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人教九上数学第二十四章检测卷
时间：90分钟 满分：120分
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 如图，点A，B，C在☉O上，若∠O＝70°，则∠A＝（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
第1题图
如图，已知☉O的半径为4，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）
第2题图
A. a B. b C. c D. d
3. 如图，已知PA与☉O相切于点A，☉O的半径为5，OP＝13，则切线PA长为（ ）
第3题图
A. 8 B. 12 C. 16 D. 18
4. 如图，AD是☉O的直径，点B，C在☉O上，若∠BCD＝45°，AB＝5，则AD的长为（ ）
第4题图
A. 5 B. 5 C. 10 D. 10
5. 如图，AB为☉O的弦，半径OD⊥AB于点C.若AB＝8，CD＝2，则☉O的半径长为（ ）
第5题图
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 下列说法中错误的是（ ）
A. 直径是弦
B. 在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等
C. 弦的垂直平分线一定经过圆心
D. 过三点可以确定一个圆
7. 如图，是一个生活中常见的玩具“陀螺”，可将其近似地看作一个圆锥，若其底面圆的半径为3 cm，高为4 cm，要在它的表面刷一层涂料，则刷的涂料面积为（ ）
第7题图
A. 6π cm2 B. 12π cm2 C. 18π cm2 D. 24π cm2
8. 如图，四边形ABCD内接于☉O，且D是优弧的中点，连接AC，若AB＝AC，∠ACD＝50°，则∠ABC的度数为（ ）
第8题图
A. 65° B. 70° C. 75° D. 80°
9. 如图，☉O是△ABC的内切圆，切点分别为点D，E，F，∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，连接ED，FD，则∠EDF的度数为（ ）
第9题图
A. 50° B. 60° C. 65° D. 70°
10. 如图，已知四边形ABCD为矩形，CD＝2，点E是BC延长线上一点，且CE＝2，以点B为圆心，BE长为半径作弧恰好经过点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
第10题图
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 如图，CD是☉O的切线，切点是点D，直线CO交☉O于点A，B，∠A＝25°，则∠C的度数是 .
第11题图
如图，CA，CB与☉O分别相切于点A，B，若∠ACB＝60°，☉O半径为4，则CA的长为 .
第12题图
如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与坐标轴交于A，B两点，圆心在x轴上的☉P经过A，B两点，则☉P的半径为 .
第13题图
14. （中考新考法·结论开放）如图，点F在正五边形ABCDE的边DE上运动.若∠ABF＝x°，请写出一个符合条件的x的值为 .
第14题图
15.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P是直线AB上的一个动点，AE＝1，将△APE沿PE翻折，得到△FPE，连接CF，则CF的最小值是 .
第15题图
三、解答题（共8小题，共75分）
16. （6分）如图，AB，CD是☉O的直径，点E在上，＝，求证：AB∥CE.
第16题图
17. （9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上一点，连接AD，以AD为直径作☉O，且AB＝AD，过点D作☉O的切线交AC于点F.求证：DF＝CF.
第17题图
18. （9分）(传统文化情境 挂饰玉璜)玉璜是一种弧形片状玉器，在良渚文化中，玉璜是一种礼仪性的挂饰，其形状多为半璧形或桥形（如图①所示）.如图②是该玉璜的示意图，过内圆上一点A作内圆的切线交外圆于点B，C，D是的中点，连接BC，AD，经测量BC＝16 cm，AD＝4 cm，求该玉璜的外圆半径.（内、外两圆的圆心相同）
第18题图
（9分）AB是☉O的直径，点C，D在☉O上且分布在AB两侧，C是直径AB所对弧的一个三等分点，求∠BDC的度数.
20. （9分）如图，△ABC是☉O的内接三角形，AE是☉O的直径，AF是☉O的弦，且AF⊥BC，垂足为D.
（1）求证：BE＝CF；
（2）若∠ABC＝∠EAC，AC＝2，求阴影部分的面积.
第20题图
21. （9分）如图①，已知AB是☉O的切线，连接OA交☉O于点C，过点C作CD∥OB交☉O于点D，连接BD.
（1）证明：∠ABC＝∠OBD；
（2）如图②，连接OD，当点C是的中点时，请判断四边形OBCD的形状，并说明理由.
第21题图
22. （12分）如图，四边形ABCD内接于☉O，AB为☉O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF.
（1）求证：CE是☉O的切线；
（2）若DE＝2，CD＝4，求☉O的半径.
第22题图
23. （12分）（中考新考法·阅读理解题）请阅读下面材料，并完成相应任务.
《几何原本》又称《原本》，是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作.它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书.在《几何原本》一书中有这样一个命题：内接于圆的四边形其对角的和等于两直角和.
如图①，四边形ABCD内接于☉O，求证：∠ABC＋∠ADC＝180°.下面是该命题的证明过程：
证明：如图②，连接AC，BD，
∵＝，＝，
∴∠ABD＝∠ACD，∠CBD＝∠CAD.（依据1）
在△ACD中，∵∠ACD＋∠CAD＋∠ADC＝180°，（依据2）
∴∠ABD＋∠CBD＋∠ADC＝180°，即∠ABC＋∠ADC＝180°.
任务：
（1）写出上述证明过程中的“依据1”和“依据2”：
依据1： ；
依据2： .
（2）如图③，△ABC是☉O的内接等边三角形，点D在上，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E.若AD＝4，求AE的长.
第23题图
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人教九上数学第二十四章检测卷
时间：90分钟 满分：120分
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 如图，点A，B，C在☉O上，若∠O＝70°，则∠A＝（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
第1题图
1. D 【解析】∵点A，B，C在☉O上，∠O＝70°，∴∠A＝∠O＝35°.
如图，已知☉O的半径为4，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）
第2题图
A. a B. b C. c D. d
2. D 【解析】∵☉O的半径是4，圆心O到一条直线的距离是3，4＞3，∴该直线与☉O相交，这条直线可能是d.
3. 如图，已知PA与☉O相切于点A，☉O的半径为5，OP＝13，则切线PA长为（ ）
第3题图
A. 8 B. 12 C. 16 D. 18
3. B 【解析】如解图，连接OA，∵PA与☉O相切于点A，∴OA⊥AP，在Rt△OAP中，PA＝＝＝12.
第3题解图
4. 如图，AD是☉O的直径，点B，C在☉O上，若∠BCD＝45°，AB＝5，则AD的长为（ ）
第4题图
A. 5 B. 5 C. 10 D. 10
4. B 【解析】如解图，连接BD，∵∠BCD＝45°，∴∠DAB＝∠BCD＝45°，∵AD是☉O的直径，∴∠ABD＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝AB＝×5＝5.
5. 如图，AB为☉O的弦，半径OD⊥AB于点C.若AB＝8，CD＝2，则☉O的半径长为（ ）
第5题图
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. C 【解析】如解图，连接OA，∵☉O的弦AB＝8，半径OD⊥AB，∴AC＝AB＝×8＝4，设☉O的半径为r，则OC＝OD－CD＝r－2，在Rt△OAC中，OA2＝OC2＋AC2，即r2＝（r－2）2＋42，解得r＝5.
第5题解图
6. 下列说法中错误的是（ ）
A. 直径是弦
B. 在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等
C. 弦的垂直平分线一定经过圆心
D. 过三点可以确定一个圆
6. D 【解析】经过圆心的弦叫直径，直径是最长的弦，故A选项正确；在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，故B选项正确；由垂径定理知，弦的垂直平分线一定经过圆心，故C选项正确；过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故D选项错误.
7. 如图，是一个生活中常见的玩具“陀螺”，可将其近似地看作一个圆锥，若其底面圆的半径为3 cm，高为4 cm，要在它的表面刷一层涂料，则刷的涂料面积为（ ）
第7题图
A. 6π cm2 B. 12π cm2 C. 18π cm2 D. 24π cm2
7. D 【解析】圆锥的底面圆面积为πr2＝9π （cm2），∵圆锥的高为4 cm，底面圆的半径为3 cm，∴圆锥的母线长为5 cm，侧面积为πrl＝π×3×5＝15π （cm2），∴刷的涂料面积为9π＋15π＝24π（cm2）.
8. 如图，四边形ABCD内接于☉O，且D是优弧的中点，连接AC，若AB＝AC，∠ACD＝50°，则∠ABC的度数为（ ）
第8题图
A. 65° B. 70° C. 75° D. 80°
8. D 【解析】∵D是优弧AB的中点，∴＝，∴∠BAD＝∠ACD＝50°，∵四边形ABCD内接于☉O，∴∠BCD＝180°－∠BAD＝130°，∠ACB＝∠BCD－∠ACD＝130°－50°＝80°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝80°.
9. 如图，☉O是△ABC的内切圆，切点分别为点D，E，F，∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，连接ED，FD，则∠EDF的度数为（ ）
第9题图
A. 50° B. 60° C. 65° D. 70°
9. C 【解析】如解图，连接OE，OF.∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°－60°－70°＝50°，∵AB是☉O的切线，∴∠OEA＝90°，同理∠OFA＝90°，∴∠BAC＋∠EOF＝180°，∴∠EOF＝130°，∴∠EDF＝∠EOF＝65°.
第9题解图
10. 如图，已知四边形ABCD为矩形，CD＝2，点E是BC延长线上一点，且CE＝2，以点B为圆心，BE长为半径作弧恰好经过点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
第10题图
A. B. C. D.
10. A 【解析】如解图，连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，S△BDC＝S△ACD，设BC＝x，则BD＝BE＝BC＋CE＝x＋2，在Rt△BCD中，RC2＋CD2＝BD2，即x2＋（2）2＝（x＋2）2，解得x＝2，∴BC＝2，BD＝BE＝4，∴∠BDC＝30°，∴∠DBC＝60°，∴S阴影＝S扇形BDE＝＝.
第10题解图
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 如图，CD是☉O的切线，切点是点D，直线CO交☉O于点A，B，∠A＝25°，则∠C的度数是 .
第11题图
11. 40° 【解析】如解图，连接OD，∵CD是☉O的切线，切点是点D，∴OD⊥CD，∴∠ODC＝90°，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ODA，∴∠COD＝2∠A＝2×25°＝50°，∴∠C＝90°－50°＝40°.
第11题解图
如图，CA，CB与☉O分别相切于点A，B，若∠ACB＝60°，☉O半径为4，则CA的长为 .
第12题图
12. 4 【解析】如解图，连接OA，CO，∵CA，CB与☉O分别相切于点A，B，∠ACB＝60°，∴∠OAC＝90°，∠ACO＝∠ACB＝30°，∵☉O半径为4，即DA＝4，∴OC＝8，∴在Rt△AOC中，CA＝＝＝4.
第12题解图
如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与坐标轴交于A，B两点，圆心在x轴上的☉P经过A，B两点，则☉P的半径为 .
第13题图
13. 【解析】如解图，连接BP，由直线的解析式可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，2）.∴OA＝4，OB＝2.设半径为r，则OP＝4－r，在Rt△BOP中，22＝r2－（4－r）2，解得r＝.
第13题解图
14. （中考新考法·结论开放）如图，点F在正五边形ABCDE的边DE上运动.若∠ABF＝x°，请写出一个符合条件的x的值为 .
第14题图
14. 50（答案不唯一） 【解析】如解图，连接BE，BD，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠A＝∠C＝∠ABC＝＝108°，AB＝AE，CD＝CB，∴∠ABE＝∠CBD＝＝36°，∴∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝108°－36°＝72°，∵点F在正五边形ABCDE的边DE上运动，∠ABF＝x°，∴36°≤x°≤72°，∴x＝50.（答案不唯一）
第14题解图
15.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P是直线AB上的一个动点，AE＝1，将△APE沿PE翻折，得到△FPE，连接CF，则CF的最小值是 .
第15题图
15. －1 【解析】如解图，连接CE，作EG⊥BC于点G，∵AE＝EF＝1，∴点F在以E为圆心，AE为半径的圆弧上运动，∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∴DE＝3.在Rt△CDE中，由勾股定理得，CE＝＝＝，∴CF的最小值为CE－1＝－1.
第15题解图
三、解答题（共8小题，共75分）
16. （6分）如图，AB，CD是☉O的直径，点E在上，＝，求证：AB∥CE.
第16题图
16. 证明：如解图，连接OE，
∵＝，
∴∠BOD＝∠BOE， （2分）
∵∠BOD＋∠BOE＝∠DOE，
∴∠BOD＝∠DOE，
∵CD为☉O的直径， （4分）
∴∠DCE＝∠DOE，
∴∠DCE＝∠BOD，
∴AB∥CE. （6分）
第16题解图
17. （9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上一点，连接AD，以AD为直径作☉O，且AB＝AD，过点D作☉O的切线交AC于点F.求证：DF＝CF.
第17题图
17. 证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠B＋∠C＝90°，
∵DF为☉O的切线，AD为☉O的直径，
∴AD⊥DF，即∠ADF＝90°，
∴∠ADB＋∠FDC＝90°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
又∵∠B＋∠C＝90°，
∴∠FDC＝∠C，
∴DF＝CF. （9分）
18. （9分）(传统文化情境 挂饰玉璜)玉璜是一种弧形片状玉器，在良渚文化中，玉璜是一种礼仪性的挂饰，其形状多为半璧形或桥形（如图①所示）.如图②是该玉璜的示意图，过内圆上一点A作内圆的切线交外圆于点B，C，D是的中点，连接BC，AD，经测量BC＝16 cm，AD＝4 cm，求该玉璜的外圆半径.（内、外两圆的圆心相同）
第18题图
18. 解：如解图，设玉璜的外圆（内圆）圆心为点O，连接OC，
∵BC与内圆O相切于点A，
∴OA⊥BC，A为BC中点，
∵D是的中点，OD是半径，
∴OD⊥BC，
∴O，A，D三点共线，AC＝AB＝8 cm.
设外圆的半径为r，则OA＝r－4，
根据题意得r2＝（r－4）2＋82，
解得r＝10.
答：该玉璜的外圆半径长为10 cm. （9分）
（9分）AB是☉O的直径，点C，D在☉O上且分布在AB两侧，C是直径AB所对弧的一个三等分点，求∠BDC的度数.
19. 解：如解图，连接C1O，C2O，
∵C是直径AB所对弧的一个三等分点，需分两种情况讨论：
当点C靠近点A时，即为C2时即∠C2OB＝120°，
∴∠C2DB＝60°； （4分）
当点C靠近点B时，即为C1时
即∠C1OB＝60°，
∴∠C1DB＝30°.
综上所述，∠BDC的度数为30°或60°. （9分）
第19题解图
20. （9分）如图，△ABC是☉O的内接三角形，AE是☉O的直径，AF是☉O的弦，且AF⊥BC，垂足为D.
（1）求证：BE＝CF；
（2）若∠ABC＝∠EAC，AC＝2，求阴影部分的面积.
第20题图
20. （1）证明：∵AE是☉O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE＋∠BEA＝90°，
∵AF⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＋∠CAD＝90°，
又∵∠BEA＝∠ACD，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴＝，
∴BE＝CF； （4分）
（2）解：如解图，连接OC，EC，
∵＝，
∴∠ABC＝∠AEC，
又∵∠ABC＝∠EAC，
∴∠AEC＝∠EAC，
∴EC＝AC＝2，
∵AE是☉O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠AEC＝∠EAC＝45°，AE＝＝2，
∴∠AOC＝2∠AEC＝90°，OC＝OA＝AE＝，
∴S阴影＝－S△AOC＝π×（）2－××＝－1. （9分）
第20题解图
21. （9分）如图①，已知AB是☉O的切线，连接OA交☉O于点C，过点C作CD∥OB交☉O于点D，连接BD.
（1）证明：∠ABC＝∠OBD；
（2）如图②，连接OD，当点C是的中点时，请判断四边形OBCD的形状，并说明理由.
第21题图
21. （1）证明：∵AB是☉O的切线，
∴∠ABO＝∠ABC＋∠OBC＝90°，
又∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，且∠AOB＋∠OCB＋∠OBC＝180°，即∠AOB＋2∠OBC＝180°，
∵∠ABC＋∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝∠AOB，
又∵CD∥OB，∠BDC＝∠BOC，
∴∠OBD＝∠BDC＝∠AOB，
∴∠ABC＝∠OBD； （4分）
（2）解：四边形OBCD是菱形， （7分）
理由如下：
∵点C是的中点，
∴BC＝CD，则∠BOC＝∠COD，
∵OB＝OD，OC＝OC，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
∴∠OCB＝∠OCD，
又∵CD∥OB，OB＝OC，
∴∠BOC＝∠OCD，∠OBC＝∠OCB，∴∠BOC＝∠OCB＝∠OBC，
∴△BOC是等边三角形，同理△DOC也是等边三角形，
∴OB＝BC＝CD＝OD，
∴四边形OBCD是菱形. （9分）
22. （12分）如图，四边形ABCD内接于☉O，AB为☉O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF.
（1）求证：CE是☉O的切线；
（2）若DE＝2，CD＝4，求☉O的半径.
第22题图
22. （1）证明：如解图①，连接OC，
∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC.
∵四边形ABCD内接于☉O，
∴∠CDE＝∠OBC＝∠OCB.
∵CE⊥AD，∴∠CDE＋∠ECD＝90°.
∵∠ECD＝∠BCF，∴∠OCB＋∠BCF＝90°，
∴∠OCF＝90°，即OC⊥EF.
∵OC是☉O的半径，∴CE是☉O的切线； （5分）
（2）解：如解图②，过点O作OG⊥AE于点G，连接OC，OD，则∠OGE＝90°，
由（1）可得∠E＝∠OCE＝90°，∴四边形OGEC是矩形，
∴OC＝GE，OG＝CE.
设☉O的半径为x，则OC＝OD＝x，GD＝x－2，
在Rt△CDE中，DE＝2，CD＝4，
∴CE＝＝2，∴OG＝2，
在Rt△ODG中，由勾股定理，得OD2＝OG2＋DG2，
∴x2＝（2）2＋（x－2）2，解得x＝4，
∴☉O的半径为4. （12分）
图①
图②
第22题解图
23. （12分）（中考新考法·阅读理解题）请阅读下面材料，并完成相应任务.
《几何原本》又称《原本》，是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作.它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书.在《几何原本》一书中有这样一个命题：内接于圆的四边形其对角的和等于两直角和.
如图①，四边形ABCD内接于☉O，求证：∠ABC＋∠ADC＝180°.下面是该命题的证明过程：
证明：如图②，连接AC，BD，
∵＝，＝，
∴∠ABD＝∠ACD，∠CBD＝∠CAD.（依据1）
在△ACD中，∵∠ACD＋∠CAD＋∠ADC＝180°，（依据2）
∴∠ABD＋∠CBD＋∠ADC＝180°，即∠ABC＋∠ADC＝180°.
任务：
（1）写出上述证明过程中的“依据1”和“依据2”：
依据1： ；
依据2： .
（2）如图③，△ABC是☉O的内接等边三角形，点D在上，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E.若AD＝4，求AE的长.
第23题图
23. 解：（1）同弧所对的圆周角相等； （2分）
三角形三个内角的和等于180°； （4分）
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°.
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADE＝180°，
∴∠ADE＝∠B＝60°，
∵AE⊥CD，
∴∠E＝90°，
∴∠DAE＝30°，
在Rt△ADE中，∵AD＝4，
∴DE＝2，
∴AE＝＝2. （12分）
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