期末复习练习卷（含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册1

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期末复习练习卷2025-2026学年人教版数学九年级上册
一、选择题
1．一元二次方程的解为（　　）
A． B．，
C． D．无实数根
2．下列函数属于二次函数的是（　　）．
A． B．
C． D．
3．用配方法解方程时，方程的两边同时加上一个实数，使得方程左边配成一个完全平方式，则这个实数是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
4．将一元二次方程化为一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
5．如图，把绕点O顺时针旋转得到，则旋转角是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则的度数（　　）
A． B． C． D．
7．下列选项中的运动，属于旋转变换的是（　　）
A．升国旗的过程 B．摩天轮的转动
C．汽车刹车时的滑动 D．电梯的运行
8．已知的半径为2，直线上有一点．若，则直线与的位置关系是（　　）
A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切
9．从一个装有 6 个红球， 4 个蓝球， 2 个白球和 1 个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（ ）
A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球
10．某校艺术节的乒乓球比赛中，小明同学顺利进入决赛．有同学预测“小明夺冠的可能性是”，则对该同学的说法理解最合理的是（　　）
A．小明夺冠的可能性较大
B．小明夺冠的可能性较小
C．小明肯定会赢
D．若小明比赛10局，他一定会赢8局
11．若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切，切点为点D，如果∠A=35°，那么∠C=（　　）
A．20° B． C． D．50°
二、填空题
13．是关于x的一元二次方程的解，则.　 　．
14．已知二次函数. 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是　 　.
15．已知点A 和点B 关于原点对称， 则　 　．
16．一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为　 　．
17．已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是　 　．
18．如图，，是的切线，点，是切点，点是圆弧上一点，连结和．若，则的度数为　 　．
19．在不透明袋子里装有颜色不同的8个球，这些球除颜色外完全相同．每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.25，估计袋中白球有　 　个．
20．已知抛物线，回答下列问题：
（1）无论取何值，抛物线恒过定点　 　和　 　；
（2）当且抛物线的顶点位置最高时，抛物线经过两点，，满足，则的取值范围是　 　．
21．如图，四边形 内接于 ，则 的半径长为　 　.
三、解答题
22．解方程：（1） （2）
23．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当时，设方程的两根分别为，，求的值．
24．已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）判断点是否在二次函数图象上，并说明理由．
25．某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．若病毒得不到有效控制，经过三轮后共有多少台感染的电脑？
26．某商城双11促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．
（1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个12.8元的价格售出，求商城每次降价的百分率．
（2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？
27．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，且点，，在同一条直线上，连接．
（1）求的值；
（2）求的长．
28．如图，在 中， 。以 为直径的 交 于点 ，交 的延长线于点 ，连结 。
（1）求 的度数。
（2）若 ，求图中阴影部分的面积。
29．川北木偶、川北剪纸、高坪竹编是南充尤为出名的三项传统文化．学校九年级甲、乙两班各有5名同学特别熟悉这三项传统文化中的一项，具体如下表．
项目 川北木偶 川北剪纸 高坪竹编
甲班 2 2 1
乙班 1 2 2
（1）若从甲班5名同学中随机抽取一名，求抽到对川北木偶特别熟悉同学的概率．
（2）若从两班各5名同学中分别随机抽取一名，求都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的概率．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】先判断方程的类型，用直接开平方法求解，最后根据解判断选项.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A．是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意；
B．函数关系式不是整式，不是二次函数，故B不符合题意；
C．，是二次函数，故C符合题意；
D．函数关系式不是整式，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】
本题是二次函数定义的辨析题，属于基础题目．二次函数定义：形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，根据二次函数的定义逐项分析，选项A(一次函数)、选项B(反比例函数)、选项D(分段函数)均不符合．只有选项C符合二次函数的形式.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：，
∵一次项系数是-8，
∴x2-2x×4+42=3+42，
∴x2-8x+16=3+16，
故答案为：C.
【分析】根据方程两边都加上一次项系数一半的平方进行计算即可得出答案．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：，
∴
二次项系数为，一次项系数为．
故答案为：A．
【分析】先所有的项移到等号的左边，使等号的右边为0化成一元二次方程的一般形式，再确定二次项系数，一次项系数．
5．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，把绕点顺时针旋转得到，
旋转角是或，
故答案为：A．
【分析】根据旋转角的定义即可得出答案。
6．【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意，把绕点顺时针旋转，得到，
由旋转的性质，可得，，
，
，
．
故答案为：D．
【分析】
根据旋转的性质得到，，再利用直角三角形的两锐角互余计算可得，由此即可解答．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：A、 升旗的过程属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意；
B、 摩天轮的转动属于旋转，故该选项符合题意；
C、 汽车刹车时的滑动属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意；
D、电梯的运行属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题.
故答案为：B ．
【分析】旋转不会改变图形的形状、大小，只会改变图形的位置及方向；平移只会改变图形的位置，不会改变图形的形状、大小及方向，据此逐一判断得出答案.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于2．
此时和半径2的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能．
故答案为：D．
【分析】根据圆心到直线的距离和半径的的大小关系即可得出 直线与的位置关系是 相交或相切 。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵所有的球中黑球最少，
∴摸出黑球的可能性最小，
故答案为： D.
【分析】找到个数最少的球即可确定正确的选项.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意，有人预测小明夺冠的可能性是，结合概率的意义，
A、小明夺冠的可能性较大，
∴此选项符合题意；
B、小明夺冠的可能性较大，
∴此选项不符合题意；
C、小明赢的可能性较大，
∴此选项不符合题意；
D、若小明比赛10局，他可能会赢8局，
∴此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据概率的意义分别对各选项进行判断即可求解．
11．【答案】B
【解析】【解答】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为 ，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴其顶点也向右平移2个单位，再向上平移3个单位.
根据根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加.
∴平移后，新图象的顶点坐标是 .
∴所得抛物线的表达式为 .
故答案为：B.
【分析】先求出函数y=x2的图象的顶点坐标为 ，再根据点的坐标平移规律找出平移后新图象的顶点坐标， 由于二次函数的平移不改变二次项系数，所以平移后的二次函数二次项系数a=1，将它们代入顶点式解析式即可。
12．【答案】A
【解析】【解答】解：连接BD，
AB是O的直径，则
故答案为：A.
【分析】连接BD，AB是O的直径，根据定理可知 由弦切角定理知， 从而利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求
13．【答案】-2
【解析】【解答】解：把代入方程得：，所以，
所以
故答案为：.
【分析】
根据解的定义把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算的值，即可解答．
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵ 二次函数的图象与x轴有交点，
∴，即1-4×2(k-2)≥0，
解得，
故答案为：.
【分析】根据题意得到，然后代入计算即可.
15．【答案】
16．【答案】
【解析】【解答】解：一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，
从布袋里任意摸出1个球，摸出的球是红球的概率．
故答案为：．
【分析】根据概率公式可得：概率等于所求情况数与总情况数之比，结合已知即可求解．
17．【答案】2或6
【解析】【解答】解：由抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点，
得或6．
故答案为：2或6．
【分析】
由抛物线的平移规律知，把抛物线向左平移了m个单位长度可得到抛物线，则点也是A或B在水平方向上平移得到的，再利用点的平移规律计算即可．
18．【答案】
【解析】【解答】解：连接，
∵、是的两条切线，切点分别为，
∴，
，
，
在四边形中，
．
故答案为：．
【分析】由圆的切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，然后用圆周角定理可得∠BOC=2∠D，再根据四边形内角和等于360°即可求解．
19．【答案】2
【解析】【解答】解：设袋中白球有个，
根据题意得：＝0.25，
解得：＝2，
故袋中白球有2个，
故答案为：2.
【分析】根据概率的公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，结合题意计算即可求解。
20．【答案】；；或
【解析】【解答】解：（1）根据题意，，
令，则或，
当时，，
当时，，
无论取何值，抛物线恒过定点，，
故答案为：，；
（2）由题意，先将抛物线化为顶点式：
，
顶点纵坐标为，
展开．
因为时，，
，当且仅当时等号成立，
，对于，
有，
当且仅当，即时等号成立．
此时顶点纵坐标最大，
抛物线为，
其对称轴为．
当时，随的增大而增大．
已知抛物线经过，且，
因为关于对称轴的对称点为，
所以或．
故答案为：或．
【分析】（1）根据题意由，令得到或，故当时，；当时，，从而得到无论取何值，抛物线恒过定点；
（2） 当m<0时，抛物线开口向下，顶点位置最高意味着顶点的纵坐标最大 ，将抛物线的解析式配成顶点式得出其顶点的纵坐标值，根据“时，，则，当且仅当时等号成立”可得m=4时顶点纵坐标最大，将m=4代入原抛物线的解析式求出其对称轴直线为x=1，然后求出点(2，y1)关于直线x=1的对称点，再根据抛物线的增减性解答即可.
21．【答案】
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，连接CO并延长交圆O于点F，连接AF，如图所示：
则∠ACE=90°
∵∠BAC =45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，AC=EC，∠E=45°，
∴∠CAD=∠E =45°，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠D=∠CBE，
在△CAD和△CBE中，∠D=∠CBE，∠CAD=∠E，AC =EC，
∴△CAD≌△CBE(AAS)，
∴AD=BE.
∵AB+AD =6，
∴AE=AB+BE=AB+AD=6，
在Rt△ACE中，AC =EC，
由勾股定理得：AE=，
∴AC=AE=×6=，
∵CF是圆O的直径，
∴∠CAF =90°，
在Rt△CAF中，∠F=∠ABC=60°，
∴∠ACF=30°，
∴AF=CF，
由勾股定理得：CF2-AF2=AC2，即CF2-（CF）2=（）2，
解得CF=2
∴圆O的半径长为。
故答案为：。
【分析】本题构造出等腰直角三角形ACE之后，利用AAS证明出△CAD≌△CBE，从而得出AD=BE；然后利用条件中的AB+AD =6进行替换，可以求出AE的长度，然后利用勾股定理求出AC的长度，并利用30度锐角对应的直角边是斜边的一半以及勾股定理即可求出圆的直径CF的长度，半径即可求出。
22．【答案】（1），；（2），
23．【答案】（1）
（2）
24．【答案】（1）解：设抛物线的顶点式为
将点代入得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
∴点在这条抛物线的图象上．
【解析】【分析】(1)由抛物线的顶点坐标是(1，2)，可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2，再把(0，0)代入解析式求出a即可；
(2)当x=2时求出y的值即可判断.
25．【答案】1000台
【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这（x+1)台电脑又感染给了x(1+x）台电脑，等量关
系：经过两轮感染后就会有100台电脑被感染；用前两轮感染的电脑的台数乘以每轮传染的台数即可得到总数。
【详解】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑。
根据题意，得(1+x) =100,
解，得x=9或-11(不合题意，应舍去)·
所以经过三轮后共有100×9+100=1000
答：经过三轮后共有1000台感染的电脑。
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染，是解决此题的关键。
26．【答案】（1）解：设商城每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：商城每次降价的百分率为；
（2）解：设每个商品应降价元，则平均每天可售出个，
则利润：，
整理得：，
每个商品的售价不低于进价，
，解得：，
当时，获得利润最大，最大为250元，
此时每个商品的定价为（元），
答：要想获得最大利润，每个商品的定价为19元，最大利润是250元．
【解析】【分析】
（1）设商城每次降价的百分率为，利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解方程即可解答；
（2）设每个商品应降价元，则平均每天可售出个，利用销售利润（售价进价）销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合要想获得最大利润，即可得出每个商品的定价，从而求得最大利润，解答即可．
（1）解：设商城每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：商城每次降价的百分率为；
（2）解：设每个商品应降价元，则平均每天可售出个，
则利润：，
整理得：，
每个商品的售价不低于进价，
，解得：，
当时，获得利润最大，最大为250元，
此时每个商品的定价为（元），
答：要想获得最大利润，每个商品的定价为19元，最大利润是250元．
27．【答案】（1）
（2）
28．【答案】（1）解： 为直径，
（2）解：作 ，垂足为 ．则 ．
．而 ，
是等边三角形．
．
阴影部分的面积
【解析】【分析】(1)先求出∠AEC的度数，再得出∠DEC的度数；
(2)求出扇形COD的面积和△COD的面积，即可得到阴影部分的面积.
29．【答案】（1）解：由题意可得，从从甲班5名同学中随机抽取一名，一共有5种等可能的结果，其中抽到对川北木偶特别熟悉同学的结果有种，
∴抽到对川北木偶特别熟悉同学的概率为.
（2）解：分别用A、B、C表示川北木偶、川北剪纸、高坪竹编，
列表如下：
甲 乙 A A B B C
A
B
B
C
C
由表格可知，从两班各5名同学中分别随机抽取一名，共有25种等可能出现的结果，其中都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的情况有4种，
都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的概率．
【解析】【分析】（1）从从甲班5名同学中随机抽取一名，一共有5种等可能的结果，其中抽到对川北木偶特别熟悉同学的结果有2种，从而接利用概率公式计算概率即可；
（2）根据题意，用表格列举出所有等可能的情况数， 由表格可知，从两班各5名同学中分别随机抽取一名，共有25种等可能出现的结果，其中都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的情况有4种， 然后利用概率公式计算概率即可．
（1）解：由题意可得，从从甲班5名同学中随机抽取一名，一共有5种等可能的结果，其中抽到对川北木偶特别熟悉同学的结果有种，
∴抽到对川北木偶特别熟悉同学的概率为
（2）解：分别用A、B、C表示川北木偶、川北剪纸、高坪竹编，
列表如下：
甲 乙 A A B B C
A
B
B
C
C
由表格可知，从两班各5名同学中分别随机抽取一名，共有25种等可能出现的结果，其中都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的情况有4种，
都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的概率．
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