山东省潍坊市2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷1

中小学教育资源及组卷应用平台
2025-2026学年九年级上学期期末模拟
一．选择题（共6小题）
1．如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
2．二次函数y＝ax2+bx+4的图象如图所示，则方程ax2+4x+b＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．可能只有一个实数根
3．如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E，下列结论不一定成立的是（　　）
A．AE＝BE B． C．AC＝BC D．OE＝CE
4．某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（　　）
A．（30﹣x）（20﹣x）20×30
B．（30﹣2x）（20﹣x）20×30
C．30x+2×20x20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）20×30
5．图1是一个“不倒翁”，图2是它的主视图，OA，OB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是8，∠O＝54°，则的长是（　　）
A．2.4π B．5.6π C．10π D．10.4π
6．在反比例函数的图象上，有一系列点A1，A2，A3，…，An，An+1，若A1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点A1，A2，A3，…，An，An+1作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则S1+S2+S3+…+Sn＝（用含n的代数式表示）（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）7．下列说法正确的是（　　）
A．了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查
B．随着实验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C．一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是3，方差是2，则x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数是5，方差是4
D．“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件
（多选）8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
（多选）9．如图，在△ABC中，按下列步骤作图：（1）分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；（2）以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；（3）分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，交BC与点P，且AM和CD交于点N，连接ON．下列说法正确的是（　　）
A．D为AB的中点 B．
C．AM垂直平分CD D．
（多选）10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．下列结论正确的是（　　）
A．abc＜0
B．b＞4
C．a+b+c＞7
D．关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根
三．填空题（共4小题）
11．若m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣3m+mn的值为　 　 ．
12．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：
则输出结果为　 　 ．
13．如图，正六边形ABCDEF边长为2，若连接对角线AC，则AC的长为　 　 ．
14．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是 　 　 ．
四．解答题（共8小题）
15．（1）计算：；
（2）解方程：
①x2﹣4x＝12；
②（7x+1）2＝2（7x+1）．
16．中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩/分 频数 频率
50≤x＜60 10 0.05
60≤x＜70 20 0.10
70≤x＜80 30 b
80≤x＜90 a 0.30
90≤x≤100 80 0.40
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）通过计算补全频数分布直方图；
（3）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的2000名学生中成绩“优”等的大约有多少人？
17．如图，反比例函数y的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A（2，5），B（n，1）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C．
（1）求反比例函数的关系式与n的值；
（2）根据图象直接写出不等式kx+b0时x的取值范围；
（3）若动点P在x轴上，求PA+PB的最小值．
18．已知甲袋有3张分别标示1、2、3的号码牌，乙袋有3张分别标示6、7、8的号码牌，榕榕分别从甲、乙两袋中各抽出一张号码牌．每张号码牌被抽出的机会相等，请借助列表或树状图，求她抽出两张号码牌上数字乘积为3的倍数的概率．
19．景点A的南偏东76°方向有景点B，景点A的正南方向9km有景点C，景点A和景点C有一条笔直的公路相连，景点B在景点C北偏东38°方向，即线段AC＝9km，∠BAC＝76°，∠ACB＝38°．
（Ⅰ）求景点B到公路AC的最短距离（结果取整数）；
（Ⅱ）景点B的东南方向4.23km有景点D，求景点D到公路AC的最短距离（结果取整数）．
参考数据：tan76°取4.0，tan38°取0.8，取1.41．
20．某大型批发商场平均每天可售出某款商品3000件，售出1件该款商品的利润是10元．经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出1000件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品．
（1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元？
（2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达50000元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由．
21．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，在AB上取点O，以O为圆心，以OB为半径作圆，与AC相切于点D，并分别与AB，BC相交于点E，F（异于点B）．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若点E恰好是AO的中点，求扇形BOF的面积；
（3）若CF的长为1，求⊙O的半径长．
22．某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长，经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
年度 2017 2018 2019 2020 2021
年度纯收入（万元） 1.5 2.5 4.5 7.5 11.5
若记2017年度为第1年度，2018年度为第2年度，……，在直角坐标系中用点（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.5）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况，如图所示，拟用下列三个函数模拟甲农户从2017年度开始的年度纯收入变化趋势：y（m＞0），y＝kx+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2022年度的纯收入．
（1）能否选用函数y（m＞0）进行模拟？请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理？请说明理由；
（3）甲农户准备在2022年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数解析式，预测甲农户2022年度的纯收入能否满足购买该农机设备的资金需求．
2025-2026学年九年级上学期期末模拟答案
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C A D B D A
二．多选题（共4小题）
题号 7 8 9 10
答案 ABD BC BCD BCD
一．选择题（共6小题）
1．如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】过点A作BC的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．
【解答】解：过点C作BA的垂线，垂足为M，
因为每个小正方形的边长均为1，
∴△ABC的面积（1+3）×66，
∵6CM，
解得CM，
∴BM，
在Rt△CBM中，cos∠ABC；
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，过点A作BC的垂线，构造出合适的直角三角形是解题的关键．
2．二次函数y＝ax2+bx+4的图象如图所示，则方程ax2+4x+b＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．可能只有一个实数根
【分析】先根据二次函数的性质得a＞0，b＜0，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义可对各选项进行判．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴ab＜0，
∴b＜0，
∵Δ＝42﹣4ab＝16﹣4ab＞0，
∴方程ax2+4x+b＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转仅为解关于x的一元二次方程问题．也考查了二次函数的性质和根的判别式．
3．如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E，下列结论不一定成立的是（　　）
A．AE＝BE B． C．AC＝BC D．OE＝CE
【分析】根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理判断即可．
【解答】解：∵直径CD⊥AB，
∴AE＝BE，，，
∴AC＝BC，
故选项A、B、C的结论成立，
OE与CE的关系不能确定，故选项D的结论不一定成立，
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理，熟记垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
4．某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（　　）
A．（30﹣x）（20﹣x）20×30
B．（30﹣2x）（20﹣x）20×30
C．30x+2×20x20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）20×30
【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得．
【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）20×30，
故选：B．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．
5．图1是一个“不倒翁”，图2是它的主视图，OA，OB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是8，∠O＝54°，则的长是（　　）
A．2.4π B．5.6π C．10π D．10.4π
【分析】根据题意，先找到圆心P，然后根据OA，OB分别与所在圆相切于点A，B．∠O＝54°可以得到∠APB的度数，然后即可得到优弧ACB对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：PA⊥OA，PB⊥OB，PA，PB交于点P，如图2，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠O＝54°，
∴∠APB＝126°，
∴优弧ACB对应的圆心角为360°﹣126°＝234°，
∴优弧ACB的长是10.4π．
故选：D．
【点评】本题考查弧长的计算、切线的性质，解答本题的关键是求出优弧ACB的度数．
6．在反比例函数的图象上，有一系列点A1，A2，A3，…，An，An+1，若A1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点A1，A2，A3，…，An，An+1作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则S1+S2+S3+…+Sn＝（用含n的代数式表示）（　　）
A． B． C． D．
【分析】由A1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，再根据点A1、A2、A3、…、An、An+1在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出Sn的表达式．
【解答】解：∵点A1、A2、A3、…、An、An+1在反比例函数的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，
又点A1的横坐标为2，
∴A1（2，5），A2（4，），A3坐标为（6，）．
由题图象知，An（2n，），An+1（2n+2，），
∴S1＝2×（5）＝5，S2＝2×（）＝2，…，
Sn＝2×（）（n＝1，2，3，…），
∵，
∴S1+S2+S3+…+Sn＝10（）＝10（1）．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数综合题，此题是一道规律题，首先根据反比例函数的性质及图象，求出An的坐标的表达式，再由此求出Sn的表达式．
二．多选题（共4小题）
（多选）7．下列说法正确的是（　　）
A．了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查
B．随着实验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C．一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是3，方差是2，则x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数是5，方差是4
D．“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件
【分析】分别根据全面调查与抽样调查、利用频率估计概率、方差的计算公式和随机事件的概念判断即可．
【解答】解：A、了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查，说法正确，符合题意；
B、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，说法正确，符合题意；
C、一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是3，方差是2，则新数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数是5，方差是2，说法错误，不符合题意；
D、“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件，说法正确，符合题意；
故选：ABD．
【点评】本题考查的是全面调查与抽样调查、利用频率估计概率、方差的计算公式和随机事件的概念，正确理解这些概念是关键．
（多选）8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据正切函数的定义即可一一判断．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠C+∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
在Rt△ABC中，，故选项A、D不正确；
在Rt△ABD中，，故选项B正确；
在Rt△ADC中，，
∴，故选项C正确；
故选：BC．
【点评】本题考查了正切函数的定义和直角三角形的性质，熟练掌握和运用正切函数的定义和求法是解题的关键．
（多选）9．如图，在△ABC中，按下列步骤作图：（1）分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；（2）以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；（3）分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，交BC与点P，且AM和CD交于点N，连接ON．下列说法正确的是（　　）
A．D为AB的中点 B．
C．AM垂直平分CD D．
【分析】如图，过点P作PJ⊥AB于点J，PK⊥AC于点K．利用三角形中位线定理，等腰三角形的性质一一判断即可．
【解答】解：如图，过点P作PJ⊥AB于点J，PK⊥AC于点K．
由作图可知AD＝AC，AP平分∠BAC，
∴AN⊥CD，DN＝CN，
∴AM垂直平分线段CD，故选项C正确，
∵EF垂直平分线段BC，
∴OB＝OC，
∴ONBD（AB﹣AD）（AB﹣AC），故选项B正确，
∵PA平分∠BAC，PJ⊥AB，PK⊥AC，
∴PJ＝PK，
∴，故选项D正确，
无法判断BD＝DA，故选项A错误．
故选：BCD．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形中位线定理，线段垂平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（多选）10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．下列结论正确的是（　　）
A．abc＜0
B．b＞4
C．a+b+c＞7
D．关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根
【分析】将（﹣1，﹣1），（0，1）代入y＝ax2+bx+c可得a＝b﹣2，b＞4，c＝1，从而可判断A，B，由a与b的关系可得a+b+c＝2b﹣1，从而判断选项C，通过Δ＝b2﹣4ac的符号判断选项D．
【解答】解：∵抛物线经过（﹣1，﹣1），
∴a﹣b+c＝﹣1，
∵抛物线经过（0，1），
∴c＝1，
∴a＝b﹣2，
∵x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞1，
∴b＞4，
∴a＝b﹣2＞0，
∴abc＞0，选项A错误，选项B正确．
∵a＝b﹣2，c＝1，
∴a+b+c＝b﹣2+b+1＝2b﹣1，
∵b＞4，
∴2b﹣1＞7，
∴a+b+c＞7．
∴选项C正确．
∵a＝b﹣2，c＝1，
∴ax2+bx+c﹣3＝（b﹣2）x2+bx﹣2＝0，
∴Δ＝b2﹣4（b﹣2）×（﹣2）＝b2+8b﹣16，
∵b＞4，
∴Δ＞0，
∴选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
三．填空题（共4小题）
11．若m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣3m+mn的值为　0　 ．
【分析】根据题意，得到：mn＝﹣2025，m2﹣3m＝2025，利用整体代入法，进行求解即可．
【解答】解：由条件可得m2﹣3m＝2025，
∴原式＝2025+（﹣2025）
＝0；
故答案为：0．
【点评】本题考查一元二次方程的解，根与系数之间的关系，熟练掌握以上知识点是关键．
12．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：
则输出结果为　10　 ．
【分析】根据按键的顺序得出算式23+32×2÷9，然后再进行计算即可．
【解答】解：23+32×2÷9＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了科学计算器的使用和有理数的混合运算，根据按键的顺序得出算式23+32×2÷9是关键．
13．如图，正六边形ABCDEF边长为2，若连接对角线AC，则AC的长为　　 ．
【分析】作BG⊥AC，垂足为G．构造等腰三角形ABC，在直角三角形ABG中，求出AG的长，再乘二即可．
【解答】解：作BG⊥AC，垂足为G．
∵AB＝BC，
∴AG＝CG，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAC＝30°，
∴AG＝AB cos30°＝2，
∴AC2＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质是解题的关键．
14．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是 　　 ．
【分析】根据题意列举出所有情况，看三只雏鸟中恰有2只雄鸟的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：根据题意画图如下：
共8种情况，3只雏鸟中恰有2只雄鸟有3种情况，所以概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；得到三只雏鸟中恰有两只雄鸟的情况数是解决本题的关键．
四．解答题（共8小题）
15．（1）计算：；
（2）解方程：
①x2﹣4x＝12；
②（7x+1）2＝2（7x+1）．
【分析】（1）依据题意，先计算零指数幂，特殊角的三角函数值，化简二次根式，再合并计算即可；
（2）①利用因式分解法求解；②利用因式分解法求解．
【解答】解：（1）原式
；
（2）①由题意，∵x2﹣4x＝12，
∴（x﹣6）（x+2）＝0．
∴x﹣6＝0或x+2＝0．
∴x1＝6，x2＝﹣2；
②由题意，∵（7x+1）2＝2（7x+1），
∴（7x+1）（7x+1﹣2）＝0．
∴7x+1＝0或7x﹣1＝0．
∴．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
16．中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩/分 频数 频率
50≤x＜60 10 0.05
60≤x＜70 20 0.10
70≤x＜80 30 b
80≤x＜90 a 0.30
90≤x≤100 80 0.40
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝　60　 ，b＝　0.15　 ；
（2）通过计算补全频数分布直方图；
（3）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的2000名学生中成绩“优”等的大约有多少人？
【分析】（1）用数据总数乘以第四组频率可得a的值，用第三组频数除以数据总数可得b的值；
（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；
（3）利用总数2000乘以“优”等学生的所占的频率即可．
【解答】解：（1）a＝200×0.30＝60，b＝30÷200＝0.15，
故答案为：60、0.15；
（2）补全频数分布直方图，如下：
（3）2000×0.40＝800（人）．
即该校参加这次比赛的2000名学生中成绩“优”等的大约有800人．
【点评】本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了中位数和利用样本估计总体．
17．如图，反比例函数y的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A（2，5），B（n，1）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C．
（1）求反比例函数的关系式与n的值；
（2）根据图象直接写出不等式kx+b0时x的取值范围；
（3）若动点P在x轴上，求PA+PB的最小值．
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入已求出的反比例函数解析式，得出n的值，然后根据待定系数法求得直线AB的解析式；
（2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题；
（3）作点A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于点P，则PA+PB的最小值等于BC的长，利用勾股定理即可得到BC的长．
【解答】解：（1）∵点A（2，5）反比例函数y的图象上，
∴m＝2×5＝10，
∴反比例函数的表达式为y，
点B（n，1）代入y，得n＝10，
∴点B的坐标为（10，1），
∵直线y＝kx+b过点A（2，5），B（10，1），
∴，解得，
∴一次函数的表达式为yx+6；
（2）不等式kx+b0时x的取值范围为：x＜0或2＜x＜10；
（3）如图，作点A关于x轴的对称点C，连接BC交y轴于点P，则PA+PB的最小值等于BC的长，
∵点A（2，5），B（10，1），
∴C（2，﹣5），
∴BC10．
∴PA+PB的最小值为10．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣最短路线问题，函数与不等式的关系，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，得出不等式的取值范围是解答此题的关键．
18．已知甲袋有3张分别标示1、2、3的号码牌，乙袋有3张分别标示6、7、8的号码牌，榕榕分别从甲、乙两袋中各抽出一张号码牌．每张号码牌被抽出的机会相等，请借助列表或树状图，求她抽出两张号码牌上数字乘积为3的倍数的概率．
【分析】用树状图列举出从甲、乙两袋中各抽出一张号码牌，所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：从甲袋有3张分别标示1、2、3的号码牌，乙袋有3张分别标示6、7、8的号码牌，甲、乙两袋中各抽出一张号码牌，所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中抽出两张号码牌上数字乘积为3的倍数的有5种，
所以抽出两张号码牌上数字乘积为3的倍数的概率为．
【点评】本题考查列表法或树状图法，列举出从甲、乙两袋中各抽出一张号码牌，所有等可能出现的结果是正确解答的关键．
19．景点A的南偏东76°方向有景点B，景点A的正南方向9km有景点C，景点A和景点C有一条笔直的公路相连，景点B在景点C北偏东38°方向，即线段AC＝9km，∠BAC＝76°，∠ACB＝38°．
（Ⅰ）求景点B到公路AC的最短距离（结果取整数）；
（Ⅱ）景点B的东南方向4.23km有景点D，求景点D到公路AC的最短距离（结果取整数）．
参考数据：tan76°取4.0，tan38°取0.8，取1.41．
【分析】（Ⅰ）如图，过B点作AC的垂线，垂足为H1，根据三角函数求出BH1的长；
（Ⅱ）如图，过B点作AC的垂线，垂足为H1过D点作AC的垂线，垂足为H3，过B点作AC的平行线，两直线交于点H2，根据三角函数求出DH3的长．
【解答】解：（Ⅰ）如图，过B点作AC的垂线，垂足为H1，
由题意得：AC＝9km，∠BAC＝76°，∠ACB＝38°，
在Rt△ABH1中，∠AH1B＝90°，∠BAC＝76°，，
∴，
在Rt△CBH1中，∠CH1B＝90°，∠ACB＝38°，，
∴，
∵AC＝AH1+CH1，
∴，
∴（km），
答：景点B到公路AC的最短距离约6km；
（Ⅱ）如图，过B点作AC的垂线，垂足为H1过D点作AC的垂线，垂足为H3，过B点作AC的平行线，两直线交于点H2，
根据题意，∠DH2B＝90°，BD＝4.23km，
在Rt△BH2D中，∠DH2B＝90°，∠H2BD＝45°，，
∴DH2＝BD sin∠DBH2，
同（Ⅰ）得，
∵∠BH1H3＝∠H1H3H2＝∠H3H2B＝90°，
∴四边形BH1H3H2为矩形，BH1＝H2H3，
∴，
∴（km），
答：景点D到公路AC的最短距离约9km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握解直角三角形是解题的关键．
20．某大型批发商场平均每天可售出某款商品3000件，售出1件该款商品的利润是10元．经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出1000件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品．
（1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元？
（2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达50000元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由．
【分析】（1）当每件的售价降价x元时，每件的销售利润为（10﹣x）元，每天可售出（3000+1000x）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）该批发商场每天卖出该款商品的利润不能达50000元，当每件的售价降价x元时，每件的销售利润为（10﹣x）元，每天可售出（3000+1000x）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣31＜0，可得出该方程没有实数根，即该批发商场每天卖出该款商品的利润不能达50000元．
【解答】解：（1）当每件的售价降价x元时，每件的销售利润为（10﹣x）元，每天可售出（3000+1000x）件，
根据题意得：（10﹣x）（3000+1000x）＝40000，
整理得：x2﹣7x+10＝0，
解得：x1＝2，x2＝5．
答：当x为2或5元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元；
（2）该批发商场每天卖出该款商品的利润不能达50000元，理由如下：
当每件的售价降价x元时，每件的销售利润为（10﹣x）元，每天可售出（3000+1000x）件，
根据题意得：（10﹣x）（3000+1000x）＝50000，
整理得：x2﹣7x+20＝0，
∵Δ＝（﹣7）2﹣4×1×20＝﹣31＜0，
∴该方程没有实数根，
即该批发商场每天卖出该款商品的利润不能达50000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
21．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，在AB上取点O，以O为圆心，以OB为半径作圆，与AC相切于点D，并分别与AB，BC相交于点E，F（异于点B）．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若点E恰好是AO的中点，求扇形BOF的面积；
（3）若CF的长为1，求⊙O的半径长．
【分析】（1）连接OD，以此可得OD⊥AC，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行得OD∥BC，进而得到∠CBD＝∠ODB，由OD＝OB可得∠OBD＝∠ODB，因此∠OBD＝∠CBD，以此即可证明；
（2）连接DE、OD、OF，易得AE＝OE＝OB＝2，根据直角三角形中线的性质的DEOE，因此△DOE为等边三角形，则∠DOE＝60°，根据平行线的性质得∠FBO＝∠DOE＝60°，于是可证明△FBO为等边三角形，再利用扇形的面积公式计算即可；
（3）连接OD，过点O作OG⊥BC于点G，则四边DOGC为矩形，根据垂径定理可得BG＝FG，设⊙O的半径为r，则OD＝CG＝OB＝r，OA＝6﹣r，BG＝r﹣1，易证△AOD∽△OBG，根据相似三角形的性质可得出方程，求解即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AC与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴∠CBD＝∠ODB，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：连接DE、OD、OF，如图，
∵AB＝6，E是AO的中点，
∴AE＝OE＝OB＝2，
在Rt△AOD中，DEOE，
∴DE＝OD＝OE，
∴△DOE为等边三角形，
∴∠DOE＝60°，
∵OD∥BC，
∴∠FBO＝∠DOE＝60°，
∵OF＝OB，
∴△FBO为等边三角形，
∴∠BOF＝60°，
∴S扇形BOF；
（3）解：连接OD，过点O作OG⊥BC于点G，如图，
则BG＝FG，四边DOGC为矩形，
∴DO＝CG，
设⊙O的半径为r，则OD＝CG＝OB＝r，OA＝AB﹣OB＝6﹣r，
∵CF＝1，
∴BG＝FG＝CG﹣CF＝r﹣1，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠OBG，
∵∠ADO＝∠OGB＝90°，
∴△AOD∽△OBG，
∴，即，
解得：r＝2或，
∴⊙O的半径长为2或，
【点评】本题考查切线的性质、等边（等腰）三角形的性质、平行线的判定与性质、直角三角形的中线性质、扇形的面积公式、相似三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题关键．
22．某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长，经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
年度 2017 2018 2019 2020 2021
年度纯收入（万元） 1.5 2.5 4.5 7.5 11.5
若记2017年度为第1年度，2018年度为第2年度，……，在直角坐标系中用点（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.5）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况，如图所示，拟用下列三个函数模拟甲农户从2017年度开始的年度纯收入变化趋势：y（m＞0），y＝kx+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2022年度的纯收入．
（1）能否选用函数y（m＞0）进行模拟？请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理？请说明理由；
（3）甲农户准备在2022年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数解析式，预测甲农户2022年度的纯收入能否满足购买该农机设备的资金需求．
【分析】（1）由数据的变化大小或者由m＝xy计算判断；
（2）通过点的变化可知不是一次函数，由（1）可知不是反比例，则可判断选用二次函数模拟最合理；
（3）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出2022年即第6年度的纯收入y万元，然后比较可得结论．
【解答】解：（1）不能选用函数y（m＞0）进行模拟，理由如下：
∵1×1.5＝1.5，2×2.5＝5，
∴1.5≠5，
∴不能选用函数y（m＞0）进行模拟；
（2）选用y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），理由如下，
由（1）可知不能选用函数y（m＞0），
由（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.5）可知，
x每增大1个单位，y的变化不均匀，
∴不能选用函数y＝kx+b（k＞0），
故只能选用函数y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0）模拟．
（3）把（1，1.5），（2，2.5）代入y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），
得：，
解得：，
∴y＝0.5x2﹣0.5x+1.5，
当x＝6时，y＝0.5×36﹣0.5×6+1.5＝16.5，
∵16.5＞16，
∴甲农户2022年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．
【点评】本题考查了二次函数的应用，反比例函数的应用、待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的函数值问题．本题解题的关键是熟练判断出图象符合的函数种类，要求学生牢记各类函数图象的特征并能与实际题目结合应用．
第1页（共1页）