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人教九下数学第二十七章检测卷
时间：90分钟 满分：120分
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 已知＝，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
1. C 【解析】∵＝，∴＝＋1＝.
2. 已知两个相似多边形的面积比为4∶1，则它们的周长比为（ ）
A. 1∶2 B. 2∶1 C. 4∶1 D. 16∶1
2. B
3. 如图，AD，BC交于点O，连接AB，CD，添加下列条件，可以得到△AOB∽△DOC的是（ ）
第3题图
A. ∠A＝∠D B.＝ C. ＝ D. AB＝CD
3. A
4. 如图，已知a，b，c三条直线相互平行，且分别交直线m，n于点B，C，E，A，D，F，直线m，n相交于点H，下列结论中错误的是（ ）
第4题图
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
4. D 【解析】已知直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点B，C，E，A，D，F，∴＝，＝，＝，＝，∴选项A、B、C正确，不符合题意；选项D错误，符合题意.
5. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接DE，点F在CD上，过点F作FG⊥DE，垂足为G，则的值为（ ）
第5题图
A. B. 2 C. D.
5. A 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＋∠FDG＝90°，∵E为AB的中点，∴AE＝AB，∵FG⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠FDG＋∠GFD＝90°，∴∠ADE＝∠GFD，∴△ADE∽△GFD，∴＝，即＝＝.
6. 如图是一个正六边形ABCDEF.该正六边形经过某种方式变化得到六边形A'B'C'D'E'F'，则下列方式可使正六边形ABCDEF∽六边形A'B'C'D'E'F'的是 （ ）
第6题图
A. 线段BC，EF增加相等的长度
B. 将∠A的度数减少
C. 剪掉任意一个角
D. 将正六边形ABCDEF的各边放大2倍
6. D
7. 如图，在△ABC中，AB＝10，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，若BD＝2CD，四边形AEDF为菱形，则菱形的边长为（ ）
第7题图
A.3 B. C. 6 D.
7. B 【解析】∵四边形AEDF为菱形，∴DF∥AB，∴△CFD∽△CAB，∴＝＝，∴DF＝.
在如图所示的网格中，以D为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点是（ ）
第8题图
A. 点E B. 点F C. 点G D. 点H
8. B 【解析】如解图，连接AD，∵点F在线段AD上，且AF＝AD，∴点A的对应点为点F.
第8题解图
9. 传统文化情境 计里画方我国古代在用“计里画方”的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和记照板来测量距离.在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板内芯的高度EF为10 cm，EF∥AB.观测者的眼睛C与BF在同一水平线上，若BF＝90 cm，CF＝30 cm，则AB的高度为（ ）
第9题图
A. 30 cm B. 35 cm C. 40 cm D. 45 cm
9. C 【解析】由题意可知，EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴＝.∵EF＝10 cm，BF＝90 cm，CF＝30 cm，∴BC＝120 cm，∴＝，解得AB＝40 cm，∴AB的高度为40 cm.
10. 如图，在Rt△ABC内，画有边长分别为a，b的两个正方形，则线段BC的长为（ ）
第10题图
A. a2＋b B.
C. D. 2a2b
10. C 【解析】如解图，由题可得∠ACB＝∠BDE＝∠DEF＝∠EFG＝90°，∴∠BED＋∠DBE＝90°，∠BED＋∠FEG＝90°，∴∠DBE＝∠FEG，∴△BDE∽△EFG，∴＝，即＝，∴BC＝.
第10题解图
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 如图，Rt△ABC与Rt△DEF .（填“相似”或“不相似”）
第11题图
11. 相似
如图，已知△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2∶3，B'D'，BD分别为△A'B'C'，△ABC的中线，则B'D'∶BD＝ .
第12题图
12. 2∶3
13. (日常生活情境 跷跷板)如图①是一款跷跷板，图②为其示意图，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，OM＝30 cm，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 cm.
图①
图②
第13题图
13. 60 【解析】如解图，过点B作BN⊥CD交CD于N，∵OM⊥CD，∴BN∥OM，∴△AOM∽△ABN，∴＝，∵OM＝30 cm，AO＝OB，∴＝，∴BN＝60 cm，∴另一端B离地面的高度为60 cm.
第13题解图
14. 如图，在 ABCD中，E为AD边上一点，延长DC至点F，连接AF，EF，∠AFE＝∠B，若AF＝10，AE＝8，△AEF的面积为6，则△AFD的面积为 .
第14题图
14. 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠B＝∠D，又∴∠AFE＝∠B，∴∠AFE＝∠D，又∵∠EAF＝∠FAD，∴△EAF∽△FAD，∴相似比为＝，∴S△AEF∶S△AFD＝16∶25，∴△AFD的面积为.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝12，M为边AB上一点，且AM＝2BM，N为边BC上一动点，当MN与△ABC的一条边垂直时，MN的长为 .
第15题图
15. 4或 【解析】由题意得，BM＝AB＝5，在Rt△ABC中，BC＝＝＝9，分两种情况：①如解图①，当MN⊥BC时，∵MN∥AC，∴△BMN∽△BAC，∴＝，即＝，解得MN＝4；②如解图②，当MN⊥AB时，易知△BMN∽△BCA，∴＝，即＝，解得MN＝.综上所述，MN的长为4或.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （6分）如图，四边形ABCD∽四边形GFEH，∠A＝70°，∠E＝120°，DC＝6，HE＝4，HG＝5.求∠G，∠C的大小和AD的长.
第16题图
16. 解：∵四边形ABCD∽四边形GFEH，
∴∠G＝∠A＝70°，∠C＝∠E＝120°，＝， （4分）
即＝，解得AD＝. （6分）
17. （9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）.
（1）请以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2∶1；
（2）点B1的坐标为 .
第17题图
17. 解：（1）如解图，△A1B1C1即为所作； （4分）
第17题解图
（2）（－4，－6）. （9分）
18. （9分）（综合与实践·设计测量方案）数学小组接到任务：测量学校里一棵树DE的高度.
【测量工具】一把皮尺，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）.
数学小组利用皮尺测量，求出了树DE的高度，测量及求解过程如下：
【测量过程】
（1）用皮尺测得树DE与其正前面的墙MF之间的距离为2米；
（2）发现树DE的一部分树影GF落在墙MF上，用皮尺测得GF高0.8米；
（3）同一时刻用皮尺测得一位身高为1.6米的同学（AB）影长BC为1米，并得到图①.
【问题解决】
（1）把求解树DE高度的过程补充完整.
解：根据题意，得AC∥DG，AB⊥BF，DE⊥BF，
∴AB∥DE，∠GDE＝∠CAB.
如图②，过点G作GH⊥DE于点H，
…
（2）数学小组仅利用皮尺，通过4次测量，就求得树DE的高度，其中用到了相似三角形的 .
图①
图②
第18题图
18. 解：（1）根据题意，得AC∥DG，AB⊥BF，DE⊥BF，
∴AB∥DE，∠GDE＝∠CAB.
如题图②，过点G作GH⊥DE于点H，
则∠DHG＝∠ABC＝90°，GH＝EF＝2米，HE＝GF＝0.8米， （3分）
∵∠DHG＝∠ABC＝90°，∠GDH＝∠CAB，
∴△ABC∽△DHG，
∴＝，即＝，解得DH＝3.2米，
∴DE＝DH＋HE＝3.2＋0.8＝4（米）.
答：树DE的高度为4米； （6分）
（2）判定与性质. （9分）
19. （9分）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，AB＝4，E，F分别为边AD，BC上的点，连接EF，BF＝3，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'，A'B'交AD于点G，连接B'C，且点A'，B'，C在同一条直线上.求线段GD的长.
第19题图
19. 解：在矩形ABCD中，BC＝8，AB＝4，∠ABC＝∠GDC＝90°，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8， （3分）
∴CF＝BC－BF＝5，由折叠的性质，得A'B'＝AB＝4，B'F＝BF＝3，
∠A'B'F＝∠B＝90°，
∵点A'，B'，C在同一条直线上，
∴∠CB'F＝180°－90°＝90°， （4分）
在Rt△CFB'中，B'C＝＝4，
∴A'C＝B'C＋A'B'＝8，
∵AD∥BC，
∴∠FCB'＝∠CGD，
又∠CB'F＝∠GDC＝90°，
∴△GCD∽△CFB'， （7分）
∴＝，即＝，
解得GD＝. （9分）
20. （9分）如图，在四边形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，AC，BE＝2DE，CE⊥BD，∠BAE＝∠EBC＝∠CAD.
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）求证：AE∥CD.
第20题图
20. 证明：（1）∵∠BAE＝∠EBC＝∠CAD，
∴∠EAD＝∠BAC， （2分）
∵∠AED＝∠ABE＋∠BAE，∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，
∴∠AED＝∠ABC，
∴△AED∽△ABC； （4分）
（2）由（1）知△AED∽△ABC，∴＝＝，
如解图，取BE的中点F，连接CF， （5分）
∵BE＝2DE，
∴BF＝EF＝DE，
∴＝，即＝. （6分）
∵∠BAE＝∠CBF，
∴△ABE∽△BCF，
∴∠ABE＝∠BCF，
∴∠BAE＋∠ABE＝∠CBF＋∠BCF，即∠AED＝∠CFD. （8分）
∵CE⊥DF，
∴CE垂直平分DF，
∴CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF，
∴∠AED＝∠CDF，
∴AE∥CD. （9分）
第20题解图
21. （9分）（综合与实践·探究黄金三角形）数学活动课上，同学们以“黄金三角形”为主题开展探究活动.
【查阅资料】在等腰三角形中，若底与腰的比是，则这个三角形是黄金三角形.
【动手操作】如图①是老师展示的一张邮票，同学们发现邮票中五角星的五个角都是36°，并制作了相同形状的五角星，如图②所示，已知∠A的度数为36°，且AD＝AB＝1，于是猜测△ABD是黄金三角形.
【解决问题】
（1）∠CBD＝ °；
（2）求证：△ABD是黄金三角形.
图①
图②
第21题图
21. （1）解：36； （4分）
【解法提示】∵∠A＝36°，AB＝AD，∴∠ADB＝（180°－∠A）＝72°，又∵∠ADB＝∠C＋∠CBD，∠C＝36°，∴∠CBD＝∠ADB－∠C＝36°.
（2）证明：∵∠A＝∠C＝∠CBD＝36°，
∴AB＝BC＝1，BD＝DC，
∴△BDC∽△ABC，
∴＝. （6分）
设BD＝x，则AC＝1＋x，
∴＝，整理得x2＋x－1＝0，
解得x1＝，x2＝（不符合题意，舍去），
∴＝＝＝，
∴△ABD是黄金三角形. （9分）
22. （12分）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为边BC，AB上的动点（点D不与点B，C重合），连接AD，DE，且∠ADE＝60°.
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）设BD长为x，BE长为y，求y关于x的函数表达式.
第22题图
22. （1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BDE＋∠BED＝120°， （2分）
∵∠ADE＝60°，
∴∠BDE＋∠CDA＝120°， （4分）
∴∠BED＝∠CDA，
∴△BDE∽△CAD； （5分）
（2）解：∵等边△ABC的边长为4，
∴AB＝AC＝BC＝4，
∵BD＝x，∴CD＝BC－BD＝4－x， （7分）
∵△BDE∽△CAD，
∴＝，
∵BE＝y，
∴＝， （10分）
∴y＝－ x2＋x（0＜x＜4）. （12分）
23. （12分）如图，在 ABCD中，E是边AB的中点，点F在边BC上，且CF＝4BF，EF与BD相交于点G，连接AF交BD于点H.
（1）求证：DG＝6BG；
（2）求的值.
第23题图
23. （1）证明：如解图①，延长FE交DA的延长线于点P，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∴DP∥BC，
∴∠PAE＝∠FBE.
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
在△APE和△BFE中，
∴△APE≌△BFE（ASA），
∴AP＝BF. （3分）
又∵AD＝BC，CF＝4BF，
∴＝.
∵DP∥BC，∴△BFG∽△DPG，
∴＝＝，∴DG＝6BG； （5分）
第23题解图①
（2）解：如解图②，过点E作EQ∥BD交AF于点Q，
由解图①得△BFG∽△DPG，△APE≌△BFE，
∴＝6，PE＝FE，
∴＝＝6，
∴＝，∴＝，即QH＝FH. （8分）
∵E为AB的中点，EQ∥BD，
∴＝＝1，即AQ＝QH＝FH，
∴＝＝. （12分）
第23题解图②
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人教九下数学第二十七章检测卷
时间：90分钟 满分：120分
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 已知＝，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
2. 已知两个相似多边形的面积比为4∶1，则它们的周长比为（ ）
A. 1∶2 B. 2∶1 C. 4∶1 D. 16∶1
3. 如图，AD，BC交于点O，连接AB，CD，添加下列条件，可以得到△AOB∽△DOC的是（ ）
第3题图
A. ∠A＝∠D B.＝ C. ＝ D. AB＝CD
4. 如图，已知a，b，c三条直线相互平行，且分别交直线m，n于点B，C，E，A，D，F，直线m，n相交于点H，下列结论中错误的是（ ）
第4题图
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
5. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接DE，点F在CD上，过点F作FG⊥DE，垂足为G，则的值为（ ）
第5题图
A. B. 2 C. D.
6. 如图是一个正六边形ABCDEF.该正六边形经过某种方式变化得到六边形A'B'C'D'E'F'，则下列方式可使正六边形ABCDEF∽六边形A'B'C'D'E'F'的是 （ ）
第6题图
A. 线段BC，EF增加相等的长度
B. 将∠A的度数减少
C. 剪掉任意一个角
D. 将正六边形ABCDEF的各边放大2倍
7. 如图，在△ABC中，AB＝10，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，若BD＝2CD，四边形AEDF为菱形，则菱形的边长为（ ）
第7题图
A.3 B. C. 6 D.
在如图所示的网格中，以D为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点是（ ）
第8题图
A. 点E B. 点F C. 点G D. 点H
9. 传统文化情境 计里画方我国古代在用“计里画方”的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和记照板来测量距离.在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板内芯的高度EF为10 cm，EF∥AB.观测者的眼睛C与BF在同一水平线上，若BF＝90 cm，CF＝30 cm，则AB的高度为（ ）
第9题图
A. 30 cm B. 35 cm C. 40 cm D. 45 cm
10. 如图，在Rt△ABC内，画有边长分别为a，b的两个正方形，则线段BC的长为（ ）
第10题图
A. a2＋b B.
C. D. 2a2b
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 如图，Rt△ABC与Rt△DEF .（填“相似”或“不相似”）
第11题图
如图，已知△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2∶3，B'D'，BD分别为△A'B'C'，△ABC的中线，则B'D'∶BD＝ .
第12题图
13. (日常生活情境 跷跷板)如图①是一款跷跷板，图②为其示意图，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，OM＝30 cm，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 cm.
图①
图②
第13题图
14. 如图，在 ABCD中，E为AD边上一点，延长DC至点F，连接AF，EF，∠AFE＝∠B，若AF＝10，AE＝8，△AEF的面积为6，则△AFD的面积为 .
第14题图
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝12，M为边AB上一点，且AM＝2BM，N为边BC上一动点，当MN与△ABC的一条边垂直时，MN的长为 .
第15题图
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （6分）如图，四边形ABCD∽四边形GFEH，∠A＝70°，∠E＝120°，DC＝6，HE＝4，HG＝5.求∠G，∠C的大小和AD的长.
第16题图
17. （9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）.
（1）请以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2∶1；
（2）点B1的坐标为 .
第17题图
18. （9分）（综合与实践·设计测量方案）数学小组接到任务：测量学校里一棵树DE的高度.
【测量工具】一把皮尺，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）.
数学小组利用皮尺测量，求出了树DE的高度，测量及求解过程如下：
【测量过程】
（1）用皮尺测得树DE与其正前面的墙MF之间的距离为2米；
（2）发现树DE的一部分树影GF落在墙MF上，用皮尺测得GF高0.8米；
（3）同一时刻用皮尺测得一位身高为1.6米的同学（AB）影长BC为1米，并得到图①.
【问题解决】
（1）把求解树DE高度的过程补充完整.
解：根据题意，得AC∥DG，AB⊥BF，DE⊥BF，
∴AB∥DE，∠GDE＝∠CAB.
如图②，过点G作GH⊥DE于点H，
…
（2）数学小组仅利用皮尺，通过4次测量，就求得树DE的高度，其中用到了相似三角形的 .
图①
图②
第18题图
19. （9分）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，AB＝4，E，F分别为边AD，BC上的点，连接EF，BF＝3，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'，A'B'交AD于点G，连接B'C，且点A'，B'，C在同一条直线上.求线段GD的长.
第19题图
20. （9分）如图，在四边形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，AC，BE＝2DE，CE⊥BD，∠BAE＝∠EBC＝∠CAD.
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）求证：AE∥CD.
第20题图
21. （9分）（综合与实践·探究黄金三角形）数学活动课上，同学们以“黄金三角形”为主题开展探究活动.
【查阅资料】在等腰三角形中，若底与腰的比是，则这个三角形是黄金三角形.
【动手操作】如图①是老师展示的一张邮票，同学们发现邮票中五角星的五个角都是36°，并制作了相同形状的五角星，如图②所示，已知∠A的度数为36°，且AD＝AB＝1，于是猜测△ABD是黄金三角形.
【解决问题】
（1）∠CBD＝ °；
（2）求证：△ABD是黄金三角形.
图①
图②
第21题图
22. （12分）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为边BC，AB上的动点（点D不与点B，C重合），连接AD，DE，且∠ADE＝60°.
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）设BD长为x，BE长为y，求y关于x的函数表达式.
第22题图
23. （12分）如图，在 ABCD中，E是边AB的中点，点F在边BC上，且CF＝4BF，EF与BD相交于点G，连接AF交BD于点H.
（1）求证：DG＝6BG；
（2）求的值.
第23题图
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