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人教九下数学第二十八、二十九章检测卷
时间：90分钟 满分：120分
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，BC＝1，则sin A的值为（ ）
A. B. 4 C. D.
1. A 【解析】∵∠C＝90°，∴sin A＝＝.
2. (传统文化情境 青铜鼎)如图，是内蒙古自治区出土的青铜鼎，其主视图为（ ）
第2题图
2. C
3. 在△ABC中，∠A＝50°，cos B＝，则∠C的度数是（ ）
A. 30° B. 60° C. 70° D. 100°
3. C 【解析】∵cos B＝，∴∠B＝60°，∵∠A＝50°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝70°.
4. 下列各种现象中属于中心投影的是（ ）
A. 早上升旗时旗杆的影子
B. 早上人走在路上的影子
C. 中午用来乘凉的树影
D. 晚上人走在路灯下的影子
4. D 【解析】早上升旗时旗杆的影子，早上人走在路上的影子，中午用来乘凉的树影，均属于平行投影；晚上人走在路灯下的影子，属于中心投影.
5. 如图，是某运动员进行跳伞运动时的示意图，运动员在点A处打开降落伞，此时显示距离地面高度AC为800 m，且点A看地面降落区中心点B的俯角为α，则此时降落伞到降落区中心的水平距离BC为（ ）
第5题图
A. m B. 800tan α m C. m D. 800sin α m
5. A 【解析】由题意可得∠B＝α，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan α＝＝，∴BC＝ m.
6. 如图，已知在Rt△ABC和Rt△CDE中，点B，C，E在同一直线上，∠A＝∠E＝∠ACD＝90°.若sin D＝，CD＝5，BE＝9，则AB的长为（ ）
第6题图
A. B. C. D. 6
6. B 【解析】在Rt△CDE中，CE＝CD·sin D＝3，∴BC＝BE－CE＝6.∵∠ACD＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝∠D＋∠DCE＝90°，∴∠ACB＝∠D，∴sin ∠ACB＝sin D，∴AB＝BC·sin ∠ACB＝6×＝.
7. 如图，在一个4×4的正方形网格中，点A，B，C为☉O上三点，且点A，B，O均在网格格点上，则cos∠ACB的值为（ ）
第7题图
A. B. C. D. 1
7. B 【解析】如解图，连接OA，OB，由题意可得∠AOB＝90°，∴∠ACB＝∠AOB＝45°，∴cos ∠ACB＝cos 45°＝.
第7题解图
8. 某几何体由若干个相同大小的小正方体组成，其主视图与俯视图如图所示，则组成该几何体的小正方体最少有（ ）
A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个
第8题图
8. B 【解析】结合俯视图和主视图，这个几何体的底层最少有5个小正方体，第二层最少有1个小正方体，第三层最少有1个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最少有5＋1＋1＝7（个）.
如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，cos B＝，tan C＝，AB＝2，则 sin∠ADB的值为（ ）
第9题图
A. B. C. D.
9. C 【解析】如解图，过点A作AE⊥BC于点E，∴∠AEB＝∠AEC＝ 90°，∵在Rt△AEB 中，cos B＝＝，AB＝2，∴∠B＝60°，BE＝1，AE＝AB·sin B＝，∵在 Rt△AEC中，tan C＝＝，∴EC＝＝＝5，∴BC＝BE＋EC＝6，∵AD为BC边上的中线，∴BD＝CD＝3，ED＝2.在Rt△AED 中，根据勾股定理，可得AD＝＝，∴sin ∠ADB＝＝＝.
第9题解图
10. 如图，周末小王从家（点A）出发，沿正东方向行驶了10 km后到达景点B，游玩后再从景点B出发，沿北偏东45°方向行驶到景点C，此时导航显示小王家在景点C的南偏西60°方向上，则景点B到景点C的距离是（ ）
第10题图
A. （5＋5） km
B. （5＋5） km
C. （5＋10） km
D. （5＋5） km
10. D 【解析】如解图，过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，则∠CDA＝90°，由题意得∠ACD＝60°，∠CBD＝90°－45°＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD＝BD，∴BC＝CD，设CD＝BD＝x km，则BC＝x km，在Rt△ACD中，tan ∠ACD＝＝tan 60°＝，∴AD＝CD＝x km，∵AD＝BD＋AB，∴x＝x＋10，解得x＝5＋5，∴x＝×（5＋5）＝5＋5，即BC＝（5＋5）km.
第10题解图
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若α是锐角，cos α＝，则sin （90°－α）＝ .
11. 【解析】∵α与90°－α互余，∴sin （90°－α）＝cos α＝.
12. 如图，是某物体在太阳光照射下（一天中三个不同时刻）落在地面上的影子，将下图按时间先后顺序进行排列为 .（按序号排列）
①
②
③
第12题图
12. ③①②
13. 如图，是一个几何体的三视图，已知其俯视图为正方形，则这个几何体的体积为 cm3.
第13题图
13. 320 【解析】由三视图可得该几何体是一个长方体，∵俯视图为正方形，根据主视图可得正方形对角线长为8 cm，长方体的高为10 cm，∴该几何体的体积为8×8×10＝320（cm3）.
(跨学科情境物理光的反射)如图，AB是平面镜，光线CO的入射角为α，反射角为β（入射角等于反射角），CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B.若CA＝4，DB＝6，AB＝12，则tan β的值为 .
第14题图
14. 【解析】如解图，由题意得OP⊥AB，∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴∠CAO＝∠DBO ＝90°，OP∥CA∥ DB， ∴α＝∠C， β＝∠D，∵α＝β， ∴∠C＝∠D，∴△CAO∽△DBO，∴＝，∵CA＝4，DB＝6，AB＝12，AO ＝12－BO，∴＝，解得 BO＝，∵β＝∠D，∴tan β＝tan D＝＝.
第14题解图
15. 如图，小明用10个相似的直角三角形设计了一个类似海螺的图案，且较小的锐角顶点与点O重合.若OA＝1，则OF的长为 .（结果保留1位小数.参考数据：sin5 36°≈0.07，cos5 36°≈0.35，tan5 36°≈0.20）
第15题图
15. 2.9 【解析】∵题图中10个直角三角形相似，∴直角三角形中较小的锐角都相等，∴360°÷10＝36°，即直角三角形中较小的锐角均为36°.在Rt△OAB中，cos ∠AOB＝＝cos 36°，同理可得＝cos 36°，＝cos 36°，＝cos 36°，＝cos 36°，∴＝××××＝cos5 36°≈0.35，∵OA＝1，∴OF＝≈2.9.
三、解答题（共8小题，共75分.）
16. （6分）计算：（1）sin 60°＋cos2 45°－sin 30°·tan 60°；
（2）tan 30°－－｜－2｜.
16. 解：（1）原式＝＋（）2－×
＝＋－
＝； （3分）
（2）原式＝×－－2
＝1－（－2）－2
＝3－2. （3分）
17. （9分）如图是由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体，请在指定的网格里画出这个几何体的三视图.
第17题图
17. 解：画三视图如解图. （9分）
第17题解图
18. （9分）如图，☉O的直径AB与弦CD相交于点E，已知☉O的半径为5，BC＝6，求cos ∠CDB的值.
第18题图
18. 解：如解图，连接AC，
∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝2×5＝10，BC＝6，
∴AC＝＝8，
∴cos ∠CAB＝＝＝，
∵∠CDB与∠CAB为所对应的圆周角，
∴∠CDB＝∠CAB，
∴cos∠CDB＝. （9分）
第18题解图
19. （9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，tan B＝，D是BC边的中点，连接AD，过点D作DE⊥AB 于点E.
（1）求AC的长；
（2）求cos ∠BDE的值.
第19题图
19. 解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，BC＝10，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝5，
∵tan B＝＝＝，
∴AD＝12，
∴AC＝AB＝＝13； （4分）
（2）∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠BAD＋∠ADE＝∠ADE＋∠BDE＝90°，
∴∠BAD＝∠BDE，
∴cos∠BDE＝cos∠BAD＝＝. （9分）
20. （9分）(日常生活情境 牛奶盒拆解)如图，是壮壮将牛奶盒沿缝隙拆开得到的表面展开图及测量的相关数据.
（1）求该牛奶盒的容积（牛奶盒厚度不计）；
（2）已知阴影部分为粘贴角料，壮壮查询资料了解到每个牛奶盒粘贴角料的面积占牛奶盒表面积的，则制作一个牛奶盒所需要纸板的面积是多少？
第20题图
20. 解：（1）由题图可知，该牛奶盒的长为6 cm，且高＋宽＝14 cm，高＋长＝16 cm，
∴牛奶盒的高为16－6＝10 （cm），宽为14－10＝4 （cm），
∴解牛奶盒的容积为6×4×10＝240 （cm3）； （4分）
（2）由（1）可知牛奶盒的长，宽，高分别为6 cm，4 cm，10 cm，
∴该牛奶盒的表面积S＝2×（4×6＋4×10＋6×10）＝248（cm2），
∴粘贴角料的面积S阴影部分＝×248＝31（cm2），
故制作一个牛奶盒所需要纸板的面积S＝248＋31＝279 （cm2）. （9分）
21. （9分）如图，某防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固，经测量其坝高8米，背水坡的坡角为45°，防洪指挥部专家组经调查制定了如下加固方案：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i＝1∶2.求加固后坝底增加的宽度AF的长.
第21题图
21. 解：如解图，分别过点E，D作 EG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，
∴DH∥EG，
∵四边形 ABCD 是梯形，且AB∥CD，
∴DH＝EG＝8米，四边形 EGHD 是矩形，
∴ED＝GH＝2米，
在Rt△ADH中，AH＝＝8米，
在Rt△FGE中，i＝1∶2＝，
∴FG＝2EG＝16米，
∴AF＝FG＋GH－AH＝16＋2－8＝10（米），
答：加固后坝底增加的宽度AF为10米. （9分）
22. （12分）锐角的三角函数值随着锐角的变化而变化，试探索锐角度数与其正弦值的变化规律.
如图，已知BD是∠ABC内一条射线，P是BD上一点，过点P作PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，记∠ABD＝α，∠CBD＝β.
（1）如图①，当α＝β时，比较大小：PE PF，sin α sin β；（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）如图②，当α＞ β时，通过测量判断PE，PF的大小，并比较sin α和sin β的大小；
（3）比较下列正弦值和余弦值的大小：sin 10°，cos 40°，sin 70°，cos 85°.（用“＜”连接）
图①
图②
第22题图
22. 解：（1）＝，＝； （3分）
【解法提示】∵α＝β，∴BD是∠ABC的平分线，又∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴PE＝PF，∵sin α＝，sin β＝，∴sin α＝sin β.
（2）测量可得PE＞PF，
∵sin α＝，sin β＝，
∴sin α＞sin β； （7分）
（3）∵cos 40°＝sin 50°，cos 85°＝sin 5°，
由（1），（2）可知，当α＞ β时，sin α＞sin β，
∴sin 5°＜sin 10°＜sin 50°＜sin 70°，
∴cos 85°＜sin 10°＜cos 40°＜sin 70°. （12分）
23. （12分）（项目式学习·测量银杏树的高度）银杏树是被誉为“活化石”的古老树种，具有极高的观赏价值.某校数学社团的同学们想要利用所学的知识测量一棵银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表：
课题 测量银杏树（AB）的高度
测量工具 测角仪、卷尺等
测量小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 示意图
说明 点C，D在点B的正西方向 GH是银杏树旁的房屋 EF是银杏树正西方向的塔，借助EF进行测量，使P，E，A三点在一条直线上，点P，F在点B的正西方向
测量数据 ∠C＝37°， ∠ADB＝45°， CD＝12 m ∠AGE＝37°， ∠BGE＝45° EF＝9 m， ∠P＝37°， ∠AFB＝45°
（1）第 小组的数据无法算出银杏树的高度；
（2）请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树的高度；（结果精确到1 m.参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
（3）在测量方案实施过程中，为减少测量误差，小组成员应注意的事项有哪些？（写出两条即可）
23. 解：（1）二； （3分）
（2）选择第一小组的测量数据.
∵∠ABD＝90°，∠ADB＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
设AB＝x m，则BD＝AB＝x m，BC＝BD＋CD＝（x＋12）m，
在Rt△ABC 中，tan C＝＝，
∵∠C＝37°，
∴≈0.75，
解得x≈36，
经检验，x≈36是所列方程的解，且符合实际，
答：银杏树的高度约为36 m； （10分）
选择第三小组的测量数据.
∵∠ABF＝90°，∠AFB＝45°，
∴△ABF为等腰直角三角形，AB＝BF，
∵EF＝9 m，∠P＝37°，EF⊥BP，
在Rt△EPF 中，PF＝ ≈＝12（m），
在Rt△APB中，＝＝tan 37°≈0.75，即≈0.75，
解得AB≈36，
答：银杏树AB的高度约为36 m； （10分）
（任选一种即可）
（3）①测量距离时，卷尺要拉直；②测量角度时，测角仪与地面保持垂直状态.（答案不唯一） （12分）
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人教九下数学第二十八、二十九章检测卷
时间：90分钟 满分：120分
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，BC＝1，则sin A的值为（ ）
A. B. 4 C. D.
2. (传统文化情境 青铜鼎)如图，是内蒙古自治区出土的青铜鼎，其主视图为（ ）
第2题图
3. 在△ABC中，∠A＝50°，cos B＝，则∠C的度数是（ ）
A. 30° B. 60° C. 70° D. 100°
4. 下列各种现象中属于中心投影的是（ ）
A. 早上升旗时旗杆的影子
B. 早上人走在路上的影子
C. 中午用来乘凉的树影
D. 晚上人走在路灯下的影子
5. 如图，是某运动员进行跳伞运动时的示意图，运动员在点A处打开降落伞，此时显示距离地面高度AC为800 m，且点A看地面降落区中心点B的俯角为α，则此时降落伞到降落区中心的水平距离BC为（ ）
第5题图
A. m B. 800tan α m C. m D. 800sin α m
6. 如图，已知在Rt△ABC和Rt△CDE中，点B，C，E在同一直线上，∠A＝∠E＝∠ACD＝90°.若sin D＝，CD＝5，BE＝9，则AB的长为（ ）
第6题图
A. B. C. D. 6
7. 如图，在一个4×4的正方形网格中，点A，B，C为☉O上三点，且点A，B，O均在网格格点上，则cos∠ACB的值为（ ）
第7题图
A. B. C. D. 1
8. 某几何体由若干个相同大小的小正方体组成，其主视图与俯视图如图所示，则组成该几何体的小正方体最少有（ ）
A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个
第8题图
如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，cos B＝，tan C＝，AB＝2，则 sin∠ADB的值为（ ）
第9题图
A. B. C. D.
10. 如图，周末小王从家（点A）出发，沿正东方向行驶了10 km后到达景点B，游玩后再从景点B出发，沿北偏东45°方向行驶到景点C，此时导航显示小王家在景点C的南偏西60°方向上，则景点B到景点C的距离是（ ）
第10题图
A. （5＋5） km
B. （5＋5） km
C. （5＋10） km
D. （5＋5） km
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若α是锐角，cos α＝，则sin （90°－α）＝ .
12. 如图，是某物体在太阳光照射下（一天中三个不同时刻）落在地面上的影子，将下图按时间先后顺序进行排列为 .（按序号排列）
①
②
③
第12题图
13. 如图，是一个几何体的三视图，已知其俯视图为正方形，则这个几何体的体积为 cm3.
第13题图
(跨学科情境物理光的反射)如图，AB是平面镜，光线CO的入射角为α，反射角为β（入射角等于反射角），CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B.若CA＝4，DB＝6，AB＝12，则tan β的值为 .
第14题图
15. 如图，小明用10个相似的直角三角形设计了一个类似海螺的图案，且较小的锐角顶点与点O重合.若OA＝1，则OF的长为 .（结果保留1位小数.参考数据：sin5 36°≈0.07，cos5 36°≈0.35，tan5 36°≈0.20）
第15题图
三、解答题（共8小题，共75分.）
16. （6分）计算：（1）sin 60°＋cos2 45°－sin 30°·tan 60°；
（2）tan 30°－－｜－2｜.
17. （9分）如图是由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体，请在指定的网格里画出这个几何体的三视图.
第17题图
18. （9分）如图，☉O的直径AB与弦CD相交于点E，已知☉O的半径为5，BC＝6，求cos ∠CDB的值.
第18题图
19. （9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，tan B＝，D是BC边的中点，连接AD，过点D作DE⊥AB 于点E.
（1）求AC的长；
（2）求cos ∠BDE的值.
第19题图
20. （9分）(日常生活情境 牛奶盒拆解)如图，是壮壮将牛奶盒沿缝隙拆开得到的表面展开图及测量的相关数据.
（1）求该牛奶盒的容积（牛奶盒厚度不计）；
（2）已知阴影部分为粘贴角料，壮壮查询资料了解到每个牛奶盒粘贴角料的面积占牛奶盒表面积的，则制作一个牛奶盒所需要纸板的面积是多少？
第20题图
21. （9分）如图，某防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固，经测量其坝高8米，背水坡的坡角为45°，防洪指挥部专家组经调查制定了如下加固方案：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i＝1∶2.求加固后坝底增加的宽度AF的长.
第21题图
22. （12分）锐角的三角函数值随着锐角的变化而变化，试探索锐角度数与其正弦值的变化规律.
如图，已知BD是∠ABC内一条射线，P是BD上一点，过点P作PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，记∠ABD＝α，∠CBD＝β.
（1）如图①，当α＝β时，比较大小：PE PF，sin α sin β；（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）如图②，当α＞ β时，通过测量判断PE，PF的大小，并比较sin α和sin β的大小；
（3）比较下列正弦值和余弦值的大小：sin 10°，cos 40°，sin 70°，cos 85°.（用“＜”连接）
图①
图②
第22题图
23. （12分）（项目式学习·测量银杏树的高度）银杏树是被誉为“活化石”的古老树种，具有极高的观赏价值.某校数学社团的同学们想要利用所学的知识测量一棵银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表：
课题 测量银杏树（AB）的高度
测量工具 测角仪、卷尺等
测量小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 示意图
说明 点C，D在点B的正西方向 GH是银杏树旁的房屋 EF是银杏树正西方向的塔，借助EF进行测量，使P，E，A三点在一条直线上，点P，F在点B的正西方向
测量数据 ∠C＝37°， ∠ADB＝45°， CD＝12 m ∠AGE＝37°， ∠BGE＝45° EF＝9 m， ∠P＝37°， ∠AFB＝45°
（1）第 小组的数据无法算出银杏树的高度；
（2）请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树的高度；（结果精确到1 m.参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
（3）在测量方案实施过程中，为减少测量误差，小组成员应注意的事项有哪些？（写出两条即可）
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