课题：2.3.1等腰三角形（1）
学习目标：
1、等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质，并能灵活应用等腰三角形的性质解决一些实际问题。
2、通过独立思考，交流合作，体会探索数学结论的过程，发展推理能力。
重点：等腰三角形性质的探索及应用
难点：等腰三角形性质的应用
教学过程：
一、知识复习（出示ppt课件）
1、有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形,
相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，
两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角
2、等腰三角形具有一般三角形的性质吗？
两边之和大于第三边。三内角和等于180°.还有哪些特殊的性质呢？
二、探究新知（出示ppt课件）
1、做一做：把一张长方形纸片按图中的虚线对折,然后沿着虚线剪去一部分,再把它展开,得△ABC.
AC和AB有什么关系 这个三角形有什么特点
2、探究等腰三角形的特殊性质：（填空）
如图,
作△ABC
关于顶角平分线AD
所在直线的轴反射，
由于∠1
=∠2，
AB=AC，
因此：
射线AB的像是射线AC，
射线AC的像是射线
；
线段AB的像是线段AC，
线段AC的像是线段
；
点B的像是点C，
点C的像是点
；
线段BC的像是线段CB.从而等腰△ABC关于直线
对称.
由于点D
的像是点D,
因此线段DB
的像是线段
，
从而点D
是底边BC上的
.AD是底边BC的
。
由于射线DB的像是射线DC
( http: / / www.21cnjy.com ),
射线DA的像是射线
,
因此∠BDA=∠CDA=
°,
从而AD是底边BC上的
.
由于射线BA
的像是射线CA
,
射线
( http: / / www.21cnjy.com )BC
的像是射线
,因此∠B
∠C.
∠BAD
∠CAD。从而AD是顶角∠BAC的
通过上述探究，得出等腰三角形的特殊性质：
（1）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
（2）等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）
（3）等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）．
3、填空：如图1，在△ABC中
（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD
∴BD
=
，
⊥
。
（2）∵AB=AC，BD=CD
∴∠BAD=
，
⊥
.
（3）∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠BAD=
，
BD=
.
4、等边三角形的性质：
如图，
△ABC
是等边三角形，
那么∠A，
∠B，∠C的大小之间有什么关系呢？
因为△ABC
是等边三角形，
所以AB＝BC＝AC,从而∠C
＝∠A＝∠B．
由三角形内角和定理可得：∠A＝∠B＝∠C＝60°．
等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.
由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边
三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是
三个内角的平分线所在的直线.
三、应用举例（出示ppt课件）
例1：已知：
如图，
在△ABC中，
AB=AC，
BD⊥AC，
垂足为点D.
求证：
∠DBC=∠A.
证明：作AF⊥BC于F
∵AB=AC
AF⊥BC
∴∠CAF=∠BAF=∠BAC
∵AF⊥BC
BD⊥AC
∴∠CAF+∠C=∠DBC+∠C=90°
∴∠DBC
=∠CAF
∴∠DBC=∠BAC
解题规律：在等腰三角形中，做顶角平分线或作底边上高或作底边上中线是一种常用的辅助线.
例2、如图3，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，
且AD=AE.
求证：BD=CE
证明
作AF⊥BC，垂足为点F，
则AF是等腰△ABC和等腰△ADE底边上的高，
也是底边上的中线.
∴
BF=CF，DF=EF，∴
BF-DF=CF-EF，即
BD=CE.
议一议：如图的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点
D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅锤线上.
（1）AD与BC是否垂直，试说明理由.
（2）这时BC处于水平位置，为什么？
四、巩固练习（见ppt课件）
五、课堂小结（出示ppt课件）
本节课你学习了等腰三角形的哪些重要性质
等腰三角形的三个特殊性质：
等边对等角：
。对称性：
。
三线合一：
。等边三角形的性质：
六、作业：P66
A
1、2、3、4
B
8
A
B
C
D
A
B
C
D
A
C
B
D
图1
A
B
C
A
B
C
D
F
E
D
C
B
A
F《等腰三角形（1）》课时作业
一、填空题
1、如图（1）在等腰△ABC中，AB
=AC,
∠A
=
36°，
则∠B
=
,∠C=
.
2、等腰△ABC中，有一个角是50°，
则其余两个角分别是
。
3、已知一个等腰三角形两个内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为
。
4、若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是
。
5、等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40o，则底角为
。
二、选择题
1、等腰三角形的底角是50°，则顶角是（
）
A.
60°，
B.
70°，
C.
80°，
D.
40°，
2、一个三角形的三内角∠A
：∠B
：∠C=1：1：1，则该三角形是（
）
A.
直角三角形，
B.等腰三角形，
C.钝角三角形，
D.
等边三角形，
3、等腰三角形的顶角是70°，则腰上的高与底边的夹角为（
）
A.
55°，
B.
35°，
C.
40°，
D.
45°，
4、等腰三角形的两边长分别是4cm和5cm，则它的周长是（
）
A.
13cm，
B.
14cm，
C.
13cm或14cm，
D.
22cm，
三、解答题
1、如图2，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，
且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
2、如图3，在△ABC中，AB=AC，∠A=30o，
BF=CE，BD=CF，求∠DFE的度数。
3、如图4，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，AM⊥CD，垂足为点M
求证：CM=DM
参考答案
一、1、72°，72°；2、65
°、6
( http: / / www.21cnjy.com )5
°或50
°、80
°；3、20
°、80°、80°或120°、30
°、30°；4、5；5、65
°；
二、1、C；2、D；3、B；4、C；
三、1、∠A=36o，∠ABC=72o，∠C=72o，
2、∠DFE=75o
3、连接AC、AD，可证得：AC=AD，即△ACD是等腰三角形；又AM⊥CD，
由“三线合一”性质得：AM是CD的中线，D是中点，所以CM=DM
A
B
C
(1)
图2
D
C
B
A
图3
B
F
D
A
E
C
图4
E
D
C
B
A
M(共16张PPT)
湘教版
SHUXUE
八年级上
本课内容
本节内容
2.3.1
认识等腰三角形
等腰三角形是有两边相等的三角形.
底角
顶角
B
A
C
腰
腰
底边
底角
另外一边叫作底边.
两腰的夹角叫作顶角.
腰和底边的夹角叫作底角.
其中相等的两边都叫作腰.
等腰三角形具有一般三角形的性质吗？
还有哪些特殊的性质呢？
两边之和大于第三边。三内角和等于180°.
做一做
AC和AB有什么关系 这个三角形有什么特点
如图,把一张长方形纸片按图中的虚线对折,然后沿着虚线剪去一部分,再把它展开,得△ABC.
探究
任意画一个等腰三角形ABC，
其中AB
=AC，
射线AB的像是射线AC，
射线AC的像是射线
；
AB
AB
B
AD
由于∠1
=∠2，
AB=AC，
因此：
如图,
作△ABC
关于顶角平分线AD
所在直线的轴反射，
线段BC的像是线段CB.从而等腰△ABC关于直线
对称.
点B的像是点C，
点C的像是点
；
线段AB的像是线段AC，
线段AC的像是线段
；
由于射线BA
的像是射线CA
,
射线BC
的
像是射线
,因此∠B
∠C.
∠BAD
∠CAD。从而AD是顶角∠BAC的
.
中点
DA
90
高
CB
=
DC
由于点D
的像是点D,
因此线段DB
的像是线段
，
从而点D
是底边BC上的
.AD是底边BC的
。
由于射线DB的像是射线DC,
射线DA的像是射线
,
因此∠BDA=∠CDA=
°,
从而AD是底边BC上的
.
中线
=
平分线
结论
在△ABC中，
∵
AC=AB（已知
）∴
∠B=∠C（等边对等角）
几何语言：
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）．
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
在△ABC中，AB
=AC,
点
D在BC上
1、∵AD
⊥
BC
∴∠
=
∠
，
=
.
2、∵AD是中线，
∴
⊥
，∠
=∠
.
3、∵AD是角平分线，
∴
⊥
，
=
.
几何语言：
BAD
CAD
BD
CD
BD
CD
BAD
CAD
AD
BC
AD
BC
做一做
在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△
ABC各角的度数
.
解：∵在△ABC中，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∵在△ABD中，BD=AD
∴∠ABD=∠A，∠BDC=∠A+∠ABD,
即∠BDC=2∠A
∵
在△BDC中，BD=BC
∴∠BDC=∠BCD,
∠A+2∠ACB=180°
即
∠A+4∠A=180°
∴∠A=36°
∠ABC=∠BCA=2∠A=72°
做一做
如图（1）在等腰△ABC中，
AB
=AC,
∠A
=
36°,则∠B
=
,∠C=
.
2、如图（3）在等腰△ABC中，∠A
=
120°则∠B
=
，∠C=
.
72
°
72
°
65
°
65
°
30
°
30
°
变式练习：
1、如图（2）在等腰△ABC中，∠A
=
50°,
则∠B
=
，∠C=
.
3、等腰△ABC中，有一个角是50°，
则其余两个角分别是
。
65
°、65
°或50
°、80
°
（1）
（2）
（3）
想一想
如图，
△ABC
是等边三角形，
那么∠A，
∠B，∠C的大小之间有什么关系呢？
因为△ABC
是等边三角形，
所以AB＝BC＝AC,
从而∠C
＝∠A＝∠B．
由三角形内角和定理可得：
∠A＝∠B＝∠C
＝
60°．
由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.
等边三角形的三个内角相等，
且都等于60°.
证明：作AF⊥BC于F
F
∵AB=AC
AF⊥BC
∵AF⊥BC
BD⊥AC
∴∠CAF+∠C=∠DBC+∠C=90°
∴∠DBC
=∠CAF
解题规律：在等腰三角形中，做顶角平分线或作底边上高或作底边上中线是一种常用的辅助线.
举
例
例1：已知：
如图，
在△ABC中，
AB=AC，
BD⊥AC，
垂足为点D.
求证：
∠DBC=
∠A.
1
2
∴∠DBC=
∠BAC
1
2
∴∠CAF=∠BAF=
∠BAC
1
2
例2
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且AD=AE.
求证：BD=CE.
证明
作AF⊥BC，垂足为点F，
则AF是等腰△ABC和等腰△ADE
底边上的高，也是底边上的中线.
∴
BF=CF，
∴
BF-DF=CF-EF，
DF=EF，
即
BD=CE.
F
如图的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅锤线上.
（1）AD与BC是否垂直，试说明理由.
（2）这时BC处于水平位置，为什么？
如图，在△ABC中，AB=AC，AB
为BC边上的高，∠BAC=49°BC=4
求∠BAD的度数及DC的长.
练习
∠BAD=24.5°，
DC=2.
1题
2.
如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且∠APD=
80°，AD=AP，求∠DPC的度数.
∠DPC
=20°.
3、已知房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。
2题
3题
∠B
=∠C=40°.∠BAD=∠CAD=50°
本节课你学习了等腰三角形的哪些重要性质
等边对等角：
。
三线合一：
。
等腰三角形的三个特殊性质：
对称性：
。
等边三角形的性质：
。
作业：P66
A
1、2、3、4
B
8
