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北师大版2025—2026学年九年级上册期末名校真题汇编培优卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·潮州期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最优可能的是（ ）
A．暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球
B．掷一枚硬币，正面朝上
C．掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是2
D．从一副扑克牌中任意抽取1张，这张牌是“红心”
2．（2024九上·温江期末）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形与四边形的面积比是（ ）
A．： B．： C．： D．：
3．（2024九上·南山期末） 某学习小组用绘图软件绘制出了函数如图所示的图象，根据你学习函数的经验，下列 对 a，b 大小的判断，正确的是（ ）
A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
4．（2024九上·定边期末）如图，正方形的边长为10，且，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2024九上·福州期末）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·成都期末）如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·杭州期末）黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列．如图，点为的黄金分割点，若的长度为，那么的长度是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·江州期末）如图，A，B是双曲线上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，若△ADO的面积为4.5，D为OB的中点，则k的值为（ ）.
A． B．4.5 C．8 D．12
9．（2024九上·岳阳期末）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·温岭期末）已知、、为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·福州期末）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积的取值范围 ．
12．（2024九上·北海期末）某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价 元．
13．（2024九上·西湖期末）如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是
14．（2023九上·龙泉驿期末）设关于x的方程的两个实数根分别为，，若，那么实数m的取值是 ．
15．（2023九上·秀洲期末）如图，点P是矩形边上的任意一点（不包括点），点分别是的重心，若矩形的面积是8，则的面积是 ．
16．（2025九上·婺城期末）如图，在菱形中，，点在上，以为边作菱形，使点在的延长线上，连结，，延长交于点．若是的中点，则 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·黔南期末）用适当的方法解下列方程；
（1）；
（2）．
18．（2025九上·开福期末）某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（表示成绩，单位：分），组：；组：；组：；组：；组：．并绘制出如图两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加初赛的选手共有_______名，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，组对应的圆心角是_______度，组人数占参赛选手的百分比是_______；
（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，组6名选手直接进入代表队，现要从组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
19．（2024九上·江源期末）某种原料需要达到及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度与时间之间的关系，其中线段表示原料加热阶段；线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线是双曲线的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题：
（1）填空：的值为_______；
（2）求线段对应的函数解析式；
（3）在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间长度．
20．（2024九上·渠县期末）如图，在与中，已知，，，，，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
21．（2024九上·南山期末）如图，在正方形中，点E，F分别在，上，，垂足为M.
（1）求证：；
（2）若正方形的边长是8，，点N是的中点，求的长.
22．（2025九上·兰州期末）通常，路灯、台灯、手电筒……发出的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
（1）如图1，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图像大致为_________；
A． B． C． D．
（2）如图2，小明为测河对岸的路灯杆的高度，在路灯A的灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求路灯杆的高度．
23．（2025九上·东营期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点A，且点的横坐标为6．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点在反比例函数的图象上，连接，求△ABC的面积；
（3）在第一象限内，直接写出不等式成立的的取值范围．
24．（2024九上·绿园期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点为线段的中点，过点向上作，且，以、为边作矩形．设点的运动时间为（t>0）秒．
（1）线段的长为 （用含的代数式表示）．
（2）当点N恰好落在边上时，求的值．
（3）当点在内部时，设矩形与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式．
（4）当点恰好落在的角平分线上时，直接写出的值．
25．（2025九上·惠州期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．
（1）点是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．
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北师大版2025—2026学年九年级上册期末名校真题汇编培优卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·潮州期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最优可能的是（ ）
A．暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球
B．掷一枚硬币，正面朝上
C．掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是2
D．从一副扑克牌中任意抽取1张，这张牌是“红心”
【答案】A
【解析】【解答】
选项A描述的是“暗箱中有1个红球和2个黄球，从中任取一球是红球”。该事件的概率计算为：
P(红球)=
选项B描述的是“掷一枚硬币，正面朝上”。硬币有两面，正面朝上的概率为：
P(正面)=
选项C描述的是“掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是2”。六面骰子每一面出现的概率是相等的，点数为2的概率是：
P(点数2)=
选项D描述的是“从一副扑克牌中抽一张牌是黑桃A”。一副标准扑克牌有52张，黑桃A仅有一张，其概率为：
P(黑桃A)=
通过计算和比较，我们可以看出选项A中的事件，即“暗箱中有1个红球和2个黄球，从中任取一球是红球”的概率最接近于0.33，因此该事件最有可能与题目中描述的频率相匹配
故答案为：A
【分析】题目要求确定给出的事件中，哪一个事件最有可能与频率稳定在0.33附近的折线图相匹配。首先，我们需要计算每个选项所描述事件的理论概率，然后比较这些概率与题目中提到的频率（0.33）之间的接近程度。
2．（2024九上·温江期末）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形与四边形的面积比是（ ）
A．： B．： C．： D．：
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形与四边形位似，
∴，
∵，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据位似图形的定义得到四边形ABCD∽四边形EFGH，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算即可.
3．（2024九上·南山期末） 某学习小组用绘图软件绘制出了函数如图所示的图象，根据你学习函数的经验，下列 对 a，b 大小的判断，正确的是（ ）
A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【答案】A
【解析】【解答】解：由图象可知，当x>0时，y>0，
∴a>0；
当x =-b时，函数值不存在，
∴-b > 0，
∴b<0；
故答案为：A.
【分析】由图象可知，当x>0时，y>0，可知a>0； x=-b时，函数值不存在，则b<0.
4．（2024九上·定边期末）如图，正方形的边长为10，且，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：延长BF交AE于点G，如下图：
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AB=BC，∠DAB=90°
∵AD=BC=10，AE=FC=8，BF=DE=6
∴△ADE≌△CBF（SSS），AD2=AE2+DE2
∴∠ADE=∠CBF，∠DAE=∠BCF，∠AED=∠CFB=90°，∠DAE=∠BCF
∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠GAB
∴∠ADE=∠GAB
同理，可得∠BCF=∠ABG；
∴∠DAE=∠ABG
∵∠ADE=∠GAB，AD=AB，∠DAE=∠ABG
∴△ADE≌△BAC（ASA）
∴DE=AG=6，AE=BG=8，∠AGB=∠AED=90°
∴GE=AE-AG=8-6=2，GF=BG-BF=8-6=2
∴EF=
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质，可得AD=AB=BC，∠DAB=90°；根据三角形全等的判定（SSS和ASA）和性质，可得∠ADE=∠CBF，∠DAE=∠BCF，∠AED=∠CFB=90°，∠DAE=∠BCF，DE=AG=6，AE=BG=8，∠AGB=∠AED=90°；根据勾股定理的逆定理，可得∠AED=∠CFB=90°和EF的值.
5．（2024九上·福州期末）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设每组x人，
∴
故答案为：A.
【分析】设每组x人，根据采用分组单循环赛制，则没人参加（x-1）场比赛，则共有场比赛，根据题干"每组共需进行15场比赛"，据此即可列出方程.
6．（2024九上·成都期末）如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
添加条件，结合条件，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明，故A不符合题意；
添加条件不能证明，故B符合题意；
添加条件，结合条件，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明，故C不符合题意；
添加条件，结合条件，可以根据两组对应边成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】先得到，然后利用相似三角形的判定方法逐项判断解题．
7．（2024九上·杭州期末）黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列．如图，点为的黄金分割点，若的长度为，那么的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵点是的黄金分割点，
∴，
；
故答案为：D ．
【分析】根据黄金分割比计算即可．
8．（2023九上·江州期末）如图，A，B是双曲线上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，若△ADO的面积为4.5，D为OB的中点，则k的值为（ ）.
A． B．4.5 C．8 D．12
【答案】D
【解析】【解答】解：设A（x1，），则B（x2，）.过B作垂线BE交x轴于E点，
∴AC=，OC= x1，BE=，OE=x2；
而D为OB中点，∴△ODC∽△OBE，∴，即，因此x2=2x1；，因此CD=，
AD=；
S△ADO=4.5=，变形为；
解得k=12.
故答案为：D。
【分析】本题首先假设出A点和B点的坐标，然后找到对应的长度，利用相似三角形得出x2=2x1，并且确定CD的长度。最后利用 △ADO的面积为4.5列出式子变形化简，即可求出k的值。
9．（2024九上·岳阳期末）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵矩形沿折叠，使点C落在边的点F处，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴解得：，负值舍去，
∴，，
∴矩形的面积．
故答案为：A．
【分析】根据折叠的性质得到，由矩形的性质可得，利用同角的余角相等证得，进而得到，设，则，，，故AD=BC=BE+CE=8x，进而得到DF=10x，在直角三角形DEF中，由勾股定理解得x=1，再根据矩形的面积公式计算即可.
10．（2023九上·温岭期末）已知、、为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵y=-，若x1x2＞0，
当x1＜x2＜x3＜0时，
∴y3＞y2＞y1＞0，
∴y1y3＞0，
∴A选项错误，不符合题意；
B、∵y=-，若x1x3＜0，
当x1＜0＜x2＜x3时，
∴y1＞0＞y3＞y2，
∴y1y2＜0，
∴B选项错误，不符合题意；
C、∵y=-，若x2x3＞0，
当x1＜0＜x2＜x3时，
∴y1＞0＞y3＞y2，
∴y1y3＜0，
∴C选项错误，不符合题意；
D、∵y=-，若x2x3＜0，
∴x1＜x2＜0＜x3时，
∴y2＞y1＞0＞y3，
∴y1y3＜0，
∴D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数增减性，结合每个选项条件，求得对应y的正负号，再逐项进行分析判断即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·福州期末）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积的取值范围 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，
∴设
∴
∴
∴在第一象限内，y随x增大而减小，
当时，
∴为了安全起见，气体的体积的取值范围：，
故答案为：.
【分析】根据题意设然后把代入解析式即可得到：令，即可求解.
12．（2024九上·北海期末）某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价 元．
【答案】4或36
【解析】【解答】解：设每件降价x元，则每件可盈利（44 x）元，平均每天可售出（20＋5x）件，
根据题意得：（44 x）（20＋5x）＝1600，
整理得：x2 40x＋144＝0，
解得：x1＝4，x2＝36，
∴若要平均每天盈利1600元，则应降价4或36元．
故答案为：4或36．
【分析】设每件降价x元，则每件可盈利（44 x）元，平均每天可售出（20＋5x）件，根据“平均每天盈利1600元”列出方程（44 x）（20＋5x）＝1600，再求解即可.
13．（2024九上·西湖期末）如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意得：，
∴，
∵烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】根据得到，然后利用相似三角形的对应边成比例解题．
14．（2023九上·龙泉驿期末）设关于x的方程的两个实数根分别为，，若，那么实数m的取值是 ．
【答案】9
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程的两个实数根分别为，，
∴α+β=2，αβ=-m+1，
∵|α|+|β|=6，
∴αβ＜0，
（|α|+|β|）2=36，即α2+β2-2αβ=36，
∴（α+β）2-4αβ=36
∴4-4（-m+1）=36
解之：m=9.
故答案为：9
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可表示出α+β，αβ=-m+1，再根据|α|+|β|=6，可得到αβ＜0，将|α|+|β|=6转化为（α+β）2-4αβ=36，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
15．（2023九上·秀洲期末）如图，点P是矩形边上的任意一点（不包括点），点分别是的重心，若矩形的面积是8，则的面积是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接并延长交于点，，连接并延长交于点，交于点，双向延长，分别交于点，如图，
∵点分别是的重心，
同理可得：，
∴的底为，高为，
设，
∵矩形的面积是8，
∴．
∴的面积．
故答案为：．
【分析】连接并延长交于点，连接并延长交于点，交于点，双向延长，分别交于点，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得于是可得比例式结合三角形的重心的性质即可求解．
16．（2025九上·婺城期末）如图，在菱形中，，点在上，以为边作菱形，使点在的延长线上，连结，，延长交于点．若是的中点，则 ．
【答案】
【解析】【解答】
解：如图，延长，交于点H，
设，，
∵四边形和四边形都是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∵M是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得：（舍），，
∴．
故答案为：．
【分析】要求的比值，可把AE、AD放到一组相似三角形中。由于图中有中线可倍长中线构造全等三角形，即延长EM至点H，使HM＝EM，连接AH，则显然有，则可证AH//EF//CD，即B、A、H三点共线，此时可证，利用比例式即可求出的值。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·黔南期末）用适当的方法解下列方程；
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：法一：，，
或，．
法二：．．
，．．
即或，．
（2）解：法一：，．
．或．．
法二：，，．
．或，．
【解析】【分析】（1）利用十字相乘法的计算方法求解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法的计算方法求解一元二次方程即可。
18．（2025九上·开福期末）某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（表示成绩，单位：分），组：；组：；组：；组：；组：．并绘制出如图两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加初赛的选手共有_______名，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，组对应的圆心角是_______度，组人数占参赛选手的百分比是_______；
（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，组6名选手直接进入代表队，现要从组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1），B组有：（名）
频数分布直方图补充如下：
（2），
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，
∴抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为
【解析】【解答】（1）参加初赛的选手共有：（名）
故答案为：40
（2）C组对应的圆心角度数是：
E组人数占参赛选手的百分比是：
故答案为：，
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可用A组人数除以A组所占百分比得到参加初赛的选手总人数，用总人数乘以B组所占百分比得到B组人数，从而补全频数分布直方图；
（2）用360度乘以C组所占百分比得到C组对应的圆心角度数，用E组人数除以总人数得到E组人数占参赛选手的百分比；
（3）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏、列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）参加初赛的选手共有：（名）
B组有：（名）
频数分布直方图补充如下：
故答案为：40
（2）C组对应的圆心角度数是：
E组人数占参赛选手的百分比是：
故答案为：，
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，
∴抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为
19．（2024九上·江源期末）某种原料需要达到及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度与时间之间的关系，其中线段表示原料加热阶段；线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线是双曲线的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题：
（1）填空：的值为_______；
（2）求线段对应的函数解析式；
（3）在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间长度．
【答案】（1）21
（2）解：设线段的解析式为，
把代入得，，
解得，
∴线段的解析式为；
（3）解：在中，当时，，
解得，
在中，当时，，
解得，
∴，
∴在图中所示的温度变化过程中，可进行零件加工的时间长度为．
【解析】【解答】（1）解：∵线段轴，且点的纵坐标为100，
∴，
解得，
故答案为：21；
【分析】（1）根据函数图象信息即可求出答案.
（2）设线段的解析式为，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（3）分别求出在一次函数，反比例函数中当y=60对应的x值，再作差即可求出答案.
（1）解：∵线段轴，且点的纵坐标为100，
∴，
解得，
故答案为：21；
（2）解：设线段的解析式为，
把代入得，，
解得，
∴线段的解析式为；
（3）解：在中，当时，，
解得，
在中，当时，，
解得，
∴，
∴在图中所示的温度变化过程中，可进行零件加工的时间长度为．
20．（2024九上·渠县期末）如图，在与中，已知，，，，，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：过A作于G，
由（1）知，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据同角或等角的余角相等证得，再根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证得 ；
（2）过A作于G， 先由得到 ，再利勾股定理求出AG的长，然后根据三角形的面积公式计算即可.
21．（2024九上·南山期末）如图，在正方形中，点E，F分别在，上，，垂足为M.
（1）求证：；
（2）若正方形的边长是8，，点N是的中点，求的长.
【答案】（1）证明：如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵正方形边长为8，，
∴，
，，
由（1）知：，
∴，，
∵，
在中，由勾股定理得：，
∵，N为中点，
∴.
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得，，再根据ASA判定即可求得；
（2）先求出AE，根据（1）中结论可得DF，根据勾股定理求得BF，再根据直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半，即可求得MN.
22．（2025九上·兰州期末）通常，路灯、台灯、手电筒……发出的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
（1）如图1，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图像大致为_________；
A． B． C． D．
（2）如图2，小明为测河对岸的路灯杆的高度，在路灯A的灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求路灯杆的高度．
【答案】（1）D
（2）解：，
，，
，，
又，
，
，，，，
，
，，
，
解得：；
灯杆的高度为．
【解析】【解答】（1）解：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， D符合题意，
故答案为：D；
【分析】
（1）由于人距离光源越近影长越小，当人刚好处于光源底下时影长为0，反之当人距离光源越远时影长越大；
（2）根据题意可分别判定，由相似比可得，，由于小明身高与灯标高度不变，即有，再代值计算可分别得BD、BF的长，再利用相似即可．
（1）解：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， D符合题意，
故答案为：D；
（2）解：，
，，
，，
又，
，
，，，，
，
，，
，
解得：；
灯杆的高度为．
23．（2025九上·东营期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点A，且点的横坐标为6．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点在反比例函数的图象上，连接，求△ABC的面积；
（3）在第一象限内，直接写出不等式成立的的取值范围．
【答案】（1）（1）解：把代入，
．
，
∵反比例函数的图象过点，
，
反比例函数为；
（2）解：把代入，
，
，
∵在反比例函数的图象上，则
，
∴，
作轴于，轴于，
（3）
【解析】【解答】（3）解：由图象可得，在第一象限内，不等式成立的的取值范围是．
【分析】（1）将x=6代入一次函数解析式可得，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征令y=0，可得，将点C坐标代入反比例函数解析式可得，作轴于，轴于，根据，结合梯形，三角形面积即可求出答案.
（3）当反比例函数图象在一次函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（1）解：把代入，
．
，
∵反比例函数的图象过点，
，
反比例函数为；
（2）解：把代入，
，
，
∵在反比例函数的图象上，则
，
∴，
作轴于，轴于，
（3）由图象可得，在第一象限内，不等式成立的的取值范围是．
24．（2024九上·绿园期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点为线段的中点，过点向上作，且，以、为边作矩形．设点的运动时间为（t>0）秒．
（1）线段的长为 （用含的代数式表示）．
（2）当点N恰好落在边上时，求的值．
（3）当点在内部时，设矩形与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式．
（4）当点恰好落在的角平分线上时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）解：如图，当点落在上时，
，
，
，
解得．
（3）解：当时，重叠部分是矩形，
当时，重叠部分是五边形．
，
综上所述，
（4）解：或．
【解析】【解答】解：（1）由题意，，
，
．
故答案为：．
（4）如图4-1中，当点落在的角平分线上时，满足条件．作于．
，，，
，
，，设，
，，，
，
，
在中，则有，
解得，
，
，
，
如图4-2中，当点落在的角平分线上时，满足条件作于．
同法可证：，
，，设，
，
在中，则有，
解得，
，
，
，
解得 ．
综上所述，满足条件的的值为或
【分析】（1）由题意，，进而即可求解；
（2）根据题意结合平行线分线段成比例即可求解；、
（3）根据题意分类讨论：当时，重叠部分是矩形，；当时，重叠部分是五边形
，，进而即可求解；
（4）根据题意分类讨论：当点落在的角平分线上时，满足条件．作于；当点落在的角平分线上时，满足条件作于．进而根据三角形全等的判定与性质结合题意勾股定理解一元二次方程即可求解。
25．（2025九上·惠州期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．
（1）点是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．
【答案】（1）解：点在这个反比例函数的图象上．
理由如下：
一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
设点的坐标为，
点关于直线的对称点为点，
，平分，
连接交于，如图所示：
，
轴于，
轴，，
，
，
，
在Rt中，，
，
为边上的中线，即，
，
，
，
点在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①四边形为正方形，
，垂直平分，
，
设点的坐标为，
，，
，
（负值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延长交轴于，如图所示：
，，
点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，即，故当最大时，点的坐标为．
【解析】【分析】（1）设点的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，连接交于，得到，再结合等腰三角形三线合一得到为边上的中线即，求出，进而求得，从而可判定点在这个反比例函数的图象上，解答即可；
（2）①根据正方形的性质求得，设点的坐标为，建立方程计算得到（负值舍去），从而得，，再利用待定系数法，解方程组即可得到结论；
②延长交轴于，根据已知条件得到点与点关于轴对称，求得，则点即为符合条件的点，求得直线的解析式为，解答即可．
（1）解：点在这个反比例函数的图象上．
理由如下：
一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
设点的坐标为，
点关于直线的对称点为点，
，平分，
连接交于，如图所示：
，
轴于，
轴，，
，
，
，
在Rt中，，
，
为边上的中线，即，
，
，
，
点在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①四边形为正方形，
，垂直平分，
，
设点的坐标为，
，，
，
（负值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延长交轴于，如图所示：
，，
点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，即，故当最大时，点的坐标为．
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