表面由点到达点的最短行程为 .（将长方体的面展开，利用两点之间线段最
短解题）
7.如图6-6.1-2，正六棱锥被过棱锥高的中点 且平行于底面的平面所截，得到正
六棱台和较小的棱锥 .
图6-6.1-2
（1）求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；
【答案】由题意知 ，
则 .
（2）若大棱锥 的侧棱长为12，小棱锥的底面边长为4，求截得的棱台的侧面面积
和表面积.
图D 6-6.1-1
【答案】如图D 6-6.1-1， 小棱锥的底面边长为4， 大棱锥的
底面边长为8，又，则 .
梯形的高 ，
,
.
B 综合练丨高考模拟
图6-6.1-3
8.(2025·湖北省黄冈市期末)鲁班锁（也称孔明锁）起
源于古代中国建筑的榫卯结构．这种三维的拼插器具
内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙．鲁
班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一
般都是易拆难装．如图6-6.1-3（1），这是一种常见
A
A. B. C. D.
的鲁班锁玩具，图6-6.1-3（2）是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该
鲁班锁的表面积为 ( )
【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为 的正方体截去了
8个正三棱锥所剩的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为 ，
则该几何体的表面积
．
图6-6.1-4
9.新情境 古代建筑 [多选题](2025·黑龙江省牡丹江市第二高级
中学期中)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称
为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、
八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建
筑．下面以四角攒尖为例，如图6-6.1-4，它的屋顶部分的轮廓可
AC
A.正四棱锥的底面边长为6米 B.正四棱锥的底面边长为3米
C.正四棱锥的侧面积为米 D.正四棱锥的侧面积为米
近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为 ，这个
角接近 ，若取 ，侧棱长为 米，则( )
【解析】如图D 6-6.1-2，在正四棱锥中，为正方形的中心， 为
的中点，连接,则,设底面边长为,连接,则 ,
图D 6-6.1-2
由题意知， ,, .
在中，,解得米, 底面边长为6米， 米，
故（米）.故选 .
10.[多选题](2025·山东省寿光市第一中学期末)已知圆锥的顶点为，底面半径为 ，
高为1，， 是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是( )
ABD
A.圆锥的侧面积是
B.与底面所成的角是
C.面积的最大值是
D.该圆锥内接圆柱侧面积的最大值为
【解析】设圆锥的底面圆心为,则，底面半径 ,所以母线长
,故圆锥的侧面积是 ,故选项A正确；
因为,是底面圆周上两个动点，则为圆锥的一条母线，又 与底面圆垂直，则
即为与底面所成的角，在中，,所以 与底面所
成的角是 ，故选项B正确；
设 ,则 ，且，所以 ,所
以当 时， 的面积最大，最大为2，故选项C错误；
设该圆锥内接圆柱的底面半径为,高为 ,
则有（相似三角形）,可得 ,则圆柱的侧面积为
,由二次函数的性质可知，当时， 取最大
值，最大值为,故选项D正确.故选 .
. .
11.(浙江高考题)已知圆锥的侧面积（单位：）为 ，且它的侧面展开图是一个
半圆，则这个圆锥的底面半径（单位： ）是___.
1
【解析】 设该圆锥的母线长为 ，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面
积为 ，所以 ，解得，所以该半圆的弧长为 .设该圆锥的底面
半径为，则 ，解得 .
设该圆锥的底面半径为，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为 .因为
侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为，则，即 ，所以侧面
展开图的面积为 ，解得 .
图6-6.1-5
12.如图6-6.1-5，，，两两垂直，过作 ，垂足
为 ．
（1）求证： 平面 ；
【答案】，， ，
平面， .
， ，
平面 ．
（2）设，二面角的平面角为 时，求三棱锥 的
侧面积．
【答案】，，为 的中点，
又， ，
平面， ，
二面角的平面角即 ，
， ，
三棱锥 的侧面积为
．
图6-6.1-6
13.(2025·四川省成都市成都外国语学校模
拟)如图6-6.1-6所示，在 中，
，分别以边和 为一边
向外侧作矩形和菱形 ，如图6-
6.1-6（1），满足 ，再将其沿
，折起使得与重合，连接 ，
如图6-6.1-6（2）．
（1）判断图6-6.1-6（2）中的，，， 四点是否共面？并说明理由.
【答案】，，， 四点共面，证明如下.
，，又，重合， ，
故，，， 四点共面.
（2）图6-6.1-6（2）中，， ，设是线段 上一点，连接
与．判断平面与平面是否垂直？并求三棱柱 的侧面积．
图D 6-6.1-3
【答案】如图D 6-6.1-3,， 且
， 平面 ，
又， 平面 .
又 平面， 平面 平面 .
平面， ，
当时，由于 ，
故 平面，则 .
在菱形中， ， ，
则，又 ，
，
故三棱柱 的侧面积为
．
C 培优练丨能力提升
14.新情境 羡除 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是
《算经十书》中最重要的一部.《九章算术》中将有三条棱互相平行且有一个面为梯
形的五面体称之为“羡除”，现有一个羡除如图6-6.1-7所示，已知侧面 是高为2
的等腰梯形，侧面 是高为1的等腰梯形，下底面是梯形，前、后侧面均为三角
形．，，，，且平面 平面 ，则该
“羡除”的表面积为________________.
图6-6.1-7
【解析】, .
在等腰梯形中,, ,梯形的高为2，
,
同理可得， ,
过作于,过作于,连接 ,
则有,,, ,
,, ,
平面, ，
又, ,
平面 平面, ,, ，
.
在等腰中,点到的距离为 ,
.
由对称性可知 .
该“羡除”的表面积为 .