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人教版2025—2026学年九年级上册期末模拟真题通关卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·云南期末）如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
2．（2024九上·剑阁期末）已知二次函数，当时，的最小值为－4，则的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
3．（2024九上·盘州期末）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的试验最有可能是
试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上
B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是5
C．在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“剪刀”
D．将一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃
4．（2024九上·威宁期末）一个三角形的两边长是2和6，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．15 B．11 C．11或15 D．无法确定
5．（2024九上·惠东期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，点，点．则经画图操作可知：的外接的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·金湾期末）二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值，如表格给出了以下结论：
0 1 2 3 4
5 0 0 5
①二次函数有最小值，最小值为；
②当时，；
③二次函数的图象与轴有两个交点，且它们分别在轴的两侧；
④当时，随的增大而减小.则其中正确结论有（ ）.
A．②④ B．③④ C．②③④ D．①②③④
7．（2024九上·乌鲁木齐期末）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．16（1﹣x）2＝9 B．16（1﹣x2）＝9
C．9（1﹣x）2＝16 D．9（1+x2）＝16
8．（2024九上·河东期末）已知点，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·永善期末）三角形两边的长分别是6和8，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24 B．24或 C．48或 D．
10．（2024九上·拱墅期末）如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，且，OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，当DE=OD时，的大小不可能为( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·昭阳期末）在边长为2的正方形中有一个最大的圆，向此正方形中任意丢一粒大米，“大米落在圆内”的概率为 ．
12．（2024九上·岳阳期末）二次函数y＝x2-2x+m与x轴的一个交点为（-1，0），则关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的解为 ；
13．（2024九上·黔江期末）已知实数m，n满足等式m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，那么求的值是 ．
14．（2024九上·江津期末）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），则不等式ax2＞bx+c的解集是 .
15．（2024九上·沙坪坝期末）如图，在矩形中，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交边于点E，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
16．（2025九上·凉州期末）如图，内接于，为直径，作交于点，延长，交于点，过点作的切线，交于点．如果，，则的长为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·河东期末）解下列方程：
（1）；
（2）.
18．（2025九上·湖州期末）为更好保护，传承和发扬浙江美食文化，“味美浙江 百县千碗”2024全省非遗美食挑战赛中，湖州多道美食上榜．例如：“练市羊肉”，“吴均汤包”，“鲜菱虾茸”，“南浔定胜糕”
（1）小红想从以上这4道美食中随机选择1道品尝，则他选中“吴均汤包”的概率为 ；
（2）湖州某中学拟从这4道美食中选择2道作为美食节特色菜肴，若用分别表示“练市羊肉”，“吴均汤包”，“鲜菱虾茸”，“南浔定胜糕”，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中“练市羊肉”，“吴均汤包”的概率．
19．（2024九上·大安期末）如图，点o是等边△ABC内一点，∠BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，
（1）求证： △COD是等边三角形。
（2）当a= 150°时，OB=4， OC=3，求0A的长。
20．（2024九上·永康期末）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
销售单价x（元） … 60 65 70 …
周销量y（盒） … 240 210 180 …
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？
（3）若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润？
21．（2024九上·献县期末）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．
（1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．
22．（2024九上·岳阳期末）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶．
（1）每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是 元（用含x的代数式表示）；
（2）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是 ；
（3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？
23．（2024九上·东莞期末）如图，正方形ABCD的边长为5，点E为正方形CD边上一动点，过点B作BP⊥AE于点P，将AP绕点A逆时针旋转90°得AP'，连接P'D．
（1）求证：PB＝P'D；
（2）若DF＝1，求线段AP的长度．
24．（2024九上·红塔期末）如图，是的外接圆，是的直径，点是延长线上一点，连接，交于点，点在上，．
（1）试判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，求的半径．
25．（2024九上·定州期末）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
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人教版2025—2026学年九年级上册期末模拟真题通关卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·云南期末）如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【解析】【解答】解：连接，如图：
为直径，且，，
，
在中，，根据勾股定理得：
，
，
，
故答案为：C
【分析】连接，根据垂径定理可得，再根据勾股定理可得OD=5，则AO=DO=5，再根据边之间的关系即可求出答案.
2．（2024九上·剑阁期末）已知二次函数，当时，的最小值为－4，则的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
【答案】D
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为：直线，
当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大，
当时，取得最小值，
，
；
当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小，
当时，取得最小值，
，
．
故答案为：D
【分析】先求出二次函数的对称轴，进而根据二次函数图象与性质结合二次函数最值分类讨论：当时，当时，从而即可求解。
3．（2024九上·盘州期末）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的试验最有可能是
试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上
B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是5
C．在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“剪刀”
D．将一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃
【答案】C
【解析】【解答】根据表格中的数据可得概率最接近0.333约等于，
A、∵掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率是≠，∴A不符合题意；
B、∵掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是5的概率是≠，∴B不符合题意；
C、∵在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“剪刀”的概率是，∴C符合题意；
D、∵将一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃的概率是≠，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】先根据表格中的数据可得概率最接近0.333约等于，再分别求出各项中的概率并比较即可.
4．（2024九上·威宁期末）一个三角形的两边长是2和6，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．15 B．11 C．11或15 D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】∵方程为，
∴（x-3）（x-7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的两边长是2和6，
∴三角形的第三边长长范围为4<第三边<8，
∴第三边长只能是7，
∴三角形的周长=2+6+7=15，
故答案为：A.
【分析】先求出一元二次方程的解，再利用三角形三边的关系求出第三边的长，最后利用三角形的周长公式求解即可.
5．（2024九上·惠东期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，点，点．则经画图操作可知：的外接的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
如图所示，EF与MN的交点O'即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案为：A
【分析】先三角形的外心结合题意得到△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，再根据作图-垂直平分线结合题意得到EF与MN的交点O'即为所求的△ABC的外心，从而读出点的坐标即可求解。
6．（2024九上·金湾期末）二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值，如表格给出了以下结论：
0 1 2 3 4
5 0 0 5
①二次函数有最小值，最小值为；
②当时，；
③二次函数的图象与轴有两个交点，且它们分别在轴的两侧；
④当时，随的增大而减小.则其中正确结论有（ ）.
A．②④ B．③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【解析】【解答】解：由表可知， 二次函数有最小值，最小值为-4，①错误
当时，，②正确
二次函数的图象与轴有两个交点，且它们分别在轴的两侧，③正确
当时，随的增大而减小，④正确
故答案为：C
【分析】根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
7．（2024九上·乌鲁木齐期末）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．16（1﹣x）2＝9 B．16（1﹣x2）＝9
C．9（1﹣x）2＝16 D．9（1+x2）＝16
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：A.
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格×(1-降价的百分率)，则第一次降价后的价格是16(1-x)，二次后的价格是，据此即可列方程。
8．（2024九上·河东期末）已知点，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
抛物线的对称轴是直线，开口向上，
当时，随的增大而减小，
，
，
故答案为：C．
【分析】利用二次函数的解析式确定抛物线的增减性，再利用增减性判定即可．
9．（2023九上·永善期末）三角形两边的长分别是6和8，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24 B．24或 C．48或 D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 三角形第三边的长是一元二次方程的一个实数根
∴ 解方程，得x1=10，x2=6
∵ 三角形两边的长分别是6和8，
∴ 三角形的三边为6，8，10或6，6，8
（1）当三角形三边为6，8，10，则此时三角形为直角三角形， 该三角形的面积是=24；
（2）当三角形三边为6，6，8，则此时三角形为等腰三角形，
则高为， 该三角形的面积是；
综上，该三角形的面积是24或；
故答案为B
【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题关键。 解方程，得x1=10，x2=6；则 三角形的三边为6，8，10或6，6，8，分别计算面积即可。
10．（2024九上·拱墅期末）如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，且，OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，当DE=OD时，的大小不可能为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OC，
①如图，OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E，
设∠OCE=x，
∵OC=OD，
∴∠OCE=∠D=x，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∵DE=OD，
∴∠DOE=∠DEO=∠EOC＋∠OCE=∠OAC+∠OCA＋∠OCE=30°+x+30°=60°+x
在△ODE中，2（60°+x）+x=180°
解得：x=20°．
∴∠OCE的大小为20°；
②如图，
设∠OEC=x，
∵DE=OD，
∴∠EOD=∠E=x，
∵DO=CO，
∴∠ODC=∠OCD=∠EOD+∠E=2x，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠EOC=2∠A=60°，
∴在△OCE中，x+60°+2x=180°，
解得：x=40°，
∴∠OCE=2x=80°；
（3）如图，
设∠ACE=x，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=30°+x，
∵OD=DE，
∴
∵∠E＋∠ACE=∠OAC，
即：
解得x=10°，
∴∠OCE=30°+x=40°．
综上：∠OCE的大小为：20°、40°、80°．
故答案为：C.
【分析】分三种情况求解即可：①当点D与点C在直径AB的异侧时；②当点D在劣弧BC上时；③当点D在劣弧AC上时.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·昭阳期末）在边长为2的正方形中有一个最大的圆，向此正方形中任意丢一粒大米，“大米落在圆内”的概率为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得，圆的面积为：， 正方形面积为：，
故随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率是：．
故答案为：．
【分析】先求出圆的面积，再利用圆的面积除以正方形面积求出概率．
12．（2024九上·岳阳期末）二次函数y＝x2-2x+m与x轴的一个交点为（-1，0），则关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的解为 ；
【答案】x1=-1，x2=3
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴是
∴关于的对称点为
一元二次方程的解为，
故答案为：，．
【分析】先根据二次函数的对称性得到关于的对称点为，进而根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解。
13．（2024九上·黔江期末）已知实数m，n满足等式m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，那么求的值是 ．
【答案】2或﹣6
【解析】【解答】解：∵实数m，n满足等式m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，
∴m、n是方程x2+2x-1=0的两根，
∴m+n=-2，mn=-1，
当m=n时，
∴原式=1+1=2，
故答案为：2或-6．
【分析】先说明m、n是方程x2+2x-1=0的两根，再利用根据根与系数的关系求解.
14．（2024九上·江津期末）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），则不等式ax2＞bx+c的解集是 .
【答案】x＜-2或x＞1
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，
∴二次函数图象在一次函数图象上方时，即不等式的解集为：或．
故答案为：或．
【分析】根据图形抛物线与直线的两个交点情况并结合“两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1）”，不等式的解集为图象在图象的上方对应的自变量的取值范围，即或。
15．（2024九上·沙坪坝期末）如图，在矩形中，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交边于点E，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
【答案】
【解析】【解答】解：在矩形中，，，
，
，
在中，根据勾股定理得，
，
，
，
，
，
，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质并结合题意可得，在中，再运用勾股定理可得=2，进而可得，最后根据矩形及扇形面积公式，用计算矩形的面积减去扇形的面积即可求解。
16．（2025九上·凉州期末）如图，内接于，为直径，作交于点，延长，交于点，过点作的切线，交于点．如果，，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据切线性质可得，根据补角可得，再根据圆周角的定理可得，则，根据角之间的关系可得，根据等边对等角可得，则，再根据角之间的关系可得，则，根据等角对等边可得，根据勾股定理可得OE，根据角之间的关系可得，再根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得OD，再根据勾股定理即可求出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·河东期末）解下列方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：，
，
，
，，
【解析】【分析】（1）根据因式分解法解方程。把方程的左边用十字相乘法分解因式；
（2）根据公式法解方程．一元二次方程的求根公式是： 。
18．（2025九上·湖州期末）为更好保护，传承和发扬浙江美食文化，“味美浙江 百县千碗”2024全省非遗美食挑战赛中，湖州多道美食上榜．例如：“练市羊肉”，“吴均汤包”，“鲜菱虾茸”，“南浔定胜糕”
（1）小红想从以上这4道美食中随机选择1道品尝，则他选中“吴均汤包”的概率为 ；
（2）湖州某中学拟从这4道美食中选择2道作为美食节特色菜肴，若用分别表示“练市羊肉”，“吴均汤包”，“鲜菱虾茸”，“南浔定胜糕”，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中“练市羊肉”，“吴均汤包”的概率．
【答案】（1）
（2）解：画出树状图如下：
所有等可能结果有12种，其中恰好选中“练市羊肉”，“吴均汤包”的可能结果有2种，
∴恰好选中“练市羊肉”，“吴均汤包”的概率为：．
【解析】【解答】解：小红想从以上这4道美食中随机选择1道品尝，则他选中“吴均汤包”的概率为；
故答案为：.
【分析】(1)直接用概率计算公式求出即可；
(2)先画出树状图或列表，得到所有可能结果数及恰好选中“练市羊肉““吴均汤包“的结果数，即可求得概率.
19．（2024九上·大安期末）如图，点o是等边△ABC内一点，∠BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，
（1）求证： △COD是等边三角形。
（2）当a= 150°时，OB=4， OC=3，求0A的长。
【答案】（1）证明：∵将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形
（2）解：∵将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△ADC，
∴ △BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=3，
又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，OD=OC=4，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，∴
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质可得CO=CD，∠OCD=60°，再利用有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形的判定方法求解即可；
（2）先利用全等三角形的性质可得∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=3，再结合OD=OC=4，∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，最后利用勾股定理求出OA的长即可.
20．（2024九上·永康期末）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
销售单价x（元） … 60 65 70 …
周销量y（盒） … 240 210 180 …
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？
（3）若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润？
【答案】（1）解：根据满足一次函数关系，设，
把，和，代入，得
，
解得，
所以y关于x的函数关系式为．
（2）解：设每周出售糕点所获利润为w元
，
当时w的最大值为5400．
所以，当销售单价为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元．
（3）解：由（2）可知，销售利润w与售价x之间关系为，
该二次函数图象开口向下，且对称轴为，
所以当时，，
因此该商店每周至少可获得3000元利润．
【解析】【分析】
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据利润=每盒利润×数量可得利润是关于售价x的二次函数，由于二次项系数为负，则利润有最大值，再利用二次函数的性质求出这个最大值即可；
（3）结合（2）所求函数解析式，利用二次函数的性质求出在自变量的取值范围内对应的利润的最小值即可．
（1）解：设，把，和，代入，得
，
解得，
所以y关于x的函数关系式为．
（2）解：设每周出售糕点所获利润为w元
，
当时w的最大值为5400．
所以，当销售单价为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元．
（3）解：由（2）可知，销售利润w与售价x之间关系为，
该二次函数图象开口向下，且对称轴为，
所以当时，，
因此该商店每周至少可获得3000元利润．
21．（2024九上·献县期末）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．
（1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．
【答案】（1）解：∵∠BOD＝2∠DEB，∠DEB＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OC＝r 2，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r 2）2＋42＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径长为5．
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理结合题意得到∠BOD＝60°，进而根据垂径定理结合弧与弦长的关系即可求解；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r 2，再根据勾股定理即可求解。
22．（2024九上·岳阳期末）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶．
（1）每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是 元（用含x的代数式表示）；
（2）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是 ；
（3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？
【答案】（1）
（2）
（3）解：根据题意得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：每顶头盔应降价20元．
【解析】【解答】解：（1）进价为每顶40元，售价为每顶68元，每顶头盔降价x元 ，
每顶头盔的利润为：68-40-x=28-x（元）.
故答案为：（28-x）.
（2）每周的销售量.
故答案为：.
【分析】（1）根据利润=售价-进价，列出代数式即可；
（2）根据每周的销售量=原本销售量+多售出的销售量，列出y与x之间的函数关系式，化简即可；
（3）根据总利润=单个利润×销售量，列出关于x的一元二次方程，解出x的值，再结合每顶售价不高于58元，即可得到每顶头盔应降的价格.
23．（2024九上·东莞期末）如图，正方形ABCD的边长为5，点E为正方形CD边上一动点，过点B作BP⊥AE于点P，将AP绕点A逆时针旋转90°得AP'，连接P'D．
（1）求证：PB＝P'D；
（2）若DF＝1，求线段AP的长度．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵将AP绕点A逆时针旋转90°得AP'，
∴AP＝AP'，∠PAP'＝90°，
∴∠BAP＝∠DAP'＝90°﹣∠PAD，
在△ABP和△ADP'中，
，
∴△ABP≌△ADP'（SAS），
∴PB＝P'D．
（2）解：∵BP⊥AE于点P，
∴∠APB＝∠APF＝90°，
∵△ABP≌△ADP'，
∴∠P'＝∠APB＝90°，
∵∠PAP'＝90°，
∴四边形APFP'是矩形，
∵AP＝AP'，
∴四边形APFP'是正方形，
∴AP＝AP'＝P'F，
∵AD＝5，DF＝1，
∴P'D＝P'F+DF＝AP+1，
∵AP'2+P'D2＝AD2，
∴AP2+（AP+1）2＝52，
解得AP＝3或AP＝﹣4（不符合题意，舍去），
∴线段AP的长度为3．
【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，可得AB＝AD，∠BAD＝90°，由旋转得AP＝AP'，∠PAP'＝90°，进而可得∠BAP＝∠DAP'＝90°﹣∠PAD，再证明△ABP≌△ADP'（SAS），PB＝P'D；
（2）根据BP⊥AE于点P，可知∠APB＝∠APF＝90°，再由△ABP≌△ADP'，可知∠P'＝∠APB＝90°，结合AP＝AP，可证明四边形APFP'是正方形，则AP＝AP'＝P'F，P'D＝P'F+DF＝AP+1，由勾股定理得，求得AP＝3．
24．（2024九上·红塔期末）如图，是的外接圆，是的直径，点是延长线上一点，连接，交于点，点在上，．
（1）试判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）解：直线与相切，
证明：如图，连接．
∵是的直径，∴．
∵点是延长线上一点，
∴，∴．
∵，∴．
∵，∴，
∴，∴，∴．
∵是的半径，∴直线与相切．
（2）解：如图，连接．
∵，．
∵是的直径，∴．
∵，∴，∴
在Rt中，，
设，则，
∴，
∴在Rt中，，即，解得：，
∴，∴的半径为
【解析】【分析】（1）连接OC，先利用角的运算求出即可得到，再结合是的半径， 即可得到 直线与相切；
（2）连接AE， 设，则， 利用勾股定理可得，即，解得：， 再求出，最后求出的半径为 即可.
25．（2024九上·定州期末）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【答案】（1）解：当时，，
，
将和代入，得：，
解得，
；
（2）解：由抛物线的对称性可得，
，
，
，
矩形的周长为，
，
当时，矩形的周长有最大值，最大值为；
（3）解：如图，
当时，点A，B，C，D的坐标分别为，，，，
∴矩形对角线的交点P的坐标为，
∵直线平分矩形的面积，
∴点P是和的中点，
∴，
∵，
∴线段平移后得到的线段是，线段的中点Q平移后的对应点是P，
由平移知，，
∴是的中位线，
∴，
即抛物线向右平移的距离是4个单位．
【解析】【分析】本题考查二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，平移变换的性质.（1）将和代入可列出方程组，解方程组可求出a和b的值，据此可求出 抛物线的函数表达式；
（2）由抛物线的对称性可得，进而可得，再根据，利用矩形的周长计算公式可用含t的式子表示出矩形的周长，再利用二次函数的性质可求出矩形的周长有最大值，进而可求出答案；
（3）由可求出点A，B，C，D及矩形对角线交点P的坐标，根据直线平分矩形的面积，可得直线必过点P，根据知线段平移后得到的线段是，由线段的中点Q平移后的对应点是P，据此可得：，利用三角形的中位线定义可得：是的中位线，据此可得：，进而可求出抛物线平移的距离．
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