课件14张PPT。湘教版 SHUXUE 八年级上线段的垂直平分线(1) 如图， 人字形屋顶的框架中，点A 与点A′关于线段CD 所在的直线l对称，问线段CD 所在的直线l 与线段AA′有什么关系？我发现AD=A′D，l⊥AA′已知点A与点Ａ′关于直
线l对称，如果沿直线l折叠，
则点A与点Ａ′重合，
AD=A′D，∠1 =∠2 = 90°，即直线l既平分线段AA′，又垂直线段AA′．我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到如图 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。（中垂线）用符号语言描述右图的内容线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 如图， 在线段AB 的垂直平分线l上任取一点P， 连接PA，PB，线段PA, PB之间有什么关系？ 作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折），由于l是线段AB 的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA= PB.由此得出线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.几何语言：∵CD⊥AB，AC=BC ∴PA=PB 我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB 两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？(1) 当点P在线段AB上时，因为PA = PB， 所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.（2） 当点P在线段AB外时,如图, 因为PA =PB，所以△PAB是等腰三角形.过顶点P 作PC⊥AB，垂足为点C，从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即PC⊥AB，且AC = BC.因此直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.几何语言：∵PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上由此得到线段垂直平分线的性质定理的
逆定理：（判定定理）判定定理与性质定理的关系：互为逆定理。例1 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直
平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.
求证：点O在AC的垂直平分线上.证明 ∵点O在线段AB的垂直平分线上，∴ OA=OB.同理OB=OC.∴ OA=OC.∴ 点O在AC的垂直平分线上.例2 在三角形ABC中，DE是边AB的垂直平分线，AB=8cm，△ACD的周长为10cm。求△ABC的周长。分析：∵△ACD的周长
=AC+CD+AD=10∴△ABC的周长=AC+BC+AB=10+8=18而AD=BD
∴AC+CD+BD=AC+BC=101．若 P 是线段 AB 的垂直平分线上一点，且 PB＝6 cm，则PA ＝________cm.2．如图 ，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交 AC 于点 E，交 BC 于点 D，△ABD 的周长是 12 cm，AC＝5 cm，则 AB＋BD＋DC＝________cm；△ABC 的周长是________cm.61217 3、如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）.
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).
又∵在△BCE中，BE+CE+BC=18cm，BC=8cm，
∴BE+CE=10cm.
∴AC=AE+CE=BE+CE=10cm.
故应选择C.C4. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交
AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC= 80°，
求∠CAE的度数.∠CAE=50°.5.如图，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D．BE=6，求△BCE的周长．△BCE的周长22.6.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且
AC =BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.证明： ∵ AC =BC，AD=BD，∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上，∴ CD为线段AB的垂直平分线.又 AB与CD相交于点O∴ AO=BO.7. 如图，已知AE=CE， BD⊥AC．
求证： AB＋CD=AD＋BC．8.如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD＋AD＝BC．
求证： 点D在AC的垂直平分线上．∵AE=CE， BD⊥AC．∴AD=CD ，AB=CB∴ AB＋CD=AD＋BC．∵BD＋AD＝BC．又∵BD＋DC＝BC．∴AD=CD∴ 点D在AC的垂直平分线上。1. 线段的垂直平分线的性质是什么？2. 线段的垂直平分线的判定是什么？3.这两个定理的关系是什么？作业：P72 A 1、2、3线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.判定定理与性质定理的关系：互为逆定理。《线段垂直平分线（1）》课时作业
一、填空题
1．若 P 是线段 AB 的垂直平分线上一点，且 PB＝6 cm，则PA ＝_____cm.
2．如图 ，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交 AC 于点 E，交 BC 于点 D，
△ABD 的周长是 12 cm，AC＝5 cm，则 AB＋BD＋DC＝_____cm；△ABC 的
周长是_____cm.
3. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC= 80°，则∠CAE的度数是 .
第2题 第3题 第4题
4.如图，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D．BE=6，则△BCE的周长是 ．
二、选择题
1、如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ）
A.AB垂直平分CD； B. CD垂直平分AB；
C. AB 与CD互相垂直平分； D. CD平分∠ADB
2、如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）.
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
第1题 第2题 第4题
3、△ABC的边AB的垂直平分线经过点C，则有（ ）
A. AB=AC； B. AB=BC； C. AC=BC； D. ∠B=∠C；
4、如图他，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，遍AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A. 8； B. 9； C. 10； D. 11；
三、解答题
1、已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC，AD=BD，AB与CD相交于点O。求证：AO=BO.
2. 如图，已知AE=CE， BD⊥AC．求证： AB＋CD=AD＋BC．
3.如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD＋AD＝BC．
求证： 点D在AC的垂直平分线上．
参考答案：
一、1、6cm；2、12cm，17cm；3、∠CAE=50°；4、△BCE的周长22.
二、1、A；2、C；3、C；4、C
三、1、证明： ∵ AC =BC，AD=BD，∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上，
∴ CD为线段AB的垂直平分线.，又 AB与CD相交于点O，∴ AO=BO.
2、证明：∵AE=CE， BD⊥AC．
∴AD=CD ，AB=CB，∴ AB＋CD=AD＋BC．
3、证明：∵BD＋AD＝BC．又∵BD＋DC＝BC．
∴AD=CD，∴ 点D在AC的垂直平分线上。
课题：2.4.1 线段垂直平分线（1）
教学目标：
1、使学生理解线段的垂直平分线的性质定理及逆定理,掌握这两个定理的关系并会用这两个定理解决有关几何问题。
2、了解线段垂直平分线的轨迹问题。
3、结合教学内容培养学生的动作思维、形象思维和抽象思维能力。
重点：线段的垂直平分线性质定理及逆定理的引入证明及运用。
难点：线段的垂直平分线性质定理及逆定理的关系。
教学过程：
一、复习与回顾（出示ppt课件）
1、什么是轴对称图形？
2、线段是轴对称图形吗？
二、探究学习（出示ppt课件）
1、观察：如图， 人字形屋顶的框架中，点A 与点A′关于线段CD 所在的直线l对称，问线段CD 所在的直线l 与线段AA′有什么关系？
我发现AD=A′D，l⊥AA′
2、线段的垂直平分线的概念
我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到如图
已知点A与点Ａ′关于直线l对称，如果沿直线l折叠，
则点A与点Ａ′重合，AD=A′D，∠1 =∠2 = 90°，即直线l既平分线段AA′，又垂直线段AA′．
我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条
线段的垂直平分线。（中垂线）
线段是轴对称图形，线段的垂直平分线
是它的对称轴.
3、线段的垂直平分线的性质定理：
如图， 在线段AB 的垂直平分线l上任取一点P，
连接PA，PB，线段PA, PB之间有什么关系？
作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折），由于l是线段AB 的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA= PB.
由此得出线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
几何语言：∵CD⊥AB，AC=BC ∴PA=PB
3、线段的垂直平分线的判定定理：
我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
反过来，如果已知一点P到线段AB 两端的距离PA与
PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？
(1) 当点P在线段AB上时，因为PA = PB， 所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.
（2） 当点P在线段AB外时,如图, 因为PA =PB，所以△PAB是等腰三角形.过顶点P 作PC⊥AB，垂足为点C，从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即PC⊥AB，且AC = BC.
因此直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：（判定定理）
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
几何语言：∵PA=PB∴点P在线段AB的垂直平分线上
判定定理与性质定理的关系：互为逆定理。
三、应用举例（出示ppt课件）
例1 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线
相交于点O，连接OA，OB，OC.
求证：点O在AC的垂直平分线上.
证明 ∵点O在线段AB的垂直平分线上，
∴ OA=OB. 同理OB=OC .∴ OA=OC.
∴ 点O在AC的垂直平分线上.
方法小结：要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了．
例2 在三角形ABC中，DE是边AB的垂直平分线，AB=8cm，△ACD的周长为10cm。求△ABC的周长。
解：∵△ACD的周长=AC+CD+AD=10
而AD=BD
∴AC+CD+BD=AC+BC=10
∴△ABC的周长=AC+BC+AB=10+8=18
四、巩固训练（出示ppt课件）
1．若 P 是线段 AB 的垂直平分线上一点，且 PB＝6 cm，则PA ＝________cm.
2．如图 ，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交 AC 于点 E，交 BC 于点 D，△ABD 的周长是 12 cm，AC＝5 cm，则 AB＋BD＋DC＝________cm；△ABC 的周长是________cm.
3、如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）.
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
第2题 第3题
以下练习见ppt课件。
五、课堂小结（出示ppt课件）
1. 线段的垂直平分线的性质是什么？
2. 线段的垂直平分线的判定是什么？
3.这两个定理的关系是什么？
六、作业：P72 A 1、2、3
