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浙教版2025—2026学年九年级上册期末模拟直击考点卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025九上·新会期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．通常加热到100℃时，水沸腾
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．掷一次骰子，向上一面的点数为6
2．（2024九上·邵阳期末）如图，在中，点D、点E分别在边，上，，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·长沙期末）如图，抛物线（，，是常数，）与轴交于A、两点，顶点．给出下列结论，正确的有（ ）
①；②；③若点，，在抛物线上，则；④关于的方程有实数解，则．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2024九上·上城期末）如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，则( )
A． B． C． D．
5．（2024九上·鄞州期末）如图，折线段将面积为的分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为，若，则称分成的小扇形为“黄金扇形”，生活中的折扇大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·遂川期末） 已知与都是等腰直角三角形，且斜边长分别2和4，则两个三角形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·南川期末）二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（ ）
x … 0 1 2 3 …
y … 15 10 7 6 7 …
A．15 B．10 C．7 D．6
8．（2024九上·宁波期末）“石头、剪刀、布”是我国古老的民间游戏，游戏规定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若两人的手势相同，不分胜负．在学校组织的“共情陪伴，健康同行”亲子运动会上，
爸爸和小亮用这种方式决定“打乒乓球”的发球权．从概率的角度思考这个游戏是否公平（ ）
A．公平 B．对爸爸有利 C．对小亮有利 D．不能判断
9．（2024九上·荔湾期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，则下列结论：①时，；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024九上·游仙期末）如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1.5
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·朝天期末）用一个圆心角为120°，半径为的扇形制作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为 cm．
12．（2024九上·简阳期末）如图，在中，点是中点，连接，交于点，如果的面积为，则四边形的面积为 ．
13．（2024九上·大安期末）有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1， 2， 3， 4，5，6，随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字都是奇数的概率为
14．（2024九上·义乌期末）二次函数的顶点坐标是 ．
15．（2024九上·肇东期末）如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y1=- x2+3向下平移2个单位后得抛物线y2，则阴影部分的面积S= .
16．（2024九上·叙州期末）如图，正方形中，，，交、于M、N两点，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025九上·温州期末）某县每天上学时间约有 4000 辆私家车接送，小温同学随机对 100 辆接送的私家车进行统计，结果如下表：
每辆私家车学生数（名） 1 2 3 4
私家车（辆） 60 27 7 6
（1）估计抽查一辆私家车且它载有超过 2 名学生的概率。
（2）为减少高峰拥堵，倡议仅乘坐 1 名学生的私家车改为公共交通上学。若有 的对象能响应倡议，请估算全县每天上学可减少多少辆私家车接送？
18．（2024九上·简阳期末） 如图，中，过点作，交的延长线点；过点作，交的延长线于点，交于点，连接，．
（1）求的长；
（2）求证：四边形为正方形．
19．（2025九上·镇海区期末）已知二次函数（为常数），
（1）若，求该二次函数图象的对称轴；
（2）若，该二次函数在时有最小值2，求的值；
（3）将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求m的最大值．
20．（2024九上·朝阳期末）如图1所示，草坪上的喷水装置高，喷头一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置的水平距离为处，达到最高点，点距离地面．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式；
（2）这个喷水装置的喷头能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取3，结果保留整数）．
21．（2024九上·九龙坡期末）为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图．
选A项目男生的测试情况
选择四个项目的男生在全校男生总人数所占的百分比
（1）若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是 ，众数是 ；
（2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有 人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为 度；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率．
22．（2025九上·越城期末）已知二次函数，经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）已知点，，连结，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求m的取值范围；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，请直接写出n的值，不必说明理由．
23．（2024九上·渠县期末）如图，正方形中，点在边上，点是的中点，连接、．
（1）求证：．
（2）将绕点E顺时针旋转，使点的对应点落在上，连接．当点在边上运动时（点不与，重合），判断的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，已知，当时，求的长．
24．（2024九上·嘉兴期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点时，求的值；
（3）若是抛物线上位于第一象限内的一点，且，求点的坐标．
25．（2024九上·阜平期末）在中，，，.点在线段上运动，过点作的垂线交线段（如图1）或线段的延长线（如图2）于点．
图1 图2 备用图
（1）当点在线段上时，求证：；
（2）当点与点重合时，求的长；
（3）若点从点以每秒2个单位长的速度向点运动，求点与点的距离不大于1的时长；
（4）当为等腰三角形时，直接写出的长．
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浙教版2025—2026学年九年级上册期末模拟直击考点卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025九上·新会期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．通常加热到100℃时，水沸腾
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．掷一次骰子，向上一面的点数为6
【答案】A
【解析】【解答】解： A 、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件，符合题意；
B 、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不合题意；
C 、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不合题意；
D 、掷一次骰子，向上一面的点数为6，是随机事件，不合题意；
故答案为： A ．
【分析】根据必然事件的定义逐项判断即可。
2．（2024九上·邵阳期末）如图，在中，点D、点E分别在边，上，，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】
，A正确；
，B正确；
，C不正确，应该为；
，D正确；
故选：C．
【分析】
1、两直线平行，同位角相等；
2、两直线平行，同旁内角互补；
3、两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例．
3．（2024九上·长沙期末）如图，抛物线（，，是常数，）与轴交于A、两点，顶点．给出下列结论，正确的有（ ）
①；②；③若点，，在抛物线上，则；④关于的方程有实数解，则．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴，，
∴，故①正确；
由图象可知，当时，，
∴，故②错误；
∵抛物线开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵抛物线对称轴在y轴和直线之间，顶点，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∵点，，在抛物线上，
∴，故③正确；
∵抛物线与直线有交点时，方程有解，，
∴有实数解
∴要使得有实数解，则；故④错误，
综上，结论正确的是①③，共2个．
故选：C．
【分析】
本题主要结合抛物线的开口方向、对称轴、于坐标轴交点，分析系数关系、函数值、方程解的条件.
根据抛物线开口向上（a>0），对称轴在y轴右侧（b<0），与y轴交于负半轴（C<0)，故abc>0，①正确；当x=-1时，y=a-b+c，有图像可知y>0，故②错误；抛物线对称轴在y轴和直线之间，根据点到对称轴距离越远，函数值越大，可判断，故③正确；方程有实数解，即有解，，故④错误.
4．（2024九上·上城期末）如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：将逆时针旋转，得到，
，，，，
又，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】由旋转得到，，，，然后再根据等边对等角得到，再根据三角形内角和定理解题即可．
5．（2024九上·鄞州期末）如图，折线段将面积为的分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为，若，则称分成的小扇形为“黄金扇形”，生活中的折扇大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：“黄金扇形”的圆心角约为，
故答案为：C．
【分析】本题考查扇形的面积计算公式.根据圆的周角等于以及“黄金扇形”的定义可列出式子：，再进行计算可求出答案.
6．（2024九上·遂川期末） 已知与都是等腰直角三角形，且斜边长分别2和4，则两个三角形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意
与都是等腰直角三角形
三个内角分别都是90°，45°，45°
故答案为：C
【分析】根据等腰直角三角形的性质可以判定两三角形必然相似，面积比等于相似比的平方。
7．（2024九上·南川期末）二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（ ）
x … 0 1 2 3 …
y … 15 10 7 6 7 …
A．15 B．10 C．7 D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：根据表格可得二次函数的对称轴为直线
x=4和x=0时对应的函数值相等，
x=0时，y=10，
x=4时，y=10，
故答案为：B.
【分析】根据表格信息求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性求得x=0时与x=4时对应的y的值相等，从而求解.
8．（2024九上·宁波期末）“石头、剪刀、布”是我国古老的民间游戏，游戏规定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若两人的手势相同，不分胜负．在学校组织的“共情陪伴，健康同行”亲子运动会上，
爸爸和小亮用这种方式决定“打乒乓球”的发球权．从概率的角度思考这个游戏是否公平（ ）
A．公平 B．对爸爸有利 C．对小亮有利 D．不能判断
【答案】A
【解析】【解答】解：树状图如下，
爸爸赢的概率为：
小亮赢的概率为：
∴游戏公平，
故答案为：A.
【分析】利用树状图画出所有可能情况，分别计算出爸爸赢的概率和小亮赢的概率，进而即可求解.
9．（2024九上·荔湾期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，则下列结论：①时，；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线，
∴，抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∴，当，故①正确；
∵抛物线的开口向下，
∴，
∴；故②正确；
∵抛物线与轴交于点，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线与轴的交点在和之间（不包括这两点），
∴，
∴；故③正确；
由图象可知，当时，，
∴，
∴；故④正确；
综上：正确的有4个；
故选：D．
【分析】根据题意以及二次函数图象的对称性可得，抛物线与轴的另一个交点坐标为，从而可判断①；由图象开口方向可得，，由对称轴为直线，可得，可判断②；将 代入抛物线可得，，再根据可判断③和④．
10．（2024九上·游仙期末）如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1.5
【答案】B
【解析】【解答】解：取BC的中点G，连接MG，如图所示：
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB=AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
∴∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×12=6，
∴MG=CG=×6=3，
∴HN=3，
故答案为：B
【分析】取BC的中点G，连接MG，进而根据旋转的性质得到∠MBH+∠HBN=60°，BM=BN，从而结合题意根据轴对称的性质得到HB=BG，再根据三角形全等的判定与性质证明△MBG≌△NBH（SAS）即可得到MG=NH，从而得到当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·朝天期末）用一个圆心角为120°，半径为的扇形制作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为 cm．
【答案】2
【解析】【解答】解：扇形的弧长==2πr，
∴圆锥的底面半径为r=2．
故答案为：2．
【分析】根据扇形弧长公式及圆的周长公式列出式子计算即可求解。
12．（2024九上·简阳期末）如图，在中，点是中点，连接，交于点，如果的面积为，则四边形的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】在中，
点是中点，
的面积为，
=2，
四边形的面积为
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质证明由点是中点，的面积为， 利用相似三角形的性质以及面积之间的转化即可求解.
13．（2024九上·大安期末）有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1， 2， 3， 4，5，6，随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字都是奇数的概率为
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意作出如图所示的树状图：
∴共有36种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有9种，
∴P（两次取出的数字都是奇数）=，
故答案为：.
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
14．（2024九上·义乌期末）二次函数的顶点坐标是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为：，
∴二次函数的顶点为：
故答案为：.
【分析】根据二次函数的顶顶点式，即可求解.
15．（2024九上·肇东期末）如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y1=- x2+3向下平移2个单位后得抛物线y2，则阴影部分的面积S= .
【答案】4
【解析】【解答】解：根据题意知，图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积：2×2=4.
故答案是：4.
【分析】根据平移的性质得出阴影部分即为平行四边形的面积.
16．（2024九上·叙州期末）如图，正方形中，，，交、于M、N两点，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有 ．
【答案】①④
【解析】【解答】解：①∵四边形为正方形，
，
，，
，
在和中，
，
∴，
，
，
即；所以①正确；
②和中，，
，
设，则
，
，
，
；所以②错误；
③设，则
，
，
， ，
，
∴；所以③错误；
④作垂足为H，
，
，
，
，
根据③中结论，，
，
，
即，
解得：，
，
，所以④正确；
即正确的是：①④．
故答案为：①④．
【分析】利用SAS证即可进行判断①，证明，根据对应边成比例求得的值，即可判断②；设，则，，用三角形的面积公式分别求得DM和FM的值，即可判断③；作GH⊥DF，根据③中结论分别求得MN和NC长，计算即可判定④。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025九上·温州期末）某县每天上学时间约有 4000 辆私家车接送，小温同学随机对 100 辆接送的私家车进行统计，结果如下表：
每辆私家车学生数（名） 1 2 3 4
私家车（辆） 60 27 7 6
（1）估计抽查一辆私家车且它载有超过 2 名学生的概率。
（2）为减少高峰拥堵，倡议仅乘坐 1 名学生的私家车改为公共交通上学。若有 的对象能响应倡议，请估算全县每天上学可减少多少辆私家车接送？
【答案】（1）解：由表格中的数据可知，
，
故载有超过2名学生的概率为
（2）解：由表格可知，仅乘坐1名学生的私家车的概率为
(辆)。
故全县每天上学可减少800辆私家车接送.
【解析】【分析】(1)直接利用概率公式计算即可；
（2）运用4000乘以仅乘坐1名学生的私家车的占比的 即可解题.
18．（2024九上·简阳期末） 如图，中，过点作，交的延长线点；过点作，交的延长线于点，交于点，连接，．
（1）求的长；
（2）求证：四边形为正方形．
【答案】（1）证明：中，
，四边形中是平行四边形，
，，，
（2）证明：由（1）得，，，
，，，
四边形是平行四边形，
，，四边形是菱形，
，，
四边形是正方形
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，结合已知条件证明四边形中是平行四边形， 利用平行四边形的性质即可求解；
（2）先证明，求得，，进而证明四边形是平行四边形， 结合已知条件证明四边形是菱形， 再根据菱形的性质得到，根据正方形的判定从而求解.
19．（2025九上·镇海区期末）已知二次函数（为常数），
（1）若，求该二次函数图象的对称轴；
（2）若，该二次函数在时有最小值2，求的值；
（3）将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求m的最大值．
【答案】（1）解：∵，
∴（为常数），
∴，
∴二次函数的对称轴是．
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴是．
当时，函数有最小值．即，
解得：（舍去）或；
当时，函数有最小值．即，
解得：（舍去）或
综上，或．
（3）解：如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，．观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大，
当时，恒成立，即时，m的最大值为．
∴，得（舍去）或3．
∴，得或．
∴m的最大值为．
【解析】【分析】（1）先得到解析式，然后根据对称轴公式解题；
（2）先配方得到顶点式，求出对称轴为．再分为和两种情况，根据二次函数的最值列方程解题；
（3）令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，．然后借助图象解答即可．
（1）解：∵，
∴（为常数），
∴，
∴二次函数的对称轴是．
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴是．
当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或；
当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或
综上，或．
（3）解：如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，．
观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大，
当时，恒成立，即时，m的最大值为．
∴，得（舍去）或3．
∴，得或．
∴m的最大值为．
20．（2024九上·朝阳期末）如图1所示，草坪上的喷水装置高，喷头一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置的水平距离为处，达到最高点，点距离地面．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式；
（2）这个喷水装置的喷头能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取3，结果保留整数）．
【答案】（1）解：答案不唯一，例如
以点为坐标原点，原点与水流落地点所在直线为轴，喷水装置所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可知，抛物线顶点．
设抛物线对应的函数解析式为．
由抛物线经过点，可得，
解得．
．
（2）解：令，
解得（舍去）．
．
喷灌面积．
答：这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为．
【解析】【解答】（2）令， 得，
解得（舍去） ，
．
喷灌面积．
答：这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为．
【分析】（1）以点为坐标原点，原点与水流落地点所在直线为轴，喷水装置所在直线为轴，建立平面直角坐标系 ，知道顶点 ，设抛物线对应的函数解析式为，利用待定系数法求得a的值，即可求解；
（2）令，得到关于x的一元二次方程，解方程取符合题意的x的值，再利用扇形的面积公式代入数据计算即可求解.
21．（2024九上·九龙坡期末）为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图．
选A项目男生的测试情况
选择四个项目的男生在全校男生总人数所占的百分比
（1）若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是 ，众数是 ；
（2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有 人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为 度；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率．
【答案】（1）162；162
（2）175；108
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
甲和乙同学同时被选中的概率为．
【解析】【解答】解：（1）将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第3和第4的为162和162，
该组数据的中位数是．
该组数据中出现次数最多的为162，
该组数据的众数为162．
故答案为：162；162．
（2）全校的男生人数为（人，
选择项目的男生共有（人．
扇形统计图中项目所占圆的圆心角为．
故答案为：175；108
【分析】（1）根据中位数、众数的定义结合题意即可求解；
（2）根据题意扇形统计图和频数分布直方图的信息结合题意即可就出选择项目的男生，进而根据圆心角的计算公式即可求解；
（3）先根据题意画出树状图，进而即可得到共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，再根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
22．（2025九上·越城期末）已知二次函数，经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）已知点，，连结，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求m的取值范围；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，请直接写出n的值，不必说明理由．
【答案】（1）解：∵二次函数，经过点，对称轴为直线，
∴，，
∴，，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵点，，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，
∴点，的对应点坐标为，
由（1）知二次函数的表达式为，
令，
解得：，
令，
解得：，
如图：当点经过点时，恰好与的图象有交点，
则；
如图，当点经过点时，恰好与的图象有交点，
则；
综上，时，恰好与的图象有交点；
（3）解：n的值为．
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为直线，且，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
①当时，即时，
二次函数的最大值为，最小值为，
∴，
∴(不合题意，舍去)；
②当时，
二次函数的最大值为，最小值为，或最大值为，
∴或，
∴或(不合题意，舍去)；或(不合题意，舍去)；
当时，
二次函数的最小值为，最大值为，
∴，
∴(不合题意，舍去)；
综上，n的值为．
【分析】（1）把A点坐标代入抛物线y=2x2+bx+c可算出c的值，由对称轴直线公式可求出b的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）由（1）知二次函数的表达式为分别令求出，，结合图形即可解答；
（3）易得抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；分类讨论：①为当时，②当时，③当时，结合二次函数的最大值与最小值的差为，建立方程求解，即可解题．
（1）解：∵二次函数，经过点，对称轴为直线，
∴，，
∴，，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵点，，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，
∴点，的对应点坐标为，
由（1）知二次函数的表达式为，
令，
解得：，
令，
解得：，
如图：当点经过点时，恰好与的图象有交点，
则；
如图，当点经过点时，恰好与的图象有交点，
则；
综上，时，恰好与的图象有交点；
（3）解：∵二次函数的对称轴为直线，且，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
①当时，即时，
二次函数的最大值为，最小值为，
∴，
∴(不合题意，舍去)；
②当时，
二次函数的最大值为，最小值为，或最大值为，
∴或，
∴或(不合题意，舍去)；或(不合题意，舍去)；
当时，
二次函数的最小值为，最大值为，
∴，
∴(不合题意，舍去)；
综上，n的值为．
23．（2024九上·渠县期末）如图，正方形中，点在边上，点是的中点，连接、．
（1）求证：．
（2）将绕点E顺时针旋转，使点的对应点落在上，连接．当点在边上运动时（点不与，重合），判断的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，已知，当时，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，即：，
在与中，
∴，
∴；
（2）解：为等腰直角三角形，理由如下：
由旋转的性质得：，
∴，
∴，，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（3）解：∵∠
∴；
又∵∠；
∴∠；
∵∠
∴，
∴，得；即，
设，
∵，
∴；
∴
解得，=（舍去）
∴
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质得到，，进而结合题意进行角的运算得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到；
（2）先根据旋转的性质得到，进而得到，再结合题意进行角的运算，从而根据等腰直角三角形的判定即可求解；
（3）先根据题意得到，进而根据相似三角形的判定与性质证明得到，设，进而运用勾股定理，再代入即可求出x，从而即可求解。
24．（2024九上·嘉兴期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点时，求的值；
（3）若是抛物线上位于第一象限内的一点，且，求点的坐标．
【答案】（1）解：把点代入抛物线，得
解得：
（2）解：
当抛物线向左平移个单位时，
把代入得：，
解得：（舍），
．
（3）解：如图：
过点作轴，交于点
∵A（0，3），B（-1，2），C(3，0)，
，，
，
，
∵A（0，3），C(3，0)，
直线解析式：
设，则
，
，
，
解得：，
，
【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算计算即可；
（2）先将一般式化成顶点式，根据“左加右减”的法则写出平移后的函数表达式，再把点B坐标带入，即可得到m的值，注意m>0；
（3）根据A，B，C三点坐标求出AB，AC，BC的长，利用勾股定理，发现△ABC是直角三角形，可求△ABC的面积；过P作PE⊥x轴交AC于点E，设出点P的坐标，利用直线AC的解析式表示出点E的坐标，得到PE，则△PAC的面积为，根据 ，可求得t的值，从而得到点P的坐标.
25．（2024九上·阜平期末）在中，，，.点在线段上运动，过点作的垂线交线段（如图1）或线段的延长线（如图2）于点．
图1 图2 备用图
（1）当点在线段上时，求证：；
（2）当点与点重合时，求的长；
（3）若点从点以每秒2个单位长的速度向点运动，求点与点的距离不大于1的时长；
（4）当为等腰三角形时，直接写出的长．
【答案】（1）证明：，
，
在与中，
，，
．
（2）解：在中，，
由（1）知，
，即，解得：．
（3）解：①当点在线段上时，若，则，
∵，
∴，
，解得：，
∴运动的时长为（秒）；
②当点在线段的延长线上时，若，则，
∵，
∴，
，
点运动的时长为（秒）；
综上，求点与点的距离不大于1的时长为（秒）．
（4）解：．
【解析】【解答】解：（4）如图1，当点在线段上时，
若为等腰三角形，则，
∵，
∴，即，解得：，
；
如图2，当点在线段的延长线上时，若为等腰三角形，则，
，
，
.，，
，
，
，
．
【分析】（1）先证∠AQP=∠ABC，再结合即可证相似；
（2）先用勾股定理求得AC的长度，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可；
（3）分两种情况：点P在线段AB上或点P在AB的延长线上，分别求得BP=1时所需的时间，然后作差即可；
（4）分两种情况：点P在线段AB上或点P在AB的延长线上，分别根据等腰三角形的性质以及相似三角形的性质列比例式求解即可．
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