课件17张PPT。湘教版 SHUXUE 八年级上等腰三角形(2)等腰三角形的性质有哪些？(1)从边看：等腰三角形两边相等（定义）；等腰三角形两底角相等（性质定理）；(2)从角看：(3)从重要线段看：等腰三角形底边上的高、底边上的中线与顶角的平分线互相重合（三线合一）；(4)从特殊图形看：等边三角形每个角都相等并且每个角都等于60°。(5)从对称性看：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线
所在的直线。等边三角形有三条对称轴。我测量后发现AB与AC相等.3cm3cm 我们知道，等腰三角形的两底角相等，
反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ 如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？如何证明AB=AC？事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C. 沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平分线AD交BC于点D，则∠1=∠2.又∠B=∠C，由三角形内角和的性质得
∠ADB=∠ADC.沿AD所在直线折叠，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以射线DB与射线DC重合，射线AB与射线AC重合.从而点B与点C重合，于是AB=AC.三个角都是60°的三角形是等边三角形.由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).等腰三角形的判定定理：例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.
求证：△ADE为等腰三角形.证明 ∵AB=AC，∴ ∠B=∠C.又∵ DE∥BC，∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴ ∠ADE=∠AED.于是△ADE为等腰三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形内角和定理得
∠A+∠B+∠C= 180°.如果顶角∠A=60°，则∠B+∠C= 180°-60°=120°.又 AB=AC，∴ ∠B=∠C.∴ ∠B=∠C=∠A=60°.∴ △ABC是等边三角形.由此得到另一条等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 例2 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.
求证：△ADE是等边三角形.证明 ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠C= 60°.∵∠EAD=∠BAC= 60°，又 AD =AE，∴△ADE是等边三角形（ ）例3 如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点E，过点E作FE//BC，交AC于点O，交∠ACD的平分线于点F，
求证：EO=FO.证明： ∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.∵EF ∥BC,∴ ∠2=∠5，∠3=∠6,∴ ∠1=∠5，∠4=∠6,∴EO=CO，FO=CO，∴EO=FO.1. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和
∠ACB的平分线相交于点O.
求证：△OBC为等腰三角形.证明:∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， 又∵ △ABC是等腰三角形，∴ ∠DBC =∠ECB，∴ △OBC是等腰三角形.∴ ∠ABC =∠ACB，2. 已知：如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE
交BC的延长线于点E，且∠ACE= 60°.
求证：△ACE是等边三角形.证明：∵CD平分∠ACB，又∵∠ACE=60°，∴ ∠BCD=∠E=60°，∴ ∠ACD =∠DCB，∴ ∠ACD=∠DCB=60°，又 ∵ AE∥DC，∴ 在△ACE中，∠CAE= 180°- ∠E -∠ACE =60 °∴ ∠CAE = ∠ACE=∠E=60° ∴△ACE是等边三角形.4、已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC。
求证：AB=AD3、如图，在△ABC中，∠ACB和∠ACB的平分线相交于点D，且DB=DC，请说明AB=AC的理由. BD、CD分别是∠ACB和∠ACB的平分线，∵DB=DC，∠DBC=∠DCB∠ABC=2∠DBC∠ACB=2∠DCB∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC∵ AD∥BC∴∠2=∠3又BD平分∠ABC∴∠1=∠2∴∠1=∠3∴AB=AD5. 已知：如图，AB=BC ，∠CDE= 120°， DF∥BA
且DF平分∠CDE.求证：△ABC是等边三角形.∴△ABC是等边三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴ ∠FDC=∠ABC=60°，∴ △ABC是等腰三角形，∴ ∠EDF=∠FDC=60°，又∵DF∥BA，6、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。已知：∠EAC是△ABC的外角，∠1=∠2，
AD∥BC，求证：AB=AC7.已知：如图,在等边三角形ABC的AC边上的取中点D,BC的延长线上取一点E,使得CE=CD.求证：BD=DE.证明：∵△ABC是等边三角形,D是AC中点 ∴∠ACB=60°,∠CBD=30° ∵CD=CE ∴∠E=∠CDE ∵∠BCD=∠E+∠CDE=2∠E=60° ∴∠E=30°=∠CBD ∴BD=DE8、上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40o，∠NBC=80o，求从B处到灯塔C的距离． 1、等腰三角形两边长分别是2cm和5cm，则这个三角形周长为（ ）
A.9cm B.12cm C.9cm或12cm D.14cmB 另一边长为2cm或5cm，2，2，5不符合三角形三边关系定理，故选5. ∴周长为5+5+2=12cm.6cm和7cm 2、若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A. 50° B. 80°
C. 65°或50° D. 50°或80° 因为50°可作为等腰三角形的一顶角或一底角，故选D.D 1、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠， 重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？由折叠可知：∠EBD=∠CBD，
在矩形ABCD中，AD∥BC，则∠CBD=∠FDB,
所以∠FDB=∠EBD 所以BF=DF2、如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点O，且DE∥BC.
（1）图中共有几个等腰三角形？选其一加以说明.
（2）试说明△ADE的周长与AB+AC的关系.
（3）若AC=13cm，AB=10cm，求△ADE的周长.1、这节课我们学习了什么？2、等腰三角形的判定定理和性质定理有何联系？作业：P66 A 5、6、7 B 9、10定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边）。
推论1：三个角相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形《等腰三角形（2）》课时作业
一、填空题
1、在△ABC中，∠B=∠C，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= .
2、如图，在△ABC中，AB=AD=DC，
∠BAD=20°，则∠C = .
3、如图，在△ABC中，AB=AC，
BD，CD分别平分∠ABC和
∠ACB，且∠BDC=120°，则∠A= 。
二、选择题
1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36O，D、E是BC上的两点，
且∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中的等腰三角形共有（ ）个。
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2、如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则BD与CE的关系是（ ）
A. BD>CE B. BD第1题 第2题
3、等腰三角形两边长分别是2cm和5cm，则这个三角形周长为（ ）
A.9cm B.12cm C.9cm或12cm D.14cm
4、若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A. 50O B. 80O C. 65O 或50O D. 50O 或80O
三、解答题
1.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OC=OD，求证：OA=OB
2.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
3.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，求证：EF=EB+FC.
4、如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE。求证：△ABC是等腰三角形(提示：过点D作AE的平行线)。
第1题 第3题 第4题
参考答案：
一、1、3；2、40°；3、60°；
二、1、B；2、C；3、B；4、D；
三、1、∵AB∥DC，∴∠A=∠C ，∠B=∠D，又∵OC=OD，∴∠C=∠D，
∴∠A=∠B，∴OA=OB
2、已知，AD平分△ABC的外角∠EAD，且AD∥BC，
求证：△ABC是等腰三角形。
证明：∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B ，∠DAC=∠C
∵AD平分△ABC的外角∠EAD，
∴∠EAD=∠DAC，∴∠B=∠C
即：AB=AC，△ABC是等腰三角形。
3、∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，
可证得：∠EBO=∠EOB，∠FCO=∠COF，
得出：BE=OE，CF=FO，EF=OE+OF=BE+CF
4、按提示作辅助线。得证。（略）
课题：2.3.2等腰三角形（2）
学习目标：
1、掌握等腰三角形的判定方法，掌握等边三角形的性质，理解等边三角形与等腰三角形的联系与区别。并能灵活运用解决实际问题；
2、通过独立思考，交流讨论，发展推理能力和运用数学知识解决实际问题的能力；
重点：等腰三角形的判定方法
难点：等腰三角形的判定和性质的区别，等腰三角形的判定的应用。
教学过程：
一、复习与回顾（出示ppt课件）
等腰三角形的性质有哪些？
(1)从边看：等腰三角形两边相等（定义）；
(2)从角看：等腰三角形两底角相等（性质定理）；
(3)从重要线段看：等腰三角形底边上的高、底边上的中线与顶角的平分线互相重合（三线合一）；
(4)从特殊图形看：等边三角形每个角都相等并且每个角都等于60°。
(5)从对称性看：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。等边三角形有三条对称轴。
二、合作学习（出示ppt课件）（学生合作学习，教师积极参与）
1、用直尺和量角器画△ABC，使∠B=∠C，再用刻度尺量一量线段AB、AC的长，你有什么发现？
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，
那么AB与AC之间有什么关系吗？
测量后发现AB与AC相等，如何证明AB=AC？
已知：如图 在△ABC中，∠B=∠C；求证：AB=AC
分析：沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平分线AD交BC于点D，
则∠1=∠2.又∠B=∠C，由三角形内角和的性质得：∠ADB=∠ADC.
证明：沿AD所在直线折叠，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，
所以射线DB与射线DC重合，射线AB与射线AC重合.
从而点B与点C重合，于是AB=AC.
2、归纳总结：等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形。(简称“等角对等边”).
由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角形的判定定理：
三个角都是60°的三角形是等边三角形。
3、等腰三角形的性质与判定有什么区别和联系？
区别：
联系：
三、例题精讲（出示ppt课件）（学生合作学习，教师积极参与）
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，
点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.
求证：△ADE为等腰三角形.
证明 ∵AB=AC，∴ ∠B=∠C.又∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴ ∠ADE=∠AED. ∴△ADE为等腰三角形.
动脑筋：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.
由三角形内角和定理得： ∠A+∠B+∠C= 180°.
如果顶角∠A=60°，则∠B+∠C= 180°-60°=120°.
又 AB=AC，∴ ∠B=∠C.∴ △ABC是等边三角形.∴ ∠B=∠C=∠A=60°.
由此得到另一条等边三角形的判定定理：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，
E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.
求证：△ADE是等边三角形.
证明 ∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠C= 60°.
∵∠EAD=∠BAC= 60°，又 AD =AE，
∴△ADE是等边三角形
例3 如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点E，过点E作FE//BC，交AC于点O，交∠ACD的平分线于点F，
求证：EO=FO.
证明： ∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵EF ∥BC,
∴ ∠2=∠5，∠3=∠6,
∴ ∠1=∠5，∠4=∠6,
∴EO=CO，FO=CO，∴EO=FO.
四、巩固练习（见ppt课件）
五、思维提升（出示ppt课件）
1、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，
重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
2、如图，在△ABC中，BO、CO分别
平分∠ABC和∠ACB，DE过点O，
且DE∥BC.
（1）图中共有几个等腰三角形？选其一加以说明.
（2）试说明△ADE的周长与AB+AC的关系.
（3）若AC=13cm，AB=10cm，求△ADE的周长.
六、课堂小结（出示ppt课件）
七、作业：P66 A 5、6、7 B 9、10
