§6 简单几何体的再认识-6.2 柱、锥、台的体积 课件(共113张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共113张PPT)
第六章 立体几何初步
§6 简单几何体的再认识
6.2 柱、锥、台的体积
必备知识解读
知识点1 柱、锥、台的体积
几何体 体积
柱体 .其中为柱体的底面积， 为柱体的高．
特别地，.其中为圆柱的底面半径， 为圆柱的高．
锥体 . 底面面积和高均相等的柱体和锥体的体积间的关系为
其中为锥体的底面积， 为锥体的高．
特别地，.其中为圆锥的底面半径， 为圆锥的高．
. .
几何体 体积
台体 .（公式的推导可以用两个锥体的体积作
差）其中,分别为台体上、 下底面积， 为台体的高．
特别地，，其中, 分别为圆台的上、下底面的
半径， 为圆台的高．
续表
. .
辨析比较
柱、锥、台体的体积公式之间的关系#1.1.1
柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥
体可以看作是有一个底面是一个点的台体,因此柱
体、锥体的体积公式可以看作是台体体积公式的
“特殊”形式.
知识拓展
台体体积公式的推导（以棱台为例）
设棱台的两个底面面积分别为和，高为 .设截得棱台时割去的小锥体的高
为，则截得这个棱台的大锥体的高为 ,则
，而 ,
所以，则 .
代入上式，得= .
学思用·典例详解
例1-1 [教材改编P253 T2] 长方体三个面的面积分别为2，6和9，则长方体的体积是
_____.
【解析】设长方体的长、宽、高分别为，，，不妨令,, ,相乘
得, .若正方体的棱长为，则其体积
例1-2 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为( )
D
A. B. C. D.
【解析】由题意知圆锥的母线长为2，底面周长为 ，
则底面半径为1，高为 ，
所以圆锥的体积为 .
. .
例1-3 已知一个棱台的两个底面面积分别是和 ,截得这个棱台的棱锥
的高为，则这个棱台的体积为_______ .
2 325
【解析】设棱台的高为，截得这个棱台的棱锥的高为 .
则 ，（面积之比等于高的平方之比）
因为，, ,
所以已舍去 ,
则这个棱台的体积 .
. .
释疑惑 重难拓展
知识点2 几何体体积的计算方法
1.直接法：直接套用体积公式求解.
图6-6.2-1
2.等体积法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面.为了求解
的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用
到.
（1）三棱锥的“等积性”，即计算体积时可以用任意一个面
作为三棱锥的底面.如图6-6.2-1所示，有
.
（2）利用“等积性”可求点到面的距离，关键是在面中选取三个点，与已知点构
成三棱锥.如构造三棱锥，若求点到平面的距离，可以先求 .因
为，所以 .
3.分割法（一般将分割法与补形法统称为割补法.）：在求一些不规则几何体的
体积时，我们可以将其分割成规则的、 易于求解的几何体分别求体积，再求和.
图6-6.2-2
4.补形法（一般将分割法与补形法统称为割补法.）：
对一些不规则（或难求解）的几何体，我们可以通过补
形，将其补为规则（或易于求解）的几何体.常见情况如
下：
（1）将正四面体补为正方体，如图6-6.2-2所示.
图6-6.2-3
（2）将对棱长相等的三棱锥补成长方体，如图6-
6.2-3所示,,, .
. .
. .
图6-6.2-4
（3）将三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长方
体或正方体，如图6-6.2-4所示,, ,
.
（4）将三棱锥补成三棱柱或平行六面体，如图6-6.2-5（1）（2）所示.
图6-6.2-5
（5）将三棱柱补成平行六面体，如图6-6.2-6所示.
图6-6.2-6
（6）将台体补成锥体，如图6-6.2-7所示.
图6-6.2-7
学思用·典例详解
例2-4 在棱长为1的正方体中，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，
则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后，剩下的几何体的体积为__.
【解析】正方体的体积为1，过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体所得的三棱
锥的体积是，于是8个三棱锥的体积为 ,剩下的几何体的体积
为 .
例2-5 如图6-6.2-8，已知底面半径为 的圆柱被一个平面所截，剩余部分母线长的最
大值为，最小值为 ，那么圆柱被截后剩余部分的体积是_____________.
图6-6.2-8
【解析】将该几何体上部补上一个与该几何体相同的几何体，得到一个圆柱，其体
积为 ，
所以所求几何体的体积为 .
例2-6 已知斜三棱柱的一个侧面的面积是，它所对的棱与此侧面的距离为 ,求证：
该斜三棱柱的体积 .
【解析】如图6-6.2-9所示，在三棱柱中，设侧面的面积为 ，
将三棱柱补成平行六面体 ，则
,即该斜三棱柱的体积 .
图6-6.2-9
关键能力构建
题型1 棱柱和圆柱的体积
例7 在正三棱柱中,为棱的中点,若 是面积为6的直角三角
形,则此三棱柱的体积为_____．
【解析】设,,则, .
因为 是面积为6的直角三角形，
所以解得
所以此三棱柱的体积 .
例8 把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积.
思路点拨 因为母线长不明确，所以要对母线情况进行讨论，而后代入体积公式求解.
【解析】设卷成的圆柱的底面半径为,母线长为 .
当时，（两种不同的卷法）， ,
所以 .
当时，, ，
所以 .
所以这个圆柱的体积为或 .
. .
. .
求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高.棱柱的高是两
个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等，都是高；
圆柱的高是其母线长.具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关量.
【学会了吗丨变式题】
1.一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之
比为_____.
【解析】由于正方体和圆柱等高，故可设正方体的棱长和圆柱的高（母线长）都为 ，
设圆柱的底面半径为 ，
则正方体的侧面面积为,圆柱的侧面面积为 ，
由，得 ，
所以正方体的体积，圆柱的体积，故 .故这
个正方体和圆柱的体积之比为 .
题型2 棱锥和圆锥的体积
1 棱锥、圆锥的体积
例9 新考法 数学文化 (2025·江苏省徐州市学情调研)《算数书》竹简于上世纪八十
年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记
载有求“囷 盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该术相当
于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式 ，它实际上
是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为3，那么近似公式 相当于将圆锥
体积公式中的 近似取为( )
C
A. B. C. D.
【解析】设圆锥底面圆的半径为，高为，则 ，
， ．
例10 (2023·全国甲卷)在三棱锥中， 是边长为2的等边三角形，
， ，则该棱锥的体积为( )
A
A.1 B. C.2 D.3
图6-6.2-10
【解析】如图6-6.2-10，取的中点，连接， ，因为
是边长为2的等边三角形，，所以 ，
，所以，又 ，所以
，所以 ，
又，, 平面，所以 平面 ，所
以 .
求锥体的体积，关键是确定高，而锥体的高是过顶点并与锥体底面垂直的线段，一
般可利用线面垂直的判定定理来确定，可通过构造直角三角形，应用勾股定理求解.
另外在使用公式时，不要忽略系数 .
【学会了吗丨变式题】
图6-6.2-11
2.(天津高考题)已知正方体 的棱长为1,除
面外，该正方体其余各面的中心分别为点， ，
，，（如图6-6.2-11），则四棱锥 的体积为
___.
【解析】四棱锥的底面是一个边长为 的正方
形，其高为正方体棱长的一半，即 ，所以四棱锥
的体积为 .
2 利用等体积转化求棱锥体积
图6-6.2-12
例11 如图6-6.2-12所示，在三棱锥中，平面 平面
，，， .求三棱锥
的体积.
知什么 平面 平面
用什么 面面垂直性质定理
得什么 平面的垂线过点，即四面体中底面 对应的高
求什么 三棱锥 的体积
转化为 三棱锥 的体积
图6-6.2-13
【解析】如图6-6.2-13所示，过点作，垂足为点 ，由
平面 平面，平面 平面，知 平
面，即是三棱锥 的高.
设为边的中点，连接，由，知 ，
在中， .
在中，由 ，
得 .
在中， ，
.
故三棱锥的体积 .
因为在三棱锥中，每个面都可以作为底面，如果底面对应的高不容易求解，那么可
以利用“等积性”，从另一个角度求底面面积和高，即
.
3 利用平行性质体积转化求棱锥体积
图 6-6.2-14
例12 如图 6-6.2-14所示，正方体 的棱长为4，
动点,在棱上，且,动点在棱 上，则三棱锥
的体积( )
D
A.只与点, 的位置有关
B.只与点 的位置有关
C.与点,， 的位置都有关
D.与点,, 的位置均无关，是定值
【解析】因为点到平面的距离为正方体的棱长4，到 的距离为正方体的棱
长4，所以,为定值，因此与点,， 的位
置均无关.
若棱锥的顶点满足平面，即点和点到平面 的距离相等，
则 .这种体积转化与底面形状无关.
【学会了吗丨变式题】
图6-6.2-15
3.[多选题] 如图6-6.2-15,棱长为1的正方体 中动
点,在棱上,动点,分别在棱,上,若, ,
,,,,大于零，则四面体 的体积( )
AD
A.与有关 B.与有关 C.与有关 D.与 有关
【解析】连接,,由题图易知，的面积为，显然与 有关.
当点变化时，其到平面的距离是变化的，因此会导致四面体 的体积变
化.故四面体的体积与,有关，与,无关，故选 .
4 利用比例体积转化求棱锥体积
例13 正六棱锥中，为的中点，则三棱锥 与三棱锥
的体积之比为( )
C
A. B. C. D.
思路点拨 利用三棱锥的顶点转换，将所求三棱锥体积转化为易求解的三棱锥体积.
【解析】如图6-6.2-16所示，设正六棱锥的高为 ,
图6-6.2-16
,
.
又 ,
.
名师点评 本题的难点是发现直线与平面斜交，且为中点，即点 到平面
的距离是点到平面距离的2倍，故将三棱锥 的体积转化为三棱锥
体积的一半.这种将所求几何体按比例转化为更易求解的几何体的方法也是
常见的求体积的方法.
5 利用等体积法求点到平面的距离
例14 (2025·河北省唐山市第十一中学段考)已知为矩形 所在平面外一点，
平面,为的中点，,，，则点到平面 的距
离为___.
【解析】如图6-6.2-17，在平面内作,垂足为，连接 .
图6-6.2-17
平面, 平面, ,
又,, 平面,平面 .
连接，则 .
在中， .
在中， .
为 的中点,
点与点到平面 的距离相等.
设点到平面的距离为 .
,
, ,
由,得 ，
.故点到平面的距离为 .
利用“等积性”求点到平面的距离,关键是在三棱锥中灵活选取底面，一般选取对应高
易求的底面，在计算底面三角形面积时，注意解三角形知识的应用.
【学会了吗丨变式题】
图6-6.2-18
4.(2024·全国甲卷)如图6-6.2-18，已知， ，
，， ，
，为 的中点.
（1）证明:平面 ;
【答案】由题意得，，且,所以四边形
是平行四边形，所以 .
又 平面, 平面,所以平面 .
（2）求点到平面 的距离.
图D 6-6.2-1
【答案】如图D 6-6.2-1，取的中点,连接, ，因为
，且，所以四边形 是平行四边形，所
以，又 ，
故是等腰三角形，同理 是等腰三角形，
可得,, ,
,
又，所以，故 .
又，, 平面, 平面 ，
所以 平面 .
易知 .
在中， ，
所以， .
设点到平面的距离为,由 ,得
，得 ,
故点到平面的距离为 .
题型3 棱台和圆台的体积
例15 (2022·新高考全国Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其
中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔 时，相应水面的面积为
;水位为海拔时，相应水面的面积为 .将该水库在这两个
水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到 时，增加
的水量约为 ( )
C
A. B. C. D.
图6-6.2-19
【解析】如图6-6.2-19，由已知得该棱台的高为
,所以该棱台的体积．
例16 如图6-6.2-20所示，已知圆台的高为3，在轴截面中母线 与底面圆的
直径的夹角为， ，求圆台的体积.
图6-6.2-20
思路点拨 在求解圆台体积公式中的未知量时，注意运用平面几何的有关知识.
图6-6.2-21
【解析】设圆台上、下底面的半径分别为, ，如图6-6.2-21，
作于点，则 .
,
，即 ①.
又 , ，
, ②.
联立,解得, .
又圆台的高 ,
,即圆
台的体积为 .
名师点评 本题中圆台的轴截面是等腰梯形，将题中的已知量转移到轴截面中即可求
出圆台上、下底面的半径.
台体的体积计算公式是，其中， 分别表示台体的上、
下底面的面积，这一公式较为复杂，要求记准．计算体积的关键是求出上、下底面
的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形．另外，
台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算.
【学会了吗丨变式题】
5.(2023· 新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个
底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为____.
28
图D 6-6.2-2
【解析】如图D 6-6.2-2所示，正四棱锥 的底面边长为4，
用平行于底面的平面截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥
后，得到正四棱台，且 ，
.记，分别为正四棱台 上、下底面的
中心，，分别为,的中点，连接,,, ，则
，,.易知 ，所以
，即，解得，所以 ，
所以该正四棱台的体积 .
题型4 不规则几何体的体积
例17 [教材改编P257 T3] 如图6-6.2-22所示，在多面体中，已知面 是边
长为4的正方形，，，到平面 的距离为3，求该多面体的体积．
图6-6.2-22
图6-6.2-23
【解析】 （分割法） 如图6-6.2-23所示，连接, ，
.（通常通过作辅助线将一个不规则的几何体分割成几个常见
的几何体）
四棱锥的体积 .
,, .
原多面体的体积 .
即该多面体的体积为20.
图6-6.2-24
（分割法） 如图6-6.2-24所示，设，分别为，
的中点，连接,,,,,,则,, ,
原多面体可分割为四棱锥及三棱柱 .
由题意得 .
原多面体的体积
.
即该多面体的体积为20.
.
图6-6.2-25
（补形法） 如图6-6.2-25所示，延长至点 ，使
，连接，，则多面体 为斜三棱
柱，且其直截面（垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面叫做
斜棱柱的直截面）面积为 ，
则.连接， ，
平面平面，为 的中点，
，
，
即 ，
. .
,
故原多面体的体积 .
名师点评通常用割补法将斜棱柱转化为直棱柱.斜棱柱的直截面是垂直于侧棱并与每
条侧棱都相交的截面，如图6-6.2-26，沿着直截面将斜棱柱截开后，可重新拼接成一
个直棱柱，此时斜棱柱的直截面就是直棱柱的底面，斜棱柱的侧棱就是直棱柱的高.
所以，斜棱柱的体积 直截面的面积×侧棱长.
图6-6.2-26
. .
利用割补法求体积的解题思路及步骤
利用割补法求体积的解题思路：在求解空间几何体的体积时，对不规则空间几何体
或不易于求解体积的空间几何体进行“割”或“补”，将不规则空间几何体转化为规则
的几何体，进而求解.
具体步骤如下：
第一步，明确图形，分析题设条件，如果几何体不是规则几何体，就需要对几何体
进行“割”或“补”，使其对应标准几何体模型；
第二步，计算体积，对“割”“补”好了的几何体用对应的体积公式进行计算；
第三步，得到结论，将计算的体积与题设要求对应即得问题答案.
注意：用割补法求几何体体积的关键是能根据几何体中的线面位置关系合理选择截
面进行切割或者补成规则的几何体.解题时要弄清切割后或补形后的几何体的体积与
原几何体的体积之间的关系.
【学会了吗丨变式题】
图6-6.2-27
6.新情境 斗拱 (2025·广东省佛山市期中)斗拱
是中国古典建筑中具有装饰性的构件之一，
并为中国所特有，图6-6.2-27（1）（2）是北
京故宫太和殿斗拱实物图，图6-6.2-27（3）
C
A. B. C. D.
是斗拱构件之一的“斗”的几何体，是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个长相
等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体）组成．若棱台两底面面积分别是
，，高为，长方体形凹槽的高为 ，“斗”的密度是
．那么这个 “斗”的质量是( )
【解析】易知棱台的体积 .
已知长方体形凹槽是指长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长
方体，
所以长方体的凹槽的体积是原长方体体积的 倍，所以长方体形凹槽的体积
.
故这个“斗”的质量（质量等于密度乘以体积）
．
. .
新考法 数学文化
图6-6.2-28
例18 数学文化 祖暅原理 (2025·黑龙江省哈尔滨市
第九中学校月考)中国南北朝时期数学家、天文学家
祖暅沿用了魏晋时期著名数学家刘徽的思想，得出
“幂势既同，则积不容异”的结论．“幂”是水平截面
的面积，“势”是几何体的高，即两个等高的几何体
D
A. B. C. D.21
若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，上述原理称
为“祖暅原理”．如图6-6.2-28，一个上底面边长为1，下底面边长为2，侧棱长为
的正六棱台与一个不规则几何体满足 “幂势既同”，则该不规则几何体的体积为
( )
【解析】由“祖暅原理”知，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等，因为正
六棱台的上、下底面边长分别为1和2，则上底面面积 ，
下底面面积，由侧棱长为易得高为 ，
所以所求体积 ．
例19 九章算术 羡除 (2025·辽宁省名校联盟月考)我国古代数学名著《九章算术》中
记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几
何？”这里的“羡除”是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图6-
6.2-29（1）所示“羡除”中，，，， ，等腰梯形
和等腰梯形 的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂
直．按如图6-6.2-29（2）的分割方式进行体积计算，则该“羡除”的体积为( )
A
图6-6.2-29
A.84 B.66 C.126 D.105
【解析】按图6-6.2-29（2）中的分割方式，中间为直三棱柱，直三棱柱的底面为直
角三角形，两条直角边长分别为7和3，直三棱柱的高为6，则直三棱柱的体积
.（利用题干中的有效信息可知“羡除”被分割成熟悉的直三棱
柱和四棱锥）
两侧为两个全等的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，
直角梯形的面积 ，四棱锥的高为3，
则两个四棱锥的体积 ．
所以该“羡除”的体积 ．
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
求空间几何体的体积一直是高考重点考查的内容，通常结合方程思想考查公式的应
用和基本量的运算，试题一般较基础.因为几何体的高涉及线面垂直，所以在解答题
中，几何体体积也常与线面位置关系综合考查，难度中等.
核心素养：直观想象（几何体的结构特征），数学运算（体积的求解）.
考向1 空间几何体的体积
图6-6.2-30
例20 (2025·上海)如图6-6.2-30，在正四棱柱
中，, ,则该正四棱柱的体积为_____.
112
【解析】在中， .在
中,,因为, ,所以
,则该正四棱柱的体积为 .
例21 (2024· 新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高
均为 ，则圆锥的体积为( )
B
A. B. C. D.
【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为 ，
而它们的侧面积相等，所以 ,
即，故 ，
故圆锥的体积为 .
图6-6.2-31
例22 (2024·天津)如图6-6.2-31，一个五面体 .已知
,且两两之间距离为1,,, ,则该
五面体的体积为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 因为,, 两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以分
成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，该三棱柱的直截面
（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，所以三棱柱的体积等于棱长均为1
的直三棱柱的体积，四棱锥的高为 ，（直截面的高）底面是上底为1、下底为2、
高为1的梯形，故该五面体的体积 .
. .
图6-6.2-32
如图6-6.2-32，用一个完全相同的五面体 与
该五面体镶嵌，使得与，与，与 重合,因为
，且两两之间距离为1，,, ,
则形成的新组合体为一个三棱柱,该三棱柱的直截面为边长为1
的等边三角形，侧棱长为 .
故 ,所以
.
例23 (2023· 新课标Ⅰ卷)在正四棱台中，， ,
,则该棱台的体积为_ ___.
图6-6.2-33
【解析】如图6-6.2-33所示,设点, 分别为正四棱台
上、下底面的中心,连接, ,则
点,分别为,的中点,连接,则 即正四棱
台的高,过点作,垂足为 ,
则.因为,,所以 ,
,所以 ,又
,所以 ,
,所以 ,所以
.
考向2 几何体体积与线面位置关系的综合问题
例24 (2025·北京)如图6-6.2-34，在四棱锥中，与 均为等腰直
角三角形， ， ，为 的中点．
图6-6.2-34
（1）若，分别为，的中点，求证：平面 ；
【解析】取的中点，的中点，连接，，,则, ,
, ,
与为等腰直角三角形, ， ,不妨设
，则 .
,，为 中点，
， ，
, ,，， ,
四边形为平行四边形， ，
平面， 平面，平面 .
（2）若 平面，，求直线与平面 所成角的正弦值．
【解析】延长，，相交于点，则与平面所成的角就是与平面
所成的角.
平面， 平面，，又， ，
平面，又 平面，，即 是直角三角形.
不妨设，则，，.设点到平面
的距离为，则， ，
，得，设直线与平面 所成的角
为 ，则 .
综上所述，直线与平面所成角的正弦值为 .
高考新题型专练
1.[多选题] (2023· 新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为，底面圆心为， 为底面直
径， ，，点在底面圆周上，且二面角为 ，则
( )
AC
A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为
C. D.的面积为
图D 6-6.2-3
【解析】在中,由余弦定理得 ，如图D 6-
6.2-3，连接,易知圆锥的高 ，底面圆的半径
.
对于A，该圆锥的体积 ，故A选项正确；
对于B，该圆锥的侧面积 ，故B选项错误；
对于C，取的中点，连接, ,
因为，所以，同理可得 ，
则二面角的平面角为 ，
所以,,所以 ，故C选项正确;
对于D，，,故D选项错误.综上，选 .
2.新考法 结构不良 从，是中点，是 的内心三个条件
中任选一个条
件，补充在下面问题中，并完成解答．如图6-6.2-35，在四棱锥 中，底面
是矩形， 底面，且，，，， 分别为
， 的中点．
图6-6.2-35
（1）判断与平面 的位置关系，并证明你的结论；
图D 6-6.2-4
【答案】平面 ．理由如下：
如图D 6-6.2-4所示，连接 ，
四边形为矩形，且点为 的中点，
点为 的中点，
为的中点， ，
平面， 平面 ，
平面 ．
（2）若是侧面上的一点，且____，求三棱锥 的体积．
【答案】 四边形是矩形， ，
平面， 平面， ，
，, 平面， 平面 .
为中点， .
选①,，则 ，
平面，且 ，
三棱锥的体积为 .
选②，，分别是, 的中点，
，且 ，
平面， 平面 ，
三棱锥的体积为 .
选③,设的内切圆切于点，连接，则 ，
平面， 平面， ，
在平面内，，，则 ，
平面， ，
，
由等面积法可得 ，
，
三棱锥的体积为 .
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25 分钟
1.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 ，那么圆柱的体积等于( )
B
A. B. C. D.
【解析】设圆柱的底面半径为，则圆柱的母线长为 ，由题意得
，所以，所以 .
2.(2025·宁夏青铜峡市二中开学考试)棱长和底面边长均为1的正四棱锥的体积为
( )
C
A. B. C. D.
图D 6-6.2-1
【解析】如图D 6-6.2-1，在正四棱锥中， 在底面
上的射影为，则为正方形的中心，连接 ，
，则， ，故所求体积
．
3.(2025·四川省仁寿县一模)圆台的体积为 ,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台
的高为( )
A
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】设圆台的体积为，高为.由题意得， , .
4.若一个正四面体（各个面都是正三角形）的体积为 ,则其表面积为( )
A
A. B. C. D.
【解析】设正四面体的棱长为,则底面积为,易求得高为 ,则体积为
,解得 ,所以该正四面体的表面积为
.
5.[多选题](2025·安徽省阜阳市期中)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上下两
部分几何体,且上下两部分的高之比为 ，则关于上下两个几何体的说法正确的是
( )
BD
A.侧面积之比为 B.侧面积之比为 C.体积之比为 D.体积之比为
【解析】设小锥体的高为，大锥体的高为，则由题知 .
由于小锥体的侧面和大锥体的侧面构成的三角形为相似三角形，相似比为 ，故其侧
面积的比为 ，
所以几何体的上下两部分的侧面积的比为 .
又易知小锥体和大锥体的底面积比等于 ，所以上面的锥体和整个锥体的体积比为
，
故上下两个几何体的体积比为．故选 ．
6.新情境 粽子(2025·福建省宁德一中月考)农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的
习惯，粽子又称粽籺，俗称粽子，古时候在北方称“角黍”，是端午节大家都会品尝
的食品.如图6-6.2-1（1），平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形组成
的，将它沿虚线对折起来，可以得到如图6-6.2-1（2）所示“粽子”形状的六面体，则
该六面体的体积为_ ___.
图6-6.2-1
【解析】“粽子”的上半部分示意图如图D 6-6.2-2所示,
图D 6-6.2-2
设底面三角形的外心为，连接并延长，交于点 ，
等边三角形的边长为2， ,
连接，则 平面,且 ,
,
该六面体的体积为 .
图6-6.2-2
7.(2025·上海市上南中学月考)如图6-6.2-2所示，某种“笼具”由内、
外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和圆柱,其中圆
柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,制作时需要将圆锥的顶
端剪去,剪去部分和接头忽略不计.已知圆柱的底面周长为 ,
高为,圆锥的母线长为 .
【答案】设圆柱的底面半径为,高为,圆锥的母线长为,高为 .
（1）求这种“笼具”的体积;
【答案】根据题意可知 ,所以,则 ,
所以这种“笼具”的体积
.
（2）现要使用一种纱网材料制作50个这种“笼具”,已知每平方米该材料的造价为8元,
则共需多少元
【答案】圆柱的侧面积 ,
圆柱的上底面面积 ,
圆锥的侧面积 ,
所以这种“笼具”的表面积 ,
所以共需 元，
故造50个这种“笼具”共需 元.
B 综合练丨高考模拟
建议时间：35 分钟
8.(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ,侧
面积分别为和，体积分别为和.若,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】设两圆锥的母线长为，甲、乙两圆锥的底面半径分别为,，高分别为 ,
，侧面展开图的圆心角分别为,，则由，得．
由题意知 ，所以,，所以, ，得
,.由勾股定理得，, ，所以
.
9.已知在三棱锥中，平面 平面，， ，
， ，则三棱锥 的体积的最大值为( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为 ，即，又平面 平面 ，
平面 平面， 平面，所以 平面 .
在中,， ，由余弦定理得
，
即，所以 ，所以
，当且仅当 时取等号，
所以 ，
所以 ，
即三棱锥的体积的最大值为 .
10.新情境 刍童(2025·辽宁省协作体模拟)中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思．后
来用它表示上、下两个底面均为矩形（不能全为正方形且矩形的长不小于宽），四
条侧棱的延长线不交于一点的六面体．关于“刍童“体积计算的描述，《九章算术》
注曰：“倍上袤，下袤从之；亦倍下袤,上袤从之；各以其广乘之，并，以高乘之，
六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽
相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数
值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为10的矩形，
上底面矩形的长为2，宽为1，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )
A
A.12 B. C. D.
【解析】设下底面的长、宽分别为，，则, ，
又矩形的长不小于宽，所以 ．
由题意可得，该刍童的体积为
,
则其对应的二次函数的图象的对称轴为直线 ,
所以在 上单调递减,
.
11.(天津高考题)已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一
个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则
该圆柱的体积为__.
【解析】由题意得，圆柱的高为四棱锥高的一半，底面直径为以四棱锥侧棱的四个
中点为顶点的正方形的对角线长，易求得圆柱的底面的直径为1，高为1，所以该圆
柱的体积 .
图6-6.2-3
12.(全国Ⅲ卷)学生到工厂劳动实践，利用 打印技术制
作模型.如图6-6.2-3， 该模型为长方体
挖去四棱锥后所得的几何体，其中 为长方体
的中心，,,， 分别为所在棱的中点，
，. 打印所用原料密度为
.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量
为______ .
118.8
【解析】长方体的体积 ，而四棱锥
的底面积为矩形面积的一半，高为 长的一半，所以四棱锥
的体积，所以长方体
挖去四棱锥后所得几何体的体积 ，所以制作该模
型所需原料的质量为 .
13.(全国Ⅰ卷)如图6-6.2-4,在平行四边形中,, .以 为
折痕将折起,使点到达点的位置,且 .
图6-6.2-4
（1）证明:平面 平面 ;
【答案】由已知可得， ， .
又，,， 平面,所以 平面 .
又 平面,所以平面 平面 .
（2）为线段上一点,为线段上一点,且,求三棱锥 的
体积.
【答案】由已知可得，,, .
又,所以 .
图 D 6-6.2-3
如图D 6-6.2-3所示，作，垂足为点，则
且，所以 .
由已知及（1）可得 平面，所以 平面 .
因此三棱锥 的体积
.
14.新考法 结构不良如图6-6.2-5所示为一个半圆柱，为半圆弧上一点，．
图6-6.2-5
（1）若，求四棱锥 的体积的最大值.
【答案】在平面内作于点 ,
平面 平面,平面 平面 ,
平面 .
为半圆弧上一点， ,
, ,
,
，
,当且仅当 时，等号成立，
四棱锥的体积的最大值为 .
（2）有三个条件：
① ；
②直线与所成角的正弦值为 ；
③ ．
请你从中选择两个作为条件，求三棱锥 的体积.
【答案】由条件①知， ,
,
,即 ,
又，， .
由条件②知，与所成角的正弦值为 .
, 平面 ,
为直线与所成的角，即 ,
.
由条件③及正弦定理知， ，
设，则 .
若选条件,则，，且 ,
.
若选条件,则,,且 ,
,解得, .
若选条件②③，则，且 ,
又,,, .
故从条件①②③中任选两个作为条件，都可以得到,， .
在平面内作于点 ，
由（1）可知 平面 ,
，，,又 ,
三棱锥 的体积
.
C 培优练丨能力提升
15.(2025·四川省成都市树德中学期中)如图6-6.2-6,在棱长均为2的正三棱柱
中，为的中点．过的截面与棱，分别交于点， ．
图6-6.2-6
（1）若为的中点，求 的长；
【答案】直线与,的延长线分别交于点,，如图D 6-6.2-4，则 平面
，又 平面，平面 平面 ，
所以，即，， 三点共线.
由,分别为，的中点，得 ，
则，又，因此 ，
所以 ．
（2）若四棱锥的体积为，求截面与底面 所成二面角的正弦值；
图D 6-6.2-4
【答案】三棱柱的体积 ，
如图D 6-6.2-4，连接,，由，且 平面
, 平面，故平面 ，由三棱锥体积公
式易知为定值，由已知可知，, ,
,, 平面,所以 平面 ,故
为 的高，
故 ，由
得 .
设到平面的距离为 ,
又，则，由 平面
， 平面，得平面 平面 ，
因此点到平面的距离即为点到的距离，为，即为靠近 的四等
分点，
由平面平面，得截面与平面所成角即为截面 与平面
所成角.
在中，， ，
，
则，即，而 平面 ，
又平面 平面，且平面 平面 ，
因此 平面，所以，且平面 平面 ，所以
即为截面与底面 所成的二面角，
在中，，， ，则
，
所以截面与平面所成二面角的正弦值为 ．
（3）设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱
上变动时，求 的取值范围．
【答案】设，由（1）知， ，
，则， ，
设的面积为，则 ，
又,所以,即，于是 ，
，
令，，函数在 上单调递减，则
，，即 ，
所以 .