§6 简单几何体的再认识-6.3 球的表面积和体积 课件(共104张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共104张PPT)
第六章 立体几何初步
§6 简单几何体的再认识
6.3 球的表面积和体积
必备知识解读
知识点1 球的截面
1 球的大圆和球的小圆
用一个平面去截球，截面是圆面．球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大
圆；被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆．
2 截面的性质
（1）位置关系：球心和不经过球心的截面的圆心的连线垂直于截面（如图6-6.3
-1所示）．
图6-6.3-1
（2）度量关系：球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径 满足关系
式 .
特别提醒 利用球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空
间问题转化为平面问题的主要途径.
. .
学思用·典例详解
例1-1 已知某球球心到其截面的距离为3，球的半径为5，则截面面积为_____.
【解析】依题意，得截面圆的半径 ,
所以所求截面面积为 .
例1-2 用一个平面截半径为的球，截面面积是 ,则球心到截面的距离
为____ .
20
【解析】球的半径，截面圆的半径 ,则球心到截面的距
离 .
知识点2 球的切线
1 定义
当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点.
2 切线的性质
（1）过球外一点可以作球的无数条切线.
（2）过球外一点的所有切线的切线长都相等.
如图6-6.3-2，设过点的直线与球相切于点，则 ,即球的切线垂直于
过切点的半径，所以切线长 （定值）.
设点在上的垂足为，则 （定值），即所有切点的
集合是以点为圆心、为半径的圆，圆面 及所有切线围成了一个圆锥
（如图6-6.3-3所示）.
图6-6.3-2
图6-6.3-3
学思用·典例详解
例2-3 过球外一点作球的三条切线，切点分别为,,，若，，， 是棱长为2
的正四面体的顶点，则该球的半径为____.
图6-6.3-10
【解析】如图6-6.3-10所示，设的中心为,连接，，则球心在 的延长
线上,记球心
为.连接，， .
依题意知，， ,
根据勾股定理得 .
在中，由射影定理得，解得 .
又 是球的切线，
所以在中，
,所以该球的半径为 .
知识点3 球的表面积和体积
1 球的表面积
球的半径为，那么它的表面积.球的大圆半径等于球的半径 ,故大
圆面积,是球的表面积的
. .
2 球的体积
球的半径为，那么它的体积 .
知识剖析 1.球的表面是曲面，不能展开在一个平面上，因此不能用计算平面图形的
面积的方法来计算其表面积，但是由球的表面积公式求得的值是准确值，而不是近
似值.
2.常用结论：两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方，体积之比
等于这两个球的半径之比的立方.
学思用·典例详解
例3-4 半径为 的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等，则长方
体的表面积为____.
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【解析】球的体积为，则长方体的高为 ，
故长方体的表面积为 .
释疑惑 重难拓展
知识点4 与球有关的切、接问题
1 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案
2 外接球的常见情形
图6-6.3-4
（1）圆柱的外接球：如图6-6.3-4所示，在圆柱中，
为圆柱底面圆的一条直径， 是一条母线，则其外接球的球心就
是线段的中点.设圆柱的底面半径为,圆柱的高为 ,外接球的半
径为,则 .
图6-6.3-5
（2）直棱柱的外接球：如图6-6.3-5所示，可以将直棱柱的
外接圆柱 作出来，则直棱柱的外接球即其外接圆柱的外接球.
设外接圆柱的底面半径为，直棱柱的高为 ，外接球的半径
为，则 .
图6-6.3-6
（3）直棱锥的外接球：如图6-6.3-6所示，可先将直棱锥
补成直棱柱，再将其外接圆柱 作出来，则直棱锥的
外接球即所补直棱柱的外接圆柱的外接球.设外接圆柱 的底面
半径为，直棱锥的高为,外接球的半径为 ,则
.
图6-6.3-7
（4）有一个侧面垂直于底面的棱锥的外接球：如图6-6.3-7
所示，三棱锥中，侧面 底面，可在平面
内作垂直，且交的外接圆于点,则三棱锥 的
外接球与三棱锥的外接球为同一个球.设 的外接圆
的半径为,则,设的外接圆的半径为 ,
三棱锥的外接球的半径为,则 .
图6-6.3-8
（5）长方体的外接球：如图6-6.3-8所示，长方体的体对角
线为长方体外接球的直径.设长方体的长、宽、高分别为,, ，
外接球的半径为,则 .
图6-6.3-9
（6）对棱相等的三棱锥的外接球：如图6-6.3-9所示，在三
棱锥中，,, ,可作三棱锥
的外接长方体，设长方体的长、宽、高分别为，， ，
外接球的半径为,则, ,
,则 ，也就是
说，对棱相等的三棱锥的外接球的直径的平方等于该三棱锥任意一个点出发的三条
棱的平方和的一半.
3 内切球半径的求解思路
对于多面体的内切球，设其球心为 ，连接多面体各顶点与球心，则将多面体
分割为若干个棱锥.
设多面体的体积为，多面体各个面的面积分别为，，， ， ,多面体
的表面积为,内切球的半径为即球心到各个面的距离为 ,则
,于是可得
.
学思用·典例详解
例4-5 (2025·吉林省梅河口市第五中学期中)一个三棱锥的三条侧棱两两垂直且长度
分别为3，4，5，则它的外接球的表面积是( )
C
A. B. C. D.
图6-6.3-11
【解析】把三棱锥 补成长方体，如图6-6.3-11所示，则该
三棱锥外接球的直径等于长方体的体对角线长.设三棱锥的外接球
半径为，则，即 ，故它的外
接球的表面积 .
例4-6 （1）若一个球内切于一个正方体，则该正方体的棱长与球的半径之比为_____；
【解析】设正方体的棱长为，内切球的半径为 ，则球的直径和正方体的棱长相等，
即,故正方体的棱长与球的半径之比为 .
（2）若一个球外接于一个正方体，则该正方体的棱长与球的半径之比为______;
【解析】设正方体的棱长为，外接球的半径为 ，则球的直径和正方体的体对角线
相等，即,故正方体的棱长与球的半径之比为 .
（3）若一个球与一个正方体的所有棱都相切，则该正方体的棱长与球的半径之比为
______.
【解析】设正方体的棱长为，球的半径为 ，则球的直径和正方体的面对角线相等，
即,故正方体的棱长与球的半径之比为 .
点评 棱长为的正方体的内切球半径为,棱切球半径为,外接球半径为 ,三
者之间的比为1 .（可作为小结论使用）
延伸 正方体棱长为 与球常见切、接问题的截面图有以下三种：
图6-6.3-12
（1）如图6-6.3-12（1），球内切于正方体，所取截面是正方
体的中截面， 为球的一个大圆，从图中可以看出球的直
径等于正方体的棱长；
（2）如图6-6.3-12（2），球外接于正方体，所取截面是正方体的一个对角面，
为球的一个大圆，从图中可以看出球的直径等于正方体的体对角线长，此时一定要
注意圆的内接四边形不是正方形，而是矩形;
（3）如图6-6.3-12（3），球与正方体各棱均相切，所取截面仍是正方体的一个对角
面，可以看出球的直径等于正方体的面对角线长.
对于以上三类问题，只要按照上述三种方法取截面就可以了，这是解决此类问题的
关键.从中也可以看出截面的选取必须反映出球和正方体之间的主要位置关系和数量
关系.
关键能力构建
题型1 球的表面积和体积
例7 若一个球和一个正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是( )
C
A. B. C. D.不能确定
【解析】设球的半径为，正方体的棱长为 ，
由体积相等可得，则 .
所以.易知 .
因为,所以 .
名师点评 对于球和正方体，当两者的表面积相等时，球的体积大于正方体的体积；
当两者的体积相等时，球的表面积小于正方体的表面积．
对于球的表面积公式及球的体积公式 一定要记准.计算球的表
面积和体积的关键是确定球的半径 .一般地，题中不会直接给出球的半径，而是隐
藏在某些条件或解题过程中，一定要注意挖掘题目的隐含条件．
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·浙江省杭州市月考)一个正方体与一个球的表面积相等，那么它们的体积的
比值是( )
A
A. B. C. D.
【解析】设正方体的棱长为,球的半径为,则,即 ，所以
.
题型2 球的截面问题
例8 (2025·广东省东莞市开学考试)已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是
和 ，则这两个截面间的距离为_______.
2或14
图6-6.3-13
【解析】如图6-6.3-13（1）（2）所示，设圆 为球
的大圆，点，分别为两截面的圆心， 为经过
点，， 的直径，由题中条件可得两截面的半径
分别为6和8.
当两截面在球心同侧时，
;
当两截面在球心两侧时，
.
综上可知，两截面间的距离为2或14.
易错警示 对于两个平行平面截球时，要分清两截面与球心的位置关系,即两个平行
截面是在球心的同侧还是在球心的两侧.
一般情况下，在球的截面问题中，截面圆的半径、球心到截面的距离、球的半径之
间的数量关系是解决与之有关的计算问题的基础，而球的轴截面（过球的直径的截
面）是将球的问题（立体问题）转化为圆的问题（平面问题）的关键，因此在解决
球的有关问题时，我们必须重视球的轴截面，并充分利用它来分析、解决问题．
【学会了吗丨变式题】
2.新情境中国天眼 (2025·上海市南洋中学测试)“中国天眼”是具有我国自主知识产权、
世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜．其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平
面所截后剩下的曲面，截得的圆为底面，垂直于圆的直径被截得的部分为高，球冠
面积，其中为球的半径，为球冠的高），设球冠底面的半径为 ，周长
为，球冠的面积为，则当 ， 时， ( )
B
A. B. C. D.
【解析】由已知可得球冠底面中心到球心的距离为 ，
又球冠底面的周长 ，所以 ，
又 ，所以 ，
则有，即 ，
即 ，
解得，即，故 .
题型3 几何体的外接球问题
1 棱柱的外接球
母题 致经典·母题探究
长方体、正方体的外接球
长方体、正方体是高中数学中常见的两个几何体，其外接球的考查也是热点.由于长
方体的中心到其顶点的距离相等，而球面上各点到球心的距离也相等，因此不难得
知长方体的中心就是其外接球的球心，长方体的体对角线长就是其外接球的直径.熟
知这一结论是解决长方体、正方体外接球问题的关键.
例9 (全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为正方体的体积为8,所以棱长为2,所以正方体的体对角线长为 ,所以正
方体的外接球的半径为,球的表面积为 .
子题
子题1 (全国Ⅱ卷)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球 的球面上，则
球 的表面积为_____.
【解析】依题意得，长方体的体对角线长为 ，记长方体的外接
球的半径为，则，因此球的表面积为 .
子题2 (2023·全国甲卷)在正方体中，，为 的中点，若
该正方体的棱与球的球面有公共点，则球 的半径的取值范围是___________.
【解析】由该正方体的棱与球的球面有公共点，可知球 的半径应介于该正方体的
棱切球半径和外接球半径之间（包含棱切球半径和外接球半径）.
设该正方体的棱切球半径为，因为 ，
所以，所以 ；
设该正方体的外接球半径为，因为 ，
所以，所以 .
所以球的半径的取值范围是 .
例10 已知一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的顶点都在同一个球
面上，且该正六棱柱的体积为 ，底面周长为3，则这个球的体积为____．
思路点拨 根据正六棱柱的最长体对角线长等于其外接球的直径，求出球的半径，
进而可求出球的体积.
【解析】设正六棱柱的底面边长为，则， .
设正六棱柱的高为，由其体积为，知，解得 .
正六棱柱外接球的直径 恰好等于正六棱柱的最长体对角线长，
，解得 .
故这个球的体积 .
2 棱锥的外接球
例11 (全国Ⅰ卷)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球 的直径.
若平面 平面，,,三棱锥的体积为9，则球 的表
面积为_____.
图 6-6.3-14
【解析】
设球的半径为，为球的直径， 点为 的中点.
如图6-6.3-14，连接,，,, ,
平面 平面，平面 平面 ，
解得 .
故球的表面积 ．
平面，故，即 ，
例12 新情境 蹴鞠 (2025·山西省阳泉市期末) 蹴鞠又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，
蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指
古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非
物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，已知某鞠的表
面上有四个点，，，，满足，， ，则
该鞠的表面积为( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为，，，（说明以,,, 为顶点的多面体的
对棱相等）
所以可以把，，， 四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就
是“鞠”的直径．
设该长方体的长、宽、高分别为，，，“鞠”的半径为 ，则
．
因为，， ，
所以，所以 ．
. .
3 圆柱、圆锥的外接球
图6-6.3-15
例13 (2025·上海市三林中学期中)如图6-6.3-15所示，半径为4的
球 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆
柱的侧面积之差为( )
C
A. B. C. D.
图6-6.3-16
【解析】 如图6-6.3-16，为圆柱底面圆的圆心, 为球面
上一点，设圆柱底面半径为，球的半径 与圆柱底面夹角为
，则 ，
，
圆柱的高 ，
圆柱的侧面积 ，
设球的半径为，球心到圆柱底面的距离为,底面半径为,则 ,
结合正弦函数的性质知，当且仅当,即 时，圆柱的侧面积最大，为
.
此时,球的表面积与圆柱的侧面积之差为 .
圆柱的侧面积 ,当且仅
当 时，等号成立，此时球的表面积与圆柱的侧面积之差为
.
例14 (2025·河北省部分示范性高中模拟)已知底面半径为的圆锥的侧面积为 ，
则该圆锥的外接球的体积为( )
A
A. B. C. D.
图 6-6.3-17
【解析】如图6-6.3-17所示，设该圆锥的底面半径为，母线长为 ，
高为，外接球的半径为 .
则 ，解得， ，
又，即，解得 ．
该圆锥的外接球的体积 ．
4 球与组合体的切、接问题
图6-6.3-18
例15 新情境 印章文化 (2025·北京市石景山区期
末)我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印
章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私
人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文
化内涵，也被作为装饰物来使用．图6-6.3-18（1）
C
A. B. C. D.
是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一
个正四棱锥组成的几何体，如图6-6.3-18（2）．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，
且底面边长均为4，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是
( )
【解析】 底面边长为4，
底面的对角线长为 ，
设正四棱柱和正四棱锥的高都为 ,外接球（外接球的球心为正四棱柱的中心）的半
径为 ，则根据题意可得
解得
外接球的表面积为 ．
. .
处理有关几何体外接球的问题时，一般需依据球和几何体的对称性，确定球心与几
何体的特殊点、球的直径与几何体的体对角线间的关系.求解时，需注意以下几点.
（1）求解四面体（或三棱锥）的外接球问题时，常把四面体（或三棱锥）补成长方
体或正方体，转化为长方体或正方体的外接球问题来解决.
两个常用结论：①长方体内接于球，则球的直径等于长方体的体对角线长；②正方
体内接于球，则球的直径等于正方体的棱长的 倍.
（2）直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点.确定直棱柱的
外接球，就是找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.
【学会了吗丨变式题】
3.(2025·广西南宁市第二中学月考)正四面体的棱长为4，点,,,都在球 的
表面上，为棱的中点，过点 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为____；
截面面积的最大值为____.
图D 6-6.3-1
【解析】将正四面体 放置于如图D 6-6.3-1所示的正方体中，
可得该正方体的外接球就是正四面体 的外接球，设该外接
球的半径为 .
正四面体的棱长为4，且正四面体 的棱长是正方体的面对角线长，
正方体的棱长为 ，
正方体外接球的半径满足,解得 .
E为棱的中点，过点作其外接球的截面，当截面到外接球的球心 的距离最大
时，截面面积最小，（此时截面圆的半径最小）此时为截面圆心，球心 到截面的
距离 .
. .
由截面的性质可得截面半径 .
故截面面积的最小值为 ．
截面面积的最大值为大圆的面积，即 .
题型4 几何体的内切球问题
例16 若一个圆台的上、下底面半径分别为, ，则其内切球的表面积为( )
C
A. B. C. D.
思路点拨 根据勾股定理或三角形相似求出球的半径，即可得球的表面积.
图6-6.3-19
【解析】 作圆台的轴截面，如图6-6.3-19所示，设球的半
径为，,,分别是圆与，， 的切点.易知
，，又，，则 ，即
.
过点作于点，在中， ,
， ，
由勾股定理得，解得 .故球的表面积
.
如图6-6.3-19所示，设球的半径为，连接,，，， 分别是圆与
，，的切点.易知, , ，
,又 ，所以
，即 .在中，是斜边 上的高，由相
似三角形的性质得，即，故 ．
故球的表面积 .
例17 求棱长为 的正四面体的外接球和内切球的表面积．
思路点拨 先定球心，求出外接球和内切球的半径，代入球的表面积公式即可得解.
【解析】设是棱长为 的正四面体.
图6-6.3-20
如图6-6.3-20所示，作 平面于，则为的中心，连接 ，
,
.
在平面内作的垂直平分线交于点，交于点，连接，， ，
则，且到平面，，， 的距离相等,
是正四面体的内切球和外接球的球心.
. .
（重心分中线为两部分）
（构造过切点的截面） ,
, .
故正四面体外接球的表面积 ,内切球的表面积
.
（利用体积转化求解）正四面体的表面积 ,
正四面体的体积 ，
又, ,
，
.
故正四面体外接球的表面积 ,内切球的表面积
.
图6-6.3-21
如图6-6.3-21所示，该正四面体可看成是由棱长为
的正方体切割而成，所以正四面体的外接球即正方体的外接球，
则外接球的半径 ,
即,又，所以 ,即
,
故正四面体外接球的表面积 ,内切球的
表面积 .
解决几何体的内切球问题，应先画出示意图（一般画出轴截面或对角面），再根据
题中的数量关系将其转化为平面问题，如转化成三角形问题、圆的有关问题等．求
解时，需注意以下几点.
（1）正方体的内切球的直径等于正方体的棱长.
（2）正四面体的外接球与内切球的球心重合,且半径之比为3 .
②棱长为的正四面体的高为,其外接球的半径为,内切球的半径为 .这些可
以作为结论进行记忆.
（3）若球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面
圆的直径．
（4）若球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
【学会了吗丨变式题】
4.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，若这个球的体积是 ,
则这个三棱柱的体积是_____.
【解析】设球的半径为,由题意得 ,
,故正三棱柱的高 .
设正三棱柱的底面边长为,则, ,
故这个三棱柱的体积 .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考主要借助球的切、接问题，考查球的切线和截面性质，以及表面积、体积公式，
命题形式一般为选择题和填空题，难度中等或比较困难.
核心素养：直观想象（寻求外接球的球心位置），数学运算（球的表面积、体积的
求解）.
考向1 球的切线问题
例18 (新高考全国Ⅱ卷)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫
星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为
（轨道高度是指卫星到地球表面的最短距离），把地球看成一个球心为 ，
半径为的球，其上点的纬度是指 与赤道所在平面所成角的度数，地球
表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为 ，该卫
星信号覆盖的地球表面面积单位：，则 占地球表面积的
百分比约为( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图6-6.3-22所示，圆的半径为,点 是卫星所在位置，由题意可
知，与圆相切，切点为,则 ，所
以 ,所以卫星信号覆盖的地球表面面积
，则占地球表面积的百分比为 .
图6-6.3-22
考向2 球的切、接问题
1 空间图形的外接球问题
例19 (2023·全国甲卷)在正方体中，,分别为, 的中点.以
为直径的球的球面与该正方体的棱共有____个公共点.
12
图6-6.3-23
【解析】如图6-6.3-23，线段过正方体的中心，所以以
为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为 ,而正方体
的中心到每一条棱的距离均为,所以以 为直径的球与每一
条棱均相切，（实质是棱切球问题）所以共有12个公共点.
. .
. .
例20 (2022·新高考全国Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和
，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为 ，
.
设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为,，连接,则 ,其外接球
的球心在直线 上.（正棱台外接球的球心在上、下底面多边形的外接圆圆心的
连线所在的直线上）
设球的半径为,当球心在线段上时， ，解
得 （舍去）；
当球心不在线段上时，，解得 ，
所以，所以该球的表面积为 .
. .
. .
2 空间图形的内切球问题
例21 (2025· 全国二卷)一个底面半径为,高为 的封闭圆柱形容器（容器壁厚
度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____ .
2.5
【解析】 设铁球半径为 ,将圆柱的底面水平放置.
若两个铁球的球心在同一水平面上，且分别与圆柱的侧面相切，则铁球球心与圆柱
侧面的距离均为，当半径最大时，则，解得 ，即此时铁球的半径为
.
（球与圆柱相切有多种情况，确定什么时候半径最大是解题关键，因此需要有一个
验证和判断的过程）
若两个铁球的球心在同一竖直线上，且分别与两个底面相切，当半径最大时，则
，解得，即此时铁球的半径为 .
图6-6.3-24
当两球球心既不在同一水平面上，也不在同一竖直线上时，
设两个铁球的球心分别为, ,此种情况下，当铁球半径
最大时，如图6-6.3-24（1）所示，圆柱与两铁球的轴截面
如图6-6.3-24（2）所示，（立体几何问题平面化，方便计
算）其中为圆柱的轴截面，, ,则
有,， ，则有
因为,所以铁球半径的最大值为 .
，即，即 ,解
得（舍去）， .
. .
. .
考虑到圆柱与球的对称性，不妨把圆柱与球的位置关系看成长方形与圆的
位置关系，原问题等价于在边长分别为8与9的长方形内，放置两个半径最大的等圆，
问：圆的半径是多少？
图6-6.3-25
如图6-6.3-25所示，当圆的半径最大时，圆与， 相切，且过点
，为长方形的中心，两圆相切于点 .
过作，交于点，过作，交于点 ，连接
,,,则 为正方形.
在中，，， ，
，
所以，（运用公式 求解）
故 ，化简得
，解得或 （舍去）.
（【另解】以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为 轴正方向，建立
平面直角坐标系，则，，由，可得 ，
解得或 （舍去））
高考新题型专练
1.[多选题] (2025·山西省太原市月考)已知三棱锥的四个顶点都在球 的球面
上， 平面，在底面中，，，，若球 的体积
为 ，则下列说法正确的是( )
BD
A.球的半径为 B.
C.底面外接圆的面积为 D.
【解析】设球的半径为，由体积公式可得 ,, ，选项
A错误.
在 中，由余弦定理可得
, ，选项
B正确.
设的外接圆半径为，由正弦定理可得,故 ,则
，选项C错误.
图D 6-6.3-2
如图D 6-6.3-2所示，设的外心为，连接，则 平
面于点， 平面， ,
由勾股定理可得 ，选项
D正确．故选 ．
图6-6.3-26
2.[多选题] (2025·河南省郑州市第二高级中学期中)如图6-6.3-26，
一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放入一个
球状物体，使其完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻
璃杯口所在平面相切，则( )
ABD
A.此圆锥的侧面积为
B.球的表面积为
C.原玻璃杯中溶液的体积为
D.溢出溶液的体积为
图D 6-6.3-3
【解析】如图D 6-6.3-3，球心为圆锥轴截面三角形的中心，设圆
锥的底面圆半径为，高为,母线长为,球的半径为 ,
则由题图得，， .
圆锥的侧面积为 ，故A正
确.
原玻璃杯中溶液的体积等于圆锥的体积为
，故C错误．
圆锥轴截面为正三角形，且边长为4，
则球的半径为 ，
球的表面积为 ，溢出溶液的体
积等于球的体积为，故 正确．故选
．
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：20分钟
1.(2025·广东省肇庆市段考)一个平面截一球得到直径为 的圆面，球心到这个平
面的距离为 ，则球的体积为( )
C
A. B. C. D.
【解析】由球的性质知，球的半径 ，所以
.
2.新情境 开立圆术 (2025·辽宁省朝阳市模拟)我国古代数学名著《九章算术》中“开
立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立
圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式.若 取
3,利用我们已学过的球的体积公式，判断下列所算球的直径的近似公式中最精确的
一个是( )
D
A. B. C. D.
【解析】由球的体积公式得 .
因为，，所以 最接近于2，故选D.
图6-6.3-1
3.圆柱形容器内部盛有高度为 的水，若放入三个相同的球
（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球
（如图6-6.3-1所示），则球的半径是( )
B
A. B. C. D.
【解析】设球的半径为，则， ，
由题意知，解得 .
4.已知球 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球的体积为( )
A
A. B. C. D.
【解析】将正四面体补成正方体，则正四面体 的棱为正方体的面对角
线. 正四面体的棱长为4, 正方体的棱长为. 球 与正四面体的各棱都相
切， 球的直径为正方体的棱长，故球的体积 .
图6-6.3-2
5.新情境 宫廷花灯 (2025·辽宁省大连育明高级中学月考)宫灯又
称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的传统手工艺品之一，如图
6-6.3-2为一件三层六角宫灯，三层均为正六棱柱，其中上、下层
正六棱柱的底面周长均为，高为 ，中间一层正六棱柱
的高为 设计一个装该宫灯的可从中间打开的球形盒子，则
该盒子的表面积至少为( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题意，将该宫灯看成一个高为 、底面边长为
的正六棱柱，而正六棱柱的外接球（球形盒子）的直径 是其最长的体
对角线的长，
则，得 ，
故外接球（球形盒子）的表面积至少为 ．
6.从点出发的三条射线,,两两成 ，且分别与球相切于,, 三点,若
球的体积为,则 ( )
A
A. B. C. D.1
【解析】连接,,,连接交平面于,由题意可得和 为正三
角形（利用球的切线的性质：过球外一点的所有切线的长度都相等），所以
.因为,,所以 ,所以
.又球的体积为,所以半径,所以 .
. .
. .
7.[多选题](2025·江苏省南京市期中)已知三棱锥的顶点均在表面积为 的
球的球面上，，，两两垂直，， ，则下列结论中正确的是
( )
ABD
A.球的半径为 B.
C.点到平面的距离为 D.点到平面的距离为
【解析】设球的半径为,由 ,得 ,故A正确.
将三棱锥 放置在长方体中，
图D 6-6.3-1
如图D 6-6.3-1所示，
由 ,
得,解得 ,故B正确.
，,, ，
则的面积为 ,
设到平面的距离为，由等体积法可得 ,
从而可得点到平面的距离 ,故C错误.
在中， ,
则,设外接圆的半径为,则 ,
又外接球的半径, 球心到平面的距离为 ,
故D正确.故选 .
8.(2025·上海市朱家角中学月考)已知圆锥底面半径与球的半径都是 ，如果圆锥
的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是_______ .
【解析】由题意可知球的体积为 ,
设圆锥的高为，则圆锥的体积为 .
因为圆锥的体积与球的体积相等，所以，所以 .
圆锥的母线 ，
故圆锥的侧面积 .
B 综合练丨高考模拟
9.如图6-6.3-3，用一个边长为 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，
做成一个蛋巢，将体积为 的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，
则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为( )
D
图6-6.3-3
A. B. C. D.
【解析】由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，则经过4个小三角形的顶点
截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径为1.
鸡蛋的体积为 ， 鸡蛋的半径为1,
球心到截面圆的距离为 .
垂直折起的4个小直角三角形的高为 ,
故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为 .
图6-6.3-4
10.(2025·山东省淄博市月考)如图6-6.3-4（1）所
示，在平面四边形中， ，
， ， ．现将
沿折起，并连接 ，如图6-6.3-4（2），
当三棱锥 的体积最大时，其外接球的表
面积为( )
D
A. B. C. D.
【解析】由题意，当平面 平面时，三棱锥 的高最大，此时其体
积最大.
图D 6-6.3-2
如图D 6-6.3-2,记中点为,中点为，连接, .
， ，
, .
在中，， ， ,
，， ,
外接圆半径，且其外接圆的圆心为 .
设三棱锥外接球球心到外接圆圆心的距离为, 外接球半径为 ,
则可得①, ②,
联立①②解得, ．
当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积 ．
图6-6.3-5
11.(2025·上海市朱家角中学月考)如图6-6.3-5所示，体积为 的大
球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且
只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4
个顶点.为小球相交部分（图中网格部分）的体积， 为大球内
的小球以外的部分（图中黑色部分）的体积，则下列关系中正确
的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】设大球半径为，则小球半径为 ,依题意，得
，所以
.所以 .
12.(2025·天津市塘沽一中模拟)如图6-6.3-6，有一个四分之一球形状的玩具储物盒，
若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放入的小球的最大半径为 ,若是放入一个正方
体，合上盒盖，可放入的正方体的最大棱长为,则 ( )
D
图6-6.3-6
A. B. C. D.
图D 6-6.3-3
【解析】根据题意，设储物盒所在球的半径为 ，
如图D 6-6.3-3（1）,由可放入的小球的最大半径为 ,
得，即 .
若可放入的正方体的最大棱长为 ,如图D 6-6.3-3（2）,则
有，得 ，
则 .
13.[多选题]已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点，，若线段
的最小值为 ，则( )
BC
A.正四面体的外接球的表面积为 B.正四面体的内切球的体积为
C.正四面体的棱长为12 D.线段的最大值为
【解析】设这个四面体的棱长为 ，
四面体可看作由棱长为 的正方体截得的，
故四面体的外接球即正方体的外接球，
外接球直径为正方体体对角线长，设， 分别为正四面体的外接球、内切球半
径，，.四面体的高 ，设正四面体底面面
积为,根据等体积法得，解得 ，依题意得
， ，故C正确；
正四面体的外接球的半径为 ，则正四面体外接球的表面积为
，故A错误；
正四面体的内切球的半径为，则内切球的体积 ，
故B正确；
线段的最大值为，故D错误．故选 ．
14.新定义 玉积率 (2025·黑龙江省哈尔滨市第九中学校期中)公元前3世纪，古希腊
欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积与它的直径（ ）的立方成正比”.此
即，欧几里得未给出 的值．17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不
了解，他们将体积公式 中的常数称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等
边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式 求体积
（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中， 表示棱长）．假设运用此体
积公式求得球直径为、等边圆柱底面圆的直径为、正方体棱长为 的“玉积
率”分别为,,，那么 _______.
【解析】设,,分别为球、等边圆柱、正方体的体积，则 ,
,
, ,
,,从而 .
C 培优练丨能力提升
图6-6.3-7
15.新情境 阿基米德体 [多选题](2025·湖南省邵阳
市第二中学开学考试)半正多面体亦称“阿基米德体”，
是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图
6-6.3-7，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在
的小正四面体．点，， 是该多面体的三个顶点，
且棱长 ，则下列结论正确的是( )
ACD
A.该多面体有8个面 B.该多面体的表面积为
C.该多面体的体积为 D.该多面体的外接球的表面积为
【解析】对于A选项，由图可知“阿基米德体”一共有8个面，故A正确；
对于B选项，“阿基米德体”的面中，4个面是边长为2的正六边形，4个面是边长为2的
正三角形，因为 ，所以“阿基米德体”的表面积为
，故B错误；
对于C选项，棱长为的正四面体的底面积为，高为 ，所以体积为
，因为“阿基米德体”是在棱长为6的正四面体上截去了4个棱
长为2的正四面体，所以“阿基米德体”的体积为 ，故
C正确；
图D 6-6.3-4
对于D选项，如图D 6-6.3-4，设等边的中心为 ，底面正
六边形的中心为点 ，
原正四面体（棱长为6）的高为 ，则
.由题意可知，“阿基米德体”的外接球球心
在直线上，易知，即正三角形 的外
接圆半径为，底面正六边形的外接圆半径为2，设 ,“阿
基米德体”的外接球半径为 ，则
，解得 ，则
.因此，该多面体的外接球的表面积为
，D正确.故选 .