华师大版九年级上册第23章相似三角形小结与复习题教案（１）
教学内容：课本Ｐ９４~９６页。
教学目标：
１、构建相似三角形的知识体系；
２、构建相似三角形的方法体系；
３、提高学生运用相似三角形的性质和判定综合解决问题的能力；
教学重点：构建相似三角形的知识和方法体系。
教学难点：构建相似三角形的方法体系。
教学准备：课件
教学方法：讲授法
教学过程：
一、构建知识体系
１、四个概念
（１）相似图形：形状相同的图形，叫做相似图形。
相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例；对应边的比叫做相似比。
相似多边形的判定：边数相同，各边对应成比例，各角对应相等，就称这两个多边形相似。
（２）位似图形：两个相似图形的对应点连线都交于一点，这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
位似多边形的性质：是相似图形，对应点连线都经过位似中心，对应点与位似中心所边的线段之比等于相似比。
位似多边形的判定：是相似图形，对应点连线都交于一点。
（３）比例线段：对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
黄金分割：将一条线段分成长短两条线段，如果短线段与长线段的长度之比等于长线段与全长之比，这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比＝。
（４）中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
重心定理：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的三分之一。
２、四个规律
（１）比例的基本性质。
如果，那么；
如果，那么；
（２）平行线分线段成比例
定理。两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论。平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
（３）相似三角形的判定定理和性质定理
判定定理１：两角分别相等的两个三角形相似；
判定定理２：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
判定定理３：三边成比例的两个三角形相似。
性质定理１：相似三角形对应边上的高、中线、对应角的角平分线的比都等于相似比；
性质定理２：相似三角形周长之比等于相似比；
性质定理３：相似三角形面积之比等于相似比的平方。
（４）图形的变换与坐标变化规律
平移变换规律：沿x轴移动，x坐标改变；沿y轴移动，y坐标改变，向正方向移动为+，向负方向移动为-.
对称变换规律：关于x轴对称，x坐标不变，关于y轴对称，y坐标不变，其余坐标互为相反数。
相似变换规律：x坐标之比和y坐标之比都等于相似比。
二、方法体系
１、比值法，也称Ｋ值法。
例１、已知，求的值。
解：设＝k，则a=２k,b=３k,c=４k；
＝
例２、若，则k的值为（ ）
A． B．1 C．-1 D．或-1解：由题意，得a=k(b+c),b=k(c+a),c=k(a+b);
a+b+c=k(２a+２b+２c)
(a+b+c)(1-２k)=０
a+b+c=０,或１-２k=０
当a+b+c=０时，a+b=-c,容易得出Ｋ＝－１；
当１-２k=０时，Ｋ＝0.5
所以选Ｄ。
例３、如图，正方形，以为腰向外作等腰，连接交于点，的平分线交于点，过点作的垂线交的延长线于点，已知，，则的长为 。
解：设ＡＦ＝３k，ＡＤ＝４k，则ＤＦ＝５k，ＢＦ＝Ｋ；
作ＡＭ⊥ＤＥ，垂足为Ｍ。
由Ｓ△ＡＤＦ＝ＡＤ·ＡＦ＝ＤＦ·ＡＭ，得ＡＭ＝2.4k；
在ＲＴ△ＡＤＭ中，ＤＭ＝=3.2k；
MF=1.8k。
由ＡＤ＝ＡＥ，得ＥＭ＝ＤＭ＝3.2k，ＥＦ＝ＥＭ－ＭＦ＝1.4k。
Ｓ△ＡＥＦ＝ＥＦ·ＡＭ，即×1.4k·2.4k=９，k1＝，k2＝（舍）。
连接ＢＧ。
∵ＥＦ是的平分线，
∴∠ＥＡＧ＝∠ＢＡＧ，又ＡＥ＝ＡＢ，ＡＧ是公共边，
∴△ＡＥＧ≌△ＡＢＧ，得ＢＧ＝ＥＧ，∠ＡＢＧ＝∠ＡＥＧ＝∠ＡＤＦ；
∴△ＢＦＧ∽△ＤＦＡ。
∴，即
∴ＢＧ＝0.8k，ＧＦ＝0.6k，ＧＭ＝2.4k；
∴ＡＭ＝ＧＭ，即△ＡＧＭ是等腰直角三角形。
∴ＡＧ＝=k；
∠ＡＧＭ＝45°，又ＧＨ⊥ＤＨ，
∴△ＨＤＧ是等腰直角三角形，得ＧＨ＝ＤＨ。
在ＲＴ△ＨＤＧ中，由ＧＨ２+ＤＨ２＝ＤＧ２，
得２ＧＨ２＝ＤＧ２，
ＧＨ＝ＤＧ＝（ＤＦ+ＧＦ）＝（５k+0.6k）＝k；
AH=GH-AG=k-k=k=。
２、相似法，也称构造相似三角形。
例１、已知在△ABC中，AD平分∠BAC,EM是AD的中垂线，交BC延长线于E.，ＢＥ＝12，ＣＥ＝8。求ＤＥ的长。
解：连结ＡＥ。
∵EM是AD的中垂线，
∴ＤＥ＝ＡＥ，∠ＥＡＤ＝∠ＥＤＡ；
∵AD平分∠BAC，
∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ；
∴∠ＢＡＤ+∠ＥＡＤ＝∠ＣＡＤ+∠ＥＤＡ；
即∠ＢＡＥ＝∠ＡＣＥ，又∠ＡＥＢ＝∠ＡＥＣ；
∴△ＡＢＣ∽△ＣＡＥ
∴，即ＡＥ２＝ＢＥ·ＣＥ＝１２×８＝96；
∴ＡＥ＝4，即ＤＥ＝ＡＥ＝４.
答：ＤＥ长为４.
例２、如图，矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，F为BE上一点，连接DF，过F作FG⊥DF交BC于点G，连接BD交FG于点H，若FD = FG，，BG = 4，则GH的长为__________．
解：过点F作PQ∥AB分别交AD、BC于点P、点Q，作FK⊥PQ，
可证△FQG≌△DPF（AAS），
∵BF =，BG = 4
∴FQ = PD = 3，QG = PF = 1
则ED = 2，FD = FG =，
∵ ∴FK = 又∵△HFK∽△HGB
∴ ∴HG =
例３、如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为 。
解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2
∵BF=2FC，BC=AD=3，
∴BF=AH=2，FC=HD=1，
∴AF===2，
∵OH∥AE，
∴==，
∴OH=AE=，
∴OF=FH﹣OH=2﹣=，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴==，
∴AM=AF=，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴==，
∴AN=AF=，
∴MN=AN﹣AM=﹣=，
三、小结
１、学生小结；
２、教师小结：本节构建了相似三角形的知识体系，认识了Ｋ值法和相似法。
四、作业设计
课本Ｐ９５~９６页第5，8，9，10，11题，
五、板书设计
六、教学反思
华师大版九年级上册第23章相似三角形小结与复习题教案（２）
教学内容：课本Ｐ９６~98页。
教学目标：
１、构建相似三角形的方法体系；
２、运用相似三角形的知识解决实际问题；
教学重点：构建相似三角形的方法体系；
教学难点：运用相似三角形的知识解决实际问题；
教学准备：课件
教学方法：讲授法
教学过程：
一、中位线法
例１、如下图，在△ABC中，D、E分别为BC的三等分点，CM为AB上的中线，CM分别交AE、AD于F、G，如果ＣＦ＝１０，求ＧＦ和ＧＭ的值。
解：连结ＭＤ。
∵ＡＭ＝ＢＭ，ＢＤ＝ＤＥ；
∴ＤＭ∥ＡＥ，ＤＭ＝ＡＥ；
∵ＤＥ＝ＥＣ，
∴ＭＦ＝ＦＣ＝10，
ＥＦ＝ＭＤ＝ＡＥ，ＡＦ＝ＡＥ；
由ＤＭ∥ＡＦ得△ＤＭＧ∽△ＡＦＧ，
∴ＭＧ：ＧＦ＝ＭＤ：ＡＦ＝ＡＥ：ＡＥ＝２：３
∴ＭＧ＝２Ｋ，ＧＦ＝３Ｋ，
由ＭＦ＝ＭＧ+ＧＦ得，２k+３k=１０，k=２;
MＧ＝４，ＧＦ＝６；
答：ＭＧ为４，ＧＦ为６.
例２、如图，四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM、CD分别交于点E、F。试说明∠BEN=∠NFC.
解：连结ＡＣ，取ＡＣ的中点Ｇ，连结ＭＧ，ＮＧ。
∵M、N分别是AD、BC的中点，Ｇ是ＡＣ的中点；
∴ＭＧ∥ＣＤ，ＭＧ＝ＣＤ；ＮＧ∥ＡＢ，ＮＧ＝ＡＢ；
∴∠ＢＥＮ＝∠ＧＮＦ，∠ＧＭＮ＝∠ＮＦＣ，ＧＭ＝ＧＮ；
∴∠ＧＮＦ＝∠ＧＭＮ，
∴∠BEN=∠NFC.
例３、如图．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．
解：取ＢＣ的中点Ｆ，连结ＭＦ、ＮＦ。
∵BE，CD的中点分别是M，N，Ｆ为ＢＣ的中点。
∴ＭＦ∥ＡＣ，ＭＦ＝ＡＣ；ＮＦ∥ＢＤ，ＮＦ＝ＢＤ；
∴∠ＡＢＱ＝∠ＦＮＭ，∠ＡＱＰ＝∠ＦＭＱ，ＦＭ＝ＦＮ；
∴∠ＦＭＮ＝∠ＦＮＭ，
∴∠ＡＰＱ=∠ＡＱＰ.
∴ＡＰ＝ＡＱ。
二、模型化法，即利用相似三角形解决实际问题
例１、小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．
解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，则EH＝AG＝CD＝1.2，
DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30．
∵EF∥AB，
∴．
由题意，知FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5．
∴，解之，得BG＝18.75．
∴AB＝BG+AG＝18.75+1.2＝19.95≈20.0．
∴楼高AB约为20.0米．
例２、为了加强视力保护意识，小明想在长为3.2米，宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙．
（1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙和墙的夹角处，被测试人站立在
对角线上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．
（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙 米处．
（3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距 为3m的小视
力表．如果大视力表中“”的长是3.5cm，那么小视力表中相应“”的长是多少cm？
解：（1）甲生的设计方案可行．
根据勾股定理，得．
∴．
∴甲生的设计方案可行．
（2）米．
（3）∵∥
∴△∽△．
∴．
∴．
∴（）．
答：小视力表中相应2.1cm
例３、晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米．求路灯的高.
解：设路灯的高为x,∵GH⊥BD,AB⊥BD ∴GH∥AB ∴△EGH∽△EAB ∴ ①
同理△FGH∽△FCD
②
∴ ∴ 解得EB=11,代入①得 解得 x=6.6(米)
三、小结
１、学生小结；
２、教师小结：本节课学习了中位线法，利用相似三角形的知识解决实际问题的方法。
四、作业设计
课本Ｐ９６~２２页，第１２、１５，１６，１７，１８，２０、２１题。
五、板书设计
六、教学反思
华师大版九年级上册第２３章单元复习题
一、选择题
１、两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ）
A.9:16 B. 3:4 C.9：4 D.3:16
2、（2016?巴中）如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：1
第２题 第３题 第４题
３、如图，在Rt△ABC内有边长分别为的三个正方形，则满足的关系式是（ ）
A、 B、 C、 D、
４、（2016?安徽）如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（ ）
A．4 B．4 C．6 D．4
５、（2016?哈尔滨）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． = B． C． D．
第６题 第７题
６、（2016?达州）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
７、下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）
８、（2016?金华）在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A． B． C． D．
９、（2016?烟台）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
第９题 第１０题 第１１题
１０、（2016?台湾）如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为何？（ ）
B． C． D．
１１、（2016?泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
１２、如图，已知平行四边形ＡＢＣＤ中，，于，于，相交于，的延长线相交于，下面结论：
①②③④其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
第１２题 第１３题 第１５题
二、填空题
１３、如图，两点分别在的边上，与不平行， 当满足 条件（写出一个即可）时，．
１４、△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长比为 .
１５、如图5，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么 ．
１６、已知：x∶y∶z=2∶3∶4，则的值为 。
１７、数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为米，落在地面上的影长为米，则树高为 米．
１８、如图，点在射线上，点在射线上，且，．若，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．
三、解答题
19、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.
求证:ΔAEF∽ΔACB.
20、已知，求的值。
四、解答题
21、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交轴、轴于点C、D，
且S△PBD＝4，．
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当时，一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围.
２２、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作 CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE·AD=16，AB。（1）求证：CE=EF。（2）求EG的长。
２３、已知：如图，在矩形ABCD中，正为AD的中点，EF上EC交AB于F，连结FC．（AB＞AE）
（1）△AEF与△EFC是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC．若存在，证明你的结论并求出A的值；若不存在，说明理由．
２４、△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上.
Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF；
Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.
小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分.
Ⅱa. 小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了.
设△ABC的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .
Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是：
①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；
②连结BF’并延长交AC于F；
③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.
你认为小明的作法正确吗？说明理由.
五、解答题
25、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？
26、在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90o，CB＝3，OA＝6，BA＝3．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
华师大版九年级上册第２３章单元复习题答案
一、选择题
ＢＢＡＢＡ ＢＢＤＡＤ ＢＡ
二、填空题
１４、3：4 １５、
１６、 １７、4.2米； １８、10.5
三、解答题
２０、２
四、解答题
２１、（1）在中，令得 ∴点D的坐标为（0，2）
（2）∵ AP∥OD ∴Rt△PAC ∽ Rt△DOC
∵
∴
∴AP＝6
又∵BD＝
∴由S△PBD＝4可得BP＝2
∴P(2，6) 把P(2，6)分别代入与可得一次函数解析式为：y＝2x+2 ，反比例函数解析式为：
（3）由图可得x＞2
２２、（1）∵AD平分∠CAB
∴∠CAE=∠FAE
又∵AE⊥CF
∴∠CEA=∠FEA=90°
又∵AE=AE
∴△ACE≌△AFE（ASA）
∴CE=EF
（2）∵∠ACB=90°，CE⊥AD，∠CAE=∠DAC
∴△CAE∽△DAC
∴
∴
在Rt△ACB中
∴
又∵CE=EF，EG∥BC
∴FG=GB
∴EG是△FBC的中位线
∴
Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形，
∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°
∴△BDG≌△CEF(AAS)
Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，
求得
由△AGF∽△ABC得：
解之得：(或)
解法二：设正方形的边长为x，则
在Rt△BDG中，tan∠B=，
∴
解之得：(或)
解法三：设正方形的边长为x，
则
由勾股定理得：
解之得：
Ⅱb.解： 正确
由已知可知，四边形GDEF为矩形
∵FE∥F’E’ ，
∴，
同理，
∴
又∵F’E’=F’G’，
∴FE=FG
因此，矩形GDEF为正方形
五、解答题
25、解：(1)△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ是等边三角形.
(2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t·sin600=t,由AP=t,得PB=6-t,
所以S△BPQ=×BP×QE=(6-t)×t=－t2+3t；
(3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,
所以△QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ·cos600=×2t=t,
所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,
所以PR=EQ=t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR～△PRQ,
所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=,即,所以t=,
所以当t=时, △APR～△PRQ
26、[解] (1) 如图1，作BH(x轴于点H，则四边形OHBC为矩形，
∴OH=CB=3，∴AH=OA(OH=6(3=3，
在Rt△ABH中，BH===6，
∴点B的坐标为(3，6)。
(2) 如图1，作EG(x轴于点G，则EG//BH，
∴△OEG~△OBH，∴== ，又∵OE=2EB，
∴=，∴==，∴OG=2，EG=4，∴点E的坐标为(2，4)。
又∵点D的坐标为(0，5)，设直线DE的解析式为y=kx(b，则，解得k= (，
b=5。∴直线DE的解析式为：y= (x(5。
(3) 答：存在。
( 如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN为菱形。作MP(y轴于点P，
则MP//x轴，∴△MPD~△FOD，∴==。
又∵当y=0时，(x(5=0，解得x=10。∴F点的坐标为(10，0)，∴OF=10。
在Rt△ODF中，FD===5，∴==，
∴MP=2，PD=。∴点M的坐标为((2，5()。
∴点N的坐标为((2，)。
( 如图2，当OD=DN=NM=MO=5时，四边形ODNM
为菱形。延长NM交x轴于点P，则MP(x轴。
∵点M在直线y= (x(5上，∴设M点坐标为
(a，(a(5)，在Rt△OPM中，OP 2(PM 2=OM 2，
∴a2(((a(5)2=52，解得a1=4，a2=0(舍去)，
∴点M的坐标为(4，3)，∴点N的坐标为(4，8)。
( 如图3，当OM=MD=DN=NO时，四边形OMDN为
菱形。连接NM，交OD于点P，则NM与OD互相
垂直平分，∴yM=yN=OP=，∴(xM(5=，∴xM=5，
∴xN= (xM= (5，∴点N的坐标为((5，)。
综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为N1((2，)，
N2(4，8)，N3((5，)。
课件22张PPT。第23章小结与复习题（１）一、四个概念１、相似图形：形状相同的图形，叫做相似图形。
相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例；对应边的比叫做相似比。
相似多边形的判定：边数相同，各边对应成比例，各角对应相等，就称这两个多边形相似。２、位似图形：两个相似图形的对应点连线都交于一点，这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
位似多边形的性质：是相似图形，对应点连线都经过位似中心，对应点与位似中心所边的线段之比等于相似比。
位似多边形的判定：是相似图形，对应点连线都交于一点。３、比例线段：对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
黄金分割：将一条线段分成长短两条线段，如果短线段与长线段的长度之比等于长线段与全长之比，这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比。４、中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
重心定理：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的三分之一。４个规律比例的基本性质平行线分线段成比例定理。两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论。平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。相似三角形的判定定理和性质定理判定定理１：两角分别相等的两个三角形相似；
判定定理２：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
判定定理３：三边成比例的两个三角形相似。
性质定理１：相似三角形对应边上的高、中线、对应角的角平分线的比都等于相似比；
性质定理２：相似三角形周长之比等于相似比；
性质定理３：相似三角形面积之比等于相似比的平方。图形的变换与坐标变化规律平移变换规律：沿x轴移动，x坐标改变；沿y轴移动，y坐标改变，向正方向移动为+，向负方向移动为-.
对称变换规律：关于x轴对称，x坐标不变，关于y轴对称，y坐标不变，其余坐标互为相反数。
相似变换规律：x坐标之比和y坐标之比都等于相似比。比值法，也称Ｋ值法相似法例１、已知在△ABC中，AD平分∠BAC,EM是AD的中垂线，交BC延长线于E.，ＢＥ＝12，ＣＥ＝8。求ＤＥ的长。例２、如图，矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，F为BE上一点，连接DF，过F作FG⊥DF交BC于点G，连接BD交FG于点H，若FD = FG， ，BG = 4，则GH的长为__________． 例３、如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为 。小结４个概念４个规律２种方法相似图形位似图形成比例线段中位线比例的基本性质相似三角形的性质定理和判定定理平行线分线段成比例图形的变换与坐标的变化规律Ｋ值法相似法课件14张PPT。第23章小结与复习题（２）一、中位线法例１、如下图，在△ABC中，D、E分别为BC的三等分点，CM为AB上的中线，CM分别交AE、AD于F、G，如果ＣＦ＝１０，求ＧＦ和ＧＭ的值。例２、如图，四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM、CD分别交于点E、F。试说明∠BEN=∠NFC.例３、如图．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．二、利用相似三角形解决实际问题例１、小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）例２、为了加强视力保护意识，小明想在长为3.2米，宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙．
（1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙 和墙 的夹角处，被测试人站立在
对角线 上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．
（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙 上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙 米处．
（3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距 为3m的小视力表．如果大视力表中“ ”的长是3.5cm，那么小视力表中相应“Ｅ ”的长是多少cm？ 例３、晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米．求路灯的高.三、小结中位线法利用相似三角形的知识
解决实际问题
