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人教版2025—2026学年八年级上册期末冲刺全能夺冠测评卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八上·慈溪期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
2．（2024八上·河北期末）是的角平分线，若，，则点到距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·余姚期末）下列命题中是真命题的是（ ）
A．等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线
B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．有一个角对应相等的两个等腰三角形全等
4．（2024八上·临海期末）的运算结果是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2024八上·邵阳期末）北京市高级别自动驾驶示范区今年将启动阶段建设，某区计划修建一条自动驾驶车道，在实际施工中，由于增加了施工人员，每天可以比原计划多修建50米，现在完成2500米与原计划完成2000米所用时间相同，设原计划每天修建车道x米，根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024八上·雨花期末）下列等式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·宽城期末） 若一个三角形的三条边长分别为3，2a-1，6，则整数a的值可能是（ ）
A．2，3 B．3，4 C．2，3，4 D．3，4，5
8．（2023八上·十堰期末）如图，在中，，，的面积为12，于点，直线垂直平分交于点，交于点，是线段上的一个动点，分别连接，，则的周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
9．（2023八上·正定期末）当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2015
10．（2024八上·顺德期末）如图，，、、分别平分、、．以下结论，其中正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·安州期末）若，，则的值是 ．
12．（2024八上·宁乡市期末）如图，是直线上一点，，平分，交于点，，于点，则 ．
13．（2024八上·白城期末）若是完全平方式，则 ．
14．（2023八上·潮南期末）分解因式： ．
15．（2024八上·红花岗期末）已知时，多项式的值为，则 ．
16．（2025八上·萧山期末）如图，，点边上，，，点是边上的点，若使点构成等腰三角形的点恰好有三个，则的取值范围是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·广汉期末）因式分解：
（1）
（2）
18．（2024八上·临海期末）计算：
（1）；
（2）．
19．（2024八上·榆阳期末）如图，，点是的延长线上的一点，交于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
20．（2024八上·义乌期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E， 的垂直平分线分别交于点F、G．
（1）若，求的周长．
（2）若，求的度数．
21．（2025八上·遵义期末）从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）根据图2长方形的面积与图1中阴影部分的面积相等可以验证的等式是 ．
（2）小明根据以上操作去计算时发现只需要在前面乘一个即可得到：，请根据以上规律计算： （直接写出结果即可）．
（3）运用以上规律计算．
22．（2024八上·道县期末）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
23．（2025八上·望城期末）甲、乙两个工程队共同参与一项修路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的，这时增加了乙队，两个队又共同工作了半个月，总工程全部完成．设乙队单独施工一个月能够完成总工程的．
（1）甲队半个月完成总工程的多少？
（2）甲、乙两个工程队半个月一起可以完成总工程的多少？
（3）甲、乙两个工程队哪个队的施工速度快？
24．（2024八上·长沙期末）设是关于的代数式，如果当时，代数式，则称A是“优美式”，例如：，当时，，故是“优美式”，根据约定，回答以下问题：
（1）下列关于的代数式是“优美式”的有____________．
①；②；③．
（2）设实数满足．问：关于的代数式是否为“优美式”？若是，请证明它；若不是，请说明理由．
（3）已知关于的代数式是“优美式”且，求的值．
25．（2024八上·广水期末）在平面直角坐标系中，等腰中，，，，．
（1）如图，若，求的面积；
（2）如图，与轴交于点，与轴交于点，连接，，求证：；
（3）如图，在的条件下，若以为直角顶点，为腰作等腰，连接，求证：．
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人教版2025—2026学年八年级上册期末冲刺全能夺冠测评卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八上·慈溪期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】解：露出的角是钝角，因此是钝角三角形，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形进行判断即可.
2．（2024八上·河北期末）是的角平分线，若，，则点到距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
如图，作DH⊥AC于H
∵AD是的角平分线，DB⊥AB，DH⊥AC
∴BD=DH
又∵BD=3
∴DH=3
即点D到AC距离为3
故答案为：A.
【分析】作DH⊥AC于H，利用角平分线的性质得BD=DH=3，即可得出答案。
3．（2024八上·余姚期末）下列命题中是真命题的是（ ）
A．等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线
B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．有一个角对应相等的两个等腰三角形全等
【答案】A
【解析】【解答】解：A、等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线（三线合一），A正确；
B、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，B错误；
C、等腰三角形可能是锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，C错误；
D、有一个角对应相等的两个等腰三角形不一定全等，D错误；
故答案为：A.
【分析】根据等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定逐一判断即可.
4．（2024八上·临海期末）的运算结果是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】本题直接根据单项式除以单项式的法则进行计算即可.
5．（2024八上·邵阳期末）北京市高级别自动驾驶示范区今年将启动阶段建设，某区计划修建一条自动驾驶车道，在实际施工中，由于增加了施工人员，每天可以比原计划多修建50米，现在完成2500米与原计划完成2000米所用时间相同，设原计划每天修建车道x米，根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： 设原计划每天修建车道x米， 则实际每天修建车道（x+5）米，根据题意，得：
.
故答案为：C。
【分析】 设原计划每天修建车道x米， 则实际每天修建车道（x+5）米，根据现在完成2500米与原计划完成2000米所用时间相同， 即可得出方程。
6．（2024八上·雨花期末）下列等式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A：不符合分式的基本性质，所以A不正确；
B：符合分式的性质，分式的分子分母都除以一个不等于零的数，分式的大小不变，所以B正确；
C：不符合分式的性质，所以C不正确；
D：不符合分式的符号法则，所以D不正确。
故答案为：B。
【分析】根据分式的基本性质，分别进行判断即可得出答案。
7．（2024八上·宽城期末） 若一个三角形的三条边长分别为3，2a-1，6，则整数a的值可能是（ ）
A．2，3 B．3，4 C．2，3，4 D．3，4，5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 三角形的三条边长分别为3，2a-1，6，
∴，
解得，2＜a＜5，
∴整数a的值可能是3，4.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的三边关系可得不等式组，解不等组求得a的取值范围，即可求解.
8．（2023八上·十堰期末）如图，在中，，，的面积为12，于点，直线垂直平分交于点，交于点，是线段上的一个动点，分别连接，，则的周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
【答案】B
【解析】【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴点C是点B关于EF的对称点，
∴线段CD是PD+PB的最小值，
∵，于点，
∴的面积 ==，
∴CD=4，
∵AB=AC，
∴BD=，
∴的周长的最小值是：CD+BD=4+3=7。
故答案为：B.
【分析】首先根据垂直平分线的性质得出点C是点B关于EF的对称点，然后再根据轴对称的性质得出线段CD是PD+PB的最小值，从而得出的周长的最小值是：CD+BD，然后根据三角形的面积和等腰三角形的性质可分别求得CD与BD的长，即可得出答案。
9．（2023八上·正定期末）当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2015
【答案】A
【解析】【解答】解：设a为负整数．
∵当x=a时，分式的值= ，当x= 时，分式的值= = ，
∴当x=a时与当x= 时两分式的和= + =0．
∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0．
∴所得结果的和= =﹣1．
故答案为：A．
【分析】算几个特殊值，可观察出规律，最中间的x=0时，值为-1，其他项合并为0.
10．（2024八上·顺德期末）如图，，、、分别平分、、．以下结论，其中正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠CAE=2∠EAD=2∠DAC，
∵∠EAC是△ABC的一个外角，
∴∠EAC=∠ABC+∠ACB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠EAC=2∠ABC=2∠ACB，
∴∠EAD=∠DAC=∠ACB=∠ABC，
∵∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，①正确；
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴，②正确；
∵CD平分∠ACF，
∴，
∵∠ACF是△ABC的一个外角，
∴∠BAC=∠ACF-∠ABC，
∵∠DCF是△DCB的一个外角，
∴，
∴∠BAC=2∠BDC，③正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠ABC=2∠ABD，∠DAC=∠ABC，
∴∠DAC=2∠ABD，
∵∠ADC+∠ACD+∠DAC=180°，
∴2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°，④正确；
∴以上结论，其中正确的是①②③④，；
故答案为：D.
【分析】根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠CAE=2∠EAD=2∠DAC，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠EAC=2∠ABC=2∠ACB，推得∠EAD=∠DAC=∠ACB=∠ABC，根据同位角相等，两直线平行即可得出AD∥BC，判断①正确，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBC，根据角平分线的等于可得，推得，判断②正确，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BAC=∠ACF-∠ABC，，即∠BAC=2∠BDC，判断③正确，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADC=∠DCF，推得∠ACD=∠ADC，∠DAC=2∠ABD，根据三角形内角和是180°可得2∠ADC+2∠ABD=180°，即∠ADC+∠ABD=90°，判断④正确，即可得出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·安州期末）若，，则的值是 ．
【答案】36
【解析】【解答】解：，，
，
的值是36.
故答案为：36.
【分析】根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方将变形为，再把，代入计算即可.
12．（2024八上·宁乡市期末）如图，是直线上一点，，平分，交于点，，于点，则 ．
【答案】5
【解析】【解答】过点M作MH⊥BC于点H，如图所示：
∵PO平分∠AOC，
∴∠POC=∠POM，
∵PM//BC，
∴∠MPO=∠POC，
∴∠MPO=∠POM，
∴MO=MP=10cm，
∵∠MOH=30°，∠OHM=90°，
∴MH=MO=5cm，
∵PM//BC，PD⊥BC，MH⊥BC，
∴PD=MH=5cm，
故答案为：5cm.
【分析】过点M作MH⊥BC于点H，利用角平分线的定义及平行线的性质可得∠MPO=∠POM，再利用等角对等边的性质可得MO=MP=10cm，再利用含30°角的直角三角形的性质可得MH=MO=5cm，最后求出PD=MH=5cm即可.
13．（2024八上·白城期末）若是完全平方式，则 ．
【答案】或7
【解析】【解答】解：由于
故2(m-3)=±8，
解得m=-1或m=7.
故答案为：-1或7.
【分析】本题考查的是完全平方式，这里首末两项是x和4的平方，那么中间项为加上或减去×和4的乘积的2倍，故2(m-3）=士8，解得m的值即可得出答案。
14．（2023八上·潮南期末）分解因式： ．
【答案】
【解析】【解答】解：12x2-12xy+3y2=3（4x2-4xy+y2）=3（2x-y）2，
故答案为：3（2x-y）2.
【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式分解因式．
15．（2024八上·红花岗期末）已知时，多项式的值为，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵时，多项式的值为，
∴，
∴
即
∴
即，
又∵
∴
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】把代入得到，可以求出，，，然后代入计算即可．
16．（2025八上·萧山期末）如图，，点边上，，，点是边上的点，若使点构成等腰三角形的点恰好有三个，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
当时，
∴点构成等腰三角形的点恰好有四个；
当时，如图，
∴点构成等腰三角形的点恰好有一个；
当时，如图，
∴点构成等腰三角形的点恰好有三个；
当时，如图，
∴点构成等腰三角形的点恰好有两个；
当时，如图，
∴点构成等腰三角形的点只有一个，
综上所述： 若使点构成等腰三角形的点恰好有三个，则的取值范围是．
故答案为：．
【分析】根据图形找出临界位置进行讨论即可得出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·广汉期末）因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【解析】【分析】（1）观察多项式，有公因式的先提公因式，然后考虑公式法，看能否应用完全平方公式或平方差公式，能进一步分解的要分解到不能再分解为止；
（2）公因式不明显，像a-1和1-a互为相反数，a-1=-（1-a），掌握这种小技巧提取公因式；利用平方差公式分解到无法再分。
18．（2024八上·临海期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂和零次幂的计算法则得出结果，相加即可。
（2）根据完全平方公式和单项式和多项式的乘法进行化简即可。
19．（2024八上·榆阳期末）如图，，点是的延长线上的一点，交于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得，等量代换得出，根据平行线的判断可得 ；
（2）由平行线的性质可得，由三角形内角和定理求出，，最后由角的和差运算，计算求解即可．
20．（2024八上·义乌期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E， 的垂直平分线分别交于点F、G．
（1）若，求的周长．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，
∴的周长
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，然后利用三角形的周长公式解答即可；
（2）根据三角形内角和定理得到，然后根据等边对等角得到，再利用角的和差解题即可．
（1）解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，
∴的周长；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．（2025八上·遵义期末）从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）根据图2长方形的面积与图1中阴影部分的面积相等可以验证的等式是 ．
（2）小明根据以上操作去计算时发现只需要在前面乘一个即可得到：，请根据以上规律计算： （直接写出结果即可）．
（3）运用以上规律计算．
【答案】（1）
（2）
（3）解：原式，
，
，
，
，
．
【解析】【解答】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，
可以验证的等式是，
故答案为：；
（2）解：原式，
，
，
，
，
故答案为：；
【分析】(1)本题考察平方差公式的几何验证，解题通过计算两个图形的面积并建立等式。图1中阴影部分的面积是大正方形面积减去小正方形面积，即；图2中长方形的长为、宽为，面积为；由于两个图形的阴影部分面积相等，因此验证了平方差公式。
(2)本题考察平方差公式的连续应用，式子中缺少项，无法直接应用平方差公式，因此先乘以（值为1，不改变原式大小）；依次应用平方差公式：，，……，，最终得到结果。(3)本题考察平方差公式的实际应用，借鉴(2)的规律，式子缺少项，因此先乘以（即）；连续应用平方差公式逐步化简：，，……，，最终得到结果。
（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，
可以验证的等式是，
故答案为：；
（2）解：原式，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：原式，
，
，
，
，
．
22．（2024八上·道县期末）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
【答案】（1）解：相等．理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则即可求出答案.
（2）根据角平分线性质可得，则，再根据全等三角形性质即可求出答案.
23．（2025八上·望城期末）甲、乙两个工程队共同参与一项修路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的，这时增加了乙队，两个队又共同工作了半个月，总工程全部完成．设乙队单独施工一个月能够完成总工程的．
（1）甲队半个月完成总工程的多少？
（2）甲、乙两个工程队半个月一起可以完成总工程的多少？
（3）甲、乙两个工程队哪个队的施工速度快？
【答案】（1）解：∵甲队单独施工一个月完成总工程的，
∴甲队半个月完成总工程的×=，
答：甲队半个月完成总工程的.
（2）解：∵ 甲队单独施工一个月完成总工程的 ， 乙队单独施工一个月能够完成总工程的 ，
∴甲、乙两个工程队半个月一起可以完成总工程的=，
答：甲、乙两个工程队半个月一起可以完成总工程的.
（3）解：根据题意，结合（1）（2）可知：+=1，
解得：x=1，
经检验，是原分式方程的解，
∵＜1，
∴乙队的施工速度快，
答：乙队的施工速度快.
【解析】【分析】(1)根据题意计算甲队半个月完成总工程即可；
(2)根据题意计算甲、乙两个工程队半个月一起可以完成总工程即可；
(3)根据题意结合（1）（2）列出分式方程求解，再比较两队的施工速度即可．
（1）解：甲队单独施工一个月完成总工程的，
甲队半个月完成总工程的；
（2）解：设乙队单独施工一个月能够完成总工程的，
乙队半个月能够完成总工的，
甲、乙两个工程队半个月一起可以完成总工程的；
（3）解：根据题意得，
，解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
乙队的施工速度快．
24．（2024八上·长沙期末）设是关于的代数式，如果当时，代数式，则称A是“优美式”，例如：，当时，，故是“优美式”，根据约定，回答以下问题：
（1）下列关于的代数式是“优美式”的有____________．
①；②；③．
（2）设实数满足．问：关于的代数式是否为“优美式”？若是，请证明它；若不是，请说明理由．
（3）已知关于的代数式是“优美式”且，求的值．
【答案】（1）②
（2）解：是“优美式”，
理由：
=
=
=
=
∵，
∴，
即，
∴当x=1时，，
∴是“优美式”.
（3）解：根据题意可知，当x=1时，=，
∴，
∴t≠0，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
整理，得：-4m=-74
解得： .
【解析】【解答】解：（1）当x=1时，①，≠0，①不是“优美式”，
②，②是“优美式”，
③，-3≠0，③不是“优美式”，
故答案为：②；
【分析】（1）根据“优美式”的定义把逐一代入计算即可；
（2）对已知等式进行变形整理求得，根据平方数的非负性得出，即可得出结论；
（3）根据新定义得出，结合知，即，代入得=5得出-4m=-74，即可求得答案.
（1）解：当时：
①；
②；
③．
∴②是优美式．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴是“优美式”．
（3）解：∵关于的代数式是“优美式”，
∴，
∴，可知，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．（2024八上·广水期末）在平面直角坐标系中，等腰中，，，，．
（1）如图，若，求的面积；
（2）如图，与轴交于点，与轴交于点，连接，，求证：；
（3）如图，在的条件下，若以为直角顶点，为腰作等腰，连接，求证：．
【答案】（1）解：，
，，
解得，，，
，，
，，
的面积；
（2）证明：作平分交于点，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
（3）证明：作平分交于点，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
【解析】【分析】（1）由非负性求出a、b值，即得A、B坐标，从而得出OA、OB的长，再利用三角形的面积公式计算即可；
（2）作平分交于点，先用ASA证≌，得CE=AF，再用SAS证≌，利用全等三角形的对应角相等即得结论；
（3）作平分交于点，先用ASA证≌，得CE=AF，再用SAS证≌，利用全等三角形的对应角相等即得结论.
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