第六章 立体几何初步 章末总结 课件(共64张PPT)

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第六章 立体几何初步
培优帮丨章末总结
巧梳理 知识框图
提能力 专题归纳
专题1 高考中的重要模型——鳖臑
中国古代数学强调实用性，很多古代数学问题都结合实际生活存在于典籍中.其中在
对立体几何的研究中最重要的模型便是由立方体截得的三棱锥和四棱锥，它们在古
代有专门的名词：鳖臑和阳马.2015年湖北高考便以此为背景命题，一时间引起了广
泛的关注.
1 考题再现
例1 (湖北高考题)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱
锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
在如图6-1所示的阳马中，侧棱 底面，且,点是 的
中点，连接,, .
图6-1
（1）证明： 平面.试判断四面体 是否为鳖臑,若是，写出其每个面的
直角（只需写出结论）;若不是,请说明理由;
【解析】因为 底面,所以 .
由底面为长方形，得,而 ,
所以 平面.又 平面,所以 .
因为,点是的中点，所以 .
而,所以 平面 .
由 平面, 平面,可知四面体 的四个面都是直角三角形，
即四面体是鳖臑，其四个面的直角分别是,,, .
（2）记阳马的体积为，四面体的体积为，求 的值.
【解析】由已知可得，是阳马 的高，
所以 .
由（1）知，是鳖臑面上的高， ,
所以 .
在中，因为,点是 的中点，
所以 ,
于是 .
思路点拨 （1）要证明线面垂直，只需要证明直线与该平面内两条相交直线垂直；
（2）将四面体看作三棱锥 ，再利用三棱锥的体积公式求解.
该题之所以引起广泛关注，很大程度上与“鳖臑”这两个字有关，原因是大部分学生
没见过这两个字，因此影响了答题心情.其实本题只不过套了个古代数学文言文的背
景，也即现在比较热门的数学文化试题背景，具体研究的却是学生再熟悉不过的立
体几何中的垂直问题，教材中对此都有专门的阐述和探究.
2 教材探源
图6-2
（教材第246页【例9】）如图6-2，在四面体中， 平
面，,且 .
（1）四面体 中有几组互相垂直的平面？
（2）求二面角和 的平面角的大小.
（教材第248页【习题】A组第7题）如图6-3，是 的直径，
点为该圆上异于,的点，所在的平面.求证：平面
平面 .
图6-3
教材例题和练习题借助鳖臑这一几何体中丰富的（线线、线面、面
面）垂直关系，让学生来熟悉垂直关系下的判定定理及性质定理的
应用.事实上，鳖臑是我国古代数学中非常重要的模型，在多本著作
里都有阐述.
3 鳖臑的来源探索
《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马
居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”
刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，
得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得．”#1.1
具体来说，取一长方体，按图6-4斜割一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称之
为堑堵.#1.2
图6-4
如图6-5，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到一个四棱锥和一个三棱锥.以矩形
为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形
组成的四面体，称为鳖臑.#1.3
图6-5
4 鳖臑的几个性质
（1）聚焦于立体几何中的核心关系——垂直关系
图6-6
例2 如图6-6，在三棱锥中， 平面 ，
，于点，于点 ．
（1）证明： 平面 ；
【解析】因为 平面， 平面 ，
所以 .
又，,所以 平面 .
（2）证明： 平面 ；
【解析】因为 平面， 平面，所以 .
因为，，所以 平面 ，
因为 平面,所以 ，
又，,所以 平面 .
（3）证明：平面 平面 ；
【解析】因为 平面, 平面 ，
所以平面 平面 ．
（4）证明： ．
【解析】因为 平面， 平面,所以 .
（2）鳖臑的空间角
图6-7
例3 如图6-7，在三棱锥中，, 平面 .
设 为直线与的夹角， 为直线与直线在底面
上的投影的夹角， 为直线与底面的夹角， 为二面角
的平面角， 为直线与平面的夹角， 为
直线与底面的夹角, 为直线与平面 的夹角.证明：
（1） ；
【解析】易知,,直线在底面上的投影为直线 ,故
.
由 平面,得 ,
又,, 平面, .
.
（2） ；
【解析】如图6-8，作于，于，连接 .
图6-8
由（1）知， 平面 ,
.
, 平面, ,
, 平面, ，
则二面角的平面角 .
易知直线与底面的夹角 ,
则 .
（3） ；
【解析】如图6-8，连接,则直线与平面的夹角 ,
图6-8
.
（4） ；
【解析】 .
（5） .
【解析】如图6-8,过点作于点，连接,则 平面,则直线 与
平面的夹角 ，
从而 .
说明 图形中二面角的平面角为，二面角 的平面角为
；
直线与平面的夹角为，直线与平面的夹角为，直线 与
平面的夹角为，直线与平面的夹角为，直线与平面 的
夹角为 .
5 鳖臑模型在高考中的应用
鳖臑模型覆盖了立体几何中线、面的各种垂直关系及各种空间角的计算，是研究立
体几何问题的基本图形，在高考中有着广泛的应用.
图6-9
例4 (北京高考题)如图6-9，在三棱锥中， ,
，,,为线段的中点，
为线段 上一点.
（1）求证： ;
【解析】因为,, ,
所以 平面 .
又 平面，所以 .
（2）求证：平面 平面 ；
【解析】因为,为的中点，所以 .
由（1）知，,又 ，
所以 平面 .
因为 平面,所以平面 平面 .
（3）当平面时，求三棱锥 的体积.
【解析】因为平面，平面 平面 ，
所以 .
因为为的中点，所以, .
由（1）知， 平面，所以 平面 .
所以三棱锥的体积 .
专题2 以模型为载体解决空间几何体的外接球问题
图6-10
球是特殊的几何体,具有很多特殊的性质.空间几何体的外接
球问题是高考的热点和难点.以考查学生的空间想象能力为
主线,结合边角关系、位置关系、面积与体积的计算,从而达
到培养学生直观想象的核心素养的要求.从教学实践中发现
学生在研究空间几何体的外接球问题时常常因缺乏空间想象
力而感到束手无策，其根本原因是学生没有形成解题的模式
和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.以下结合教
学实例,给出解空间几何体外接球问题的三种模型及其方法.
模型一 墙角模型（三条棱两两垂直,不找球心的位置即可求出球半径）
如图6-10，找三条两两垂直的线段，直接用公式 ,即
,求出外接球的半径 .
图6-11
引理：正三棱锥的对棱互相垂直.
证明：如图6-11，取,的中点，,连接,,与 交于点
,连接,则是底面正三角形的中心，所以 平面 ,所
以,因为,所以,所以 平面 ,所以
，同理可得，, .故正三棱锥的对棱互相垂直.
例5 在正三棱锥中，,分别是棱，的中点，且 ,若侧棱
，求正三棱锥 外接球的表面积.
【解析】如图6-12，因为, ,
图6-12
所以 .
又,,所以 平面 ,
所以, .
因为,, ,
所以 平面,所以 ,
故三棱锥 的三条侧棱两两互相垂直.
设外接球的半径为,则,即 ,
所以正三棱锥外接球的表面积是 .
模型二 汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）
图6-13
如图6-13,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意
三角形）.
解题步骤:
第一步，确定球心的位置,是的外心,则 平面 ;
第二步，算出小圆的半径，即 ,算出球心到小圆圆心的距离，即
也是圆柱的高）；
第三步，在中，由勾股定理得，即 ，得
,解出外接球的半径 .
也可在中，由,即,求出 .
例6 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面．已知该六棱柱的顶点都在
同一个球面上，且这个球的体积为，已知该六棱柱的高为 ，则这个六棱柱的体
积为__．
【解析】该正六棱柱的底面边长为，高为，外接球的半径为 ，
设过球心与正六棱柱一条侧棱的平面截六棱柱得矩形 ，则矩形一边长为底面直
径，另一边长为棱柱的高 ，
矩形对角线 ，
外接球的体积 ，
外接球半径，得，解之得 ，
由此可得正六棱柱底面的面积为 ，
这个六棱柱的体积为 .
图6-14
模型三 切瓜模型（正弦定理求大圆直径
是通法）
1.如图6-14（1）,平面 平面 ,
（即为小圆的直径）,且 的射
影是的外心 三棱锥 的三
条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底面上,顶点 也是圆锥的顶点.
解题步骤:
第一步，确定球心的位置,取的外心,则,, 三点共线;
第二步，先算出小圆的半径,再算出棱锥的高 （也是圆锥的高）;
第三步，由勾股定理得，，即 ,解出外接球的
半径 .
事实上,的外接圆就是大圆,直接用正弦定理也可求解出 .
2.如图6-14（2）,平面 平面,即为小圆的直径,且 ,
利用勾股定理即可求三棱锥的外接球半径.
;
.
3.如图6-14（3），平面 平面,（即 为小圆的直径）.
解题步骤：
第一步，易知球心是的外心,即 的外接圆是大圆,先求出小圆的直径
.
第二步，在中,可根据正弦定理，得 ,从而求出
.
例7 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的
一个大圆上,求该正三棱锥的体积.
【解析】正三棱锥的高球的半径,底面外接圆的半径为,直径为 ,
设底面边长为,则,,正三棱锥的底面积为 ,正三
棱锥的体积为 .
一章一练·学思维知创新
例8 新定义 离散曲率 [多选题] (2025·河南省安阳市期末)阅读数学材料：“设 为多
面体的一个顶点，定义多面体在点 处的离散曲率为
，其中
为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面 ，平面
， ，平面和平面为多面体的所有以 为公共点的面．”
已知在直四棱柱中，底面为菱形， ，则下列说法
正确的是( )
BC
A.直四棱柱 在其各顶点处的离散曲率都相等
B.若，则直四棱柱在顶点处的离散曲率为
C.若四面体在点处的离散曲率为，则 平面
D.若直四棱柱在顶点处的离散曲率为，则与平面 所成
的角为
图6-15
【解析】如图6-15，对于A，当直四棱柱 的
底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散
曲率不相等，故A错误.
对于B，若，则菱形 为正方形，
平面，， 平面 ，
， ，
直四棱柱在顶点处的离散曲率为 ,故B正确.
对于C，在四面体中，,， ，
, 四面体在点 处的离散曲率为
,解得.由题意知 ，
，， 直四棱柱为正方体.连接 .
平面， 平面 ，
.
，，, 平面， 平面 .
平面， ，
同理可得 .
，， 平面 ，
平面 ，故C正确.
对于D，直四棱柱在顶点 处的离散曲率为
,则， 是等边三角形.
设，连接，,又易得, ,,
平面, 平面,即 平面 .
则是与平面 所成的角，
在中, ，故D错误．故选 ．
例9 新定义 三面角余弦定理 (2025·湖北省鄂东南省级示范性高中教育教学改革联盟
学校入学考试)定义三维空间中的三面角余弦定理，如图 6-16（1），由射线 ，
，构成的三面角中， ， ， ，二面角
的大小为 ，则 ．
图6-16
（1）如图6-16（2），在四棱柱中，平面 平面 ，
， ，求 的余弦值；
【解析】由平面 平面，得二面角的大小 ，
,
由三面角余弦定理得
，
因为 ， ，所以 .
（2）当 ， 时，证明题干中的三面角余弦定理；
图6-17
【解析】过射线上一点作，交于点 ，
作，交于点，连接 ，如图6-17所示，
则是二面角 的平面角.
在 中，由余弦定理得，
①，
在 中，由余弦定理得，
②，
得，
，（利用公共
边和余弦定理建立等式）
又, ,
所以 ，
两边同除以 ，
得 .
（3）如图6-16（3），斜三棱柱中侧面，， 的
面积分别为，，，各侧面所对的三个二面角分别记为，， ，请用文字
和符号语言描述你能够得到的正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明．
图6-18
【解析】如图6-18，在上取一点，过分别作， 垂直
于，交于，交于，连接 .
由, 平面,,可得 平面 ，又
,所以 平面， 平面 .
由题意可得，， ，由三角形的
正弦定理可得 ,由三棱柱的侧棱长度相等，可
令侧棱长为，则,, ,所以
，即斜三棱柱 中，三个侧面的
面积比即为它们所对二面角的正弦值之比.
尖子生 强基自招
命题点1 空间角
例10 (2025·全国高中数学联赛贵州赛区预赛)在正三棱锥中， ,
,过的平面 将其体积平分，则棱与平面 所成角的余弦值为_ ___.
图6-19
【解析】如图6-19，设的外接圆半径为 ,则由正弦定理
知， .
设到底面的距离为，则 ,
.
令的中点为，连接,，则 ，故
.
设到平面 的距离为,则,解得 .
令与平面 所成的角为 ，则 ,则
.
所以棱与平面 所成角的余弦值为 .
例11 (2025·全国高中数学联赛吉林赛区预赛)设为正方体的棱
上的动点，则平面与平面 夹角的正切值的最小值为_ __.
图6-20
【解析】当与或重合时，所求夹角的正切值为.当
异于,时，如图6-20，延长和交于点,则为平面 与
平面的公共点，连接，从而为平面 与平面
的交线.
在平面内作于点，连接 ，
由正方体的性质易知 平面， 平面 ，
则， ,
又,, 平面，故 平面，又 平面 ，
故，故为二面角 的平面角，
设正方体棱长为1，,，易知 ,故
，
即，则,
.
在中，由等积法得 ,
故 ，当且仅
当点为 中点时等号成立，
故二面角的平面角的正切值的最小值为 ，则平面
与平面夹角的正切值的最小值为 .
命题点2 空间几何体的表面积、体积
例12 (2025·全国高中数学联赛福建赛区预赛)在正三棱锥 中，
,为侧棱的中点,若二面角的大小为 ，则三棱
锥 的外接球的表面积为____.
图6-21
【解析】如图6-21，设为的中点，连接，,过 作
平面于，过作 平面于 .
因为为正三棱锥，且，为 的
中点,
所以为的中心，，在线段 上，且
, .
连接，，则，所以 .
又,因此为二面角 的平面角.
所以 ，于是 ,
.
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则点在 上.
连接，在中，由勾股定理得，解得 .
所以三棱锥的外接球的表面积为 .
例13 (2025· 清华大学强基计划)正三棱锥中，底面边长为4，,, 的中
点分别为，，，的中点为，三棱锥的外接球球心为 ，
,则三棱锥 的体积为_ ____.
图6-22
【解析】如图6-22，连接,,,,令 ,
,,易知 在平面
上
将①②代入已知等式,得, ,所
的射影为直线，,,则 ①.
，
整理得 ②，
以三棱锥的高 ,体积
.
例14 (2025·全国高中数学联赛上海赛区预赛)已知底面半径为3,高为4的圆锥内有一
个内接圆柱，圆柱的上底面与圆锥的侧面所围成的小圆锥内有一个内切球，求内接
圆柱与内切球的体积和的最大值.
图6-23
【解析】设内接圆柱的底面半径为，高为，内切小球的半径为 .
如图6-23所示，由,可得,即 ,
所以 ，于是圆柱的体积为
.
由,可得 .
因为,，所以 ,
所以.故小球的体积为 .
内接圆柱与内切球的体积和为 ，
.
,
当，即 时等号成立.
故的最大值为 ，从而所求体积和的最大值为
.
命题点3 距离（长度）问题
例15 (2025·全国高中数学联赛重庆赛区预赛)四面体满足, ,
,,设，，的中点分别为，，,则点 到直线
的距离为_ __.
【解析】如图6-24，,，.连接， .
图6-24
，分别为，中点， .
同理,又,, ,
平面, .
故,在中， ,
，到直线的距离为 .
例16 (2024·全国高中数学联赛江西赛区预赛)是棱长为的正四面体 中的三
角形的中心，,分别是平面,上的动点，则 的最小值
为_ ___.
图6-25
【解析】如图6-25,点,分别是点关于平面,平面
的对称点,线段，分别和平面交于点,,线段 ,
分别和平面交于点,,点,分别是棱, 的中点.
则线段的长度与 相等，且是所求的最小
值.点和直线在平面内,点和直线在平面 内,
从而在平面内,且, .
为便于计算边长比例和角度,我们先设正四面体的棱长为 ,
则，.在 中，由余弦定理
的推论得，,则在 中，
,则 ,
所以 ,
又,故的最小值为 .