2025-2026人教版九年级数学期末专项训练专题11 反比例函数（高频考点归纳 解析 单元检测）
文档属性
| 名称 | 2025-2026人教版九年级数学期末专项训练专题11 反比例函数（高频考点归纳 解析 单元检测） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 23.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-09 17:45:16 | ||
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文档简介
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2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题11 反比例函数（高频考点归纳+解析+单元检测）
考点01 反比例函数的概念
考点02 反比例函数的性质
考点03 反比例函数K的几何意义
考点04 反比例函数的实际问题
考点05反比例函数与一次函数
考点06反比例函数与几何图形
考点01 反比例函数的概念
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西朔州·期末）从太原到大同的路程一定，则下列数量关系中，成反比例关系的是（ ）
A．路程与时间 B．路程与速度 C．时间与速度 D．以上都不对
2．（24-25九年级上·广东珠海·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·广东惠州·期末）下列函数：①，②，③，④，⑤．其中反比例函数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（24-25九年级上·山东淄博·期末）下列函数中，一定是反比例函数的是（）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25九年级下·浙江嘉兴·期末）下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25九年级上·山东泰安·期末）下列函数不是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
考点02 反比例函数的性质
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·山东东营·月考）已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·福建福州·期末）若点，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知，，，四点都在反比例函数的图象上，其中，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25九年级上·北京丰台·期末）下列函数图象中，随的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知点A在反比例函数图象上，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则反比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．或
7．（24-25九年级上·山东临沂·期末）已知反比例函数，有下列结论：①图象必经过点；②图象位于第二、四象限；③y随x的增大而增大；④当时，则．其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①④ D．②③④
8．（24-25·浙江衢州·期末）若，两点分别是双曲线和图象上的点．若，且，则和的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（24-25九年级上·山西临汾·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，试用“”号将a，b，c连接 ．
三、解答题
10．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知点,点在反比例函数的图象上．
(1)求的值；
(2)点均在反比例函数的图象上,若,试比较,的大小．
考点03 反比例函数K的几何意义
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．6
2．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点A，交反比例函数的图象于点C，轴于点B，交反比例函数的图象于点D，若C为的中点，则四边形的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
3．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点，轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，．若四边形的面积为12，则的值为 ．
4．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象与线段交于点，并且，则点的坐标为 ．
5．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则 ．
6．（24-25九年级上·河北·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是 ．
7．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，反比例函数与矩形在第一象限相交于、两点，若，则
8．（24-25九年级上·山西晋城··期末）如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S1+S2＝6，则S阴影＝ ．
考点04 反比例函数的实际问题
一、单选题
1．（24-25九年级上·广东东莞··期末）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（ ）
A．在一定范围内，越小越大
B．当时，的阻值为
C．当踏板上人的质量为时，
D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是
二、解答题
2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与实践
问题情境：如图，这是学生的注意力指标数y随时间x（单位：分钟）的变化规律的图象，其中是线段，为双曲线在第一象限内的一部分．
问题解决：
(1)求线段和双曲线所表示的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围．
(2)我们知道，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随时间的变化而变化，学生的注意力指标数越大，注意力就越集中．通过计算对比上课后的第3分钟和第30分钟，学生注意力哪个更加集中．
(3)已知老师要讲一个重要知识点；为了使学生听课效果更好，要求学生的注意力指标数不得低于40，老师希望在学生的注意力达到所需状态下讲完，请直接写出老师讲解这个知识点最好安排在什么时间段．（默认为在时间段内能讲完）
3．（24-25九年级上·山西太原·期末）【问题情境】
区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度（单位：）与行驶时间（单位：）的数据如表．
小型车辆 行驶时间（单位：） 平均速度（单位：）
A 0.5 60
B 0.3 100
C 0.6 50
D 0.4 75
【建立模型】
（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度（单位：）是行驶时间（单位：）的函数．求（单位：）与（单位：）之间的函数解析式；
【问题解决】
（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度；
（3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？
4．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合与实践
如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表：
托盘与点的距离 10 15 20 25 30
托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10
(1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式；
(2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离；
(3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量．
5．（24-25九年级上·广东清远·期末）综合与实践
【问题情境】
排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫．
【实验操作】
将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1：
表1
长度（）
振动频率（）
【探索发现】
（1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）；
（2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式．
表2 C调音符与频率对照表
音符 不同音区的频率（）
低音区 中音区 高音区
【实际应用】
（3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到）
6．（25-26九年级上·北京海淀·期末）喜欢物理的小颖用如图1所示电路研究导体中的电流与电阻的关系，电源电压恒为，调节滑动变阻器的滑片可改变电阻的阻值．（），同时电流大小会随之改变．已知串联电路中，电流与电阻及之间关系为，滑动变阻器消耗的功率与电流及它自身电阻之间关系为，其中，通过实验和计算小颖得到了如下数据：
0 5 10 20 30 40 50
1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2
0 2.0 3.2 3.6 2.7 2.304 2.0
(1)补全表格中的信息：_________________，___________________．
(2)结合表格信息，在图2中画出关于的函数图象，并写出其解析式：_________________．
(3)小颖通过计算得到关于的函数解析式为，并借助计算机得到其函数图象如图3所示，由此她认为有最大值，为了证明这个结论，她查阅资料自学均值不等式的知识：“对于任意的两个正数，都有，当且仅当时等号成立”，请你补全下方小颖的证明过程：
首先
∵时
∴只需考虑的情况，此时，
又∵__________________，
∴__________________，当且仅当_____________时等号成立．
7．（24-25九年级上·江苏泰州·期末） 【情景再现】
某次数学活动课上，遇到这样的题目：解下列方程：．经过思考，下面是一个学习小组的对话过程．
估计还是用因式分解法、公式法来解决．
可是，第一步的因式分解该如何入手呢？
我观察发现，是该方程的一个解，因此就应该是其中一个因式，不妨设，由于前后方程式一样的，采用待定系数法，我们就可以求出、、的值，这样后续就简单了．
【理解运用】
（1）请你按照上述对话的思路，求出、、的值；
（2）请求出方程的解；
【方法迁移】
（3）若点在函数上，求点的坐标．
8．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某实验兴趣小组用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，液体的密度（单位：）与其浸在液体中的高度h（单位：）成一定的函数关系，经过实验获得两个变量h，的一组对应值如下表：
h 2 4 5 8
8 5 4
(1)在给定的坐标系中画出相应函数的图象，并求出密度（单位：）关于高度h（单位：cm）的函数表达式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求这种液体的密度．
考点05反比例函数与一次函数
一、单选题
1．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（25-26九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，双曲线的图象如图所示，直线自原点开始沿y轴上下平移，在平移过程中，当双曲线上有某个点到直线的距离为时，那么称两个图形为“正相连”，则从直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连”开始到与双曲线有且只有3个点的“正相连”终止，在这个过程中，m的取值范围是 ．
三、解答题
3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点与点关于轴对称，求的面积；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
4．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且一次函数y1的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)当时，直接写出x的取值范围．
5．（24-25九年级上·北京平谷·期末）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是A．
(1)求a和的值；
(2)当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出m的取值范围．
6．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点．
(1)求反比例函数的关系式及点的坐标；
(2)请直接写出不等式的解集______；
(3)点在轴上，且，连接，求的面积．
7．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式的解集．
8．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，一次函数：与反比例函数：的图象相交于点，连接．
(1)求一次函数的表达式；
(2)直接写出的面积．
考点06反比例函数与几何图形
一、解答题
1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，交反比例函数于点(第一象限)．若点的纵坐标为2，且．
(1)求出反比例函数的解析式；
(2)过线段上一点作轴的垂线，交反比例函数于点．连接，当为等腰直角三角形时，求点的坐标．
2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
3．（24-25九年级上·广东清远·期末）综合与实践
【主题】反比例函数图象与三等分角
【素材】我们知道，利用尺规可以平分任意一个角，从而可以把一个角四等分、八等分……那么，能否用尺规三等分一个任意角呢？
公元前5世纪，古希腊的学者们就提出了这个问题．为了解决这个问题，数学家们花费了大量的时间和精力．直到1837年，数学家才证明了“三等分任意角”是不可能用尺规完成的．在研究这个问题的过程中，古希腊数学家帕普斯（Pappus，约300-350）给出了一种方法．
【实践与操作】
步骤1：建立平面直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合．步骤2：在平面直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P．步骤3：以P为圆心，的长为半径作弧，交函数的图象于点R．步骤4：分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线交于点M．步骤5：连接，得到．
【实践探索】
(1)过P作轴于点H且交于Q，连接，，请证明四边形为矩形．
(2)求证：．
4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图1，一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接、
(1)______；______；
(2)求四边形的面积；
(3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，当以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，求点的坐标．
5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在线段上，且点的横坐标为3，点A的坐标为．过点作轴，、分别与反比例函数的图像相交于点、，，连接．
(1)点的坐标为 ；所在直线的函数表达式为 ；
(2)求反比例函数表达式和点的坐标；
(3)点为轴上一点，点为反比例函数图像上一点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标．
6．（24-25九年级上·山东·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中，．
(1)当反比例函数的图象和矩形有交点时，的最大值为 ．（请直接写出结果）
(2)如图，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接．
①当时，求的面积；
②连接，判断与是否平行？并说明理由．
7．（24-25·江苏苏州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．
(1)求的值；
(2)当为何值时，的值最大 最大值是多少
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．反比例函数 的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
2．关于反比例函数下列说法不正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限 B．当时，随的增大而增大
C．图象与坐标轴无交点 D．若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上
3．如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是（ ）
A．与的函数解析式是
B．当时，
C．随的增大而增大
D．当时，的取值范围是
4．若点，，都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的函数图象经过顶点，则的值为（ ）
A． B．32 C． D．16
6．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（ ）
A． B． C． D．
7．已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点
B．图象过第一、三象限
C．若，则
D．点、是图象上的两点，，则
8．如图，在中，，，垂直平分分别交，于点，，连接，点在直线上方运动．设，，则与之间的函数关系用图象可以大致表示为( )
A． B． C． D．
9．某公司从年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：
年度 投入技改资金（万元） 产品成本（万元/件）
按照这种变化规律，若年已投入资金万元，预计年每件产品成本是（ ）万元
A． B． C． D．
10．反比例函数与直线的图象在坐标轴中位置如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A．直线与坐标轴围成的三角形的面积是2
B．反比例函数与直线的图象的交点坐标为
C．
D．当时，有
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若点，都在反比例函数的图象上，则，大小关系是 ．
12．如图，一次函数（m、n是常数）与反比例函数的第二象限的图象交于点，两点，与轴，轴分别交于点，，且，则的值为 ．
13．函数与图象的一个交点坐标为，则的值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点，将向右平移到的位置，点A、O的对应点分别是C、E．函数的图象经过点和的中点．则的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 ．
三、解答题（共8小题，75分）
16．（8分）已知y与x成反比例，且其函数图象经过点．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当时，求x的值．
17．（8分）如图，四边形放在平面直角坐标系中，已知，，、、，反比例函数的图象经过点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；
(2)将四边形向上平移个单位后，问点是否落在该反比例函数的图象上？
18．（8分）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，若从A市到B市汽车的行驶里程为240千米．
(1)求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；
(2)若，求时间t的取值范围．
19．(8分)如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)直接写出在第一象限内，一次函数大于反比例函数y=的x的取值范围．
20．（9分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设为线段上的一个动点（不与重合），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积等于时，求点的坐标．
21．（9分）阅读与思考
下面是小丽同学的数学课后小论文（部分），仔细阅读并完成相应的任务．
在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到，那么反比例函数图象的平移是怎样的呢？我们可以通过列表、描点、连线的方式进行探究．列表：
任务
(1)由图可知，反比例函数的图象向________平移________个单位长度，可以得到函数的图象；
(2)上述探究方法运用的数学思想是________；
A．整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想
(3)将反比例函数的图象先________，再________，可以得到函数的图象；函数图象的对称中心的坐标为________．
22．（12分）【综合与实践】
【知识背景】（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图1，即），有言道：“杆称一头称起人间生计，一头称起天地良心．”小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）．
【方案设计】
第一步：在一根长度为的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度），在左侧末端A处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端10cm处确定支点O，并用细麻绳固定；
第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的重量忽略不计）
任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．
（1）y关于x的函数解析式是 ；
（2）若，则x的取值范围是 ．
任务二：调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图3，设重物的质量为，的长为，完成下列问题：
（3）y关于x的函数解析式是 ；
（4）完成表格：
… 0.25 0.5 1 2 4 …
… …
任务三：如图4，在离左侧末端处确定第二个支点Q，现有两个秤砣分别为、可用，现有重物约，小明该如何选用支点O、支点Q和秤砣来称量重物是否正好为．
23．综合与探究
【问题情境】
综合实践课上，老师组织同学们围绕反比例函数开展数学探究活动．
如图1，过原点的直线与反比例函数的图像交于点，，点是反比例函数第一象限图像上的一点，点，的横坐标分别为，，连接交轴于点，试探究点的坐标与，的关系．
【探索思考】
（1）A组同学提出从特殊情况着手探究：当，，时，可直接求出点的坐标；
（2）B组同学将部分条件特殊化：当时，可用含的代数式表示点的坐标；
请你结合A、B两组同学的思考，帮助他们分别求出（1）、（2）中点的坐标；
【问题解决】
（3）用含，的代数式表示点的坐标，并写出完整的推理过程；
【拓展应用】
（4）如图2，若直线与轴交于点，连接，直接写出________．（用含的代数式表示）
2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题11 反比例函数（高频考点归纳+解析+单元检测）（解析版）
考点01 反比例函数的概念
考点02 反比例函数的性质
考点03 反比例函数K的几何意义
考点04 反比例函数的实际问题
考点05反比例函数与一次函数
考点06反比例函数与几何图形
考点01 反比例函数的概念
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西朔州·期末）从太原到大同的路程一定，则下列数量关系中，成反比例关系的是（ ）
A．路程与时间 B．路程与速度 C．时间与速度 D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题考查反比例关系概念，根据乘积一定的两个相关联的量成反比例关系进行求解，即可解题．
【详解】解：在数量关系路程速度时间中，当路程一定时，速度和时间成反比例关系，
时间与速度成反比例关系，
故选：C．
2．（24-25九年级上·广东珠海·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，根据形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数进行分析即可．
【详解】解：A、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意；
B、不是y与x的反比例，是y与的反比例，不符合题意；
C、是反比例函数，符合题意；
D、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意．
故选：C．
3．（24-25九年级上·广东惠州·期末）下列函数：①，②，③，④，⑤．其中反比例函数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义即可作答．
【详解】解：①是正比例函数，不是反比例函数；
②是反比例函数；
③是反比例函数；
④不是反比例函数；
⑤不是反比例函数；
所以反比例函数有2个．
故选：C．
4．（24-25九年级上·山东淄博·期末）下列函数中，一定是反比例函数的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键；
根据形如的是反比例函数，逐个判断即可．
【详解】A． 是一次函数的形式，，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
B． ，当时，，它不是反比例函数，只有当时才是反比例函数，所以该函数不一定是反比例函数，故本选项不符合题意；
C．函数，其中是常数且，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故本选项符合题意；
D．函数，分母是，不是x，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（24-25九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如且k为常数，的函数叫做反比例函数，据此可得答案．
【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中只有B选项中的函数是反比例函数，
故选：B．
6．（24-25九年级下·浙江嘉兴·期末）下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义判断．反比例函数的一般形式为（为常数且）．
【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数的形式．
选项B：符合反比例函数的定义，其中．
选项C：是一次函数，含常数项，不属于反比例函数．
选项D：是二次函数，与反比例函数无关，
故选：B
7．（24-25九年级上·山东泰安·期末）下列函数不是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键．
根据反比例函数的定义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数．
【详解】解：A、是反比例函数，故该选项不符合题意；
B、是反比例函数，故该选项不符合题意；
C、不是反比例函数，故该选项符合题意；
D、是反比例函数，故该选项不符合题意；
故选：C．
考点02 反比例函数的性质
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了求反比例函数值，将各点坐标代入反比例函数解析式，分别求出a、b、c的值，再比较大小即可．
【详解】解：把代入得：；
把代入得：；
把代入得：；
∴
故选：D．
2．（25-26九年级上·山东东营·月考）已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的增减性比较大小， 根据反比例函数的性质，由于，函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，点在第三象限，值为负；点和在第一象限，值为正，且由于 ，故，因此 ．
【详解】∵ ，
∴ 函数 的图象分布在第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，
∵ 点的，
∴ ，
∵ 点和的，
∴ ，，
又 ∵ ，且在第一象限内函数递减，
∴ ，
∴ ，即 ．
故选：A．
3．（24-25九年级上·福建福州·期末）若点，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．先得出，再利用反比例函数的性质得出点在第四象限，点，，第二象限，且，进而可求解．
【详解】解：反比例函数，
∴，
∴反比例函数的图象在二、四象限，
∴点在第四象限，点，在第二象限，且，
∴．
故选：D．
4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知，，，四点都在反比例函数的图象上，其中，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．
根据题意，点C和D在反比例函数上，代入坐标可求得，确定函数为．此时反比例函数图象位于第二、四象限，点A、B的横坐标，说明它们位于第二象限，对应的值为正数，结合反比例函数在第二象限的增减性，即可比较和的大小．
【详解】解：将点代入，得，解得，
将点代入，得，
则，解得，故，
∴反比例函数为；
∵，
∴函数在第二象限中，随x的增大而增大，
∵，在反比例函数的图象上，且，
∴．
故选：B．
5．（24-25九年级上·北京丰台·期末）下列函数图象中，随的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数，反比例函数和二次函数的增减性，根据函数图象判断出对应函数的增减性即可得到答案．
【详解】解：A、由函数图象可知，随的增大而减小，不符合题意；
B、由函数图象可知，当时，随的增大而增大，符合题意；
C、由函数图象可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，不符合题意；
D、由函数图象可得当时，y先随x增大而减小，再随x增大而增大，当时，y先随x增大而增大，再随x增大而减小，不符合题意；
故选：B．
6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知点A在反比例函数图象上，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则反比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数解析式，坐标系内点的坐标的特点，熟知点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值是解题关键．根据点A到坐标轴的距离确定其坐标的可能值，代入反比例函数的一般形式求解常数k，从而确定表达式．
【详解】解：∵点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，点A在反比例函数图象上，
∴点坐标为或或或，
设反比例函数的表达式为，
若点坐标为，代入得，解得，表达式为；
若点点坐标为，代入得，解得，表达式为；
若点点坐标为，代入得，解得，表达式为；
若点点坐标为，代入得，解得，表达式为；
综上，反比例函数的表达式为或．
故选：D．
7．（24-25九年级上·山东临沂·期末）已知反比例函数，有下列结论：①图象必经过点；②图象位于第二、四象限；③y随x的增大而增大；④当时，则．其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数性质逐项判断即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵反比例函数为，
∴当时，，即图象必经过点，故①正确；
∵，
∴图象位于第二、四象限，故②正确；
在每个象限内随增大而增大，故③错误；
当时，，故④错误；
综上所述，正确的有①②，
故选：B．
8．（24-25·浙江衢州·期末）若，两点分别是双曲线和图象上的点．若，且，则和的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．
将，两点分别代入和得到，，再由，根据，，即可判断，继而即可求解．
【详解】解：将，两点分别代入和
得：，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题
9．（24-25九年级上·山西临汾·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，试用“”号将a，b，c连接 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可．
【详解】解：∵在反比例函数中，，
∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵、、，
∴点在第二象限，点B在第四象限，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
10．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知点,点在反比例函数的图象上．
(1)求的值；
(2)点均在反比例函数的图象上,若,试比较,的大小．
【答案】(1)
(2)当或时,；当时,
【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式,反比例函数图象的性质,正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出,把代入计算即可；
（2）根据（1）可得反比例函数解析式为,进而得到反比例函数经过第二,四象限,在每个象限内y随x增大而增大,据此求解即可．
【详解】（1）解：把代入得,,
解得：；
∴
把代入,得,
解得：
（2）∵,
∴反比例函数经过第二,四象限,在每个象限内y随x增大而增大,
∵点都在反比例函数的图象上,
∴当或时,；当时,．
考点03 反比例函数K的几何意义
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】C
【分析】此题考查菱形的性质，反比例函数k的几何意义．
连接交于点D，由菱形的面积为6，求出，然后由反比例函数k的几何意义可得答案．．
【详解】解：连接交于点D，
∵四边形是菱形，菱形的面积为6
∴，
∴，
故选C．
2．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点A，交反比例函数的图象于点C，轴于点B，交反比例函数的图象于点D，若C为的中点，则四边形的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义．先求得，，再求得，证明四边形是正方形，根据列式计算即可求解．
【详解】解：将点代入，得，
∴，
∵C为的中点，
∴点C的坐标为，
将点代入，得，
解得，
∴，
∵，
∴四边形是矩形．
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴．
故选：C．
二、填空题
3．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点，轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，．若四边形的面积为12，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数值的几何意义．根据反比例函数值的几何意义求得，利用三角形面积公式列方程并求解即可．
【详解】解：，两点在反比例函数的图象上，
，
由条件可知，，
四边形的面积为，
，
解得，
故答案为：．
4．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象与线段交于点，并且，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】连接，由矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，，则，，证明，则，，又，则有，然后通过等腰三角形的性质可得，则有，从而可得点三点共线，过点作于点，则有，证明，然后通过性质可得，所以，，得，设，则，在中根据勾股定理得，，得，再代入即可求解．
【详解】解：如图，连接，
由矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，得，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点三点共线，
过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点是反比例函数上的点，
∴，，，
∴，
设，则，
在中根据勾股定理得，，
∴，
∴，（舍去），
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定与性质，矩形的性质，面积的计算以及勾股定理等，掌握知识点的应用是解题的关键．
5．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则 ．
【答案】12
【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，设反比例函数解析式为，由，则有，，，通过反比例函数系数的几何意义可得，，，则有，，求得，，然后代入即可求解，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
【详解】解：如图，设反比例函数解析式为，
∵，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（24-25九年级上·河北·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是 ．
【答案】-4
【分析】过B作于D，设，根据三角形的面积公式求得，进而得到点A的坐标，再求得点C的坐标，结合一次函数的解析式得到列出方程求解．
【详解】解：过B作于D，如下图．
∵点B在反比例函数的图象上，
∴设．
∵的面积为6，
∴，
∴．
∵点C是AB的中点，
∴．
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式，中点坐标的求法，正确的理解题意是解题的关键．
7．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，反比例函数与矩形在第一象限相交于、两点，若，则
【答案】6
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，由得．
【详解】解：反比例函数与矩形在第一象限相交于、两点，
，
，
，
故答案为：6．
8．（24-25九年级上·山西晋城··期末）如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S1+S2＝6，则S阴影＝ ．
【答案】3
【分析】根据反比例函数解析式中k的几何意义可知S1+S阴影=S2+S阴影=6，得到S1+2S阴影+S2=12，由，即可得到结论．
【详解】解：∵A、B两点在反比例函数y的图象上，
∴S1+S阴影=S2+S阴影=6，
∴S1+2S阴影+S2=12，
∵，
∴S阴影=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例系数k的几何意义：在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
考点04 反比例函数的实际问题
一、单选题
1．（24-25九年级上·广东东莞··期末）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（ ）
A．在一定范围内，越小越大
B．当时，的阻值为
C．当踏板上人的质量为时，
D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是
【答案】D
【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项．
【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，越小，越大，原说法正确，不符合题意；
B、由图2可知，当时，的阻值为，原说法正确，不符合题意；
C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法正确，不符合题意；
D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为，由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值，，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法错误，符合题意；
故选：D．
二、解答题
2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与实践
问题情境：如图，这是学生的注意力指标数y随时间x（单位：分钟）的变化规律的图象，其中是线段，为双曲线在第一象限内的一部分．
问题解决：
(1)求线段和双曲线所表示的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围．
(2)我们知道，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随时间的变化而变化，学生的注意力指标数越大，注意力就越集中．通过计算对比上课后的第3分钟和第30分钟，学生注意力哪个更加集中．
(3)已知老师要讲一个重要知识点；为了使学生听课效果更好，要求学生的注意力指标数不得低于40，老师希望在学生的注意力达到所需状态下讲完，请直接写出老师讲解这个知识点最好安排在什么时间段．（默认为在时间段内能讲完）
【答案】(1)；
(2)学生上课后的第3分钟比上课后的第30分钟注意力更加集中
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设出对应的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）分别求出和时的函数值即可得到答案；
（3）分别求出两个函数的函数值等于40时x的值结合图象即可得到答案．
【详解】（1）解：设线段的函数表达式为，
将，代入，得，
解得，
∴线段的函数表达式为．
设曲线的函数表达式为，将代入，得，
∴曲线的函数表达式为．
（2）把代入，得，
把代入，得．
∵，
∴学生上课后的第3分钟比上课后的第30分钟注意力更加集中．
（3）解：当，解得，
当，解得，
结合图象，要求学生的注意力指标数不得低于40，则x的取值范围是，
∴安排在第5分钟至第25分钟．
3．（24-25九年级上·山西太原·期末）【问题情境】
区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度（单位：）与行驶时间（单位：）的数据如表．
小型车辆 行驶时间（单位：） 平均速度（单位：）
A 0.5 60
B 0.3 100
C 0.6 50
D 0.4 75
【建立模型】
（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度（单位：）是行驶时间（单位：）的函数．求（单位：）与（单位：）之间的函数解析式；
【问题解决】
（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度；
（3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？
【答案】（1）；（2）它的平均速度是；（3）行驶时间应不少于22.5分钟
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意，测速区间的路程是定值，则汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数．根据表格数据，当时，，则测速区间路程为，即可求解函数解析式；
（2）50分钟，将代入，即可求解；
（3）将代入，得到，再根据反比例函数的性质求解．
【详解】解：（1）解：根据题意，测速区间的路程是定值，
因为平均速度，
所以，汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数，
根据表格数据，当时，，所以测速区间路程为，
所以，与之间的函数关系式为；
（2）根据题意，得50分钟，
将代入，
得，
答：它的平均速度是；
（3）根据题意，得，解得，
小时分钟分钟，
答：行驶时间应不少于22.5分钟．
4．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合与实践
如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表：
托盘与点的距离 10 15 20 25 30
托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10
(1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式；
(2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离；
(3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量．
【答案】(1)函数图像见解析，
(2)
(3)
【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图像，正确得出反比例函数解析式是解题的关键．
（1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像．根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可；
（2）当时，，求解即可；
（3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：描点并连线，函数图像如图所示．
由图像可得y与x之间是反比例函数关系，
∴设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴y与x的函数关系式为：．
（2）解：当时，代入得，，
解得，
∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是．
（3）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，
由题意得：，
解得．
∴在移动前托盘B中的砝码质量为．
5．（24-25九年级上·广东清远·期末）综合与实践
【问题情境】
排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫．
【实验操作】
将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1：
表1
长度（）
振动频率（）
【探索发现】
（1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）；
（2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式．
表2 C调音符与频率对照表
音符 不同音区的频率（）
低音区 中音区 高音区
【实际应用】
（3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到）
【答案】（1）高；（2）图象见解析；（3）低音区的对应吸管长度为
【详解】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式．
（1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高；
故答案为：高．
（2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．
根据表格可知
∴从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用反比例函数模型反映，该函数表达式为．
函数图象，如图所示
（3）由题可得，低音区的音频率为
代入
∴
答：低音区的对应吸管长度为
6．（25-26九年级上·北京海淀·期末）喜欢物理的小颖用如图1所示电路研究导体中的电流与电阻的关系，电源电压恒为，调节滑动变阻器的滑片可改变电阻的阻值．（），同时电流大小会随之改变．已知串联电路中，电流与电阻及之间关系为，滑动变阻器消耗的功率与电流及它自身电阻之间关系为，其中，通过实验和计算小颖得到了如下数据：
0 5 10 20 30 40 50
1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2
0 2.0 3.2 3.6 2.7 2.304 2.0
(1)补全表格中的信息：_________________，___________________．
(2)结合表格信息，在图2中画出关于的函数图象，并写出其解析式：_________________．
(3)小颖通过计算得到关于的函数解析式为，并借助计算机得到其函数图象如图3所示，由此她认为有最大值，为了证明这个结论，她查阅资料自学均值不等式的知识：“对于任意的两个正数，都有，当且仅当时等号成立”，请你补全下方小颖的证明过程：
首先
∵时
∴只需考虑的情况，此时，
又∵__________________，
∴__________________，当且仅当_____________时等号成立．
【答案】(1)2，3.2
(2)图见解析，
(3)40，3.6，10
【分析】本题考查列函数关系式，求自变量和函数值，画函数图象，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键：
（1）根据，求出的值即可；
（2）描点，连线，画出函数图象即可；
（3）根据均值不等式，作答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，；
∴；
故答案为：2，3.2；
（2）描点，连线，画出函数图象如图：
由题意，可知：；
（3）首先
∵时
∴只需考虑的情况，此时，
又∵，
∴，当且仅当，即时等号成立．
故答案为：40，3.6，10
7．（24-25九年级上·江苏泰州·期末） 【情景再现】
某次数学活动课上，遇到这样的题目：解下列方程：．经过思考，下面是一个学习小组的对话过程．
估计还是用因式分解法、公式法来解决．
可是，第一步的因式分解该如何入手呢？
我观察发现，是该方程的一个解，因此就应该是其中一个因式，不妨设，由于前后方程式一样的，采用待定系数法，我们就可以求出、、的值，这样后续就简单了．
【理解运用】
（1）请你按照上述对话的思路，求出、、的值；
（2）请求出方程的解；
【方法迁移】
（3）若点在函数上，求点的坐标．
【答案】（1）（2）（3）点P的坐标为或或．
【分析】本题考查因式分解，一元二次方程的解法，反比例函数，掌握知识点是解题的关键．
（1）将方程去括号，化简为，可列出方程组，即可解答；
（2）将方程化为，可得，即可解答．
（3）由点在函数上，得等，即
，根据（1）的解题思路，即可解答．
【详解】解：（1），
∵方程可化为，
∴，解得．
（2）由（1）可得
方程可化为，
将代入，得
，
∴，
解得．
（3）∵点在函数上，
∴，即，
∴，
∵是该方程的一个解，因此就应该是其中一个因式，设，则
即，
∴，解得，
∴方程可化为，
即，
解得．
当时；
当时，；
当时，．
∴点P的坐标为或或．
8．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某实验兴趣小组用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，液体的密度（单位：）与其浸在液体中的高度h（单位：）成一定的函数关系，经过实验获得两个变量h，的一组对应值如下表：
h 2 4 5 8
8 5 4
(1)在给定的坐标系中画出相应函数的图象，并求出密度（单位：）关于高度h（单位：cm）的函数表达式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求这种液体的密度．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】此题考查了反比例函数的应用，准确求出反比例函数解析式是关键．
（1）利用描点连线作出函数图象，再利用待定系数法求出函数解析式，再进行验证即可；
（2）求出当时的函数值即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示．
根据图象形状选择反比例函数模型进行尝试．设它的函数关系式为；选点的坐标代入得，解得．
所以．
将其它各点代入验算，均成立．
（2）解：当时，．
答：这种液体密度．
考点05反比例函数与一次函数
一、单选题
1．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；
B．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项符合题意；
C．由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；
D由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；
故选：B．
二、填空题
2．（25-26九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，双曲线的图象如图所示，直线自原点开始沿y轴上下平移，在平移过程中，当双曲线上有某个点到直线的距离为时，那么称两个图形为“正相连”，则从直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连”开始到与双曲线有且只有3个点的“正相连”终止，在这个过程中，m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是找到两个临界点．
如图所示，设直线和双曲线的图象交于点A， 直线和直线的图象交于点B，过点A作轴，过点B作轴交于点C， 当直线在双曲线下面时，利用勾股定理求出，然后求出，代入求出，当直线在双曲线上面时，同理求出，进而求解即可．
【详解】如图所示，设直线和双曲线的图象交于点A， 直线和直线的图象交于点B，过点A作轴，过点B作轴交于点C，
∵直线和直线垂直
∴根据题意得，如图所示，当直线在双曲线下面时，
当时，直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连”
由图象得，是等腰直角三角形
∴，
∴
∴
联立得，
解得或
∴
∴
∴将代入直线得，
解得；
如图所示，当直线在双曲线上面时，
当时，直线与双曲线恰好有且只有3个点的“正相连”，
同理可得，
∴将代入直线得，
解得；
∴m的取值范围是．
故答案为：．
三、解答题
3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点与点关于轴对称，求的面积；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
(2)
(3)不等式的解集为或．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、利用数形结合的思想求不等式的解集是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可；
（2）分别求出C，D的坐标，再求出点到的距离，根据三角形面积公式计算即可；
（3）根据图象求解即可．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
点在上，
，
．
把，坐标代入，则，
解得，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）解：由（1）知直线，，
直线交轴于，
，
，关于轴对称，
，
，
轴，．
点到的距离为．
．
（3）解：根据图象得：不等式的解集为或．
4．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且一次函数y1的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)当时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点A坐标代入反比例函数解析式，求出点A坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题；
（2）结合函数图象，即可获得答案．
【详解】（1）解：将点代入，
可得，，
所以反比例函数的解析式为，
将点代入，
可得，解得，
所以点A的坐标为，
将点A和点B的坐标代入得，
，解得，
所以一次函数的解析式为；
（2）由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，
∴当时，x的取值范围为或．
5．（24-25九年级上·北京平谷·期末）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是A．
(1)求a和的值；
(2)当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查反比例函数和一次函数交点问题，数形结合是解题的关键．
（1）先利用反比例函数求出，得到，把代入求出；
（2）在同一坐标系中画出函数图象，根据图象进行解答即可．
【详解】（1）解：把代入得到，，
解得，
∴，
把代入得到，
解得；
（2）由（1）可知，函数即为函数，
当时，，
当过点时，，解得，即，
当时，为，与平行，
如图，
根据图象可知，当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，此时
6．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点．
(1)求反比例函数的关系式及点的坐标；
(2)请直接写出不等式的解集______；
(3)点在轴上，且，连接，求的面积．
【答案】(1)；
(2)或
(3)24
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．
（1）先求出值，再求出值得到反比例函数解析式，联立方程组求出点坐标即可；
（2）数形结合，直接写出不等式的解集即可；
（3）当点在轴负半轴时，计算出的面积即可．
【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象交于，
，
，
，
反比例函数解析式为，
联立方程组得，
解得，，
．
（2）解：如图，根据函数图象可知不等式的解集为：或，
故答案为：或．
（3）解：由一次函数可知，
由勾股定理可得，
当在轴正半轴时，
，，
；
当点在轴负半轴时，，故此情况不存在，
综上分析，的面积为．
7．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；（2）或x<0
【分析】（1）把点A（1，3）代入，可求出反比例函数的解析式，从而得到点B（3，1），再将把点A（1，3），点B（3，1）代入，可得到一次函数的解析式，即可求解；
（2）观察图象可得：不等式 的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方或者两个函数图像交点处的自变量的取值范围，由此即可求解；
【详解】解：（1）把点A（1，3）代入，得：，
∴反比例函数的解析式为，
∵B（3，n）在反比例函数图象上，
∴，
∴点B的坐标为（3，1），
把点A（1，4），点B（3，1）代入，得：
，
∴，
∴一次函数的解析式为；
（2）观察图象得：不等式 的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方或者两个函数图像交点处的自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或x<0；
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，图像法求不等式解集，准确利用待定系数法求出两个函数解析式是解题的关键．
8．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，一次函数：与反比例函数：的图象相交于点，连接．
(1)求一次函数的表达式；
(2)直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及三角形面积公式求面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）先求出点坐标，然后再用待定系数法解答即可；
（2）设一次函数交轴于点，先求出，再利用面积公式即可．
【详解】（1）反比例函数的图象过点，
，
，
一次函数：与反比例函数的图象相交于点，
，
解得：，
；
（2）如图，设一次函数交轴于点，
当时，，
．
考点06反比例函数与几何图形
一、解答题
1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，交反比例函数于点(第一象限)．若点的纵坐标为2，且．
(1)求出反比例函数的解析式；
(2)过线段上一点作轴的垂线，交反比例函数于点．连接，当为等腰直角三角形时，求点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为
(2)当时，为等腰直角三角形
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）作，垂足为，设点，则，，根据等腰三角形性质列出方程求出值即可得到点坐标．
【详解】（1）解：直线交轴于点，，
直线的解析式为，
当时，，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）如图，作，垂足为，
设点，则，，
，，
，
，
，解得或舍去，
当时，为等腰直角三角形．
2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)C（9，3），
(2)
(3)存在，（－3，6）或（12，6）或或
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，交于点H，根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠OAB=∠CBH，利用全等三角形的判定和性质得出BH=OA=6，CH=OB=3，即可确定点的坐标；
（2）利用（1）中方法确定D(6,9)，由点A’恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点D’的坐标；
（3）根据题意进行分类讨论：当OA’=OP时；当A’O=A’P时；当PO=PA’时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：过点C作CH⊥x轴，交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBH，
∴ AOB BHC，
∴BH=OA=6，CH=OB=3，
∴OH=9，
∴C(9，3)
∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C，
∴k=9×3=27，
∴；
（2）如图所示，过点D作轴，，,
同（1）方法可得：，
∵，
∴四边形OGEA为矩形，
∴AO=EG=6，DE=OB=3，AE=AO=6，
∴D(6，9)，
∵点A’恰好落在反比例函数图象上，
∴当y=6时，x=，
∴m=，
∴D’(6+，9)即D’(，9)；
（3）当OA’=OP时，如图所示：
∵A’(，6)，
OA’=，
四边形OPQA’是菱形，
A’Q∥OP，A’Q=OP，
Q(12,6)，
当点Q’在第二象限时，Q’(-3,6)；
当A’O=A’P时，如图所示：
点A’与点Q关于x轴对称，
Q(，-6)；
当PO=PA’时，如图设P（m,0），
则PO=PA’，
∴，
解得：，
∴OP=A’Q=，
∴Q(，6)，
综上可得：Q(，6)或(，-6)或(12,6)或(-3,6) ．
【点睛】题目主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等，理解题意，（3）中根据等腰三角形进行分类讨论是解题关键．
3．（24-25九年级上·广东清远·期末）综合与实践
【主题】反比例函数图象与三等分角
【素材】我们知道，利用尺规可以平分任意一个角，从而可以把一个角四等分、八等分……那么，能否用尺规三等分一个任意角呢？
公元前5世纪，古希腊的学者们就提出了这个问题．为了解决这个问题，数学家们花费了大量的时间和精力．直到1837年，数学家才证明了“三等分任意角”是不可能用尺规完成的．在研究这个问题的过程中，古希腊数学家帕普斯（Pappus，约300-350）给出了一种方法．
【实践与操作】
步骤1：建立平面直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合．步骤2：在平面直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P．步骤3：以P为圆心，的长为半径作弧，交函数的图象于点R．步骤4：分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线交于点M．步骤5：连接，得到．
【实践探索】
(1)过P作轴于点H且交于Q，连接，，请证明四边形为矩形．
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查反比例函数的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）设，，则，得到的直线解析式，证明四边形为平行四边形，即可得到结论；
（2）设矩形的对角线交于点，则，证明，根据平行的性质得到，，即可得到结论．
【详解】（1）证明：设，，则，
所以的直线解析式为，
轴，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为矩形；
（2）证明：设矩形的对角线交于点，则，
，
，
，
又，
，
又，
，
又轴，
．
，
即．
4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图1，一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接、
(1)______；______；
(2)求四边形的面积；
(3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，当以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，求点的坐标．
【答案】(1)，12
(2)20
(3)或或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）根据（1）所求可得两函数解析式，则可求出点，点，再根据列式求解即可
（3）根据平移的性质，先设出直线的解析式，表示出，，F的坐标，由两点距离计算公式可得，，的长；再分，为边，、为边和、为边三种情况，根据菱形的四条边相等分别列方程，求解即可．
本题为反比例函数与一次函数的综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、矩形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
【详解】（1）解：将点代入中，得，
解得，
将点代入中，得，
故答案为：，12；
（2）解：由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为，
在中，当时，，
在中，当时，，
点，点，
∴，
轴，
∴；
（3）解；设直线的解析式为，
把代入中，得，解得，
直线的解析式：，
由平移的性质可得，
则可设直线的表达式为，直线的解析式为，
设，则点，
将点坐标代入得，
解得，
直线的表达式为：，
在中，当时，，
点，
，，，
当，为边时，，
解得或舍去，
点，
当、为边时，，
解得，
点；
当、为边时，，
解得舍或，
点，
综上，点的坐标为或或
5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在线段上，且点的横坐标为3，点A的坐标为．过点作轴，、分别与反比例函数的图像相交于点、，，连接．
(1)点的坐标为 ；所在直线的函数表达式为 ；
(2)求反比例函数表达式和点的坐标；
(3)点为轴上一点，点为反比例函数图像上一点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查反比例函数的图象及性质、等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
（1）如图：过点A作轴于G，根据等腰三角形的性质求出D点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）如图：延长交x轴于H，作于F，证明，可求，即可求，再由C点在反比例函数图象上，可求；
（3）设，根据平行四边形的对角线分三种情况分别求n的值即可．
【详解】（1）解：如图：过点A作轴于G，
∵点，
∴，
∴，
∴，
设所在直线的函数的解析式为，
∴，
∴，
∴直线为．
故答案为：．
（2）解：如图：延长交x轴于H，作于F，
∵轴，
∴轴，
∵点B在线段上，且点B的横坐标为3，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵C点在反比例函数图象上，
∴．
（3）解：设，
当为平行四边形的对角线时，，解得：，
∴；
当为平行四边形的对角线时，，
解得：（舍）；
当MC为平行四边形的对角线时，
解得：，
∴；
综上所述：N点坐标为或．
6．（24-25九年级上·山东·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中，．
(1)当反比例函数的图象和矩形有交点时，的最大值为 ．（请直接写出结果）
(2)如图，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接．
①当时，求的面积；
②连接，判断与是否平行？并说明理由．
【答案】(1)12
(2)①；②与相互平行，见解析
【分析】（1）由反比例函数的性质可得，再根据反比例函数图象和矩形有交点，即，，进而得到当，时，有最大值；
（2）先根据题意得到，，①连接，，由，得到，，求得，，，，然后利用割补法即可求得答案；②连接，先求得，，可得，从而证明，得到，即可推出．
【详解】（1）解：反比例函数，
，
反比例函数的图象和矩形有交点，其中，
，，
当，时，有最大值，
故答案为：12．
（2）解：，，且四边形为矩形，
，
，，
反比例函数的图象与，分别交于点，，
，，
①连接，，如图
，
，，
，，
，，
；
②与相互平行，理由如下：
连接，如图
，，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点，利用数形结合的思想是解题的关键．
7．（24-25·江苏苏州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．
(1)求的值；
(2)当为何值时，的值最大 最大值是多少
【答案】(1)，
(2)当时，取得最大值，最大值为
【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得；
（2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：把点代入，
∴，
解得：；
把点代入，解得；
（2）∵点横坐标大于点的横坐标，
∴点在点的右侧，
如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．反比例函数 的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
将各点坐标代入函数解析式验证是否满足即可．
【详解】∵ 反比例函数解析式为 ，
对于选项A：当 时，，与点 的纵坐标一致，
对于选项B：当 时，，
对于选项C：当 时，，
对于选项D：当 时，，
∴ 只有点 在函数图象上，
故选A．
2．关于反比例函数下列说法不正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限 B．当时，随的增大而增大
C．图象与坐标轴无交点 D．若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，解题关键是掌握反比例函数图象的性质并熟练运用．
根据反比例函数图象的性质判断即可．
【详解】解：反比例函数，，
图象位于第一、三象限，
A选项是正确的，不符合题意；
根据反比例函数的图象可知，图象与坐标轴无交点，
C选项是正确的，不符合题意；
对于B：当时，，
增大，减小，
随的增大而减小，故B是错误的，符合题意；
对于D：若点在图象上，则，代入点，有，
，成立，故D是正确的，不符合题意．
故选：B．
3．如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是（ ）
A．与的函数解析式是
B．当时，
C．随的增大而增大
D．当时，的取值范围是
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到答案．
【详解】解：设与的函数关系式为：，
该图像经过点，
，
，
与的函数关系式是，故选项A不符合题意；
当时，，解得，故选项B不符合题意；
，随的增大而减小，故选项C不符合题意；
当时，，当时，，
当时，的取值范围是，故选项D符合题意；
故选：D．
4．若点，，都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象，反比例函数图象是两支曲线，时，位于二、四象限，在各自象限内，y随x的增大而增大．理解图象增减性是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象在第二、四象限。
∵点，的横坐标为负，
∴点A，B在第二象限，则．
∵点的横坐标为正，
∴点C在第四象限，则。
∴；
故选：D
5．如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的函数图象经过顶点，则的值为（ ）
A． B．32 C． D．16
【答案】A
【分析】由两点之间距离公式得到，再由菱形性质得到，然后由点的平移得到点的坐标为，最后由待定系数法将代入函数确定值即可得到答案．
【详解】解：点的坐标为，
，
在菱形中，，则由点的平移可得点的坐标为，
将代入函数得，
故选：A．
【点睛】本题考查求反比例函数的值，涉及两点之间距离公式、菱形性质、点的平移及待定系数法确定反比例函数的值，熟记两点之间距离公式、菱形性质、点的平移及待定系数法确定反比例函数的值方法是解决问题的关键．
6．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式；根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式；分别令一次函数和反比例函数值大于等于50求得x的取值范围后相减即可得到答案．
【详解】解：当时，设
将，两点代入得，
解得，
于是，
当时，，
当时，设，将代入得：，
于是，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
，所以，老师必须在12分钟以内讲完这道题．
故选：C．
7．已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点
B．图象过第一、三象限
C．若，则
D．点、是图象上的两点，，则
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数（为常数，）的图象与性质，包括图象经过的点、所在象限、函数的单调性等．根据反比例函数性质逐个选项分析即可．
【详解】A．当时，，所以图象必经过点，正确，故本选项不符合题意；
B．，，所以图象过第一、三象限，正确，故本选项不符合题意；
C．当时，，因为反比例函数图象在每一个象限内随的增大而减小，所以若，则，错误，故本选项符合题意；
D．，，所以图象过第一、三象限，即、同号，所以，则，正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
8．如图，在中，，，垂直平分分别交，于点，，连接，点在直线上方运动．设，，则与之间的函数关系用图象可以大致表示为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了垂直平分线、勾股定理、直角三角形的性质及反比例函数图像等知识点，根据题意求得与解析式是解答本题的关键．根据勾股定理可得出与解析式，注意的取值范围即可．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∵
∴
即，
解得
∵点在直线上方运动
∴，
∴
∴与之间的函数关系为，
故选：B．
9．某公司从年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：
年度 投入技改资金（万元） 产品成本（万元/件）
按照这种变化规律，若年已投入资金万元，预计年每件产品成本是（ ）万元
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据表格中的数据可知产品成本与投入技改资金成反比例关系，设产品成本万元与投入技改资金万元之间的函数关系式为，根据表中数据可知反比例函数的关系式为，把代入即可求出年每件产品成本是万元．
【详解】解：由统计表可知：，，，，
产品成本与投入技改资金成反比例关系，
设产品成本万元与投入技改资金万元之间的函数关系式为，
当时，，
，
产品成本万元与投入技改资金万元之间的函数关系式为，
当时，，
预计年每件产品成本是万元．
故选：C．
10．反比例函数与直线的图象在坐标轴中位置如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A．直线与坐标轴围成的三角形的面积是2
B．反比例函数与直线的图象的交点坐标为
C．
D．当时，有
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、函数与不等式等知识点，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
先分别求出反比例函数及一次函数的解析式，再对所给选项依次进行判断即可．
【详解】解：由题知，将点代入得：，
所以反比例函数解析式为，
将点和代入得：
，解得，
所以一次函数的解析式为，
所以一次函数与坐标轴的交点坐标分别为，
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积是：，故A选项正确不符合题意；
由函数图象可知，反比例函数与直线的图象的交点坐标为，故B选项正确不符合题意；
因为，所以，故C选项正确不符合题意；
由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即．
故D选项错误，符合题意．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若点，都在反比例函数的图象上，则，大小关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查比较反比例函数值的大小关系，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
将点代入函数解析式确定，，进行比较判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
12．如图，一次函数（m、n是常数）与反比例函数的第二象限的图象交于点，两点，与轴，轴分别交于点，，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题以及用待定系数法求函数解析式，解题时注意：函数图象过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．
先求得，，再根据待定系数法求出一次函数的解析式为，再将代入一次函数解析式中求得，再将代入反比例函数中求出k的值即可．
【详解】解：一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点D，，
，，
把坐标代入得：，
解得：，
一次函数解析式为，
当时，，
，
是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
故答案为：．
13．函数与图象的一个交点坐标为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，分式的求值，根据函数解析式，可得，，进而得出，，即可求解．
【详解】解：∵函数与图象的一个交点坐标为，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，点，将向右平移到的位置，点A、O的对应点分别是C、E．函数的图象经过点和的中点．则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的平移变换与反比例函数的性质，解题的关键是利用平移的性质表示出点的坐标，再结合反比例函数的解析式列方程求解．
设平移的距离为，则点的坐标为；由平移性质得、的坐标，进而得到中点的坐标；结合反比例函数图象过、，列方程求出，即的长．
【详解】解：设平移的距离为，则
由平移性质得，，，故的中点的坐标为
∵过、，
∴，
解得．
故的长为．
故答案为：．
15．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 ．
【答案】
【分析】过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可；
【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示：
则，
∴四边形是矩形，
，
把代入反比例函数的解析式得，
，
双曲线图象在第一象限，
，
，
，，
，
，
双曲线经过B，
整理得：，
解得：（舍），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共8小题，75分）
16．（8分）已知y与x成反比例，且其函数图象经过点．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当时，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质：
（1）设y与x的函数关系式为，将代入即可；
（2）将代入（1）中所求解析式，即可求出x的值．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，
将代入，得：，
解得，
y与x的函数关系式为；
（2）解：由（1）得，
将代入，得：，
解得．
17．（8分）如图，四边形放在平面直角坐标系中，已知，，、、，反比例函数的图象经过点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；
(2)将四边形向上平移个单位后，问点是否落在该反比例函数的图象上？
【答案】(1)，
(2)平移后点落在该反比例函数的图象上
【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，全等三角形的性质和判定，点的平移，
对于（1），先根据“角角边”证明≌，进而得出点C的坐标，再求出关系式即可；
对于（2），先求出平移后的点B的坐标，再代入关系式可得答案．
【详解】（1）解：过作，
，，
四边形为等腰梯形，
，，，
≌，
，
，
，
，
把代入反比例解析式得：，
则反比例解析式为；
（2）解：由平移得：平移后的坐标为，
把代入反比例得：，
则平移后点落在该反比例函数的图象上．
18．（8分）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，若从A市到B市汽车的行驶里程为240千米．
(1)求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；
(2)若，求时间t的取值范围．
【答案】(1)（）
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用、一元一次不等式组的应用．
（1）根据题意，可以写出v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；
（2）根据和（1）中的结果，可以得到关于t的不等式，然后求解即可．
【详解】（1）解：由“”可得，即，
即v关于t的函数表达式为（）；
（2）解：∵，，
∴，
解得，
即，时间t的取值范围是．
19．(8分)如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)直接写出在第一象限内，一次函数大于反比例函数y=的x的取值范围．
【答案】(1)反比例函数的解析式为y=；一次函数的解析式为
(2)
【分析】本题考查反比例函数和一次函数的性质，解本题的关键掌握待定系数法和一次函数及反比例函数的性质．
（1）把代入中，得m的值，把B代入中，得n的值，把A、B都代入中，得k、b的值，即可求一次函数的表达式；
（2）由图象分析，相同x值，一次函数图象比反比例函数图象高的部分，对应x即可．
【详解】（1）解：把代入中，
得，解得，
∴反比例函数解析式为，
把代入中，
得，
∴，
把、代入中，
得，
解得，即一次函数的解析式为；
（2）解：由图象分析：
一次函数大于反比例函数y=的x的取值范围为．
20．（9分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设为线段上的一个动点（不与重合），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积等于时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及利用一元二次方程求三角形面积，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键．
（1）先利用待定系数法求得反比例函数解析式，再求得，利用待定系数法即可求得一次函数解析式；
（2）根据题意得出，设，则，利用三角形面积公式列出关于的方程，求解即可．
【详解】（1）解：在反比例函数的图象上，
，
∴反比例函数的解析式为，
在反比例函数的图象上，
，解得：，
，，
，在一次函数的图象上，
，解得
∴一次函数的解析式为；
（2）把代入得．
，
设，则，
，
化简得：，
解得：，．
∴点的坐标为：或．
21．（9分）阅读与思考
下面是小丽同学的数学课后小论文（部分），仔细阅读并完成相应的任务．
在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到，那么反比例函数图象的平移是怎样的呢？我们可以通过列表、描点、连线的方式进行探究．列表：
任务
(1)由图可知，反比例函数的图象向________平移________个单位长度，可以得到函数的图象；
(2)
2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题11 反比例函数（高频考点归纳+解析+单元检测）
考点01 反比例函数的概念
考点02 反比例函数的性质
考点03 反比例函数K的几何意义
考点04 反比例函数的实际问题
考点05反比例函数与一次函数
考点06反比例函数与几何图形
考点01 反比例函数的概念
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西朔州·期末）从太原到大同的路程一定，则下列数量关系中，成反比例关系的是（ ）
A．路程与时间 B．路程与速度 C．时间与速度 D．以上都不对
2．（24-25九年级上·广东珠海·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·广东惠州·期末）下列函数：①，②，③，④，⑤．其中反比例函数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（24-25九年级上·山东淄博·期末）下列函数中，一定是反比例函数的是（）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25九年级下·浙江嘉兴·期末）下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25九年级上·山东泰安·期末）下列函数不是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
考点02 反比例函数的性质
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·山东东营·月考）已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·福建福州·期末）若点，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知，，，四点都在反比例函数的图象上，其中，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25九年级上·北京丰台·期末）下列函数图象中，随的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知点A在反比例函数图象上，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则反比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．或
7．（24-25九年级上·山东临沂·期末）已知反比例函数，有下列结论：①图象必经过点；②图象位于第二、四象限；③y随x的增大而增大；④当时，则．其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①④ D．②③④
8．（24-25·浙江衢州·期末）若，两点分别是双曲线和图象上的点．若，且，则和的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（24-25九年级上·山西临汾·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，试用“”号将a，b，c连接 ．
三、解答题
10．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知点,点在反比例函数的图象上．
(1)求的值；
(2)点均在反比例函数的图象上,若,试比较,的大小．
考点03 反比例函数K的几何意义
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．6
2．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点A，交反比例函数的图象于点C，轴于点B，交反比例函数的图象于点D，若C为的中点，则四边形的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
3．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点，轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，．若四边形的面积为12，则的值为 ．
4．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象与线段交于点，并且，则点的坐标为 ．
5．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则 ．
6．（24-25九年级上·河北·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是 ．
7．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，反比例函数与矩形在第一象限相交于、两点，若，则
8．（24-25九年级上·山西晋城··期末）如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S1+S2＝6，则S阴影＝ ．
考点04 反比例函数的实际问题
一、单选题
1．（24-25九年级上·广东东莞··期末）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（ ）
A．在一定范围内，越小越大
B．当时，的阻值为
C．当踏板上人的质量为时，
D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是
二、解答题
2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与实践
问题情境：如图，这是学生的注意力指标数y随时间x（单位：分钟）的变化规律的图象，其中是线段，为双曲线在第一象限内的一部分．
问题解决：
(1)求线段和双曲线所表示的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围．
(2)我们知道，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随时间的变化而变化，学生的注意力指标数越大，注意力就越集中．通过计算对比上课后的第3分钟和第30分钟，学生注意力哪个更加集中．
(3)已知老师要讲一个重要知识点；为了使学生听课效果更好，要求学生的注意力指标数不得低于40，老师希望在学生的注意力达到所需状态下讲完，请直接写出老师讲解这个知识点最好安排在什么时间段．（默认为在时间段内能讲完）
3．（24-25九年级上·山西太原·期末）【问题情境】
区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度（单位：）与行驶时间（单位：）的数据如表．
小型车辆 行驶时间（单位：） 平均速度（单位：）
A 0.5 60
B 0.3 100
C 0.6 50
D 0.4 75
【建立模型】
（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度（单位：）是行驶时间（单位：）的函数．求（单位：）与（单位：）之间的函数解析式；
【问题解决】
（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度；
（3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？
4．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合与实践
如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表：
托盘与点的距离 10 15 20 25 30
托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10
(1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式；
(2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离；
(3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量．
5．（24-25九年级上·广东清远·期末）综合与实践
【问题情境】
排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫．
【实验操作】
将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1：
表1
长度（）
振动频率（）
【探索发现】
（1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）；
（2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式．
表2 C调音符与频率对照表
音符 不同音区的频率（）
低音区 中音区 高音区
【实际应用】
（3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到）
6．（25-26九年级上·北京海淀·期末）喜欢物理的小颖用如图1所示电路研究导体中的电流与电阻的关系，电源电压恒为，调节滑动变阻器的滑片可改变电阻的阻值．（），同时电流大小会随之改变．已知串联电路中，电流与电阻及之间关系为，滑动变阻器消耗的功率与电流及它自身电阻之间关系为，其中，通过实验和计算小颖得到了如下数据：
0 5 10 20 30 40 50
1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2
0 2.0 3.2 3.6 2.7 2.304 2.0
(1)补全表格中的信息：_________________，___________________．
(2)结合表格信息，在图2中画出关于的函数图象，并写出其解析式：_________________．
(3)小颖通过计算得到关于的函数解析式为，并借助计算机得到其函数图象如图3所示，由此她认为有最大值，为了证明这个结论，她查阅资料自学均值不等式的知识：“对于任意的两个正数，都有，当且仅当时等号成立”，请你补全下方小颖的证明过程：
首先
∵时
∴只需考虑的情况，此时，
又∵__________________，
∴__________________，当且仅当_____________时等号成立．
7．（24-25九年级上·江苏泰州·期末） 【情景再现】
某次数学活动课上，遇到这样的题目：解下列方程：．经过思考，下面是一个学习小组的对话过程．
估计还是用因式分解法、公式法来解决．
可是，第一步的因式分解该如何入手呢？
我观察发现，是该方程的一个解，因此就应该是其中一个因式，不妨设，由于前后方程式一样的，采用待定系数法，我们就可以求出、、的值，这样后续就简单了．
【理解运用】
（1）请你按照上述对话的思路，求出、、的值；
（2）请求出方程的解；
【方法迁移】
（3）若点在函数上，求点的坐标．
8．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某实验兴趣小组用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，液体的密度（单位：）与其浸在液体中的高度h（单位：）成一定的函数关系，经过实验获得两个变量h，的一组对应值如下表：
h 2 4 5 8
8 5 4
(1)在给定的坐标系中画出相应函数的图象，并求出密度（单位：）关于高度h（单位：cm）的函数表达式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求这种液体的密度．
考点05反比例函数与一次函数
一、单选题
1．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（25-26九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，双曲线的图象如图所示，直线自原点开始沿y轴上下平移，在平移过程中，当双曲线上有某个点到直线的距离为时，那么称两个图形为“正相连”，则从直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连”开始到与双曲线有且只有3个点的“正相连”终止，在这个过程中，m的取值范围是 ．
三、解答题
3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点与点关于轴对称，求的面积；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
4．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且一次函数y1的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)当时，直接写出x的取值范围．
5．（24-25九年级上·北京平谷·期末）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是A．
(1)求a和的值；
(2)当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出m的取值范围．
6．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点．
(1)求反比例函数的关系式及点的坐标；
(2)请直接写出不等式的解集______；
(3)点在轴上，且，连接，求的面积．
7．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式的解集．
8．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，一次函数：与反比例函数：的图象相交于点，连接．
(1)求一次函数的表达式；
(2)直接写出的面积．
考点06反比例函数与几何图形
一、解答题
1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，交反比例函数于点(第一象限)．若点的纵坐标为2，且．
(1)求出反比例函数的解析式；
(2)过线段上一点作轴的垂线，交反比例函数于点．连接，当为等腰直角三角形时，求点的坐标．
2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
3．（24-25九年级上·广东清远·期末）综合与实践
【主题】反比例函数图象与三等分角
【素材】我们知道，利用尺规可以平分任意一个角，从而可以把一个角四等分、八等分……那么，能否用尺规三等分一个任意角呢？
公元前5世纪，古希腊的学者们就提出了这个问题．为了解决这个问题，数学家们花费了大量的时间和精力．直到1837年，数学家才证明了“三等分任意角”是不可能用尺规完成的．在研究这个问题的过程中，古希腊数学家帕普斯（Pappus，约300-350）给出了一种方法．
【实践与操作】
步骤1：建立平面直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合．步骤2：在平面直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P．步骤3：以P为圆心，的长为半径作弧，交函数的图象于点R．步骤4：分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线交于点M．步骤5：连接，得到．
【实践探索】
(1)过P作轴于点H且交于Q，连接，，请证明四边形为矩形．
(2)求证：．
4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图1，一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接、
(1)______；______；
(2)求四边形的面积；
(3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，当以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，求点的坐标．
5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在线段上，且点的横坐标为3，点A的坐标为．过点作轴，、分别与反比例函数的图像相交于点、，，连接．
(1)点的坐标为 ；所在直线的函数表达式为 ；
(2)求反比例函数表达式和点的坐标；
(3)点为轴上一点，点为反比例函数图像上一点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标．
6．（24-25九年级上·山东·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中，．
(1)当反比例函数的图象和矩形有交点时，的最大值为 ．（请直接写出结果）
(2)如图，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接．
①当时，求的面积；
②连接，判断与是否平行？并说明理由．
7．（24-25·江苏苏州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．
(1)求的值；
(2)当为何值时，的值最大 最大值是多少
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．反比例函数 的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
2．关于反比例函数下列说法不正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限 B．当时，随的增大而增大
C．图象与坐标轴无交点 D．若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上
3．如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是（ ）
A．与的函数解析式是
B．当时，
C．随的增大而增大
D．当时，的取值范围是
4．若点，，都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的函数图象经过顶点，则的值为（ ）
A． B．32 C． D．16
6．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（ ）
A． B． C． D．
7．已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点
B．图象过第一、三象限
C．若，则
D．点、是图象上的两点，，则
8．如图，在中，，，垂直平分分别交，于点，，连接，点在直线上方运动．设，，则与之间的函数关系用图象可以大致表示为( )
A． B． C． D．
9．某公司从年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：
年度 投入技改资金（万元） 产品成本（万元/件）
按照这种变化规律，若年已投入资金万元，预计年每件产品成本是（ ）万元
A． B． C． D．
10．反比例函数与直线的图象在坐标轴中位置如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A．直线与坐标轴围成的三角形的面积是2
B．反比例函数与直线的图象的交点坐标为
C．
D．当时，有
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若点，都在反比例函数的图象上，则，大小关系是 ．
12．如图，一次函数（m、n是常数）与反比例函数的第二象限的图象交于点，两点，与轴，轴分别交于点，，且，则的值为 ．
13．函数与图象的一个交点坐标为，则的值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点，将向右平移到的位置，点A、O的对应点分别是C、E．函数的图象经过点和的中点．则的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 ．
三、解答题（共8小题，75分）
16．（8分）已知y与x成反比例，且其函数图象经过点．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当时，求x的值．
17．（8分）如图，四边形放在平面直角坐标系中，已知，，、、，反比例函数的图象经过点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；
(2)将四边形向上平移个单位后，问点是否落在该反比例函数的图象上？
18．（8分）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，若从A市到B市汽车的行驶里程为240千米．
(1)求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；
(2)若，求时间t的取值范围．
19．(8分)如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)直接写出在第一象限内，一次函数大于反比例函数y=的x的取值范围．
20．（9分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设为线段上的一个动点（不与重合），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积等于时，求点的坐标．
21．（9分）阅读与思考
下面是小丽同学的数学课后小论文（部分），仔细阅读并完成相应的任务．
在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到，那么反比例函数图象的平移是怎样的呢？我们可以通过列表、描点、连线的方式进行探究．列表：
任务
(1)由图可知，反比例函数的图象向________平移________个单位长度，可以得到函数的图象；
(2)上述探究方法运用的数学思想是________；
A．整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想
(3)将反比例函数的图象先________，再________，可以得到函数的图象；函数图象的对称中心的坐标为________．
22．（12分）【综合与实践】
【知识背景】（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图1，即），有言道：“杆称一头称起人间生计，一头称起天地良心．”小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）．
【方案设计】
第一步：在一根长度为的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度），在左侧末端A处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端10cm处确定支点O，并用细麻绳固定；
第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的重量忽略不计）
任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．
（1）y关于x的函数解析式是 ；
（2）若，则x的取值范围是 ．
任务二：调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图3，设重物的质量为，的长为，完成下列问题：
（3）y关于x的函数解析式是 ；
（4）完成表格：
… 0.25 0.5 1 2 4 …
… …
任务三：如图4，在离左侧末端处确定第二个支点Q，现有两个秤砣分别为、可用，现有重物约，小明该如何选用支点O、支点Q和秤砣来称量重物是否正好为．
23．综合与探究
【问题情境】
综合实践课上，老师组织同学们围绕反比例函数开展数学探究活动．
如图1，过原点的直线与反比例函数的图像交于点，，点是反比例函数第一象限图像上的一点，点，的横坐标分别为，，连接交轴于点，试探究点的坐标与，的关系．
【探索思考】
（1）A组同学提出从特殊情况着手探究：当，，时，可直接求出点的坐标；
（2）B组同学将部分条件特殊化：当时，可用含的代数式表示点的坐标；
请你结合A、B两组同学的思考，帮助他们分别求出（1）、（2）中点的坐标；
【问题解决】
（3）用含，的代数式表示点的坐标，并写出完整的推理过程；
【拓展应用】
（4）如图2，若直线与轴交于点，连接，直接写出________．（用含的代数式表示）
2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题11 反比例函数（高频考点归纳+解析+单元检测）（解析版）
考点01 反比例函数的概念
考点02 反比例函数的性质
考点03 反比例函数K的几何意义
考点04 反比例函数的实际问题
考点05反比例函数与一次函数
考点06反比例函数与几何图形
考点01 反比例函数的概念
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西朔州·期末）从太原到大同的路程一定，则下列数量关系中，成反比例关系的是（ ）
A．路程与时间 B．路程与速度 C．时间与速度 D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题考查反比例关系概念，根据乘积一定的两个相关联的量成反比例关系进行求解，即可解题．
【详解】解：在数量关系路程速度时间中，当路程一定时，速度和时间成反比例关系，
时间与速度成反比例关系，
故选：C．
2．（24-25九年级上·广东珠海·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，根据形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数进行分析即可．
【详解】解：A、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意；
B、不是y与x的反比例，是y与的反比例，不符合题意；
C、是反比例函数，符合题意；
D、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意．
故选：C．
3．（24-25九年级上·广东惠州·期末）下列函数：①，②，③，④，⑤．其中反比例函数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义即可作答．
【详解】解：①是正比例函数，不是反比例函数；
②是反比例函数；
③是反比例函数；
④不是反比例函数；
⑤不是反比例函数；
所以反比例函数有2个．
故选：C．
4．（24-25九年级上·山东淄博·期末）下列函数中，一定是反比例函数的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键；
根据形如的是反比例函数，逐个判断即可．
【详解】A． 是一次函数的形式，，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
B． ，当时，，它不是反比例函数，只有当时才是反比例函数，所以该函数不一定是反比例函数，故本选项不符合题意；
C．函数，其中是常数且，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故本选项符合题意；
D．函数，分母是，不是x，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（24-25九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如且k为常数，的函数叫做反比例函数，据此可得答案．
【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中只有B选项中的函数是反比例函数，
故选：B．
6．（24-25九年级下·浙江嘉兴·期末）下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义判断．反比例函数的一般形式为（为常数且）．
【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数的形式．
选项B：符合反比例函数的定义，其中．
选项C：是一次函数，含常数项，不属于反比例函数．
选项D：是二次函数，与反比例函数无关，
故选：B
7．（24-25九年级上·山东泰安·期末）下列函数不是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键．
根据反比例函数的定义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数．
【详解】解：A、是反比例函数，故该选项不符合题意；
B、是反比例函数，故该选项不符合题意；
C、不是反比例函数，故该选项符合题意；
D、是反比例函数，故该选项不符合题意；
故选：C．
考点02 反比例函数的性质
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了求反比例函数值，将各点坐标代入反比例函数解析式，分别求出a、b、c的值，再比较大小即可．
【详解】解：把代入得：；
把代入得：；
把代入得：；
∴
故选：D．
2．（25-26九年级上·山东东营·月考）已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的增减性比较大小， 根据反比例函数的性质，由于，函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，点在第三象限，值为负；点和在第一象限，值为正，且由于 ，故，因此 ．
【详解】∵ ，
∴ 函数 的图象分布在第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，
∵ 点的，
∴ ，
∵ 点和的，
∴ ，，
又 ∵ ，且在第一象限内函数递减，
∴ ，
∴ ，即 ．
故选：A．
3．（24-25九年级上·福建福州·期末）若点，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．先得出，再利用反比例函数的性质得出点在第四象限，点，，第二象限，且，进而可求解．
【详解】解：反比例函数，
∴，
∴反比例函数的图象在二、四象限，
∴点在第四象限，点，在第二象限，且，
∴．
故选：D．
4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知，，，四点都在反比例函数的图象上，其中，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．
根据题意，点C和D在反比例函数上，代入坐标可求得，确定函数为．此时反比例函数图象位于第二、四象限，点A、B的横坐标，说明它们位于第二象限，对应的值为正数，结合反比例函数在第二象限的增减性，即可比较和的大小．
【详解】解：将点代入，得，解得，
将点代入，得，
则，解得，故，
∴反比例函数为；
∵，
∴函数在第二象限中，随x的增大而增大，
∵，在反比例函数的图象上，且，
∴．
故选：B．
5．（24-25九年级上·北京丰台·期末）下列函数图象中，随的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数，反比例函数和二次函数的增减性，根据函数图象判断出对应函数的增减性即可得到答案．
【详解】解：A、由函数图象可知，随的增大而减小，不符合题意；
B、由函数图象可知，当时，随的增大而增大，符合题意；
C、由函数图象可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，不符合题意；
D、由函数图象可得当时，y先随x增大而减小，再随x增大而增大，当时，y先随x增大而增大，再随x增大而减小，不符合题意；
故选：B．
6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知点A在反比例函数图象上，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则反比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数解析式，坐标系内点的坐标的特点，熟知点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值是解题关键．根据点A到坐标轴的距离确定其坐标的可能值，代入反比例函数的一般形式求解常数k，从而确定表达式．
【详解】解：∵点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，点A在反比例函数图象上，
∴点坐标为或或或，
设反比例函数的表达式为，
若点坐标为，代入得，解得，表达式为；
若点点坐标为，代入得，解得，表达式为；
若点点坐标为，代入得，解得，表达式为；
若点点坐标为，代入得，解得，表达式为；
综上，反比例函数的表达式为或．
故选：D．
7．（24-25九年级上·山东临沂·期末）已知反比例函数，有下列结论：①图象必经过点；②图象位于第二、四象限；③y随x的增大而增大；④当时，则．其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数性质逐项判断即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵反比例函数为，
∴当时，，即图象必经过点，故①正确；
∵，
∴图象位于第二、四象限，故②正确；
在每个象限内随增大而增大，故③错误；
当时，，故④错误；
综上所述，正确的有①②，
故选：B．
8．（24-25·浙江衢州·期末）若，两点分别是双曲线和图象上的点．若，且，则和的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．
将，两点分别代入和得到，，再由，根据，，即可判断，继而即可求解．
【详解】解：将，两点分别代入和
得：，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题
9．（24-25九年级上·山西临汾·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，试用“”号将a，b，c连接 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可．
【详解】解：∵在反比例函数中，，
∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵、、，
∴点在第二象限，点B在第四象限，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
10．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知点,点在反比例函数的图象上．
(1)求的值；
(2)点均在反比例函数的图象上,若,试比较,的大小．
【答案】(1)
(2)当或时,；当时,
【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式,反比例函数图象的性质,正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出,把代入计算即可；
（2）根据（1）可得反比例函数解析式为,进而得到反比例函数经过第二,四象限,在每个象限内y随x增大而增大,据此求解即可．
【详解】（1）解：把代入得,,
解得：；
∴
把代入,得,
解得：
（2）∵,
∴反比例函数经过第二,四象限,在每个象限内y随x增大而增大,
∵点都在反比例函数的图象上,
∴当或时,；当时,．
考点03 反比例函数K的几何意义
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】C
【分析】此题考查菱形的性质，反比例函数k的几何意义．
连接交于点D，由菱形的面积为6，求出，然后由反比例函数k的几何意义可得答案．．
【详解】解：连接交于点D，
∵四边形是菱形，菱形的面积为6
∴，
∴，
故选C．
2．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点A，交反比例函数的图象于点C，轴于点B，交反比例函数的图象于点D，若C为的中点，则四边形的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义．先求得，，再求得，证明四边形是正方形，根据列式计算即可求解．
【详解】解：将点代入，得，
∴，
∵C为的中点，
∴点C的坐标为，
将点代入，得，
解得，
∴，
∵，
∴四边形是矩形．
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴．
故选：C．
二、填空题
3．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点，轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，．若四边形的面积为12，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数值的几何意义．根据反比例函数值的几何意义求得，利用三角形面积公式列方程并求解即可．
【详解】解：，两点在反比例函数的图象上，
，
由条件可知，，
四边形的面积为，
，
解得，
故答案为：．
4．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象与线段交于点，并且，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】连接，由矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，，则，，证明，则，，又，则有，然后通过等腰三角形的性质可得，则有，从而可得点三点共线，过点作于点，则有，证明，然后通过性质可得，所以，，得，设，则，在中根据勾股定理得，，得，再代入即可求解．
【详解】解：如图，连接，
由矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，得，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点三点共线，
过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点是反比例函数上的点，
∴，，，
∴，
设，则，
在中根据勾股定理得，，
∴，
∴，（舍去），
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定与性质，矩形的性质，面积的计算以及勾股定理等，掌握知识点的应用是解题的关键．
5．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则 ．
【答案】12
【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，设反比例函数解析式为，由，则有，，，通过反比例函数系数的几何意义可得，，，则有，，求得，，然后代入即可求解，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
【详解】解：如图，设反比例函数解析式为，
∵，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（24-25九年级上·河北·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是 ．
【答案】-4
【分析】过B作于D，设，根据三角形的面积公式求得，进而得到点A的坐标，再求得点C的坐标，结合一次函数的解析式得到列出方程求解．
【详解】解：过B作于D，如下图．
∵点B在反比例函数的图象上，
∴设．
∵的面积为6，
∴，
∴．
∵点C是AB的中点，
∴．
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式，中点坐标的求法，正确的理解题意是解题的关键．
7．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，反比例函数与矩形在第一象限相交于、两点，若，则
【答案】6
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，由得．
【详解】解：反比例函数与矩形在第一象限相交于、两点，
，
，
，
故答案为：6．
8．（24-25九年级上·山西晋城··期末）如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S1+S2＝6，则S阴影＝ ．
【答案】3
【分析】根据反比例函数解析式中k的几何意义可知S1+S阴影=S2+S阴影=6，得到S1+2S阴影+S2=12，由，即可得到结论．
【详解】解：∵A、B两点在反比例函数y的图象上，
∴S1+S阴影=S2+S阴影=6，
∴S1+2S阴影+S2=12，
∵，
∴S阴影=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例系数k的几何意义：在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
考点04 反比例函数的实际问题
一、单选题
1．（24-25九年级上·广东东莞··期末）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（ ）
A．在一定范围内，越小越大
B．当时，的阻值为
C．当踏板上人的质量为时，
D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是
【答案】D
【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项．
【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，越小，越大，原说法正确，不符合题意；
B、由图2可知，当时，的阻值为，原说法正确，不符合题意；
C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法正确，不符合题意；
D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为，由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值，，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法错误，符合题意；
故选：D．
二、解答题
2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与实践
问题情境：如图，这是学生的注意力指标数y随时间x（单位：分钟）的变化规律的图象，其中是线段，为双曲线在第一象限内的一部分．
问题解决：
(1)求线段和双曲线所表示的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围．
(2)我们知道，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随时间的变化而变化，学生的注意力指标数越大，注意力就越集中．通过计算对比上课后的第3分钟和第30分钟，学生注意力哪个更加集中．
(3)已知老师要讲一个重要知识点；为了使学生听课效果更好，要求学生的注意力指标数不得低于40，老师希望在学生的注意力达到所需状态下讲完，请直接写出老师讲解这个知识点最好安排在什么时间段．（默认为在时间段内能讲完）
【答案】(1)；
(2)学生上课后的第3分钟比上课后的第30分钟注意力更加集中
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设出对应的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）分别求出和时的函数值即可得到答案；
（3）分别求出两个函数的函数值等于40时x的值结合图象即可得到答案．
【详解】（1）解：设线段的函数表达式为，
将，代入，得，
解得，
∴线段的函数表达式为．
设曲线的函数表达式为，将代入，得，
∴曲线的函数表达式为．
（2）把代入，得，
把代入，得．
∵，
∴学生上课后的第3分钟比上课后的第30分钟注意力更加集中．
（3）解：当，解得，
当，解得，
结合图象，要求学生的注意力指标数不得低于40，则x的取值范围是，
∴安排在第5分钟至第25分钟．
3．（24-25九年级上·山西太原·期末）【问题情境】
区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度（单位：）与行驶时间（单位：）的数据如表．
小型车辆 行驶时间（单位：） 平均速度（单位：）
A 0.5 60
B 0.3 100
C 0.6 50
D 0.4 75
【建立模型】
（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度（单位：）是行驶时间（单位：）的函数．求（单位：）与（单位：）之间的函数解析式；
【问题解决】
（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度；
（3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？
【答案】（1）；（2）它的平均速度是；（3）行驶时间应不少于22.5分钟
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意，测速区间的路程是定值，则汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数．根据表格数据，当时，，则测速区间路程为，即可求解函数解析式；
（2）50分钟，将代入，即可求解；
（3）将代入，得到，再根据反比例函数的性质求解．
【详解】解：（1）解：根据题意，测速区间的路程是定值，
因为平均速度，
所以，汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数，
根据表格数据，当时，，所以测速区间路程为，
所以，与之间的函数关系式为；
（2）根据题意，得50分钟，
将代入，
得，
答：它的平均速度是；
（3）根据题意，得，解得，
小时分钟分钟，
答：行驶时间应不少于22.5分钟．
4．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合与实践
如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表：
托盘与点的距离 10 15 20 25 30
托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10
(1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式；
(2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离；
(3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量．
【答案】(1)函数图像见解析，
(2)
(3)
【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图像，正确得出反比例函数解析式是解题的关键．
（1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像．根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可；
（2）当时，，求解即可；
（3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：描点并连线，函数图像如图所示．
由图像可得y与x之间是反比例函数关系，
∴设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴y与x的函数关系式为：．
（2）解：当时，代入得，，
解得，
∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是．
（3）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，
由题意得：，
解得．
∴在移动前托盘B中的砝码质量为．
5．（24-25九年级上·广东清远·期末）综合与实践
【问题情境】
排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫．
【实验操作】
将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1：
表1
长度（）
振动频率（）
【探索发现】
（1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）；
（2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式．
表2 C调音符与频率对照表
音符 不同音区的频率（）
低音区 中音区 高音区
【实际应用】
（3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到）
【答案】（1）高；（2）图象见解析；（3）低音区的对应吸管长度为
【详解】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式．
（1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高；
故答案为：高．
（2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．
根据表格可知
∴从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用反比例函数模型反映，该函数表达式为．
函数图象，如图所示
（3）由题可得，低音区的音频率为
代入
∴
答：低音区的对应吸管长度为
6．（25-26九年级上·北京海淀·期末）喜欢物理的小颖用如图1所示电路研究导体中的电流与电阻的关系，电源电压恒为，调节滑动变阻器的滑片可改变电阻的阻值．（），同时电流大小会随之改变．已知串联电路中，电流与电阻及之间关系为，滑动变阻器消耗的功率与电流及它自身电阻之间关系为，其中，通过实验和计算小颖得到了如下数据：
0 5 10 20 30 40 50
1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2
0 2.0 3.2 3.6 2.7 2.304 2.0
(1)补全表格中的信息：_________________，___________________．
(2)结合表格信息，在图2中画出关于的函数图象，并写出其解析式：_________________．
(3)小颖通过计算得到关于的函数解析式为，并借助计算机得到其函数图象如图3所示，由此她认为有最大值，为了证明这个结论，她查阅资料自学均值不等式的知识：“对于任意的两个正数，都有，当且仅当时等号成立”，请你补全下方小颖的证明过程：
首先
∵时
∴只需考虑的情况，此时，
又∵__________________，
∴__________________，当且仅当_____________时等号成立．
【答案】(1)2，3.2
(2)图见解析，
(3)40，3.6，10
【分析】本题考查列函数关系式，求自变量和函数值，画函数图象，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键：
（1）根据，求出的值即可；
（2）描点，连线，画出函数图象即可；
（3）根据均值不等式，作答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，；
∴；
故答案为：2，3.2；
（2）描点，连线，画出函数图象如图：
由题意，可知：；
（3）首先
∵时
∴只需考虑的情况，此时，
又∵，
∴，当且仅当，即时等号成立．
故答案为：40，3.6，10
7．（24-25九年级上·江苏泰州·期末） 【情景再现】
某次数学活动课上，遇到这样的题目：解下列方程：．经过思考，下面是一个学习小组的对话过程．
估计还是用因式分解法、公式法来解决．
可是，第一步的因式分解该如何入手呢？
我观察发现，是该方程的一个解，因此就应该是其中一个因式，不妨设，由于前后方程式一样的，采用待定系数法，我们就可以求出、、的值，这样后续就简单了．
【理解运用】
（1）请你按照上述对话的思路，求出、、的值；
（2）请求出方程的解；
【方法迁移】
（3）若点在函数上，求点的坐标．
【答案】（1）（2）（3）点P的坐标为或或．
【分析】本题考查因式分解，一元二次方程的解法，反比例函数，掌握知识点是解题的关键．
（1）将方程去括号，化简为，可列出方程组，即可解答；
（2）将方程化为，可得，即可解答．
（3）由点在函数上，得等，即
，根据（1）的解题思路，即可解答．
【详解】解：（1），
∵方程可化为，
∴，解得．
（2）由（1）可得
方程可化为，
将代入，得
，
∴，
解得．
（3）∵点在函数上，
∴，即，
∴，
∵是该方程的一个解，因此就应该是其中一个因式，设，则
即，
∴，解得，
∴方程可化为，
即，
解得．
当时；
当时，；
当时，．
∴点P的坐标为或或．
8．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某实验兴趣小组用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，液体的密度（单位：）与其浸在液体中的高度h（单位：）成一定的函数关系，经过实验获得两个变量h，的一组对应值如下表：
h 2 4 5 8
8 5 4
(1)在给定的坐标系中画出相应函数的图象，并求出密度（单位：）关于高度h（单位：cm）的函数表达式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求这种液体的密度．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】此题考查了反比例函数的应用，准确求出反比例函数解析式是关键．
（1）利用描点连线作出函数图象，再利用待定系数法求出函数解析式，再进行验证即可；
（2）求出当时的函数值即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示．
根据图象形状选择反比例函数模型进行尝试．设它的函数关系式为；选点的坐标代入得，解得．
所以．
将其它各点代入验算，均成立．
（2）解：当时，．
答：这种液体密度．
考点05反比例函数与一次函数
一、单选题
1．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；
B．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项符合题意；
C．由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；
D由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；
故选：B．
二、填空题
2．（25-26九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，双曲线的图象如图所示，直线自原点开始沿y轴上下平移，在平移过程中，当双曲线上有某个点到直线的距离为时，那么称两个图形为“正相连”，则从直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连”开始到与双曲线有且只有3个点的“正相连”终止，在这个过程中，m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是找到两个临界点．
如图所示，设直线和双曲线的图象交于点A， 直线和直线的图象交于点B，过点A作轴，过点B作轴交于点C， 当直线在双曲线下面时，利用勾股定理求出，然后求出，代入求出，当直线在双曲线上面时，同理求出，进而求解即可．
【详解】如图所示，设直线和双曲线的图象交于点A， 直线和直线的图象交于点B，过点A作轴，过点B作轴交于点C，
∵直线和直线垂直
∴根据题意得，如图所示，当直线在双曲线下面时，
当时，直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连”
由图象得，是等腰直角三角形
∴，
∴
∴
联立得，
解得或
∴
∴
∴将代入直线得，
解得；
如图所示，当直线在双曲线上面时，
当时，直线与双曲线恰好有且只有3个点的“正相连”，
同理可得，
∴将代入直线得，
解得；
∴m的取值范围是．
故答案为：．
三、解答题
3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点与点关于轴对称，求的面积；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
(2)
(3)不等式的解集为或．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、利用数形结合的思想求不等式的解集是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可；
（2）分别求出C，D的坐标，再求出点到的距离，根据三角形面积公式计算即可；
（3）根据图象求解即可．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
点在上，
，
．
把，坐标代入，则，
解得，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）解：由（1）知直线，，
直线交轴于，
，
，关于轴对称，
，
，
轴，．
点到的距离为．
．
（3）解：根据图象得：不等式的解集为或．
4．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且一次函数y1的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)当时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点A坐标代入反比例函数解析式，求出点A坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题；
（2）结合函数图象，即可获得答案．
【详解】（1）解：将点代入，
可得，，
所以反比例函数的解析式为，
将点代入，
可得，解得，
所以点A的坐标为，
将点A和点B的坐标代入得，
，解得，
所以一次函数的解析式为；
（2）由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，
∴当时，x的取值范围为或．
5．（24-25九年级上·北京平谷·期末）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是A．
(1)求a和的值；
(2)当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查反比例函数和一次函数交点问题，数形结合是解题的关键．
（1）先利用反比例函数求出，得到，把代入求出；
（2）在同一坐标系中画出函数图象，根据图象进行解答即可．
【详解】（1）解：把代入得到，，
解得，
∴，
把代入得到，
解得；
（2）由（1）可知，函数即为函数，
当时，，
当过点时，，解得，即，
当时，为，与平行，
如图，
根据图象可知，当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，此时
6．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点．
(1)求反比例函数的关系式及点的坐标；
(2)请直接写出不等式的解集______；
(3)点在轴上，且，连接，求的面积．
【答案】(1)；
(2)或
(3)24
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．
（1）先求出值，再求出值得到反比例函数解析式，联立方程组求出点坐标即可；
（2）数形结合，直接写出不等式的解集即可；
（3）当点在轴负半轴时，计算出的面积即可．
【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象交于，
，
，
，
反比例函数解析式为，
联立方程组得，
解得，，
．
（2）解：如图，根据函数图象可知不等式的解集为：或，
故答案为：或．
（3）解：由一次函数可知，
由勾股定理可得，
当在轴正半轴时，
，，
；
当点在轴负半轴时，，故此情况不存在，
综上分析，的面积为．
7．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；（2）或x<0
【分析】（1）把点A（1，3）代入，可求出反比例函数的解析式，从而得到点B（3，1），再将把点A（1，3），点B（3，1）代入，可得到一次函数的解析式，即可求解；
（2）观察图象可得：不等式 的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方或者两个函数图像交点处的自变量的取值范围，由此即可求解；
【详解】解：（1）把点A（1，3）代入，得：，
∴反比例函数的解析式为，
∵B（3，n）在反比例函数图象上，
∴，
∴点B的坐标为（3，1），
把点A（1，4），点B（3，1）代入，得：
，
∴，
∴一次函数的解析式为；
（2）观察图象得：不等式 的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方或者两个函数图像交点处的自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或x<0；
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，图像法求不等式解集，准确利用待定系数法求出两个函数解析式是解题的关键．
8．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，一次函数：与反比例函数：的图象相交于点，连接．
(1)求一次函数的表达式；
(2)直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及三角形面积公式求面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）先求出点坐标，然后再用待定系数法解答即可；
（2）设一次函数交轴于点，先求出，再利用面积公式即可．
【详解】（1）反比例函数的图象过点，
，
，
一次函数：与反比例函数的图象相交于点，
，
解得：，
；
（2）如图，设一次函数交轴于点，
当时，，
．
考点06反比例函数与几何图形
一、解答题
1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，交反比例函数于点(第一象限)．若点的纵坐标为2，且．
(1)求出反比例函数的解析式；
(2)过线段上一点作轴的垂线，交反比例函数于点．连接，当为等腰直角三角形时，求点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为
(2)当时，为等腰直角三角形
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）作，垂足为，设点，则，，根据等腰三角形性质列出方程求出值即可得到点坐标．
【详解】（1）解：直线交轴于点，，
直线的解析式为，
当时，，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）如图，作，垂足为，
设点，则，，
，，
，
，
，解得或舍去，
当时，为等腰直角三角形．
2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)C（9，3），
(2)
(3)存在，（－3，6）或（12，6）或或
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，交于点H，根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠OAB=∠CBH，利用全等三角形的判定和性质得出BH=OA=6，CH=OB=3，即可确定点的坐标；
（2）利用（1）中方法确定D(6,9)，由点A’恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点D’的坐标；
（3）根据题意进行分类讨论：当OA’=OP时；当A’O=A’P时；当PO=PA’时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：过点C作CH⊥x轴，交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBH，
∴ AOB BHC，
∴BH=OA=6，CH=OB=3，
∴OH=9，
∴C(9，3)
∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C，
∴k=9×3=27，
∴；
（2）如图所示，过点D作轴，，,
同（1）方法可得：，
∵，
∴四边形OGEA为矩形，
∴AO=EG=6，DE=OB=3，AE=AO=6，
∴D(6，9)，
∵点A’恰好落在反比例函数图象上，
∴当y=6时，x=，
∴m=，
∴D’(6+，9)即D’(，9)；
（3）当OA’=OP时，如图所示：
∵A’(，6)，
OA’=，
四边形OPQA’是菱形，
A’Q∥OP，A’Q=OP，
Q(12,6)，
当点Q’在第二象限时，Q’(-3,6)；
当A’O=A’P时，如图所示：
点A’与点Q关于x轴对称，
Q(，-6)；
当PO=PA’时，如图设P（m,0），
则PO=PA’，
∴，
解得：，
∴OP=A’Q=，
∴Q(，6)，
综上可得：Q(，6)或(，-6)或(12,6)或(-3,6) ．
【点睛】题目主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等，理解题意，（3）中根据等腰三角形进行分类讨论是解题关键．
3．（24-25九年级上·广东清远·期末）综合与实践
【主题】反比例函数图象与三等分角
【素材】我们知道，利用尺规可以平分任意一个角，从而可以把一个角四等分、八等分……那么，能否用尺规三等分一个任意角呢？
公元前5世纪，古希腊的学者们就提出了这个问题．为了解决这个问题，数学家们花费了大量的时间和精力．直到1837年，数学家才证明了“三等分任意角”是不可能用尺规完成的．在研究这个问题的过程中，古希腊数学家帕普斯（Pappus，约300-350）给出了一种方法．
【实践与操作】
步骤1：建立平面直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合．步骤2：在平面直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P．步骤3：以P为圆心，的长为半径作弧，交函数的图象于点R．步骤4：分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线交于点M．步骤5：连接，得到．
【实践探索】
(1)过P作轴于点H且交于Q，连接，，请证明四边形为矩形．
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查反比例函数的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）设，，则，得到的直线解析式，证明四边形为平行四边形，即可得到结论；
（2）设矩形的对角线交于点，则，证明，根据平行的性质得到，，即可得到结论．
【详解】（1）证明：设，，则，
所以的直线解析式为，
轴，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为矩形；
（2）证明：设矩形的对角线交于点，则，
，
，
，
又，
，
又，
，
又轴，
．
，
即．
4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图1，一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接、
(1)______；______；
(2)求四边形的面积；
(3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，当以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，求点的坐标．
【答案】(1)，12
(2)20
(3)或或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）根据（1）所求可得两函数解析式，则可求出点，点，再根据列式求解即可
（3）根据平移的性质，先设出直线的解析式，表示出，，F的坐标，由两点距离计算公式可得，，的长；再分，为边，、为边和、为边三种情况，根据菱形的四条边相等分别列方程，求解即可．
本题为反比例函数与一次函数的综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、矩形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
【详解】（1）解：将点代入中，得，
解得，
将点代入中，得，
故答案为：，12；
（2）解：由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为，
在中，当时，，
在中，当时，，
点，点，
∴，
轴，
∴；
（3）解；设直线的解析式为，
把代入中，得，解得，
直线的解析式：，
由平移的性质可得，
则可设直线的表达式为，直线的解析式为，
设，则点，
将点坐标代入得，
解得，
直线的表达式为：，
在中，当时，，
点，
，，，
当，为边时，，
解得或舍去，
点，
当、为边时，，
解得，
点；
当、为边时，，
解得舍或，
点，
综上，点的坐标为或或
5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在线段上，且点的横坐标为3，点A的坐标为．过点作轴，、分别与反比例函数的图像相交于点、，，连接．
(1)点的坐标为 ；所在直线的函数表达式为 ；
(2)求反比例函数表达式和点的坐标；
(3)点为轴上一点，点为反比例函数图像上一点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查反比例函数的图象及性质、等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
（1）如图：过点A作轴于G，根据等腰三角形的性质求出D点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）如图：延长交x轴于H，作于F，证明，可求，即可求，再由C点在反比例函数图象上，可求；
（3）设，根据平行四边形的对角线分三种情况分别求n的值即可．
【详解】（1）解：如图：过点A作轴于G，
∵点，
∴，
∴，
∴，
设所在直线的函数的解析式为，
∴，
∴，
∴直线为．
故答案为：．
（2）解：如图：延长交x轴于H，作于F，
∵轴，
∴轴，
∵点B在线段上，且点B的横坐标为3，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵C点在反比例函数图象上，
∴．
（3）解：设，
当为平行四边形的对角线时，，解得：，
∴；
当为平行四边形的对角线时，，
解得：（舍）；
当MC为平行四边形的对角线时，
解得：，
∴；
综上所述：N点坐标为或．
6．（24-25九年级上·山东·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中，．
(1)当反比例函数的图象和矩形有交点时，的最大值为 ．（请直接写出结果）
(2)如图，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接．
①当时，求的面积；
②连接，判断与是否平行？并说明理由．
【答案】(1)12
(2)①；②与相互平行，见解析
【分析】（1）由反比例函数的性质可得，再根据反比例函数图象和矩形有交点，即，，进而得到当，时，有最大值；
（2）先根据题意得到，，①连接，，由，得到，，求得，，，，然后利用割补法即可求得答案；②连接，先求得，，可得，从而证明，得到，即可推出．
【详解】（1）解：反比例函数，
，
反比例函数的图象和矩形有交点，其中，
，，
当，时，有最大值，
故答案为：12．
（2）解：，，且四边形为矩形，
，
，，
反比例函数的图象与，分别交于点，，
，，
①连接，，如图
，
，，
，，
，，
；
②与相互平行，理由如下：
连接，如图
，，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点，利用数形结合的思想是解题的关键．
7．（24-25·江苏苏州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．
(1)求的值；
(2)当为何值时，的值最大 最大值是多少
【答案】(1)，
(2)当时，取得最大值，最大值为
【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得；
（2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：把点代入，
∴，
解得：；
把点代入，解得；
（2）∵点横坐标大于点的横坐标，
∴点在点的右侧，
如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．反比例函数 的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
将各点坐标代入函数解析式验证是否满足即可．
【详解】∵ 反比例函数解析式为 ，
对于选项A：当 时，，与点 的纵坐标一致，
对于选项B：当 时，，
对于选项C：当 时，，
对于选项D：当 时，，
∴ 只有点 在函数图象上，
故选A．
2．关于反比例函数下列说法不正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限 B．当时，随的增大而增大
C．图象与坐标轴无交点 D．若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，解题关键是掌握反比例函数图象的性质并熟练运用．
根据反比例函数图象的性质判断即可．
【详解】解：反比例函数，，
图象位于第一、三象限，
A选项是正确的，不符合题意；
根据反比例函数的图象可知，图象与坐标轴无交点，
C选项是正确的，不符合题意；
对于B：当时，，
增大，减小，
随的增大而减小，故B是错误的，符合题意；
对于D：若点在图象上，则，代入点，有，
，成立，故D是正确的，不符合题意．
故选：B．
3．如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是（ ）
A．与的函数解析式是
B．当时，
C．随的增大而增大
D．当时，的取值范围是
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到答案．
【详解】解：设与的函数关系式为：，
该图像经过点，
，
，
与的函数关系式是，故选项A不符合题意；
当时，，解得，故选项B不符合题意；
，随的增大而减小，故选项C不符合题意；
当时，，当时，，
当时，的取值范围是，故选项D符合题意；
故选：D．
4．若点，，都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象，反比例函数图象是两支曲线，时，位于二、四象限，在各自象限内，y随x的增大而增大．理解图象增减性是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象在第二、四象限。
∵点，的横坐标为负，
∴点A，B在第二象限，则．
∵点的横坐标为正，
∴点C在第四象限，则。
∴；
故选：D
5．如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的函数图象经过顶点，则的值为（ ）
A． B．32 C． D．16
【答案】A
【分析】由两点之间距离公式得到，再由菱形性质得到，然后由点的平移得到点的坐标为，最后由待定系数法将代入函数确定值即可得到答案．
【详解】解：点的坐标为，
，
在菱形中，，则由点的平移可得点的坐标为，
将代入函数得，
故选：A．
【点睛】本题考查求反比例函数的值，涉及两点之间距离公式、菱形性质、点的平移及待定系数法确定反比例函数的值，熟记两点之间距离公式、菱形性质、点的平移及待定系数法确定反比例函数的值方法是解决问题的关键．
6．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式；根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式；分别令一次函数和反比例函数值大于等于50求得x的取值范围后相减即可得到答案．
【详解】解：当时，设
将，两点代入得，
解得，
于是，
当时，，
当时，设，将代入得：，
于是，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
，所以，老师必须在12分钟以内讲完这道题．
故选：C．
7．已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点
B．图象过第一、三象限
C．若，则
D．点、是图象上的两点，，则
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数（为常数，）的图象与性质，包括图象经过的点、所在象限、函数的单调性等．根据反比例函数性质逐个选项分析即可．
【详解】A．当时，，所以图象必经过点，正确，故本选项不符合题意；
B．，，所以图象过第一、三象限，正确，故本选项不符合题意；
C．当时，，因为反比例函数图象在每一个象限内随的增大而减小，所以若，则，错误，故本选项符合题意；
D．，，所以图象过第一、三象限，即、同号，所以，则，正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
8．如图，在中，，，垂直平分分别交，于点，，连接，点在直线上方运动．设，，则与之间的函数关系用图象可以大致表示为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了垂直平分线、勾股定理、直角三角形的性质及反比例函数图像等知识点，根据题意求得与解析式是解答本题的关键．根据勾股定理可得出与解析式，注意的取值范围即可．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∵
∴
即，
解得
∵点在直线上方运动
∴，
∴
∴与之间的函数关系为，
故选：B．
9．某公司从年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：
年度 投入技改资金（万元） 产品成本（万元/件）
按照这种变化规律，若年已投入资金万元，预计年每件产品成本是（ ）万元
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据表格中的数据可知产品成本与投入技改资金成反比例关系，设产品成本万元与投入技改资金万元之间的函数关系式为，根据表中数据可知反比例函数的关系式为，把代入即可求出年每件产品成本是万元．
【详解】解：由统计表可知：，，，，
产品成本与投入技改资金成反比例关系，
设产品成本万元与投入技改资金万元之间的函数关系式为，
当时，，
，
产品成本万元与投入技改资金万元之间的函数关系式为，
当时，，
预计年每件产品成本是万元．
故选：C．
10．反比例函数与直线的图象在坐标轴中位置如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A．直线与坐标轴围成的三角形的面积是2
B．反比例函数与直线的图象的交点坐标为
C．
D．当时，有
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、函数与不等式等知识点，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
先分别求出反比例函数及一次函数的解析式，再对所给选项依次进行判断即可．
【详解】解：由题知，将点代入得：，
所以反比例函数解析式为，
将点和代入得：
，解得，
所以一次函数的解析式为，
所以一次函数与坐标轴的交点坐标分别为，
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积是：，故A选项正确不符合题意；
由函数图象可知，反比例函数与直线的图象的交点坐标为，故B选项正确不符合题意；
因为，所以，故C选项正确不符合题意；
由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即．
故D选项错误，符合题意．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若点，都在反比例函数的图象上，则，大小关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查比较反比例函数值的大小关系，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
将点代入函数解析式确定，，进行比较判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
12．如图，一次函数（m、n是常数）与反比例函数的第二象限的图象交于点，两点，与轴，轴分别交于点，，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题以及用待定系数法求函数解析式，解题时注意：函数图象过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．
先求得，，再根据待定系数法求出一次函数的解析式为，再将代入一次函数解析式中求得，再将代入反比例函数中求出k的值即可．
【详解】解：一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点D，，
，，
把坐标代入得：，
解得：，
一次函数解析式为，
当时，，
，
是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
故答案为：．
13．函数与图象的一个交点坐标为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，分式的求值，根据函数解析式，可得，，进而得出，，即可求解．
【详解】解：∵函数与图象的一个交点坐标为，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，点，将向右平移到的位置，点A、O的对应点分别是C、E．函数的图象经过点和的中点．则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的平移变换与反比例函数的性质，解题的关键是利用平移的性质表示出点的坐标，再结合反比例函数的解析式列方程求解．
设平移的距离为，则点的坐标为；由平移性质得、的坐标，进而得到中点的坐标；结合反比例函数图象过、，列方程求出，即的长．
【详解】解：设平移的距离为，则
由平移性质得，，，故的中点的坐标为
∵过、，
∴，
解得．
故的长为．
故答案为：．
15．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 ．
【答案】
【分析】过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可；
【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示：
则，
∴四边形是矩形，
，
把代入反比例函数的解析式得，
，
双曲线图象在第一象限，
，
，
，，
，
，
双曲线经过B，
整理得：，
解得：（舍），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共8小题，75分）
16．（8分）已知y与x成反比例，且其函数图象经过点．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当时，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质：
（1）设y与x的函数关系式为，将代入即可；
（2）将代入（1）中所求解析式，即可求出x的值．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，
将代入，得：，
解得，
y与x的函数关系式为；
（2）解：由（1）得，
将代入，得：，
解得．
17．（8分）如图，四边形放在平面直角坐标系中，已知，，、、，反比例函数的图象经过点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；
(2)将四边形向上平移个单位后，问点是否落在该反比例函数的图象上？
【答案】(1)，
(2)平移后点落在该反比例函数的图象上
【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，全等三角形的性质和判定，点的平移，
对于（1），先根据“角角边”证明≌，进而得出点C的坐标，再求出关系式即可；
对于（2），先求出平移后的点B的坐标，再代入关系式可得答案．
【详解】（1）解：过作，
，，
四边形为等腰梯形，
，，，
≌，
，
，
，
，
把代入反比例解析式得：，
则反比例解析式为；
（2）解：由平移得：平移后的坐标为，
把代入反比例得：，
则平移后点落在该反比例函数的图象上．
18．（8分）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，若从A市到B市汽车的行驶里程为240千米．
(1)求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；
(2)若，求时间t的取值范围．
【答案】(1)（）
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用、一元一次不等式组的应用．
（1）根据题意，可以写出v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；
（2）根据和（1）中的结果，可以得到关于t的不等式，然后求解即可．
【详解】（1）解：由“”可得，即，
即v关于t的函数表达式为（）；
（2）解：∵，，
∴，
解得，
即，时间t的取值范围是．
19．(8分)如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)直接写出在第一象限内，一次函数大于反比例函数y=的x的取值范围．
【答案】(1)反比例函数的解析式为y=；一次函数的解析式为
(2)
【分析】本题考查反比例函数和一次函数的性质，解本题的关键掌握待定系数法和一次函数及反比例函数的性质．
（1）把代入中，得m的值，把B代入中，得n的值，把A、B都代入中，得k、b的值，即可求一次函数的表达式；
（2）由图象分析，相同x值，一次函数图象比反比例函数图象高的部分，对应x即可．
【详解】（1）解：把代入中，
得，解得，
∴反比例函数解析式为，
把代入中，
得，
∴，
把、代入中，
得，
解得，即一次函数的解析式为；
（2）解：由图象分析：
一次函数大于反比例函数y=的x的取值范围为．
20．（9分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设为线段上的一个动点（不与重合），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积等于时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及利用一元二次方程求三角形面积，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键．
（1）先利用待定系数法求得反比例函数解析式，再求得，利用待定系数法即可求得一次函数解析式；
（2）根据题意得出，设，则，利用三角形面积公式列出关于的方程，求解即可．
【详解】（1）解：在反比例函数的图象上，
，
∴反比例函数的解析式为，
在反比例函数的图象上，
，解得：，
，，
，在一次函数的图象上，
，解得
∴一次函数的解析式为；
（2）把代入得．
，
设，则，
，
化简得：，
解得：，．
∴点的坐标为：或．
21．（9分）阅读与思考
下面是小丽同学的数学课后小论文（部分），仔细阅读并完成相应的任务．
在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到，那么反比例函数图象的平移是怎样的呢？我们可以通过列表、描点、连线的方式进行探究．列表：
任务
(1)由图可知，反比例函数的图象向________平移________个单位长度，可以得到函数的图象；
(2)
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