2025-2026人教版九年级数学期末专项训练专题10 概率初步易错点详解（易错点归纳 易错题型解析 巩固提高）

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2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题10 概率初步易错点详解（易错点归纳+易错题型解析+巩固提高）
九年级的“概率初步”有不少容易混淆的概念和题目陷阱。为了帮助你更清晰地掌握，我为你梳理了五大类易错点，并配上了具体的典型错因和避坑指南。
下面这个表格先帮你快速了解一下主要的易错点类型。
易错点大类 核心混淆点与典型错因
对概率意义的理解不透彻 混淆“概率”与“频率”；错误理解概率的意义。
对概率值的错误推断 如认为概率为1的事件必然发生，概率是0的事件是不可能事件。
“放回”与“不放回”模型混淆 解概率题时，未审清题意是“放回”还是“不放回”，导致基本事件总数计算错误。
列举结果时出现遗漏或重复 在用列表法或画树状图法求概率时，没有做到不重不漏地列出所有等可能结果。
“等可能”的先决条件被忽略 错误地认为所有结果的出现都是等可能的，从而用错误的基本事件总数计算概率。
对概率意义的理解不透彻
例1：在“掷一枚质地均匀的硬币”试验中，小明连续抛了10次，有7次正面朝上，他说：“正面朝上的概率是0.7。” 这个说法是否正确，说明理由
错因：：
概率是一个理论值，是大量重复试验下频率的稳定值。频率是一次试验后统计得出的实际值。例如，掷一枚均匀硬币，正面朝上的概率总是0.5。但掷10次，正面朝上的频率可能是0.4、0.6等，不一定正好是0.5
避坑指南：
牢记“大量重复试验”是频率稳定于概率的前提。试验次数较少时，频率与概率可能有较大差距，这不能说明概率理论是错误的。
正确解法：
答：这个说法是错误的，因为试验次数太少，频率不稳定，不能作为概率的估计值。
针对练习1
一、单选题
1．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（）
A．当投掷次数是时，“钉尖向上”的次数是
B．当投掷第次时，“钉尖向上”的概率是
C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于，故可以估计其概率是
D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率一定是
2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率
B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率
C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率
D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率
3．（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（ ）
A．频率就是概率
B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近
C．试验得到的频率一定会等于概率
D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同
4．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　）
A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是
B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是
C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是
D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是
5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列说法正确的是（ ）
A．小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率是
B．抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率一定相同
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，一定会有5次正面朝上
D．在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性
二、解答题
6．（24-25九年级上·江苏期末）你同意以下的说法吗？请说明理由．
(1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．”
(2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．”
对概率值的错误推断
例2：判断下列事件类型：（1）掷一枚硬币，正面朝上；（2）地球绕着太阳转；（3）打开电视机，正在播放广告。（4）水加热到100℃会沸腾
错因：
认为概率为1的事件是必然事件，或者概率为0的事件是不可能事件。实际上，概率为1的事件（如“在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾”）是必然事件，但要注意其前提条件。
避坑指南：
正确理解概率值为0或1的含义。必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。但要注意一些看似必然或不可能的事件，需在特定条件下讨论。
正确解法：
随机事件；（2）必然事件；（3）随机事件。（4）分情况讨论：标准大气压下，水加热到100℃会沸腾是必然事件。不是标准大气压就是随机事件。
针对练习2
一、单选题
1．（25-26九年级上·福建泉州·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．明天下雨是随机事件
B．要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查
C．已知一组数据：3，3，4，5，8，10，11，则这组数据的中位数是5
D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定
2．（24-25·湖北·期末）下列说法正确的是（ ）
A．将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件
B．抛出的篮球会下落是随机事件
C．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定
D．了解一批中性笔笔芯的使用寿命，可采用全面调查的方式
3．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）下列事件：①打开电视机，正在播放动画片；②下个星期天会下雨；
③抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是1；
④一个有理数的平方是非负数；⑤若异号，则．
属于确定事件的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）下列事件中是不可能事件的是（ ）
A．100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
C．三角形内角和为
D．经过任意三点一定可以画一个圆
5．（2025·江苏无锡·二模）下列说法：“铁在潮湿的空气中会生锈”是必然事件；“物体不受外力时保持静止或匀速直线运动状态”是确定事件；“没有水分，种子发芽”是随机事件；“买一张电影票，座位号是奇数号”是不可能事件．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
“放回”与“不放回”模型混淆
例3：一个袋子中有2个红球和1个白球。（1）随机摸出一球，放回，再摸出一球，求两球都是红球的概率。（2）随机一次摸出两球，求两球都是红球的概率。
错因：
题目描述为“一次摸两个球”（相当于不放回），解题时却错误地用“先摸一个放回，再摸一个”的模型来计算
避坑指南：
审题时圈出关键词。如果是“一次摸两个”或“摸出一个不放回，再摸一个”，属于不放回模型，第一次抽取会影响第二次的结果，总可能数会减少。如果是“摸出一个放回，再摸一个”，则属于放回模型，两次抽取相互独立
正确解法：
（1）放回模型：每次摸球互不影响。
红1 红2 白
红1 红2 白 红1 红2 白 红1 红2 白
共有9种等可能结果，其中两球都是红球的结果有4种。所以
P（两个红球）=
（2）不放回模型（一次摸两个）：
红1 红2 白
红2 白 红1 白 红1 红2
共有6种等可能结果，其中两球都是红球的结果有2种。所以
P（两个红球）= =
针对练习3
一、解答题
1．（24-25九年级上·山东·期末）在一个箱子里放着分别标有数字1，2，3的三个球，它们除了号码外其他都相同．
(1)从箱子里摸出一个球，有几种不同的可能？
(2)从箱子里随机摸出两个球（先摸出一个，不放回，再摸出一个），这样按顺序先后摸到的两个球有几种不同的可能？
(3)从箱子里随机摸出一个球，放回，摇匀后再摸出一个球，这样按顺序先后摸到的两球有几种不同的可能？（画树状图或列表分析问题）
2．（24-25九年级上·山西·期末）四张大小质地均相同的卡片上分别标有数字，，，，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的张中随机抽取第二张．
(1)用画树状或列表的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；
(2)计算抽得的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是多少？
(3)如果抽取第一张后放回，再抽第二张，（2）的问题答案是否改变？如果改变，变为多少？（只写出答案，不写过程）
3．（2025·山东青岛·模拟预测）某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励，具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，如果摸到的两个球的颜色相同，即可获得一份精美礼品．现有两种摸球方案：
方案1：随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球．
方案2：随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球．
对于消费者而言，选择哪种摸球方案更有可能获得精美礼品？请说明理由．
4．（24-25九年级上·河北张家口·期末）在一个不透明的袋子中装有四张分别标有数字，，，的卡片，这些卡片除数字外其余均相同，嘉淇按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加，如图是他所画树状图的一部分．
(1)嘉淇第一次抽到标有正数数字的卡片的概率为 ；
(2)由图分析，该游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后 （填“放回”或“不放回”），第二次再随机从袋子中抽出一张卡片；
(3)补全树状图，并求嘉淇两次抽到卡片上的数字之和为负数的概率．
5．（24-25九年级上·河北保定·期末）在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4的卡片（除数字外，其他均相同），小明小华两人按照各自的规则玩抽卡片游戏，小明画出树状图如图所示：
小华列出表格如下：
第二次第一次 1 2 3 4
1
2 ①
3
4
回答下列问题：
(1)根据小明画出的树状图分析，他的游戏规则是随机抽出一张卡片后 （填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片；
(2)根据小华的游戏规则，表格中①表示的有序数对为 ；
(3)规定两次抽到的数字之和为奇数的获胜，你认为小明和小华谁获胜的可能性大？为什么？
6．（2025·陕西西安·模拟预测）2024年3月，习近平总书记在某地考察时强调：要保护好、运用好红色资源，加强爱国主义教育．为此某校组织了一次以“缅怀革命先烈·赓续红色血脉”为主题的演讲比赛，要求每班选择一位同学参加，九一班的汪旭和苏倩初赛成绩相当，于是班长想运用玩游戏的方式来选择一位参加，游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有1个黑球和3个白球（这些球除颜色外其他均相同），摇匀后班长第一次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，摸到白球不放回，摸到黑球放回；摇匀后，第二次又从袋子中随机摸出一个球．若两次摸出的球颜色相同，则汪旭参加；反之，若两次摸出的球颜色不同，则苏倩参加．
(1)班长第一次摸出白球的概率为_______；
(2)请用画树状图或列表的方法计算苏倩参加的概率．
列举结果时出现遗漏或重复
例4.掷两枚均匀的骰子，求点数和为5的概率。
典型错解：
点数和可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，共有11种情况，所以P(点数和为5)=。
错因分析：
这11种点数和的出现不是等可能的。比如点数和为2只有(1,1)一种情况，而点数和为5有(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)四种情况。
正确解法：
列表格。
2 1 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
共有6×6=36种等可能结果，点数和为5的情况有4种，P==
针对练习4
一、单选题
1．（25-26九年级上·江西九江·期中）小张与小李相约去江西省科技馆参观，某个展览馆有甲、乙两个入口，A，B，C三个出口，那么小张恰好选择从甲入口进入，并从C出口走出的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·山东青岛·期中）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年主题活动中，某班级准备举办一场故事分享会，筹备组制作了张不透明的故事卡片，其中张的故事内容是关于“著名战役”，另外张的故事内容是关于“英雄人物”（卡片除故事内容外其余都相同）．活动环节，将这张卡片背面朝上洗匀，主持人从中随机抽取张，不放回，再从剩余的张中随机抽取张，抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（25-26九年级上·内蒙古·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ．
三、解答题
4．（2025·吉林·一模）为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“．嫦娥奔月、．牛郎织女、．三顾茅庐、．武松打虎”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解．
(1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是 ；
(2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都抽取到神话故事的概率．
5．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）河北博物院现有馆藏文物21万余件（套），是展示中国历史发展脉络的文化艺术宝库．现有3张卡片，正面图案分别是如图所示的馆藏文物“长信宫灯”“错金博山炉”“透雕龙风纹铜铺首”，它们除此之外完全相同．
(1)将这3张卡片背而朝上洗匀，从中随机抽取1张，则抽到“错金博山炉”的概率为_________；
(2)将这3张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取1张，放回洗匀后，再从中随机抽取1张，用列表或画树状图的方法，求出两次抽取的卡片正而相同的概率．
6．（25-26九年级上·山西忻州·期中）中国四大博物馆通常指故宫博物院、陕西历史博物馆、南京博物院和上海博物馆，它们分别位于北京、西安、南京和上海，代表了中国文化遗产的最高水平，如图，小李将上述四个博物馆的图片制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除正面图案外，其余完全相同），现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
A． B．
C． D．
(1)小李从中随机抽取一张卡片，卡片中的博物馆所在地在北京的概率为 ．
(2)小李从中随机抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是故宫博物院和陕西历史博物馆的概率．
“等可能”的先决条件被忽略
例5：随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数的概率是多少？
典型错误：
错误地认为所有结果的出现都是等可能的，从而用错误的基本事件总数计算概率.。
避坑指南：
在计算概率前，首先判断题目中所有可能的结果是否满足“等可能性”。例如，判断“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率，因为图钉结构不均，针尖朝上和朝下的可能性不同， 不能用古典概型公式直接计算。
正确解法
一本书的页码有奇有偶，一般认为翻到每一页的可能性相同，且奇偶页数通常相等或相差不大（取决于总页数），因此可以认为是等可能的。P(页码是奇数) ≈ 1/2。 (这是一个基于常识的合理推断，具体概率取决于书籍总页数)
针对练习5
一、单选题
1．（25-26九年级上·广东河源·期中）人类的遗传病主要由亲代传递给子代．了解其遗传规律与子代的发病风险，对于开展遗传咨询与产前诊断、有效预防遗传病患儿的出生具有重要意义．白化病是一种遗传病，它是一种隐性性状，已知A是正常基因，a是白化病基因，如果母亲和父亲都携带成对基因，那么他们生育一个孩子，表现正常的概率是（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是 ．
三、解答题
3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）汽车经过某十字路口，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种结果发生的可能性大小相同，请利用列表格或画树状图的方法，求两辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率．
(1)事件A：两辆车全部继续直行；
(2)事件B：一车向右，一车向左．
4．（2016·广东广州·一模）如图，正方形的边长为2，中心为O，从O、A、B、C、D五点中任取两点．
（1）求取到的两点间的距离为2的概率；
（2）求取到的两点间的距离为的概率；
（3）求取到的两点间的距离为的概率．
5．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有四张不透明卡片（如图），正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案不同外其余都相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放在桌上．
(1)“从这四张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上印有‘生’角色的卡通人物”这一事件属于______事件；（填“随机”“必然”或“不可能”）
(2)洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下图案后放回，记作随机抽卡片1次．随机抽取卡片10次，其中抽到印有“生”角色卡通人物的卡片2次，则这10次抽卡片中，抽到印有“生”角色卡通人物的卡片的频率为______；
(3)从这四张卡片中随机抽取一张，求抽到的卡片上恰好印有“净”角色的卡通人物的概率．
一、单选题
1．下面事件中必然事件是（ ）
A．今天下午刮风，则明天下雨
B．两条直线被第三条直线所截，则内错角相等
C．抛掷一枚均匀的正六面体骰子，则点数不大于6
D．两个有理数的积为正数，则这两个数都是正数
2．下列事件属于必然事件的是（ ）
A．明天太阳从西边升起
B．三角形的外心到三边的距离相等
C．抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上
D．直径所对圆周角是直角
3．林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：
移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000
成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628
成活的频率(精确到)
下列说法正确的是（　　）
A．若移植100棵幼树，成活数一定为90棵
B．随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为
C．移植的幼树越多，成活率越高
D．若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵
4．篮球运动是一项有益于身体健康的运动，某校篮球队进行篮球投篮训练，下面是该篮球队的队员张辰投篮的统计结果：
投篮次数/次 10 50 100 150 200
命中次数/次 8 39 81 120 160
命中率 0.80 0.78 0.81 0.80 0.80
根据上表，估计张辰一次投篮命中的概率是（ ）
A．0.70 B．0.75 C．0.80 D．0.85
5．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；
第四步：估算出π的值．
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ）
A． B．
C． D．
二、解答题
6．2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸．
(1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____．
(2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率．
7．在“融通古今，厚植文化自信”校园文化建设活动中，数学文化社团的小智和小慧计划从古代的赵爽、刘徽、现代的陈景润、陈省身四名数学家中，各查找一名数学家的资料制作成文化宣传材料．为了明确分工，小智和小慧决定按如下方式抽签确定分工：将写有四名数学家名字且除所写名字不同外其余完全相同的4个小球放入不透明的盒子中，摇匀后，小智先从中随机摸出一球，不放回，小慧再从剩下的3个小球中随机摸出一球，最后根据各自摸出的小球上数学家的名字制作宣传材料．
(1)小智摸中写有陈景润名字的小球的概率是___________；
(2)请用画树状图或列表的方法，求两人摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的概率．
8．某校计划在运动会期间，组织一次拔河比赛，裁判员让甲、乙两队长通过“石头、剪刀、布”的方式选择场地．游戏规则如下：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，获胜一方可优先选择场地．若两人出相同的手势，则平局．请用列表或画树状图的方法，列出甲、乙两队长的手势可能出现的情况，并判断裁判员这种做法是否合理．
9．小明和小强做摸球游戏，在一个不透明的盒子中装入2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，小强再从中随机摸出一个球，若两人摸到的球颜色相同，则小明获胜，否则小强获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
10．2025年9月3日为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年在北京隆重举行了大阅兵．某学校开展“阅兵精神进校园”为主题的演讲比赛，有以下三个主题，分别是：A．抗战英雄事迹；B．阅兵装备科普；C．强军精神语录，主办方将三个主题分别写在三张卡片上（卡片除所写内容外完全相同），将卡片背面朝上，洗匀放好．参赛选手小明和小华需从中随机抽取一张卡片，卡片上所写的主题即为演讲主题．
(1)小明抽到的主题是“阅兵装备科普”的概率为 ．
(2)小明从中随机抽取一张，记下卡片上所写主题后放回，洗匀，小华再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率．
2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题10 概率初步易错点详解（易错点归纳+易错题型解析+巩固提高）（解析版）
九年级的“概率初步”有不少容易混淆的概念和题目陷阱。为了帮助你更清晰地掌握，我为你梳理了五大类易错点，并配上了具体的典型错因和避坑指南。
下面这个表格先帮你快速了解一下主要的易错点类型。
易错点大类 核心混淆点与典型错因
对概率意义的理解不透彻 混淆“概率”与“频率”；错误理解概率的意义。
对概率值的错误推断 如认为概率为1的事件必然发生，概率是0的事件是不可能事件。
“放回”与“不放回”模型混淆 解概率题时，未审清题意是“放回”还是“不放回”，导致基本事件总数计算错误。
列举结果时出现遗漏或重复 在用列表法或画树状图法求概率时，没有做到不重不漏地列出所有等可能结果。
“等可能”的先决条件被忽略 错误地认为所有结果的出现都是等可能的，从而用错误的基本事件总数计算概率。
对概率意义的理解不透彻
例1：在“掷一枚质地均匀的硬币”试验中，小明连续抛了10次，有7次正面朝上，他说：“正面朝上的概率是0.7。” 这个说法是否正确，说明理由
错因：：
概率是一个理论值，是大量重复试验下频率的稳定值。频率是一次试验后统计得出的实际值。例如，掷一枚均匀硬币，正面朝上的概率总是0.5。但掷10次，正面朝上的频率可能是0.4、0.6等，不一定正好是0.5
避坑指南：
牢记“大量重复试验”是频率稳定于概率的前提。试验次数较少时，频率与概率可能有较大差距，这不能说明概率理论是错误的。
正确解法：
答：这个说法是错误的，因为试验次数太少，频率不稳定，不能作为概率的估计值。
针对练习1
一、单选题
1．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（）
A．当投掷次数是时，“钉尖向上”的次数是
B．当投掷第次时，“钉尖向上”的概率是
C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于，故可以估计其概率是
D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率一定是
【答案】C
【分析】本题考查利用频率估计概率，根据图形和各个选项的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：当投掷次数是时，此次计算机记录“钉尖向上”的频率是，故此次次数约是，选项A符合题意；
当投掷次数是时，此时“钉尖向上”的频率是，但“钉尖向上”的概率不一定是，选项B不合题意；
随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是．选项C符合题意；
若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率可能是，但不一定是，选项D不符合题意．
故选：C．
2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率
B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率
C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率
D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率
【答案】C
【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验．
【详解】解：由题意知，试验的频率约为，
A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符；
B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符；
C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有 1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致；
D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符．
故选：C．
3．（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（ ）
A．频率就是概率
B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近
C．试验得到的频率一定会等于概率
D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同
【答案】B
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率．
根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答．
【详解】解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误。
选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确。
选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误。
选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误。
综上，正确答案为B。
故选：B．
4．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　）
A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是
B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是
C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是
D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是
【答案】C
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，计算频率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，频率等于频数除以总数，每次试验频率的值都有可能发生变化，据此可得答案．
【详解】解：A、当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：，但“钉尖向上”的概率不一定是，原说法错误，不符合题意；
B、当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率不一定是，原说法错误，不符合题意；
C、随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是，原说法正确，符合题意；
D、若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是，但不一定是，原说法错误，不符合题意．
故选：C．
5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列说法正确的是（ ）
A．小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率是
B．抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率一定相同
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，一定会有5次正面朝上
D．在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性
【答案】D
【分析】本题考查了概率的概念，频率的定义理解，掌握概率和频率的相关知识是解题的关键．根据事件发生的可能性的大小，以及频率的概念逐项分析即可．
【详解】解：A. 小明做了4次抛瓶盖的试验，虽然有3次盖口向上，单盖口向上的概率是，故该选项不正确，不符合题意；
B. 抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率相近，但不一定相同，故该选项不正确，不符合题意；
C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，不一定会有5次正面朝上，故该选项不正确，不符合题意；
D. 在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
二、解答题
6．（24-25九年级上·江苏期末）你同意以下的说法吗？请说明理由．
(1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．”
(2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．”
【答案】(1)不同意，见解析
(2)不同意，见解析
【分析】本题考查的是频率和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键．
（1）根据“频率”和“概率”的定义即可判断；
（2）根据“频率”和“概率”的定义即可判断．
【详解】（1）解：不同意，小丽混淆了“频率”和“概率”．做了20次试验，发现硬币落地后共有11次正面朝上，只能确定在这20次试验中，正面朝上的频率是．
（2）解：不同意，对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，是独立的，并不受其他事件的干扰，也就是说，第6次抛掷这枚硬币的概率不会受到前5次抛掷结果的影响
对概率值的错误推断
例2：判断下列事件类型：（1）掷一枚硬币，正面朝上；（2）地球绕着太阳转；（3）打开电视机，正在播放广告。（4）水加热到100℃会沸腾
错因：
认为概率为1的事件是必然事件，或者概率为0的事件是不可能事件。实际上，概率为1的事件（如“在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾”）是必然事件，但要注意其前提条件。
避坑指南：
正确理解概率值为0或1的含义。必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。但要注意一些看似必然或不可能的事件，需在特定条件下讨论。
正确解法：
随机事件；（2）必然事件；（3）随机事件。（4）分情况讨论：标准大气压下，水加热到100℃会沸腾是必然事件。不是标准大气压就是随机事件。
针对练习2
一、单选题
1．（25-26九年级上·福建泉州·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．明天下雨是随机事件
B．要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查
C．已知一组数据：3，3，4，5，8，10，11，则这组数据的中位数是5
D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定
【答案】B
【分析】本题考查随机事件、调查方式、中位数和方差的概念．选项A正确，明天下雨是随机事件；选项B错误，因为日光灯使用寿命的测试是破坏性的，全面调查不现实，应采用抽样调查；选项C正确，数据中位数为5；选项D正确，方差越小数据越稳定．
【详解】解：∵选项A：明天下雨可能发生也可能不发生，是随机事件，正确；
∵选项B：全面调查需检查所有个体，但日光灯寿命测试是破坏性的，全面调查不经济且不现实，应采用抽样调查，错误；
∵选项C：数据3，3，4，5，8，10，11按升序排列，共7个数，中位数为第4个数5，正确；
∵选项D：方差，乙组数据方差更小，更稳定，正确；
故选B．
2．（24-25·湖北·期末）下列说法正确的是（ ）
A．将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件
B．抛出的篮球会下落是随机事件
C．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定
D．了解一批中性笔笔芯的使用寿命，可采用全面调查的方式
【答案】C
【分析】本题考查了事件的分类、根据方差判断稳定性、抽样调查与全面调查，根据相关知识点逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故原说法错误，不符合题意；
B、抛出的篮球会下落是必然事件，故原说法错误，不符合题意；
C、若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定，故原说法正确，符合题意；
D、了解一批中性笔笔芯的使用寿命，可采用抽样调查的方式，故原说法错误，不符合题意；
故选：C．
3．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）下列事件：①打开电视机，正在播放动画片；②下个星期天会下雨；
③抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是1；
④一个有理数的平方是非负数；⑤若异号，则．
属于确定事件的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了随机事件，必然事件，有理数的加法及乘方，熟练掌握相关定义是解题的关键．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；据此进行判断即可．
【详解】解：打开电视机，正在播放动画片是随机事件，则①不是确定事件，
下个星期天会下雨是随机事件，则②不是确定事件，
抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是1为不可能事件，则③是确定事件，
一个有理数的平方是非负数为必然事件，则④是确定事件，
若异号，则是随机事件，则⑤不是确定事件，
综上，属于确定事件的有2个，
故选：B．
4．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）下列事件中是不可能事件的是（ ）
A．100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
C．三角形内角和为
D．经过任意三点一定可以画一个圆
【答案】C
【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【详解】解：A. 100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品，是必然事件，故该选项不正确，不符合题意；
B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
C. 三角形内角和为，是不可能事件，故该选项正确，符合题意；
D. 经过任意三点一定可以画一个圆，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
5．（2025·江苏无锡·二模）下列说法：“铁在潮湿的空气中会生锈”是必然事件；“物体不受外力时保持静止或匀速直线运动状态”是确定事件；“没有水分，种子发芽”是随机事件；“买一张电影票，座位号是奇数号”是不可能事件．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，根据事件发生的可能性大小判断即可，解题的关键是理解必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：“铁在潮湿的空气中会生锈”是必然事件，说法正确，符合题意；
“物体不受外力时保持静止或匀速直线运动状态”是确定事件，说法正确，符合题意；
“没有水分，种子发芽”是不可能事件，说法错误，不符合题意；
“买一张电影票，座位号是奇数号”是随机事件，说法错误，不符合题意；
综上可知：正确，
故选：．
“放回”与“不放回”模型混淆
例3：一个袋子中有2个红球和1个白球。（1）随机摸出一球，放回，再摸出一球，求两球都是红球的概率。（2）随机一次摸出两球，求两球都是红球的概率。
错因：
题目描述为“一次摸两个球”（相当于不放回），解题时却错误地用“先摸一个放回，再摸一个”的模型来计算
避坑指南：
审题时圈出关键词。如果是“一次摸两个”或“摸出一个不放回，再摸一个”，属于不放回模型，第一次抽取会影响第二次的结果，总可能数会减少。如果是“摸出一个放回，再摸一个”，则属于放回模型，两次抽取相互独立
正确解法：
（1）放回模型：每次摸球互不影响。
红1 红2 白
红1 红2 白 红1 红2 白 红1 红2 白
共有9种等可能结果，其中两球都是红球的结果有4种。所以
P（两个红球）=
（2）不放回模型（一次摸两个）：
红1 红2 白
红2 白 红1 白 红1 红2
共有6种等可能结果，其中两球都是红球的结果有2种。所以
P（两个红球）= =
针对练习3
一、解答题
1．（24-25九年级上·山东·期末）在一个箱子里放着分别标有数字1，2，3的三个球，它们除了号码外其他都相同．
(1)从箱子里摸出一个球，有几种不同的可能？
(2)从箱子里随机摸出两个球（先摸出一个，不放回，再摸出一个），这样按顺序先后摸到的两个球有几种不同的可能？
(3)从箱子里随机摸出一个球，放回，摇匀后再摸出一个球，这样按顺序先后摸到的两球有几种不同的可能？（画树状图或列表分析问题）
【答案】(1)共3种可能
(2)有6种
(3)共有9种可能
【分析】本题考查随机事件共有多少种可能性，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）用枚举法表示出所有情况即可；
（2）用枚举法表示出所有情况即可；
（3）用列表法表示出所有情况即可．
【详解】（1）解：从箱子里摸出一个球，有数字1，数字2，数字3共3种可能．
（2）解：有6种，分别是1，2；1，3；2，1；2，3；3，1；3，2；
（3）解：共有9种可能，如下表：
1 2 3
1 (1，1) (1，2) (1，3)
2 (2，1) (2，2) (2，3)
3 (3，1) (3，2) (3，3)
2．（24-25九年级上·山西·期末）四张大小质地均相同的卡片上分别标有数字，，，，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的张中随机抽取第二张．
(1)用画树状或列表的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；
(2)计算抽得的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是多少？
(3)如果抽取第一张后放回，再抽第二张，（2）的问题答案是否改变？如果改变，变为多少？（只写出答案，不写过程）
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)改变，
【分析】本题考查了概率的求法，熟练掌握概率公式是解题的关键．
（1）用树状图列举出次不放回实验的所有可能情况即可；
（2）看是奇数的情况占所有情况的多少即可；
（3）属于次放回实验，和为奇数以及和为偶数的情况相等，那么概率是．
【详解】（1）解：如图：
（2）由（1）得共有种，和为奇数有种，
∴概率．
（3）如图：
共有种等可能的情况，和为奇数的有种，
∴答案改变，概率．
3．（2025·山东青岛·模拟预测）某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励，具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，如果摸到的两个球的颜色相同，即可获得一份精美礼品．现有两种摸球方案：
方案1：随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球．
方案2：随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球．
对于消费者而言，选择哪种摸球方案更有可能获得精美礼品？请说明理由．
【答案】方案1，理由见解析
【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率；分别就两种方案列表，求出概率并比较即可作出方案选择．
【详解】解：方案1，理由如下：
方案1：
第1个 第2个
红 红 黄 黄 黄
红 （红，红） （红，红） （红，黄） （红，黄） （红，黄）
红 （红，红） （红，红） （红，黄） （红，黄） （红，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，黄） （黄，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，黄） （黄，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，黄） （黄，黄）
共有25种等可能的结果，摸到相同颜色的球的情况有13种，
P（摸到相同颜色的球）＝．
方案2：
第1个 第2个
红 红 黄 黄 黄
红 — （红，红） （红，黄） （红，黄） （红，黄）
红 （红，红） — （红，黄） （红，黄） （红，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） — （黄，黄） （黄，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） — （黄，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，黄） —
共有20种等可能的结果，摸到相同颜色的球的情况有8种，
P（摸到相同颜色的球）＝．
∵，
∴选择方案1更有可能获得精美礼品．
4．（24-25九年级上·河北张家口·期末）在一个不透明的袋子中装有四张分别标有数字，，，的卡片，这些卡片除数字外其余均相同，嘉淇按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加，如图是他所画树状图的一部分．
(1)嘉淇第一次抽到标有正数数字的卡片的概率为 ；
(2)由图分析，该游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后 （填“放回”或“不放回”），第二次再随机从袋子中抽出一张卡片；
(3)补全树状图，并求嘉淇两次抽到卡片上的数字之和为负数的概率．
【答案】(1)；
(2)不放回；
(3)见解析，．
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法和树状图法适合两步或两步以上完成的事件，概率等于所求情况数与总情况数之比．
（1）袋子中装有四张分别标有数字，，，的卡片，其中正数有张，嘉淇第一次抽到标有正数数字的卡片的概率为；
（2）由嘉淇所画树状图的一部分可知，嘉淇第一次抽到了，第二次再抽到的数中没有，可知该游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后不放回；
（3）把树状图补充完整，从树状图中可以看出共有种等可能的结果，其中嘉淇两次抽到卡片上的数字之和为负数的结果有种，所以可知嘉淇两次抽到卡片上的数字之和为负数的概率为．
【详解】（1）解：袋子中装有四张分别标有数字，，，的卡片，
其中正数有张，
嘉淇第一次抽到标有正数数字的卡片的概率为，
故答案为：；
（2）解：由嘉淇所画树状图的一部分可知，嘉淇第一次抽到了，第二次再抽到的数中没有，
该游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后不放回，
故答案为：不放回；
（3）解：补全树状图如图所示．
由图可知，共有种等可能的结果，
其中嘉淇两次抽到卡片上的数字之和为负数的结果有种，
∴嘉淇两次抽到卡片上的数字之和为负数的概率为．
5．（24-25九年级上·河北保定·期末）在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4的卡片（除数字外，其他均相同），小明小华两人按照各自的规则玩抽卡片游戏，小明画出树状图如图所示：
小华列出表格如下：
第二次第一次 1 2 3 4
1
2 ①
3
4
回答下列问题：
(1)根据小明画出的树状图分析，他的游戏规则是随机抽出一张卡片后 （填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片；
(2)根据小华的游戏规则，表格中①表示的有序数对为 ；
(3)规定两次抽到的数字之和为奇数的获胜，你认为小明和小华谁获胜的可能性大？为什么？
【答案】(1)不放回
(2)
(3)小明获胜的可能性大，理由见解析
【分析】该题主要考查了列表法与树状图法求概率，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法求概率，概率公式是解题的关键．
（1）根据树状图即可求解；
（2）根据列表法即可求解；
（3）算出概率比较即可；
【详解】（1）解：由树状图可知，第一次摸出的数字没有在第二次中出现，
∴小明的游戏规则为随机抽出一张卡片后不放回，再随机抽出一张卡片．
故答案为：不放回．
（2）解：由表格可知，有序数对的第一个数字表示第一次抽出的卡片上的数字，第二个数字表示第二次抽出的卡片上的数字，
∴表格中①表示的有序数对为．
故答案为：．
（3）解：小明获胜的可能性大．理由如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两次抽到的数字之和为奇数的结果有8种，
∴小明获胜的概率为．
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两次抽到的数字之和为奇数的结果有8种，
∴小华获胜的概率为．
∵，
∴小明获胜的可能性大．
6．（2025·陕西西安·模拟预测）2024年3月，习近平总书记在某地考察时强调：要保护好、运用好红色资源，加强爱国主义教育．为此某校组织了一次以“缅怀革命先烈·赓续红色血脉”为主题的演讲比赛，要求每班选择一位同学参加，九一班的汪旭和苏倩初赛成绩相当，于是班长想运用玩游戏的方式来选择一位参加，游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有1个黑球和3个白球（这些球除颜色外其他均相同），摇匀后班长第一次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，摸到白球不放回，摸到黑球放回；摇匀后，第二次又从袋子中随机摸出一个球．若两次摸出的球颜色相同，则汪旭参加；反之，若两次摸出的球颜色不同，则苏倩参加．
(1)班长第一次摸出白球的概率为_______；
(2)请用画树状图或列表的方法计算苏倩参加的概率．
【答案】(1)
(2)苏倩参加的概率为．
【分析】本题考查列表法与树状图法，概率的求法；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．
（1）列举出所有情况，班长摸到白球的情况数占总情况数的多少即可；
（2）列举出所有情况，两次摸出的球颜色不同的有6种情况，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：一共有4种情况，班长第一次摸出白球的情况数有3种，所以概率为；
故答案为：；
（2）解：画树状图，如图，
根据树状图可知：一共有13种情况，两次摸出的球颜色不同的有6种情况，
所以苏倩参加的概率为．
列举结果时出现遗漏或重复
例4.掷两枚均匀的骰子，求点数和为5的概率。
典型错解：
点数和可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，共有11种情况，所以P(点数和为5)=。
错因分析：
这11种点数和的出现不是等可能的。比如点数和为2只有(1,1)一种情况，而点数和为5有(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)四种情况。
正确解法：
列表格。
2 1 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
共有6×6=36种等可能结果，点数和为5的情况有4种，P==
针对练习4
一、单选题
1．（25-26九年级上·江西九江·期中）小张与小李相约去江西省科技馆参观，某个展览馆有甲、乙两个入口，A，B，C三个出口，那么小张恰好选择从甲入口进入，并从C出口走出的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有6种等可能的结果，其中小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的结果有1种，
∴小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的概率为，
故选：B．
2．（25-26九年级上·山东青岛·期中）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年主题活动中，某班级准备举办一场故事分享会，筹备组制作了张不透明的故事卡片，其中张的故事内容是关于“著名战役”，另外张的故事内容是关于“英雄人物”（卡片除故事内容外其余都相同）．活动环节，将这张卡片背面朝上洗匀，主持人从中随机抽取张，不放回，再从剩余的张中随机抽取张，抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了树状图法求概率，用表示张的故事内容是关于“著名战役”的卡片，用表示张的故事内容是关于“英雄人物”的卡片，共有种等可能得结果，其中抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的结果数有种，然后利用概率公式即可求解，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键．
【详解】解：用表示张的故事内容是关于“著名战役”的卡片，用表示张的故事内容是关于“英雄人物”的卡片，画树状图为，
共有种等可能得结果，其中抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的结果数有种，
∴抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是，
故选：．
二、填空题
3．（25-26九年级上·内蒙古·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比，利用树状图求概率即可．
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况，
∴能让灯泡发光的概率为：．
故答案为：．
三、解答题
4．（2025·吉林·一模）为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“．嫦娥奔月、．牛郎织女、．三顾茅庐、．武松打虎”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解．
(1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是 ；
(2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都抽取到神话故事的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查概率的相关知识，包括简单随机事件的概率计算以及通过列表法或树状图法计算两步随机事件的概率．解题的关键在于准确找出所有可能的结果数以及符合特定条件（如本题中两人都抽到神话故事）的结果数是解题的关键．在使用列表法或树状图法时，要确保不重不漏地列出所有情况．
（1）利用简单随机事件概率公式，即事件发生的概率（其中是所有可能的结果数，是事件发生的结果数），计算甲从四张卡片中抽到“三顾茅庐”这一卡片的概率．
（2）通过列表或画树状图的方法，列出甲、乙两人抽取卡片的所有可能结果，然后找出甲、乙两人都抽取到神话故事、的结果数，最后根据概率公式计算其概率．
【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到三顾茅庐的结果有1种，
∴甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是．
故答案为：；
（2）解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人都抽取到神话故事的结果有：，共2种，
∴甲、乙两人都抽取到神话故事的概率为．
综上所述答案为：（1）；（2）．
5．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）河北博物院现有馆藏文物21万余件（套），是展示中国历史发展脉络的文化艺术宝库．现有3张卡片，正面图案分别是如图所示的馆藏文物“长信宫灯”“错金博山炉”“透雕龙风纹铜铺首”，它们除此之外完全相同．
(1)将这3张卡片背而朝上洗匀，从中随机抽取1张，则抽到“错金博山炉”的概率为_________；
(2)将这3张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取1张，放回洗匀后，再从中随机抽取1张，用列表或画树状图的方法，求出两次抽取的卡片正而相同的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
（1）根据概率公式进行计算即可求解；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正而相同的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）将这3张卡片背而朝上洗匀，从中随机抽取1张，则抽到“错金博山炉”的概率为
故答案为：．
（2）解：设“长信宫灯”“错金博山炉”“透雕龙风纹铜铺首” 这3张卡片分别记为、、，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正而相同的结果有3种，
∴两次抽取的卡片正而相同的概率为，
6．（25-26九年级上·山西忻州·期中）中国四大博物馆通常指故宫博物院、陕西历史博物馆、南京博物院和上海博物馆，它们分别位于北京、西安、南京和上海，代表了中国文化遗产的最高水平，如图，小李将上述四个博物馆的图片制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除正面图案外，其余完全相同），现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
A． B．
C． D．
(1)小李从中随机抽取一张卡片，卡片中的博物馆所在地在北京的概率为 ．
(2)小李从中随机抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是故宫博物院和陕西历史博物馆的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用概率公式列式计算，即可作答．
（2）先画树状图，得出一共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是故宫博物院和陕西历史博物馆的结果有2种，再根据概率公式列式计算，即可作答．
【详解】（1）∵共有四张卡片，
∴小李从中随机抽取一张卡片，卡片中的博物馆所在地在北京的概率为；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中小李抽到故宫博物院和陕西历史博物院的结果共有两种，
∴抽到故宫博物院和陕西历史博物院概率．
“等可能”的先决条件被忽略
例5：随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数的概率是多少？
典型错误：
错误地认为所有结果的出现都是等可能的，从而用错误的基本事件总数计算概率.。
避坑指南：
在计算概率前，首先判断题目中所有可能的结果是否满足“等可能性”。例如，判断“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率，因为图钉结构不均，针尖朝上和朝下的可能性不同， 不能用古典概型公式直接计算。
正确解法
一本书的页码有奇有偶，一般认为翻到每一页的可能性相同，且奇偶页数通常相等或相差不大（取决于总页数），因此可以认为是等可能的。P(页码是奇数) ≈ 1/2。 (这是一个基于常识的合理推断，具体概率取决于书籍总页数)
针对练习5
一、单选题
1．（25-26九年级上·广东河源·期中）人类的遗传病主要由亲代传递给子代．了解其遗传规律与子代的发病风险，对于开展遗传咨询与产前诊断、有效预防遗传病患儿的出生具有重要意义．白化病是一种遗传病，它是一种隐性性状，已知A是正常基因，a是白化病基因，如果母亲和父亲都携带成对基因，那么他们生育一个孩子，表现正常的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了用列举法求概率，掌握通过列表找出所有结果是解题的关键．
现根据父母的基因列表，根据表格出现的结果分析正常的概率．
【详解】解：根据题意，列表如下，
A a
A AA Aa
a aA aa
观察表格可知，共有4种等可能的遗传结果，表现正常的占其中三种（），
生育一个孩子，表现正常的概率为．
故选：A．
二、填空题
2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了已知概率求数量，掌握概率的意义是解题的关键．根据概率的意义直接计算即可.
【详解】解：该运动员比赛中罚球投中的概率是，
若有次罚球机会，则他估计能投中的次数是（次）．
故答案为：．
三、解答题
3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）汽车经过某十字路口，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种结果发生的可能性大小相同，请利用列表格或画树状图的方法，求两辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率．
(1)事件A：两辆车全部继续直行；
(2)事件B：一车向右，一车向左．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查利用列表格或画树状图的方法求概率、概率公式，（1）列表格可得，共有9种等可能结果，其中，事件A包含的结果数为1种，再利用概率公式求解即可；
（2）由表格可得，共有9种等可能结果，其中，事件B包含的结果数为2种，再利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：
解：列表格得：
向左 直行 向右
向左 （左，左） （左，直） （左，右）
直行 （直，左） （直，直） （直，右）
向右 （右，左） （右，直） （右，右）
由表格可得，共有9种等可能结果，其中，事件A包含的结果数为1种；
∴；
（2）解：由表格可得，共有9种等可能结果，其中，事件B包含的结果数为2种．
∴．
4．（2016·广东广州·一模）如图，正方形的边长为2，中心为O，从O、A、B、C、D五点中任取两点．
（1）求取到的两点间的距离为2的概率；
（2）求取到的两点间的距离为的概率；
（3）求取到的两点间的距离为的概率．
【答案】（1）（2）（3）
【详解】试题分析：AB=BC=CD=AD=2,AC=BD=2,OD=OC=OA=OB=,求取到的两点间的距离为2、、2的概率,也就是求取到这些相等线段的概率，总共有10条线段．
试题解析：解：（1）从O、A、B、C、D五点中任取两点，所有等可能出现的结果有：
AB、AC、AD、BC、BD、CD、OA、OB、OC、OD，共有10种，
满足两点间的距离为2的结果有AB、BC、CD、AD这4种，
则P（两点间的距离为2）=．
（2）满足两点间的距离为的结果有AC、BD这2种．
则P（两点间的距离为）=．
（3）满足两点间的距离为的结果有OA、OB、OC、OD这4种．
则P（两点间的距离为）=．
5．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有四张不透明卡片（如图），正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案不同外其余都相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放在桌上．
(1)“从这四张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上印有‘生’角色的卡通人物”这一事件属于______事件；（填“随机”“必然”或“不可能”）
(2)洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下图案后放回，记作随机抽卡片1次．随机抽取卡片10次，其中抽到印有“生”角色卡通人物的卡片2次，则这10次抽卡片中，抽到印有“生”角色卡通人物的卡片的频率为______；
(3)从这四张卡片中随机抽取一张，求抽到的卡片上恰好印有“净”角色的卡通人物的概率．
【答案】(1)随机
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了事件分类，频率计算，概率公式应用，解题的关键是熟练掌握概率计算公式．
（1）根据事件的分类方法，进行求解即可；
（2）根据频率的计算公式，进行求解即可；
（3）根据概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：“从这四张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上印有‘生’角色的卡通人物”这一事件属于随机事件；
（2）解：抽到印有“生”角色卡通人物的卡片的频率为；
（3）解：从这四张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上恰好印有“净”角色的卡通人物的概率为．
一、单选题
1．下面事件中必然事件是（ ）
A．今天下午刮风，则明天下雨
B．两条直线被第三条直线所截，则内错角相等
C．抛掷一枚均匀的正六面体骰子，则点数不大于6
D．两个有理数的积为正数，则这两个数都是正数
【答案】C
【分析】本题主要考查必然事件的概念，熟练掌握必然事件就是一定发生的事件，是解题的关键．通过分析每个选项是否必然发生来判断即可．
【详解】解：A．今天下午刮风与明天下雨无必然因果关系，是不确定事件，故A不符合题意；
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等仅当两直线平行，否则不一定，是不确定事件，故B不符合题意；
C．正六面体骰子的点数范围为1至6，因此点数不大于6一定发生，是必然事件，故C符合题意；
D．两个有理数的积为正数时，两数可能同为正或同为负，不一定都是正数，是不确定事件，故D不符合题意．
故选：C．
2．下列事件属于必然事件的是（ ）
A．明天太阳从西边升起
B．三角形的外心到三边的距离相等
C．抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上
D．直径所对圆周角是直角
【答案】D
【分析】本题考查了必然事件，必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，选项A、B、C均不一定发生，选项D是几何定理，一定成立．
【详解】解：A、太阳从西边升起是不可能事件，故该选项错误；
B、三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，到三边的距离不一定相等，故该选项错误；
C、抛掷1枚硬币，硬币落地时可能正面朝上，也可能反面朝上，故该选项错误；
D、直径所对的圆周角是直角（圆周角定理），该事件一定发生，属于必然事件，故该选项正确，
故选：D．
3．林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：
移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000
成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628
成活的频率(精确到)
下列说法正确的是（　　）
A．若移植100棵幼树，成活数一定为90棵
B．随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为
C．移植的幼树越多，成活率越高
D．若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵
【答案】B
【分析】本题考查用频率估计概率．根据统计数据，随着移植总数增加，成活频率在0.900附近摆动并趋于稳定，因此可用频率估计概率．
【详解】解：∵ 从统计数据看，当移植总数较大时（如1500、3500、7000、14000），成活频率分别为，均在左右摆动，显示出稳定性；
∴ 可以用频率估计该幼树移植成活的概率为，故选项B正确．
选项A错误，因为成活数不一定为90棵，频率具有随机性；
选项C错误，因为成活率并非单调递增，如从3500到7000时频率下降；
选项D错误，因为基于概率估计，移植270棵时成活数可能超过235棵（如）．
故选：B．
4．篮球运动是一项有益于身体健康的运动，某校篮球队进行篮球投篮训练，下面是该篮球队的队员张辰投篮的统计结果：
投篮次数/次 10 50 100 150 200
命中次数/次 8 39 81 120 160
命中率 0.80 0.78 0.81 0.80 0.80
根据上表，估计张辰一次投篮命中的概率是（ ）
A．0.70 B．0.75 C．0.80 D．0.85
【答案】C
【分析】本题考查由频率估计概率，读懂题意是解决问题的关键．
根据频率估计概率的原理，当试验次数较大时，频率稳定于概率，因此，计算总命中次数与总投篮次数的比值作为估计值，即可得到答案．
【详解】解：当试验次数较大时，频率稳定于概率，由篮球队的队员张辰投篮的统计结果可知，命中率在附近波动，则估计张辰一次投篮命中的概率是，
故选：C．
5．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；
第四步：估算出π的值．
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案．
【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1，
可以用图中正方形区域表示，
∴，
再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，
则需满足x2＋y2＞1，
可以用图中（3）区域表示，
∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，
∴，
设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A，
∴根据①概率计算方法可以得到：
，
又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率．
二、解答题
6．2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸．
(1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____．
(2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求概率，用树状图（列表）求概率，
对于（1），用概率公式计算即可；
对于（2），列表得出所有结果，再根据概率公式得出答案．
【详解】（1）解：一共有4种手工艺品的图片，青神竹编有1种，
所以恰好选中青神竹编的概率是；
故答案为：；
（2）解：
第一次 第二次 A B C D
A
B
C
D
一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有2种，所以两人恰好选中A和D的概率是．
7．在“融通古今，厚植文化自信”校园文化建设活动中，数学文化社团的小智和小慧计划从古代的赵爽、刘徽、现代的陈景润、陈省身四名数学家中，各查找一名数学家的资料制作成文化宣传材料．为了明确分工，小智和小慧决定按如下方式抽签确定分工：将写有四名数学家名字且除所写名字不同外其余完全相同的4个小球放入不透明的盒子中，摇匀后，小智先从中随机摸出一球，不放回，小慧再从剩下的3个小球中随机摸出一球，最后根据各自摸出的小球上数学家的名字制作宣传材料．
(1)小智摸中写有陈景润名字的小球的概率是___________；
(2)请用画树状图或列表的方法，求两人摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求概率．
（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）先列出表格，再根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：由盒子中的小球可知，共有种等可能的结果，其中摸中写有陈景润名字的小球的结果有种，
（摸中写有陈景润名字的小球的概率），
故答案为：；
（2）解：将写有赵爽、刘徽、陈景润、陈省身的小球分别记为、、、，
根据题意列表如下：
小慧小智
由表可知：共有12种等可能的结果，其中两人摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的结果有8种，
（两人摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家）．
8．某校计划在运动会期间，组织一次拔河比赛，裁判员让甲、乙两队长通过“石头、剪刀、布”的方式选择场地．游戏规则如下：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，获胜一方可优先选择场地．若两人出相同的手势，则平局．请用列表或画树状图的方法，列出甲、乙两队长的手势可能出现的情况，并判断裁判员这种做法是否合理．
【答案】裁判员这种做法合理，理由见解析
【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，根据题意准确列表或画出树状图是解题的关键．根据表格，得出所有的等可能的结果数，以及甲队长获胜的结果数和乙队长获胜的结果数，根据概率公式计算出甲队长获胜和乙队长获胜的概率，再比较即可得出结论．
【详解】解：分别用A表示石头，B表示剪刀，C表示布．根据题意，列表如下：
乙甲 A B C
A
B
C
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中甲队长获胜的结果有3种，乙队长获胜的结果有3种．
∴甲队长获胜的概率为，乙队长获胜的概率为．
∵，
∴裁判员这种做法合理．
9．小明和小强做摸球游戏，在一个不透明的盒子中装入2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，小强再从中随机摸出一个球，若两人摸到的球颜色相同，则小明获胜，否则小强获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】
不公平，见详解
【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是关键．
运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，结合概率公式计算即可．
【详解】解：不公平，理由如下，
运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来如下，
红1 红2 白
红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白）
红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白）
白 （白，红1） （白，红2） （白，白）
∴所有等可能结果有9种，其中颜色相同的5种，颜色不同的有4种，
∴两人摸到的球颜色相同的概率为，颜色不同的概率为，
∵，
∴游戏对双方不公平．
10．2025年9月3日为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年在北京隆重举行了大阅兵．某学校开展“阅兵精神进校园”为主题的演讲比赛，有以下三个主题，分别是：A．抗战英雄事迹；B．阅兵装备科普；C．强军精神语录，主办方将三个主题分别写在三张卡片上（卡片除所写内容外完全相同），将卡片背面朝上，洗匀放好．参赛选手小明和小华需从中随机抽取一张卡片，卡片上所写的主题即为演讲主题．
(1)小明抽到的主题是“阅兵装备科普”的概率为 ．
(2)小明从中随机抽取一张，记下卡片上所写主题后放回，洗匀，小华再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率．
【答案】(1)
(2)见解析；
【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）根据题意直接利用概率公式可得答案；
（2）用表格表示出两人的抽取结果，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，总共有3个主题卡片，“阅兵装备科普（B）”是其中1个，
∴小明抽到该主题的概率为，
故答案为：；
（2）解：小明抽取后放回，两人的抽取结果（小明，小华）有如下表：
A．抗战英雄事迹 B．阅兵装备科普 C．强军精神语录
A．抗战英雄事迹
B．阅兵装备科普
C．强军精神语录
由表格可得共9种等可能结果，
则找出“至少有一人抽到A”的结果有：、、、、，共5种，
∴小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率为．
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