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北师大版2025—2026学年七年级上册期末临考预测押题卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七上·昌平期末）下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025七上·东莞期末）某商品先在批发价m元的基础上提高10%零售，后又降价10%出售，则按后面的售价每销售一件商品的盈亏情况为（ ）．
A．亏损了 B．盈利了 C．不亏不盈 D．盈亏不确定
3．（2024七上·怀化期末）如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
4．（2024六上·莱芜期末）如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形长与宽的差是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七上·苍梧期末）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百六十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行160里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024七上·惠城期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．单项式﹣πr3的系数是﹣，次数是4
B．关于x的多项式ax2+bx+c是三次三项式
C．﹣ab2，﹣2x都是单项式，也都是整式
D．2a2b，3ab，5是多项式﹣2a2b+3ab﹣5的项
7．（2024七上·桂东期末）有理数在数轴上对应的两点分别是． 计算，两点之间的距离公式是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024七上·深圳期末）已知式子的值为，那么式子的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024七上·新昌期末）如图，点O在直线AB上，点，，，…，在射线OA上，点，，，…在射线OB上，图中相邻的点之间的距离为1．一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，按如图所示的箭头方向，沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从，按此规律，则动点M到达点处所需时间为（ ）秒．
A．10+55π B．20+55π C．10+110π D．20+110π
10．（2024七上·深圳期末）如图是节选课本110页上的阅读材料，请根据材料提供的方法求和：，它的值是（ ）
上题是利用一系列等式相加消去项达到求和，这种方法不仅限于整数求和，如①②③④ ……继续写出上述第n个算式，并把这些算式两边分别相加，会得到：．
A．1 B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七上·拱墅期末）已知代数式，，（其中），满足，（为常数），则 ．
12．（2024七上·山东期末）已知，则的补角的度数为 ．
13．（2024七上·宜州期末）宋代数学家杨辉称幻方为纵横图，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉在他的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．则的值是 ．
5 n
1
m -3 -1
14．（2024七上·北海期末）观察下列算式：，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ．
15．（2024七上·渠县期末）如果一个正多边形的中心角为72°，则该正多边形的对角线条数为 ．
16．（2021七上·登封期末）线段 ，点 从点 开始向点 以每秒1个单位长度的速度运动，点 从点 开始向点 以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，当 时， 的值为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·惠州期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024七上·历城期末）如图，点O是直线上一点．将射线绕点O逆时针旋转，转速为每秒，得到射线；同时，将射线绕点O顺时针旋转，转速为转速的3倍，得到射线．设旋转时间为t秒（）．
（1）当秒时（如图1），求的度数；
（2）当射线与射线重合时（如图2），求t的值；
（3）是否存在t值，使得射线平分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
19．（2024七上·香洲期末）某市出租车采取“时距并计”的方式收费，具体收费标准如下表：
起步价（3千米以内） 超过3千米部分每千米费用（不足1千米以1千米计） 等候费（不足1分钟以1分钟计）
（单价：元） 10 2.6 等候的前4分钟不收费。之后每2分钟1元
某日上午，出租车司机小李运营线路全是在某条东西走向的路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下：．
（1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点 （东/西） 千米；
（2）若出租车耗油量为8升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？
（3）小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间为18分钟。求第三位乘客需支付车费多少元？
20．（2024七上·拱墅期末）“鱼骨图”，又名因果图、石川图，指的是一种发现问题“根本原因”的分析方法，现代工商管理教育将其划分为问题型、原因型及对策型鱼骨图等几类．
如图的“鱼骨图”有1条主骨、若干条大骨，每条大骨带有2条中骨．把主骨、大骨、中骨统称为“骨头”，如果这张“鱼骨图”只有1条大骨，那么共有4条“骨头”；有2条大骨，则共有7条“骨头”……
（1）如果这张“鱼骨图”有m条大骨，求“骨头”总数（用含m的代数式表示）．
（2）这张“鱼骨图”的“骨头”总数是否可能为2024？说明理由．
（3）如果这张“鱼骨图”有n条中骨，求“骨头”总数（用含n的代数式表示）．
21．（2024七上·桂林期末） 2023年在杭州举办的第十九届亚运会，共有45个国家和地区的代表队、12000多名运动员参加，共颁发金牌482枚．某校新闻社团的同学根据图1金牌榜前四名的金牌数绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，字母A、B所代表的国家名称分别是A： ；B： ；
（2）除前四名外，其他国家和地区在第十九届亚运会上共夺得金牌多少枚？
（3）在扇形统计图中，求中国代表队所得金牌数对应扇形的圆心角度数．（精确到）
（4）你还能从图中得到什么信息？（写一条即可）
22．（2024七上·茂名期末）如图，线段，点在的延长线上，且．
（1）比较线段与的大小，并说明理由；
（2）若，，求的长；
（3）若，点为线段上一动点，要使点分别到点的距离和最小，问点在何处？此时最小值为多少？请说明理由．
23．（2024七上·重庆市期末）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
档次 月用电量 电价（元/度）
第1档 不超过240度的部分 a
第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65
第3档 超过400度的部分
已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元．
（1）表中a的值为 ；
（2）求老李家9月份的用电量；
（3）若8月份老李家用电的平均电价为0.76元/度，求老李家8月份的用电量．
24．（2024七上·岳麓期末）已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”．
（1）下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”；
①（ ） ②（ ） ③（ ）
（2）若关于的方程是“幸福方程”，求的值；
（3）若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解．
25．（2024七上·旺苍期末）以直线上一点O为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即，直角三角板可绕顶点O转动，在转动的过程中，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方．
（1）如图1，若直角三角板的一边在射线上，则______；
（2）将直角三角板绕点O转动后，使其一边在的内部，如图2所示，
①若恰好平分，求此时的度数；
②若，求此时的度数；
（3）直角三角板在绕点O转动的过程中，与之间存在一定的数量关系，请直接写出来，不必说明理由．
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北师大版2025—2026学年七年级上册期末临考预测押题卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七上·昌平期末）下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A中，图中的不能用表示，故A错误；
B中，图中、、表示同一个角，故B正确；
C中，图中的和不是表示同一个角，故C错误；
D中，图中的和不是表示同一个角，故D错误；
故选：B．
【分析】本题考查了角的表示方法及其应用， 其中由两条有公共端点的射线组成的几何对象，角的两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点，根据角的表示方法和图形，结合选项，分析判断，即可求解.
2．（2025七上·东莞期末）某商品先在批发价m元的基础上提高10%零售，后又降价10%出售，则按后面的售价每销售一件商品的盈亏情况为（ ）．
A．亏损了 B．盈利了 C．不亏不盈 D．盈亏不确定
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得，后面的售价为：m×（1+10%）×（1-10%）＝0.99m元
∵m＞0，
∴m＞0.99m，
∴按后面的售价每销售一件商品，为亏损情况
故答案为：A．
【分析】原价提高10%后商品新价格为m×（1+10%）元，再按新价降低10%后单价为m×（1+10%）×（1-10%），由此解决问题即可。
3．（2024七上·怀化期末）如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
【答案】A
【解析】【解答】解：∵为有理数，式子存在最大值，
∵
∴
∴
∴的最大值是2024．
故选：A．
【分析】
由绝对值的非负性可得，则当时有最大值．
4．（2024六上·莱芜期末）如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形长与宽的差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：，即，
整理得：，
则小长方形的长与宽的差是，
故选：D．
【分析】本题考查了列方程、整式的加减、以及等式的性质，设小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的长不变，得到，再求出，即得到长与宽的差．
5．（2024七上·苍梧期末）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百六十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行160里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵慢马先行12天，快马天可追上慢马，
∴快马追上慢马时，慢马行了天
根据题意得：
故选：D．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据慢马先行12天，得到快马追上慢马时慢马行了天，结合路程=速度时间，结合快马追上慢马时快马和慢马行过的路程相等，列出关于的一元一次方程，即可求解.
6．（2024七上·惠城期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．单项式﹣πr3的系数是﹣，次数是4
B．关于x的多项式ax2+bx+c是三次三项式
C．﹣ab2，﹣2x都是单项式，也都是整式
D．2a2b，3ab，5是多项式﹣2a2b+3ab﹣5的项
【答案】C
【解析】【解答】解：A、单项式的系数是，次数是，原说法错误，故A不符合题意，A错误；
B、关于的多项式是二次三项式，原说法错误，故B不符合题意，B错误；
C、，都是单项式，也都是整式，原说法正确，故C符合题意，C正确；
D、，，是多项式的项，原说法错误，故D不符合题意，D错误；
故选：C．
【分析】本题考查单项式、多项式、整式的相关概念.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，据此可判断A选项；多项式的项和多项式的次数：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，据此可判断B选项和D选项；单项式的概念：由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；据此可判断C选项；
7．（2024七上·桂东期末）有理数在数轴上对应的两点分别是． 计算，两点之间的距离公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵有理数在数轴上对应的两点分别是，
∴A，B两点之间的距离公式是，
故答案为：D.
【分析】利用数轴上两点之间的距离公式分析求解即可.
8．（2024七上·深圳期末）已知式子的值为，那么式子的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵y2-2y+6=8，
∴y2-2y=2，
∴-2y2+4y+5=-2（y2-2y）+5=-2×2+5=1.
故答案为：A.
【分析】观察到-2y2是y2的-2倍，4y是-2y的-2倍，所以-2y2+4y可以表示成-2（y2-2y）.计算出y2-2y的值，再整体代入求值即可.
9．（2024七上·新昌期末）如图，点O在直线AB上，点，，，…，在射线OA上，点，，，…在射线OB上，图中相邻的点之间的距离为1．一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，按如图所示的箭头方向，沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从，按此规律，则动点M到达点处所需时间为（ ）秒．
A．10+55π B．20+55π C．10+110π D．20+110π
【答案】A
【解析】【解答】解：所需时间为2+3π秒；所需时间为4+10π秒；所需时间为6+21π秒；所需时间为秒，达所需时间为即10+55π秒
故答案为：A
【分析】找规律，先找到偶数对应所用的时间，得到规律，再代入10得到答案。
10．（2024七上·深圳期末）如图是节选课本110页上的阅读材料，请根据材料提供的方法求和：，它的值是（ ）
上题是利用一系列等式相加消去项达到求和，这种方法不仅限于整数求和，如①②③④ ……继续写出上述第n个算式，并把这些算式两边分别相加，会得到：．
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
=1-+=1-= .
故答案为：B.
【分析】根据已知材料将原式化为1-+，再计算即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七上·拱墅期末）已知代数式，，（其中），满足，（为常数），则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
整理得，，
∴，，
∴，
∵（为常数），
∴，
故答案为：．
【分析】
先利用可得，则，，即B、C数量关系可得．
12．（2024七上·山东期末）已知，则的补角的度数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴的补角的度数为：；
故答案为：．
【分析】利用余补角的定义（ 互为补角的两个角的和等于180° ）列出算式求解即可.
13．（2024七上·宜州期末）宋代数学家杨辉称幻方为纵横图，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉在他的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．则的值是 ．
5 n
1
m -3 -1
【答案】2
【解析】【解答】解：根据题意得：5＋1 3＝m＋1＋n，
∴m＋n＝2．
故答案为：2．
【分析】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等”列出方程5＋1 3＝m＋1＋n，再求出m＋n＝2．
14．（2024七上·北海期末）观察下列算式：，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵，，，，，，，，，
∴，
∴末位数字是，
故答案为：
【分析】根据题意得到末尾数字以2，4，8，6为一组进行循环，进而即可求解。
15．（2024七上·渠县期末）如果一个正多边形的中心角为72°，则该正多边形的对角线条数为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：由题意得：360°÷72°=5
∴该正多边形为五边形
∴对角线条数为：
故答案为：5
【分析】本题考查多边形的对角线，由一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和为360°，用360°除以中心角的度数可得出正多边形的边数，再代入多边形对角线条数公式：，即可得出答案.
16．（2021七上·登封期末）线段 ，点 从点 开始向点 以每秒1个单位长度的速度运动，点 从点 开始向点 以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，当 时， 的值为 .
【答案】 或6
【解析】【解答】解：此题可分为两种情况进行讨论：
①如图1，
点P、Q相遇前，由题意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AB－AP－BQ，
当 时，t＝2(15－t－2t)，
解得t＝ ；
②如图2，
点P、Q相遇后，由题意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AP＋BQ－AB，
当 时，t＝2(t＋2t－15)，
解得t＝6.
综上所述： 的值为 或6.
故答案为： 或6.
【分析】分两种情况①点P、Q相遇前，②点P、Q相遇后，利用AP=2PQ分别列出方程，解之即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·惠州期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【解析】【分析】（1）利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可；
（2）利用有理数的乘法分配律的计算方法及步骤分析求解即可.
18．（2024七上·历城期末）如图，点O是直线上一点．将射线绕点O逆时针旋转，转速为每秒，得到射线；同时，将射线绕点O顺时针旋转，转速为转速的3倍，得到射线．设旋转时间为t秒（）．
（1）当秒时（如图1），求的度数；
（2）当射线与射线重合时（如图2），求t的值；
（3）是否存在t值，使得射线平分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当时，，
∴，
∴当秒时，为．
（2）解：根据题意得：，
解得：，
∴当射线与射线重合时，t的值是9．
（3）解：存在t值，使得射线平分，如图：
∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
解得：，
∴t的值为．
【解析】【分析】（1）先求出∠AOM和∠BON的度数，再利用平角及角的运算求出∠AOB的度数即可；
（2）结合图形直接列出方程，再求解即可；
（3）利用“射线平分”列出方程，再求解即可.
（1）解：当时，，
∴，
∴当秒时，为．
（2）解：根据题意得：，解得，
∴当射线与射线重合时，t的值是9．
（3）解：存在t值，使得射线平分，
如图：∵，
∴，
∵射线平分，
∴，解得，
∴t的值为．
19．（2024七上·香洲期末）某市出租车采取“时距并计”的方式收费，具体收费标准如下表：
起步价（3千米以内） 超过3千米部分每千米费用（不足1千米以1千米计） 等候费（不足1分钟以1分钟计）
（单价：元） 10 2.6 等候的前4分钟不收费。之后每2分钟1元
某日上午，出租车司机小李运营线路全是在某条东西走向的路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下：．
（1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点 （东/西） 千米；
（2）若出租车耗油量为8升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？
（3）小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间为18分钟。求第三位乘客需支付车费多少元？
【答案】（1）西；1
（2）解：．
（升）
答：出租车共耗油352升．
（3）解：（元）
答：第三位乘客需支付车费27.4元．
【解析】【解答】解：（1） 6.5＋5＋（ 7）＋10＋6.5＋（ 9）
＝ 6.5＋5 7＋10＋6.5 9
＝ 1，
即将最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点西1千米处；
故答案为：西，1.
【分析】（1）将题干中的数据相加，再根据结果分析判断即可；
（2）先求出总路程，再结合“出租车耗油量为8升/千米”列出算式求解即可；
（3）利用“总费用=起步价+路程价+等候费”列出算式求解即可.
20．（2024七上·拱墅期末）“鱼骨图”，又名因果图、石川图，指的是一种发现问题“根本原因”的分析方法，现代工商管理教育将其划分为问题型、原因型及对策型鱼骨图等几类．
如图的“鱼骨图”有1条主骨、若干条大骨，每条大骨带有2条中骨．把主骨、大骨、中骨统称为“骨头”，如果这张“鱼骨图”只有1条大骨，那么共有4条“骨头”；有2条大骨，则共有7条“骨头”……
（1）如果这张“鱼骨图”有m条大骨，求“骨头”总数（用含m的代数式表示）．
（2）这张“鱼骨图”的“骨头”总数是否可能为2024？说明理由．
（3）如果这张“鱼骨图”有n条中骨，求“骨头”总数（用含n的代数式表示）．
【答案】（1）解：由题意得，当“鱼骨图”有1条大骨时，“骨头”总数为：；
当“鱼骨图”有2条大骨时，“骨头”总数为：；
当“鱼骨图”有3条大骨时，“骨头”总数为：；
…，
所以当“鱼骨图”有m条大骨时，“骨头”总数为条；
（2）解：这张“鱼骨图”的“骨头”总数不能为2024，理由如下：
假设这张“鱼骨图”的“骨头”总数可能为2024，
令此时的大骨条数为x，
则，
解得，
因为x为正整数，
所以这张“鱼骨图”的“骨头”总数不能为2024；
（3）当“鱼骨图”有2条中骨时，“骨头”总数为：；
当“鱼骨图”有4条中骨时，“骨头”总数为：；
当“鱼骨图”有6条中骨时，“骨头”总数为：；
…，
所以当“鱼骨图”有n条中骨时，“骨头”总数为条．
【解析】【分析】
（1）由题知，每增加1根大骨，则“骨头”总数增加3，结合图形即可求解；
（2）根据（1）的结论计算即可求解；
（3）找出中骨数量与“骨头”总数之间的关系即可求解．
21．（2024七上·桂林期末） 2023年在杭州举办的第十九届亚运会，共有45个国家和地区的代表队、12000多名运动员参加，共颁发金牌482枚．某校新闻社团的同学根据图1金牌榜前四名的金牌数绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，字母A、B所代表的国家名称分别是A： ；B： ；
（2）除前四名外，其他国家和地区在第十九届亚运会上共夺得金牌多少枚？
（3）在扇形统计图中，求中国代表队所得金牌数对应扇形的圆心角度数．（精确到）
（4）你还能从图中得到什么信息？（写一条即可）
【答案】（1）印度；日本
（2）解： ，
故其他国家和地区在第十九届亚运会上共夺得金牌枚；
（3）解：；
（4）解：从图中得到中国获得金牌数目第一，国家对运动的重视程度较高．
【解析】【解答】解：（1）482×5.8%≈28枚，482×10.8%≈52枚，
∴字母A所代表的国家名称是印度， 字母B所代表的国家名称是日本.
故答案为：印度，日本.
【分析】（1）用金牌总数乘以A和B所占的百分比即可解答；
（2）用金牌总数减去中国、日本、韩国和印度的金牌数即可；
（3）利用360°乘以中国所占的比例即可求解；
（4）利用统计图中的数据解答即可.
22．（2024七上·茂名期末）如图，线段，点在的延长线上，且．
（1）比较线段与的大小，并说明理由；
（2）若，，求的长；
（3）若，点为线段上一动点，要使点分别到点的距离和最小，问点在何处？此时最小值为多少？请说明理由．
【答案】（1）解：．
理由：∵，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴
（3）解：当在点时，到点的距离和最小，最小值为．
理由：∵点到的距离分别为、、，
∵，的长是固定值，
∴要使距离和最短，则需最短即可，
∴当在点时，为，此时的值最小，
最小值
【解析】【分析】（1）由AB=CD得AB+BC=CD+BC，据此可得出线段AC与BD的大小；
（2）根据AB：BC=2：5，AB+BC=AC=14，可以求出AB的长，再由CD=AB，AD=AC+CD即可求出AD长；
（3）先表示出距离之和，PA+PC+PB=AC+PB，AC为定值，故要使距离之和最小，只要PB最小即可.当P在B点时，PB=0最小.
23．（2024七上·重庆市期末）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
档次 月用电量 电价（元/度）
第1档 不超过240度的部分 a
第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65
第3档 超过400度的部分
已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元．
（1）表中a的值为 ；
（2）求老李家9月份的用电量；
（3）若8月份老李家用电的平均电价为0.76元/度，求老李家8月份的用电量．
【答案】（1）0.6
（2）解：设老李家9月份的用电量为x度．
因为（元），（元），，
所以老李家9月份的用电量超过240度，但不超过400度．
由题意得，，
解得．
答：老李家9月份的用电量为300度；
（3）解：因为，
所以老李家8月份的用电量超过400度．
设老李家8月份的用电量为y度，由题意得
，
解得．
答：老李家8月份的用电量为800度．
【解析】【解答】解：（1）依题意得，
解得：，
故答案为：
【分析】（1）根据“已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元”即可列出一元一次方程，进而即可求解；
（2）设老李家9月份的用电量为x度，根据“老李家9月份的用电量超过240度，但不超过400度”即可列出一元一次方程，进而即可求解；
（3）结合题意列出一一元一次方程即可求解。
24．（2024七上·岳麓期末）已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”．
（1）下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”；
①（ ） ②（ ） ③（ ）
（2）若关于的方程是“幸福方程”，求的值；
（3）若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解．
【答案】（1）；；
（2）解：，
解得：，
根据方程是“幸福方程”，
可得：或，
解得：或；
答：的值 为或-4.
（3）解：，
解得：，
方程是“幸福方程”，
或，
①当时，
可化简为，
解得：；
②当，
可化简变形为，
解得：，
因此，当时，该方程无解；
当时，；
综上所述，当时，；
当时，①时，无解；②时，．
【解析】【解答】解：（1）①，
解得：，
∵，
∴方程是“幸福方程”；
②，
解得：，
∵，，，，
∴方程不是“幸福方程”；
③，
变形可得：，
解得：，
∵，
∴方程是“幸福方程”；
故答案为：；；；
【分析】（1）根据题目中“幸福方程”的概念，逐个进行判断即可；
（2）根据题目中“幸福方程”的概念，即可得出或，对方程进行求解即可；
（3）根据题目中“幸福方程”的概念，列出方程求解，并进行分类讨论即可．
（1）解：①解，可得，，故方程是“幸福方程”；
②解，可得，，，，，故方程不是“幸福方程”；
③解，可得，将变形可得，，故方程是“幸福方程”，
故答案为：；；；
（2）解：解，可得，
关于的方程是“幸福方程”，
或，
解得或；
（3）解：解，可得，
关于的方程是“幸福方程”，
或，
①当时，
可化简为，
则，
②当，
可化简为，
变形可得，
当时，等式左边等于0，等式右边等于5，故该方程无解；
当时，；
综上可得，当时，；当且时，无解；当且时，．
25．（2024七上·旺苍期末）以直线上一点O为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即，直角三角板可绕顶点O转动，在转动的过程中，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方．
（1）如图1，若直角三角板的一边在射线上，则______；
（2）将直角三角板绕点O转动后，使其一边在的内部，如图2所示，
①若恰好平分，求此时的度数；
②若，求此时的度数；
（3）直角三角板在绕点O转动的过程中，与之间存在一定的数量关系，请直接写出来，不必说明理由．
【答案】（1）40°；
（2）解：①∵，∴，
∵恰好平分，
∴，
∴；
②当在的内部时，如图所示：
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40°；
（3）当在内部时，如图所示，
∵，，
∴．
当在外部时，如图所示，
∵，，
∴；
综合上述，则；
【分析】（1）根据互余计算即可；
（2）①根据平角定义先求出，再根据角平分线的定义求出∠COE，最后利用平角计算即可；
②根据角的运算和平角计算即可；
（3）分当在内部时和在外部时，两种情况计算即可.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40°；
（2）解：①∵，
∴，
∵恰好平分，
∴，
∴；
②如图，当在的内部时，
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）解：当在内部时，如图所示，
∵，，
∴．
当在外部时，如图所示，
∵，，
∴；
综合上述，则；
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