期末高频考点检测卷（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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期末高频考点检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．若一元二次方程的一个实数根为m，则的值是（ ）．
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
4．如图，窗户门高是，窗户打开的的最大角度是，则这扇窗的高扫过区域的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，分别与相切于A，B两点，点C在优弧上，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，，若，则的度数为（）
A． B． C． D．
7．下列关于二次函数的图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是
C．当时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点
8．抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，，与相切于点与交于点．若，则的长为（ ）
A．0.5 B．1 C． D．2
10．已知抛物线的位置如图所示，甲、乙、丙三人对关于x的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（ ）
甲：当时，该方程没有实数根；
乙：当时，该方程有两个相等的实数根；
丙：当时，该方程有两个不相等的实数根．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．中国古代四大发明造纸术、印刷术、指南针、火药对世界文明的发展具有深远的影响．某校社团开设了关于四大发明的项目化学习活动，小慧同学通过抽签的方式从这四项发明中随机抽取两项发明开展活动，则她抽取的两项发明恰好是“造纸术”和“指南针”的概率是 ．
12．已知点和点关于坐标原点对称，则的值为 ．
13．如图，已知直线是的切线，为切点，交于点，点在上，且，则 ．
14．一个仅装有球的不透明布袋里共有12个球（只有颜色不同），若从中任意摸出一个球是红球的概率是，则这个布袋里红球的个数是 ．
15．如图，都是的切线，，则 ．
16．某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，则飞机的滑行时长是 ；飞机滑行的最远距离是 ．
三、解答题
17．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于原点O对称的；
(2)画出绕原点O顺时针旋转得到的，并写出点的坐标．
19．如图，四边形内接于，，点E在延长线上，且，求证：是的切线．
20．实施乡村振兴战略是中国共产党的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．下面是他设计的一个矩形蔬菜仓库，如图，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门，用33米长的木板材料，怎样围成一个面积为150平方米的长方形仓库？
21．某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）．
请结合统计图，回答下列问题：
(1)________，所对应的扇形圆心角是________；
(2)请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石”
(3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________．
22．某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线形，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求所在抛物线的函数表达式；
(2)现要悬挂两条灯带，来增加夜景效果，，均与垂直，点，分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长．
23．在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为，点B的坐标为，则称点B为点A的“亲情点”
(1)如图1，如果的半径为．
①请你判断，两个点的“亲情点”与的位置关系；
②设与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点D，C．若点的“亲情点”在直线上，求a的值；
(2)如图2，如果的半径为1，且的“亲情点”为，求点到上任一点距离的最小值．
24．如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点，与轴交于另一点．
(1)求二次函数表达式：
(2)如图②，点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接．
①求的最大值；
②当中某个角的度数等于的倍时，请直接写出此时的值；
③当时，的取值范围是，且，求的值．
《期末高频考点检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B C A D C C B C
1．B
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了二次函数的顶点式，掌握顶点式 的顶点坐标是是解题的关键．
直接根据二次函数的顶点式性质，从函数表达式读出顶点坐标即可解答．
【详解】解：∵ 抛物线，
∴ 该抛物线的顶点坐标为，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程根的定义，得到，然后整体代入求值．
【详解】解：∵ 是方程 的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是识别出扫过的区域是扇形，再利用扇形面积公式计算．
【详解】解：扫过的区域是圆心角为、半径为的扇形，扇形面积公式为（其中为圆心角度数，为半径）．代入得：．
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角和，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键．连接，根据切线的性质求出，根据四边形的内角和为求得，然后根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接，
分别与相切于A，B两点，
，
，
，
，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查旋转，三角形的内角和，等腰三角形的定义，直角三角形的两个锐角互余，掌握知识点是解题的关键．
先求出，得到， 则，即可解答．
【详解】解：∵绕点A旋转得到，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，，
∵是直角三角形，，
∴．
故选D．
7．C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练运用配方法和判别式是解题关键．
通过配方法将二次函数化为顶点式，得到顶点坐标和开口方向，再根据二次函数的性质判断各选项即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，
对于A：开口向下，错误；
对于B：顶点坐标是，不是，错误；
对于C：∵ 开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随增大而增大，正确；
对于D：判别式，
∴与轴有两个交点，错误．
故选 C．
8．C
【分析】本题考查二次函数图象的平移：将坐标轴的平移转换为函数图象的平移：轴向上平移2个单位相当于图象向下平移2个单位，轴向左平移3个单位相当于图象向右平移3个单位．
【详解】解：∵轴向上平移2个单位，相当于函数图象向下平移2个单位；
∵轴向左平移3个单位，相当于函数图象向右平移3个单位；
∴原函数向右平移3个单位得；
再向下平移2个单位得．
故选：C．
9．B
【分析】解题方法是利用切线长定理得，结合角度证为等边三角形，再通过切线垂直半径、勾股定理求线段长度；解题思路：由切线长定理得，证为等边三角形，结合求，再通过等腰三角形三线合一求，进而得．
【详解】解：∵是的切线，
∴，平分（切线长定理），
又∵，
∴是等边三角形，，
如图，连接，则，
∵，，
∴垂直平分，
∴，．
在中，．
在中，，
设，则，
由勾股定理：
解得
∴，
∴的长为．
故选：．
【点睛】本题考查圆的切线性质、等边三角形与直角三角形的应用，涉及知识点：切线长定理、切线与半径垂直、等腰三角形三线合一、勾股定理，解题关键是构造直角三角形并利用特殊角的性质，易错点是忽略切线与半径的垂直关系．
10．C
【分析】本题主要考查了抛物线与直线的交点问题，关键是把方程的解转化为抛物线与直线的交点问题．
先把一元二次方程的根的情况转化为直线与抛物线的交点问题，再根据抛物线的最大值为，然后结合图形分类讨论即可．
【详解】解：，
，
观察图象得：该函数的最大值为，
当时，，
直线与抛物线没有公共点，
方程无实数根，故甲说法正确；
当时，，
直线与抛物线有两个公共点，
方程有两个不相等的实数根，故乙说法错误；
当时，，
直线与抛物线有两个公共点，
方程有两个不相等的实数根，故丙说法正确；
说法正确的有甲、丙，共2个，
故选：C．
11．
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设分别用A、B、C、D表示造纸术、印刷术、指南针、火药，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能性的结果数，她抽取的两项发明恰好是“造纸术”和“指南针”的结果数有2种，
∴她抽取的两项发明恰好是“造纸术”和“指南针”的概率为，
故答案为：．
12．25
【分析】本题考查原点对称，代数式求值．根据关于原点对称的点的坐标特征，点A的横坐标与点B的横坐标互为相反数，点A的纵坐标与点B的纵坐标互为相反数，列出方程求解m和n，再计算代数式的值．
【详解】解：∵点和点关于坐标原点对称，
∴，，
解得，
∴．
故答案为：25．
13．
【分析】先根据切线的性质判断出OA⊥AB，进而求出∠AOC的度数，然后根据圆心角和圆周角的关系求出∠ADC的度数．
【详解】解：∵直线AB是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，
∵∠OBA=40°，
∴∠AOC=90°-40°=50°，
又∵点D在⊙O上，
∴∠ADC=∠AOC=×50°=25°．
故答案为25°．
【点睛】本题考查了圆周角定理和切线的性质，掌握基础知识是解题关键．
14．4
【分析】本题考查概率公式，将摸出一个球是红球的概率乘以球的总数即可求出这个布袋里红球的个数．
【详解】解：，
故答案为：4．
15．6
【分析】本题考查了切线长定理，
根据切线长定理，可得，得到，由此即可解决问题．
【详解】解：∵都是的切线，
∴可以假设切点分别为E、H、G、F，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：6
16．
【分析】本题考查二次函数的应用，正确进行配方是解题关键．将函数解析式配方成顶点式，求顶点坐标即可．
【详解】解：由题意，，
当时，取最大值，即飞机着陆后停下来需滑行的时间为秒，滑行的最大距离是．
故答案为，．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程的方法．根据方程特点选择合适的方法是解题的关键．
（1）根据方程的特点利用因式分解法来解答，先对其变形，再结合提公因式进行因式分解可得，至此问题即可迎刃而解；
（2）先确定方程中的a、b、c分别是什么数，再求判别式判别式的值，然后根据求根公式解方程即可.
【详解】（1）解：，
移项，得，
提公因式，得，
∴，
∴．
（2）解：，
这里，
∴，
∴，
∴．
18．(1)作图见解析
(2)作图见解析；
【分析】本题考查作中心对称图形，作旋转图形，掌握中心对称图形与旋转图形是解题的关键．
（1）根据关于原点对称点的坐标变化得到的三个顶点关于原点O的对称点，，的坐标，再在坐标系中描出点，，，依次连接即可得到；
（2）根据旋转的性质作出点，，，依次连接即可得到，由平面直角坐标系直接写出点的坐标．
【详解】（1）解：∵，，，与关于原点O对称，
∴，，，
∴如图，即为所求．
（2）解：如图，为所求．
点的坐标为．
19．见解析
【分析】本题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，由可得是直径，由圆周角定理可得，结合题意可得，再求出，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】证明：如图：连接，
∵，
∴是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
则，
∵是半径，
∴是的切线．
20．长方形的长取15米，宽取10米．
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解．
设长方形的长为米，根据木板材料的长度，表示出宽的长度，然后利用面积列出方程求解即可．
【详解】解：设长方形的长为米，则每个长用的木板材料为米，每个宽用的木板材料为米，
∴，
解得，，
当时，，不符合题意，舍去，
∴，
∴长方形的长为15米，宽为10米．
21．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了统计图表的综合运用（条形图、扇形图）、用样本估计总体以及概率的计算，准确提取图表信息、掌握概率公式是解题关键．
（1）先通过“实验人数及对应百分比”求出抽取的总人数，再用总人数减去其他实验的人数得到；利用“实验人数总人数”计算对应的扇形圆心角；
（2）先算出样本中“实验”的人数占比，再用该占比乘以九年级总人数，估计喜欢实验的人数；
（3）先确定能产生二氧化碳的实验，再通过列表法列出所有取两个实验的可能结果，最后根据“符合条件的结果数总结果数”计算概率．
【详解】（1）解：抽取的学生人数为（人），
选择的学生人数为（人）
，
所对应的扇形圆心角是；
（2）解：（人），
答：估计该校九年级名学生中有人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石”．
（3）解：本次调查的五个实验中，三个实验均能产生二氧化碳，
列表如下，
由列表可知，共有种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的情况有种，
（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识．
()利用待定系数法求出函数解析式即可；
() 求出当时，，，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过，
设其表达式为，
∴
解得：，
∴所在抛物线的函数表达式为；
（2）∵点到的距离均为，
当时，，
，
∴，
∴这两条灯带的总长为．
23．(1)①点在外，点在内；②
(2)
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆上一点的最值问题，一次函数的应用，理解新定义是解题的关键．
（1）①根据“亲情点”的定义可得，，即可求解；
②求出直线的解析式，根据“亲情点”的定义可得为，再由点在直线上，即可求解；
（2）根据“亲情点”的定义可得的坐标为，可得到点到圆心O的距离，即可求解．
【详解】（1）解：①由题意得，点M的“亲情点”为，点N的“亲情点”为，
，，
点在外，点在内；
②设直线的解析式为，将和代入
，
解得：，
，
根据题意得：点的“亲情点”为，
点在直线上，
，
解得；
（2）解：∵的“亲情点”为，
∴的坐标为，
点到圆心O的距离为，
点与上任意一点的最短距离是．
24．(1)；
(2)①；②2或；③．
【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点，再用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）①作交于，交于点，先用勾股定理求出对应的边，接着运用平行相似证明，证明，得，得到，然后根据当有最大值时，取到最大值进行求解即可；
②先在在线段上找中点，连接，利用直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半先求出点和，再结合外角性质得到，推出中某角，进行分类讨论：（i），利用两直线平行斜率相等，分别求出直线的解析式和直线的解析式，联立方程即可求出；（ii），先作交于，利用勾股求出，再利用相似得到，得到，运用距离坐标公式即可求出；
③先对配方得到顶点式，根据增减性分类讨论，求解即可．
【详解】（1）解：∵已知直线与、轴交于点、点，
∴当时，，点；
当时，，点．
∵抛物线过点、点、点，
∴，
解得：，，．
∴抛物线的解析式为：．
（2）①作交于，交于点，
∵点，点，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，轴，
∴轴，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴当有最大值时，取到最大值．
∵点在上，点在上，
又∵点的横坐标为，
∴点，点．
∵点在点上方，
∴
．
∴当时，有最大值为．
∴的最大值为：．
②∵，
∴．
∵中某角，
∴分情况讨论：（i）；（ii）．
在线段上找中点，连接．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵由（2）①可得,
∴．
∵、点，
∴点，即点．
情况（i）：，
∵，，
∴．
∵设直线的解析式为：，
代入点，得，即，
∴直线的解析式为：．
∵设直线的解析式为：，
代入点、点，
得：
整理得：．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，解得．
情况（ii）：，
作交于．
∵，
∵，，，
∴
∵，
∴．
∴．
∵点，点，
∴，
，
，
，
．
∵由（2）可得，，
∴，
．
∵在和中，
，
∴．
∴，
∴，即．
∴，
，
．
又∵，
∴，
，
，
解得：，（舍）．
综上：或．
③对函数配方：
，
，
，
，
∴顶点为，当时，．
∴当点在对称轴的左边时，随的增大而增大；
当点在对称轴的右边时，随的增大而减小．
分情况讨论：
情况（i）：在对称轴的左边，且，即，
∵，
∴．
∵由，得．
∴当时，（舍）；
当时，，代入函数得：，
，即，
解得，即（舍），．
情况（ii）：在对称轴的右边，且，即，
∴当时，；
当时，．
又∵，
∴，
，
，
解得：（舍），（舍）．
综上：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，包含的考点有二次函数的待定系数法、一次函数的图像与性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等，掌握数形结合的思想和分类讨论的思想是解题的关键．
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