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浙教版2025—2026学年七年级上册期末命题趋势预测卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七上·路桥期末）下面是小宇和小祥的对话：
小宇：小祥，你之前提到的运动手环买了没？小祥：没，它的售价比我的预算多呢！小宇：这种运动手环现在打6折呢！小祥：太好了，这样比我的预算还要少16元！
设小祥买运动手环的预算为元，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七上·永年期末） 小马虎在做作业， 不小心将方程 中的一个常数污染了. 怎么办 他翻开书后的答案，发现方程的解是 。请问这个被污染的常数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024七上·八步期末）如图，已知C是线段的中点，D是线段的中点，E是线段的中点，F是线段的中点，那么线段与线段的长度比为（ ）
A．1：4 B．1：8 C．3：8 D．3：16
4．（2024七上·萧山期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（2024七上·南关期末）若单项式与是同类项，则的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．2023
6．（2024七上·福田期末）如图，，，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024七上·广水期末）若m，n互为相反数，p，q互为倒数，t的绝对值等于4，则的值是（ ）
A． B．65 C．或65 D．63或
8．（2024七上·毕节期末）在有理数，，中，负数的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．（2024七上·深圳期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；
④当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
10．（2023七上·鄞州期末）如图，用三个同图①的长方形和两个同图②的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形ABCD，两种方式未覆盖的部分(阴影部分)的周长相等，那么图①中长方形的面积S1与图②中长方形的面积S2的比是（ ）
A．2：3 B．1：2 C．3：4 D．1：1
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025七上·石家庄期末）按下面的程序计算：若输入正整数x的值，输出结果是133，则满足条件的x的值是 ．
12．（2023七上·镇海区期末）甲，乙两家水果店以相同的进价购买相同多苹果，标价都为进价的2倍，随后按照各自方式进行促销售卖．甲店按照标价买2斤送1斤（3斤打包售卖），乙店按照标价的6折售卖．若两家店都以促销方式刚好卖完且他们的利润相差了200元，则每家店购买这批苹果花了 元.
13．（2024七上·天河期末）在传输信息时，需要采用密码，有一种密码的明文是按计算机键盘字母排列，如A，B，C，D，，W，X，Y，Z这26个字母依次对应1，2，3，，25，26．当密文中的数x为奇数时，明文对应的序号为；当密文中的数x为偶数时，明文对应的序号为；密文为14，19，10，2，21对应的明文是 ．
14．（2024七上·黄岩期末）对正整数n反复进行下列两种运算：①若n是偶数，就除以2；②若n是奇数，就乘以3加1．例如：正整数6经过一次操作后的结果是3，经过两次操作后的结果是10．若某正整数m经过4次操作后的结果是2，则正整数m的值是 ．
15．（2024七上·双辽期末）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马 天可追上慢马，则由题意，可列方程为 ．
16．（2024七上·黄冈期末）如图所示，在长方形中，，在它内部有三个小正方形，正方形的边长为m，正方形的边长为n，则阴影部分的周长为 （用含m，n的代数式表示）．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·来宾期末）解下列方程：
（1）
（2）
18．（2024七上·铁东期末）对于有理数，定义一种新运算“*”，规定．
（1）计算的值；
（2）已知且，求的值．
19．（2024七上·七星关期末）如图，点O在直线上，射线在直线上方，且，射线平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求．（请用含的代数式表示）．
20．（2025七上·浦江期末）已知
（1）化简：；
（2）若，求（1）中代数式的值．
21．（2024七上·梅州期末）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克）
（1）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
（2）若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为3元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
22．（2025七上·义乌期末）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）若，其中是整数，且，则__________； __________
（2）若，其中是整数，且，求的值．
（3）若，其中是整数，且，求的值．
23．（2025七上·茶陵期末）对于代数式，我们可以引入一种新的符号表示方式：，这种符号形式称为行列式．规定．例如．
按照这种规定，请解答下列问题：
（1）计算： ；
（2）观察这两个行列式：与，你发现它们之间的数量关系_____．
（3）若，求x的值；
24．（2025七上·海淀期末）年月日，北京马拉松暨全国马拉松锦标赛在北京开赛，如下是关于这场比赛的部分信息．
．比赛共吸引了名选手参赛，比赛路线全长公里；
．组委会在沿途共设置个补给站，自公里起，每隔公里设置一个；
．组委会在起点、终点、处、处、处均设立固定医疗站．赛事沿途自公里起，至公里，每隔公里设置固定医疗站；自公里，每隔公里设置固定医疗站．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全如图补给站的信息表（在设置补给站的公里点打勾）；
公里点
补给站
（2）下列说法中，所有合理说法的序号是______．
①不包括起点及终点，赛事沿途固定医疗站共设置个；
②同时拥有补给站和固定医疗站的地点离起点最远为公里；
③自公里起至公里的路线中，固定医疗站的数量是补给站数量的两倍．
25．（2024七上·青县期末）按要求作图并回答问题：
已知：如图点A，点B，点C．
（1）作直线，射线，线段；
（2）在点C的东北方向有一点D，且点D在直线上，画出点D；
（3）点P，Q以同样的速度同时从A点向C点运动，点P沿线段AC运动，点Q沿A---B---C的路线运动，请你判断谁先到达点C： （填“点P”或“点Q”），理由是 ；
（4）已知线段，若点P以的速度从点A出发沿射线方向运动，同时点Q以的速度从点B出发向A运动，M、N分别是与的中点，请通过计算说明M、N两点是否可以重合？若能重合，请求出所需要的时间和重合时线段的长．
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浙教版2025—2026学年七年级上册期末命题趋势预测卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七上·路桥期末）下面是小宇和小祥的对话：
小宇：小祥，你之前提到的运动手环买了没？小祥：没，它的售价比我的预算多呢！小宇：这种运动手环现在打6折呢！小祥：太好了，这样比我的预算还要少16元！
设小祥买运动手环的预算为元，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意得：小祥买运动手环的预算为元，
则
故答案为∶D．
【分析】 小祥买运动手环的预算为元，则运动手环的原售价为x(1+40%)元，打折后的售价为x(1+40%)×0.6元，根据打折后的价格比小祥的预算还要少16元，即可列出关于x的一元一次方程．
2．（2024七上·永年期末） 小马虎在做作业， 不小心将方程 中的一个常数污染了. 怎么办 他翻开书后的答案，发现方程的解是 。请问这个被污染的常数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：设被污染的数字为y，
将x＝9代入得：2×6 y＝10．
解得：y＝2．
故答案为：B．
【分析】设被污染的数字为y，根据题干中的算式列出方程2×6 y＝10，再求出y的值即可.
3．（2024七上·八步期末）如图，已知C是线段的中点，D是线段的中点，E是线段的中点，F是线段的中点，那么线段与线段的长度比为（ ）
A．1：4 B．1：8 C．3：8 D．3：16
【答案】C
【解析】【解答】解：∵D是BC的中点，
∴CD＝BD．
设CD＝a，则BD＝a，BC＝2a.
∵C是线段AB的中点，
∴AC＝BC＝2a，
∴AD＝AC＋CD＝3a.
∵E是AD的中点，
∴AE＝AD＝1.5a.
∵F是AE的中点，
∴AF＝AE＝0.75a.
∴AF：AC＝0.75a：2a＝3：8．
故答案为：C．
【分析】设CD＝a，则BD＝a，BC＝2a，先利用线段中点的性质及线段和差求出AC＝BC＝2a，AF＝AE＝0.75a，再求出AF：AC＝0.75a：2a＝3：8即可．
4．（2024七上·萧山期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】【解答】解：将a＝b等号两边同时加c，得a+c＝b+c，将a＝b等号两边同时减c，得a-c＝b-c，
∴选项A不正确，不符合题意；
将ax＝ay等号两边同时乘以-1，得-ax＝-ay，
再将-ax＝-ay等号两边同时加3，得3-ax＝3-ay，
∴选项B不正确，不符合题意；
将a＝b等号两边同时乘以c2，得ac2＝bc2，
∴选项C正确，符合题意；
当c≠0时，将ac2＝bc2等号两边同时除以c2，得a＝b；
当c＝0时，a和b均为任意值，二者不一定相等，
∴选项D不正确，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】等式的两边同时加上或减去同一个数或式子等式依然成立；等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为零），等式依然成立，据此一一判断得出答案.
5．（2024七上·南关期末）若单项式与是同类项，则的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．2023
【答案】C
【解析】【解答】解：∵单项式与是同类项，
∴，
解得，
所以．
故答案为：C．
【分析】同类项的特点：所含字母相同，相同字母的指数相同，据此求解．
6．（2024七上·福田期末）如图，，，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠AOB =90°（已知），∠COB=20°（已知），
∠AOB =∠AOC+∠COB
故 ∠AOC=90°-20°=70°，
又因为OC平分∠AOD，
所以∠AOC = ∠DOC=70°，
故∠BOD=∠DOC-∠COB= 70°-20°=50°
故∠BOD =50°.
故选：A.
【分析】首先已知条件∠AOB =90°，∠COB=20°求出∠AOC，然后利用角平分线的性质和角的和的定义即可求解.
7．（2024七上·广水期末）若m，n互为相反数，p，q互为倒数，t的绝对值等于4，则的值是（ ）
A． B．65 C．或65 D．63或
【答案】C
【解析】【解答】解：∵m，n互为相反数，p，q互为倒数，t的绝对值等于4，
∴m+n=0，pq=1，t=4或t=-4，
当t=4时，原式=02022-（-1）2023+43
=0+1+64
=65；
当t=-4时，原式=02022-（-1）2023+（-4）3
=1-64
=-63；
综上，的值是65或-63；
故答案为：C.
【分析】先根据互为相反数的两数之和等于0、互为倒数的两数之积等于1，、正数的绝对值是其本身，附属的绝对值是其相反数得出m+n=0，pq=1，t=4或t=-4，分别代入计算即可得出答案.
8．（2024七上·毕节期末）在有理数，，中，负数的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得，，，
∴负数的个数为1个，
故答案为：A
【分析】先根据绝对值、乘方进行运算，进而根据负数的定义即可求解。
9．（2024七上·深圳期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；
④当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：①运动4s后，AP=2×4=8cm，PB=AB-AP=16cm，
∵M为的中点 ，
∴AM=MP=4cm，
∴PB=4AM，故①错误；
设运动ts时，AP=2t，PB=24-2t，
∵M为的中点，N为的中点，
∴AM=PM=t，PN=BN=12-t，
∴PM+MN=PM+PM+PN=t+t+12-t=12+t，
∴的值随着运动时间的改变而改变 ，故②正确；
∵MB=AB-AM=24-t，PB=AB-AP=24-2t，
∴=2（24-t）-（24-2t）=24cm，故③正确；
由AN=AP+PN=2t+（12-t）=12+t，PM=t，
∵ ，
∴12+t=6t，解得t=2.4s，故④正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意分别求出AP、PB的长，再利用线段的中点得出AM、PM、PN、BN的长，利用线段的和差关系逐一求解即可判断.
10．（2023七上·鄞州期末）如图，用三个同图①的长方形和两个同图②的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形ABCD，两种方式未覆盖的部分(阴影部分)的周长相等，那么图①中长方形的面积S1与图②中长方形的面积S2的比是（ ）
A．2：3 B．1：2 C．3：4 D．1：1
【答案】A
【解析】【解答】解：设①中长方形的长为a，宽为b，②中长方形的长为y，宽为x；
则AD＝3b＋2y＝a＋x，
第一种覆盖方式中阴影部分的周长为：2（3b＋2y＋DC x）＝6b＋4y＋2DC 2x＝2a＋2DC，
第二种覆盖方式中有一部分的周长为：2（a＋x＋DC 3b）＝2a＋2x＋2DC 6b＝2a＋2x＋2DC 2（a＋x 2y）＝2DC＋4y；
∵两种方式周长相同，
∴2a＋2DC＝2DC＋4y，
∴a＝2y，
∵3b＋2y＝a＋x，
∴x＝3b，
∴S1：S2＝ab：xy＝2y×：（xy）＝．
故答案为：．
【分析】设①中长方形的长为a，宽为b，②中长方形的长为y，宽为x；则AD＝3b＋2y＝a＋x，先表示出两个图形中阴影部分的周长，由周长相等建立方程可得a＝2y，进而即可推出x＝3b，再求面积的比值．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025七上·石家庄期末）按下面的程序计算：若输入正整数x的值，输出结果是133，则满足条件的x的值是 ．
【答案】46或17
【解析】【解答】解：当，解得；
当时，解得：；
当，解得：；
∵x为正整数．
∴符合条件的x的值有46或17．
故答案为：46或17．
【分析】根据输出结果建立方程，解方程即可求出答案.
12．（2023七上·镇海区期末）甲，乙两家水果店以相同的进价购买相同多苹果，标价都为进价的2倍，随后按照各自方式进行促销售卖．甲店按照标价买2斤送1斤（3斤打包售卖），乙店按照标价的6折售卖．若两家店都以促销方式刚好卖完且他们的利润相差了200元，则每家店购买这批苹果花了 元.
【答案】1500
【解析】【解答】解：设每家店购买这批苹果花了x元，进货单价为a元，则进货数量为斤，
则甲店获利为÷3×2×2a-x=-x=，
乙店获利为× 2a ×-x=，
则，
解得：x=1500，
故答案为：1500.
【分析】设每家店购买这批苹果花了x元，进货单价为a元，则进货数量为斤，先表示出甲店的获利，再表示出乙店的获利，根据题意列出方程式，解得即可求出答案.
13．（2024七上·天河期末）在传输信息时，需要采用密码，有一种密码的明文是按计算机键盘字母排列，如A，B，C，D，，W，X，Y，Z这26个字母依次对应1，2，3，，25，26．当密文中的数x为奇数时，明文对应的序号为；当密文中的数x为偶数时，明文对应的序号为；密文为14，19，10，2，21对应的明文是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：因为，所以密文14对应的明文是G，
因为， 所以密文19对应的明文是R，
因为， 所以密文10对应的明文是E，
因为， 所以密文2对应的明文是A，
因为， 所以密文21对应的明文是T，
所以密文为14，19，10，2，21对应的明文是：．
故答案为：．
【分析】本题考查了新定义的运算法则，以及代数式求值，根据题设中的新定义的运算法则，分别列出算式，求得密文对应的明文中的字母，即可得到答案.
14．（2024七上·黄岩期末）对正整数n反复进行下列两种运算：①若n是偶数，就除以2；②若n是奇数，就乘以3加1．例如：正整数6经过一次操作后的结果是3，经过两次操作后的结果是10．若某正整数m经过4次操作后的结果是2，则正整数m的值是 ．
【答案】32或5
【解析】【解答】解：根据题意，得第4步运算前的数为：或（舍去）；
第3步运算前的数为：或（舍去）；
第2步运算前的数为：或（舍去）；
第1步运算前的数为：或；
∴正整数的值是32或5，
故答案为：32或5．
【分析】根据两种运算规则，从最后一步逐步向前进行计算即可.
15．（2024七上·双辽期末）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马 天可追上慢马，则由题意，可列方程为 ．
【答案】240x=150x+12×150
【解析】【解答】解：设良马x天能够追上驽马．
根据题意得：240x=150×（12+x）=150x+12×150.
【分析】设良马x天能够追上驽马，根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，即可得出关于x的一元一次方程.
16．（2024七上·黄冈期末）如图所示，在长方形中，，在它内部有三个小正方形，正方形的边长为m，正方形的边长为n，则阴影部分的周长为 （用含m，n的代数式表示）．
【答案】8m+6n
【解析】【解答】解：图中阴影部分的周长与长为CI、宽为AB的矩形周长相同，
在长方形ABCD中，AD=BC，AD=3AB，
∵正方形AEFG的边长为m，正方形GBIH的边长为n，
∴AB=m+n，BC=3（m+n），
∵CI=BC-BI，
∴CI=3（m+n）-n=3m+2n，
∴阴影部分的周长为：2（AB+CI）=2（m+n+3m+2n）=8m+6n；
故答案为：8m+6n.
【分析】根据图形可得阴影部分的周长与长为CI、宽为AB的矩形周长相同，根据题意可求得AB=m+n，CI=3m+2n，即可求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·来宾期末）解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
移项得：，
合并同类项得：.
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：.
【解析】【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤进行计算即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤进行计算即可.
18．（2024七上·铁东期末）对于有理数，定义一种新运算“*”，规定．
（1）计算的值；
（2）已知且，求的值．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
解得：．
【解析】【分析】（1）根据新 定义一种新运算法则，由 ，列出算式，进行计算，即可得到答案；
（2）根根据新 定义一种新运算法则，由 ，列出关于a的方程，进行计算，即可求解．
（1）解：原式
；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：．
19．（2024七上·七星关期末）如图，点O在直线上，射线在直线上方，且，射线平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求．（请用含的代数式表示）．
【答案】（1）解：
又平分
（2）解：
又平分
．∠BOC=2∠COE=2（a-90°）=2a-180°
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出∠COE的度数，再利用角平分线的定义求出∠BOC的度数，最后利用角的运算求出的度数即可；
（2）先利用角的运算求出∠COE的度数，再利用角平分线的定义求出∠BOC的度数，最后利用角的运算和等量代换求出即可.
20．（2025七上·浦江期末）已知
（1）化简：；
（2）若，求（1）中代数式的值．
【答案】（1）解：∵，∴
；
（2）解：，∴，，
，
原式．
【解析】【分析】（1）先把A、B代入求出即可；
（2）先利用非负数的性质得到，然后代入解题即可．
（1）解：∵，
∴
；
（2）解：，
∴，，
，
原式．
21．（2024七上·梅州期末）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克）
（1）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
（2）若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为3元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
【答案】（1）解：（千克）
∴小王第一周实际销售柚子的总量是713千克；
（2）解：（元）
∴小王第一周销售柚子一共收入3565元．
【解析】【分析】（1）根据这一周实际销售柚子的数量求和，即可求得；
（2）用总量乘以每千克的收入，即可求得.
22．（2025七上·义乌期末）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）若，其中是整数，且，则__________； __________
（2）若，其中是整数，且，求的值．
（3）若，其中是整数，且，求的值．
【答案】（1）2，
（2）
（3）
【解析】【解答】
（1）
解：即，
则，；
（2）
解：，
，
是整数，，
，，
．
（3）
解：，
根据题意得：，，
．
【分析】
（1）由于5介于两个连续自然数2与3的平方之间，则；
（2）先移项得，，再估算得，则，因为，所以的整数部分为2，小数部分为，再分别把代入到代数式进行计算即可；
（3）由于，所以，即的小数部分为，则的整数部分，小数部分，则的值可求 ．
（1）解：即，
则，；
（2）解：，
，
是整数，，
，，
．
（3）解：，
根据题意得：，，
．
23．（2025七上·茶陵期末）对于代数式，我们可以引入一种新的符号表示方式：，这种符号形式称为行列式．规定．例如．
按照这种规定，请解答下列问题：
（1）计算： ；
（2）观察这两个行列式：与，你发现它们之间的数量关系_____．
（3）若，求x的值；
【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴
（3）解：∵，∴，
∴，
解得
【解析】【解答】解：（1）
；
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的四则混合计算，新定义，整式的加减计算：
（1）严格遵循行列式的新定义规则，将对应数值代入公式计算；
（2）分别根据行列式定义展开两个式子，通过代数式化简分析两者的数量关系；
（3）根据新定义可得方程，再按照解方程的步骤求解．
（1）解：
；
（2）解：，
理由如下：
∵，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
解得．
24．（2025七上·海淀期末）年月日，北京马拉松暨全国马拉松锦标赛在北京开赛，如下是关于这场比赛的部分信息．
．比赛共吸引了名选手参赛，比赛路线全长公里；
．组委会在沿途共设置个补给站，自公里起，每隔公里设置一个；
．组委会在起点、终点、处、处、处均设立固定医疗站．赛事沿途自公里起，至公里，每隔公里设置固定医疗站；自公里，每隔公里设置固定医疗站．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全如图补给站的信息表（在设置补给站的公里点打勾）；
公里点
补给站
（2）下列说法中，所有合理说法的序号是______．
①不包括起点及终点，赛事沿途固定医疗站共设置个；
②同时拥有补给站和固定医疗站的地点离起点最远为公里；
③自公里起至公里的路线中，固定医疗站的数量是补给站数量的两倍．
【答案】（1）解：由表知，补给站的第一站的公里点是，
∵自公里起，每隔公里设置一个，
∴补给站的公里点是的整数倍时，需要设置补给站，
∴补全补给站的信息表如下：
公里点
补给站
（2）②③
【解析】【解答】（2）解：①∵，，
∴不包括起点及终点，赛事沿途固定医疗站共设置个，故选项①说法错误；
②∵，
∴同时拥有补给站和固定医疗站的地点离起点最远为公里，故选项②说法正确；
③自公里起至公里的路线中，固定医疗站的数量为个，补给站数量为个，
∴固定医疗站的数量是补给站数量的两倍，故选项③说法正确；
综上，所有合理说法的序号是②③，
故答案为：②③．
【分析】（）根据题意可知补给站的公里点是的整数倍时，需要设置补给站，据此即可求解；
（）由题意可得不包括起点及终点，赛事沿途固定医疗站共设置个，即可判断①；由可判断②；分别求出固定医疗站的数量和补给站数量，即可判断③，据此即可求解；
（1）解：由表知，补给站的第一站的公里点是，
∵自公里起，每隔公里设置一个，
∴补给站的公里点是的整数倍时，需要设置补给站，
∴补全补给站的信息表如下：
公里点
补给站
（2）解：①∵，，
∴不包括起点及终点，赛事沿途固定医疗站共设置个，故选项①说法错误；
②∵，
∴同时拥有补给站和固定医疗站的地点离起点最远为公里，故选项②说法正确；
③自公里起至公里的路线中，固定医疗站的数量为个，补给站数量为个，
∴固定医疗站的数量是补给站数量的两倍，故选项③说法正确；
综上，所有合理说法的序号是②③，
故答案为：②③．
25．（2024七上·青县期末）按要求作图并回答问题：
已知：如图点A，点B，点C．
（1）作直线，射线，线段；
（2）在点C的东北方向有一点D，且点D在直线上，画出点D；
（3）点P，Q以同样的速度同时从A点向C点运动，点P沿线段AC运动，点Q沿A---B---C的路线运动，请你判断谁先到达点C： （填“点P”或“点Q”），理由是 ；
（4）已知线段，若点P以的速度从点A出发沿射线方向运动，同时点Q以的速度从点B出发向A运动，M、N分别是与的中点，请通过计算说明M、N两点是否可以重合？若能重合，请求出所需要的时间和重合时线段的长．
【答案】（1）解：如图，直线，射线，线段即为所画；
．
（2）解：如图，点D即为所画的点；
（3）P；两点之间，线段最短
（4）解：M，N两点可以重合， 如图，
设经过t秒重合，
∵M是的中点，
∴，
同理可得，
当M，N两点可以重合，可得：，
解得：，
即，，点P在射线上，
此时，
答：M、N可以重合，所需要的时间为24秒，此时的长为．
【解析】【解答】解：（3）∵，
∴点P先到达；理由是：两点之间，线段最短
故答案为：p；两点之间，线段最短
【分析】（1）根据作图-直线，射线，线段即可求解；
（2）先画出表示东北方向的射线，交直线于即可求解；
（3）根据线段的性质即可求解；
（4）设经过t秒重合，进而根据中点得到AM，同理可得，再列出一元一次方程，从而即可求出t，再进行线段的运算即可求解。
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