【解答题强化训练·50道优选题】浙教版数学八年级上册期末总复习（原卷版+解析版）

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【解答题强化训练·50道优选题】浙教版数学八年级上册期末总复习
1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点是一次函数图象上一点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求出一次函数的图象与轴、轴交点和的坐标；
（3）当的面积为5时，求点的坐标．
2．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元．
（1）购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元？
（2）若该商场准备购进个这两种型号的头盔，总费用不超过元，以甲型头盔个、乙型头盔个的价格销售完，要使总利润不少于元，有多少种进货方案？
3．如图，在中，，平分，，，求：
（1）的度数；
（2）的度数．
4．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，去∠D的大小.
5．已知关于x的方程．
（1）若该方程的解满足，求a的取值范围；
（2）若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值．
6．如图，点C在BE上，，且，交于点F．
（1）的长度．
（2）的度数．
7．随着疫情的消失，三年的管控使人们的消费和旅游在2023年的“五一”假期得以全面释放．小明和小军分别骑车和驾车从本村出发，沿同一条公路去东门外生态公园游玩．小明骑一段时间后，小军驾车出发，结果半路遭遇堵车，当小军追上小明后，小军坐小明的自行车一起去生态公园（小军泊车时间忽略不计），如图是小明、小军两人在去生态公园过程中经过的路程y（m）与小明出发时间x（s）之间的函数图象．请结合图象回答：
（1）村与公园的距离为　 　，小明骑车速度是　 　m/s．
（2）小军在离开村多少公里处遭遇堵车？从小军遇到堵车到追上小明用了多长时间？
（3）直接写出两人何时相距520m？
8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDB=130°．求∠A，∠B的度数．
9．如图，在中，，平分，，垂足为E，求的周长．
10． 在中，，的对边长分别为a，b，c，设的面积为S，周长为l．
a，b，c
3，4，5 2
5，12，13 4 p
8，15，17 6 q
（1）填表：表格中的　 　，　 　；
（2）设，观察上表猜想：　 　（用含有m的代数式表示）；
（3）说出（2）中结论成立的理由．
11． 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发.设慢车行驶的时间为x(小时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示y与x之间的函数关系.
根据图象进行以下探究：
（1）信息读取甲、乙两地之间的距离为　 　千米.
（2）请解释图中点 B 的实际意义.
（3）图象理解求慢车和快车的速度.
（4）求线段BC所表示的y与x间的函数关系式，写出自变量x的取值范围.
（5）问题解决若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同.在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇.则第二列快车比第一列快车晚出发多少小时
12．对x，y定义一种新的运算A，规定：（其中ab≠0）．
（1）若已知，，则 ；
（2）已知，，求a，b的值；
（3）在（2）问的基础上，若关于正数p的不等式组恰好有2个整数解，求m的取值范围．
13．已知y与成正比例，当时，.
（1）求y与x之间的函数关系式：
（2）求当时自变量x的值.
14．如图，点、、、在直线上、之间不能直接测量，点、在异侧，测得，，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长度．
15．如图，圆锥的底面半径是2cm，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么
（2）如果圆锥的高为h(单位：cm)，那么圆锥的体积V(单位：如何表示
（3）当圆锥的高由1cm变化到10cm时，它的体积是如何变化的
16．在平面直角坐标系中，已知点P(m- 3，5-2m)，m是任意实数．
（1）当m=0时，点P在第几象限？
（2）当点P在第三象限时，求m的取值范围．
（3）判断命题“点P不可能在第一象限”的真假，并说明理由．
17．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF=AC，DF=DC.
（1）若BD=3CD，S△ABC=96，求AF的长.
（2）求∠BED的度数.
18．如图，，，点在轴正半轴上，且．
（1）求点的坐标；
（2）在轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形面积为6？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．一次函数（k为常数，且）．
（1）若点在一次函数的图象上，
①求k的值；
②设，则当时，求P的最大值．
（2）若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式．
20． 在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量y箱与售价x元/箱满足关系式y＝-20x+2200．
（1）若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润；
（2）若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围．
21．如图，在中，是角平分线，，分别为，上的点，且与有何数量关系请说明理由．
22．如图，已知一次函数y=kx+3-2k（k≠0），A(-2，1），B（1，-3），C（-2，-3）
（1）求证：，M（2，3）在直线y=kx+3-2k（k≠0）上；
（2）当直线经过点C时，点P是直线上一点，若，求点P的坐标．
23．如图，函数和的图象相交于点．
（1）求m，a的值；
（2）根据图象，求的面积．
24．如图是小华用数学软件GeoGebra画的图形.画图步骤：①用线段工具 画△ABC，②用角平分线工具画∠ABC的平分线i，∠ACB的平分线j，③用交点工具 画直线i，j的交点D，④用度量工具心测得，回答问题：测得∠A的度数会是多少 请说明理由.
25．综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，其中、、满足关系式．
（1）求A、B、三点的坐标；
（2）如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
（3）在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使的面积等于四边形的面积的2倍？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
（1）求点的“长距”；
（2）若点是“完美点”，求a的值；
（3）若点的长距为4，点D的坐标为，且点D是“完美点”，求b，c的值．
27．如图，于点D，于点G，．请问：AD平分吗？若平分，请说明理由．
28．如图， 点E在线段AB上， ∠A=∠B， AD=BE， AE=BC， F是CD的中点.
（1） 求证：EF⊥CD；
（2） 若∠CEA=80°， ∠B=60°， 求∠ECD 的度数.
29．如图：，，，，垂足分别是，，，求的长．
30．如图，已知，，，，求，的度数．
31．如图，折线OABC表示了距离s(米)与时间t（　　）分)之间的函数关系.
（1）分别直接写出线段OA、AB 所对应的函数表达式，并注明相应的t的取值范围；
（2）请你想象一个符合函数图象的实际情境，并用语言进行描述(不必描述具体的速度).
32．如图：，，，，
（1）图中、有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．
（2）连接，求证：平分．
33．如图，在中，AD是边BC上的高线，CF是边AB上的中线，且，于点.
（1）E是CF的中点吗 试说明理由.
（2）求证：∠B=2∠BCF.
34．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，∠BAC的平分线AD交BC于点D．求∠DAC与∠ADB的度数．
35．在中，，，过点C作于点D，点E是边上（不含端点A、B）一动点，连接，过点B作的垂线交直线于点F，交直线于点G．
（1）当点E在上时，如图（1），试说明；
（2）当点E在上时，如图（2），（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以说明；若不成立，请直接写出与之间的数量关系．
36．如图，一列快车从甲地驶往乙地，-列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
（1）甲、乙两地之间的距离为　 　；
（2）请解释图中点B的实际意义为　 　；
（3）求慢车和快车的速度分别是多少？
37．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与y轴交于点B．求点的坐标．
38．如图，在中，，D为BC上一点，DE交AC于点F，且，连接AE，，请判断的形状，并说明理由．
39．已知一个长方形中，相邻的两边长分别是和，设长方形的周长为．
（1）在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________；
（2）试写出与之间的关系式；
（3）求长方形周长为时，的值．
40．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：在等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2：在等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式：在等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．
（1）变式中∠B的度数为　 　.
（2）解答完（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
41．S、J和R三人在火车上担任刹车员、司炉和司机(不一定依此顺序).
今天火车上只有三位乘客，而且很凑巧，三位乘客的姓也是S、J和R.为了把工作人员和乘客区分开，让我们把乘客称为先生—S先生、J先生和R先生.
此外，我们还知道：
①R先生住在底特律市；
②刹车员住在芝加哥和底特律之间的某地；
③住在芝加哥的乘客和刹车员同姓；
④刹车员的一位邻居也是一位乘客，他的年薪正好是刹车员的三倍(年薪为整数)；
⑤J先生一年恰好挣20000元，得靠政府救济过日子；
⑥S的台球打得比司炉好；
现在要问，谁是司机
42．平面直角坐标系中，已知，为等腰三角形且面积为，求满足条件的点坐标．
43．正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，如果 的周长为2，求 的度数．
44．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长．
（3）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段、、三者之间的等量关系，并证明你的结论．
45．在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，B（2，0），直线 ： ·经过点B，点C是x轴正半轴上的一动点，以线段AC为边在第一象限作等边△ACD.
（1）直接写出点A的坐标，当直线 经过点A时，求直线BA的表达式.
（2）当直线 经过点D时，直线与y轴相交于点F，随着点C的变化，点F的位置是否发生变化？若没有变化，求出此时点F的坐标.；若有变化，请说明理由.
（3）当直线与线段OA相交与点E时，如果直线 把△AOB的面积分为1：2两部分，求出此时点E的坐标.
（4）若点C的坐标为（4，0）时，直线 与线段AD有交点，请直接写出此时k的取值范围.
46． 某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况．当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量x（）与A，B植物的生长高度（），（）的关系如图所示．
（1）请分别求植物A、植物B生长高度y（）与药物施用量x（）的函数关系式；
（2）请求出两种植物生长高度相同时，药物的施用量x（）为多少？
（3）同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量x（）的取值范围．
47．甲、乙两车早上从A城车站出发匀速前往B城车站，在整个行程中，两车离开A城的距离s与时间t的对应关系如图所示：
（1）求甲、乙两车的速度分别是多少？
（2）乙车出发多长时间追上甲车？
（3）从乙车出发后到甲车到达B城车站这一时间段，在何时间点两车相距50？
48．已知点P(-1，2)，点P关于x轴的对称点为P，关于直线y=-1的对称点为P2，关于直线y=3的对称点为P3，分别写出P1，P2，P3的坐标，想一想，试写出点Q(x，y)关于直线y=a对称点的坐标．
49．直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD．
（1）在图1中，若∠BCE=40°，求∠ACF的度数；
（2）在图1中，若∠BCE=α，直接写出∠ACF的度数（用含α的式子表示）；
（3）将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，探究：写出∠ACF与∠BCE的度数之间的关系，并说明理由．
50．已知、共顶点O，平分，平分．
（1）如图1，当与重合时，若，，求的度数；
（2）将绕点O逆时针旋转一个角α至图2所示位置，设，求的度数（用、表示）；
（3）在（1）条件下，将从图1所示位置逆时针以每秒2°的速度旋转，设运动时间为秒（），当时，的值为 　 　．（直接写出答案）
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【解答题强化训练·50道优选题】浙教版数学八年级上册期末总复习
1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点是一次函数图象上一点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求出一次函数的图象与轴、轴交点和的坐标；
（3）当的面积为5时，求点的坐标．
【答案】（1）解：一次函数的图象由函数的图象平移得到，
一次函数为，
一次函数经过点，
，
，
一次函数为．

（2）解：由题意得
当时，，
当时，，
，
图象与轴、轴的交点的坐标分别为，．
（3）解：设
，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
，或．
【解析】【分析】（1）根据函数图象的平移性质可得一次函数为，再根据待定系数法将点带入解析式即可求出答案.
（2）根据坐标轴上点的坐标特征将x=0，y=0代入解析式即可求出答案.
（3）设 ，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：一次函数的图象由函数的图象平移得到，
一次函数为，
一次函数经过点，
，
，
一次函数为．
（2）解：由题意得
当时，，
当时，，
，
图象与轴、轴的交点的坐标分别为，．
（3）解：设
，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
，或．
2．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元．
（1）购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元？
（2）若该商场准备购进个这两种型号的头盔，总费用不超过元，以甲型头盔个、乙型头盔个的价格销售完，要使总利润不少于元，有多少种进货方案？
【答案】（1）解：设购进个甲型头盔需要元，个乙型头盔需要元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进个甲型头盔需要元，个乙型头盔需要元
（2）解：设购进个甲型头盔，则购进个乙型头盔，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为，，，
共有种进货方案，
方案：购进个甲型头盔，个乙型头盔；
方案：购进个甲型头盔，个乙型头盔；
方案：购进个甲型头盔，个乙型头盔
【解析】【分析】（1）设购进个甲型头盔需要元，个乙型头盔需要元，根据题意列方程组，即可得出答案；
（2）设购进个甲型头盔，则购进个乙型头盔，根据题意列不等式组，再根据实际情况写出进货方案即可.
3．如图，在中，，平分，，，求：
（1）的度数；
（2）的度数．
【答案】（1）解：∵，平分，
∴；
（2）解：∵，∠B=70°，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：∠BAE=50°，
∴．
答：∠DAE的度数为30°.
【解析】【分析】（）根据角平分线的定义即可求解；
（）根据，得出，由直角三角形的两锐角互余可求得∠BAD的度数，由（1）得∠BAE=50°，再由角的和差∠DAE=∠BAE-∠BAD即可求解.
（1）解：∵，平分，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，去∠D的大小.
【答案】解：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，
在△BAC与△EAD中，
，
∴△BAC≌△EAD（SAS），
∴∠D＝∠C＝50°．
【解析】【分析】已知∠BAD＝∠EAC，可得∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即可得出∠BAC＝∠EAD，利用角边角证明△BAC与△EAD全等，即可得出∠D＝∠C＝50°.
5．已知关于x的方程．
（1）若该方程的解满足，求a的取值范围；
（2）若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值．
【答案】（1）解：解方程，得，
∵该方程的解满足，
∴，解得．
（2）解：不等式，得，
则最大的整数解是．
把代入，
解得．
【解析】【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解；
（2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最大整数解，可得，即可求解．
6．如图，点C在BE上，，且，交于点F．
（1）的长度．
（2）的度数．
【答案】（1）解：∵∴
∵
∴
∴，
∴；
（2）解：∵∴
∵
∴
∴．
【解析】【分析】（1）首先利用HL定理（通过证明两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等来证明两个三角形全等）证明出，进而得到，，然后利用线段的和差求解即可；
（2）首先根据得到，然后利用同角的余角相等求解即可．
7．随着疫情的消失，三年的管控使人们的消费和旅游在2023年的“五一”假期得以全面释放．小明和小军分别骑车和驾车从本村出发，沿同一条公路去东门外生态公园游玩．小明骑一段时间后，小军驾车出发，结果半路遭遇堵车，当小军追上小明后，小军坐小明的自行车一起去生态公园（小军泊车时间忽略不计），如图是小明、小军两人在去生态公园过程中经过的路程y（m）与小明出发时间x（s）之间的函数图象．请结合图象回答：
（1）村与公园的距离为　 　，小明骑车速度是　 　m/s．
（2）小军在离开村多少公里处遭遇堵车？从小军遇到堵车到追上小明用了多长时间？
（3）直接写出两人何时相距520m？
【答案】（1）4500m；5
（2）解：由题意不难得到小明路程y1与小明出发时间x之间的函数关系为：y1＝5x，
∴当y1＝1000m时，x＝200s，即A为（200，0），
又当x＝300s时，y1＝1500m，
∴（300，1500）在小军经过的路程y2与小明出发时间x之间的函数图象上，
设y2＝kx+b，则：
，
解之可得：，
∴小军经过的路程y2与小明出发时间x之间的函数关系式为：y2＝15x﹣3000，
从图象可以看出，当x＝600s时，m＝5x＝3000m，
∴小军在离开村3公里处遭遇堵车，
在y2＝15x﹣3000中，若y2＝3000m，则x＝400s，
∴600﹣400＝200（s），
∴从小军遇到堵车到小明追上小军用了200s；
（3）解：当小明出发时间分别为104s或248s或352s或496s时，小军与小明两人何时520m．
【解析】【解答】解： (1)、根据图像可知 村与公园的距离为 4500m，
v=4500÷900=5m/s ，
故答案为：4500m，5；
(3)、 解：可以分以下几种情况讨论：
①当x＜200s时，
520＝5x，x＝104s；
②当200s≤x＜300s时，
5x﹣（15x﹣3000）＝520，
解得：x＝248s；
③当300s≤x＜400s时，
15x﹣3000﹣5x＝520，
解得：x＝352s；
④当x≥400s时，
3000﹣5x＝520，
解得：x＝496s；
综上，当小明出发时间分别为104s或248s或352s或496s时，小军与小明两人何时520m．
【分析】(1)、根据函数图象写出写出即可.
(2)、用待定系数法求出y2＝15x﹣3000，从图象可以看出，当x＝600s时，小军在离开村3公里处遭遇堵车，若y2＝3000m，则x＝400s，再求出追上小军用的时间.
(3)、分情况讨论 ①当x＜200s时，②当200s≤x＜300s时，③当300s≤x＜400s时，④当x≥400s时，分别求出出发时间.
8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDB=130°．求∠A，∠B的度数．
【答案】解： 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线 ，
∴CD=BD=AD，
∵∠CDB=130° ，
∴∠B=∠DCB=30°，
∴∠A=90°-∠B=60°.
【解析】【分析】由直角三角形斜边中线的性质可得CD=BD=AD，根据等腰三角形的性质求出∠B的度数，再利用直角三角形两锐角互余即可求解.
9．如图，在中，，平分，，垂足为E，求的周长．
【答案】解：在中，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵平分，，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴的周长．
【解析】【分析】先求出 ， 再求出 ， 最后利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
10． 在中，，的对边长分别为a，b，c，设的面积为S，周长为l．
a，b，c
3，4，5 2
5，12，13 4 p
8，15，17 6 q
（1）填表：表格中的　 　，　 　；
（2）设，观察上表猜想：　 　（用含有m的代数式表示）；
（3）说出（2）中结论成立的理由．
【答案】（1）1；
（2）
（3）证明：，，
，
∵在中，，
，
，
又∵在中，，
，
，
．
【解析】【解答】解：（1）由题意得，，
，
故答案为：1；；
（2）时，，
时，
时，，
……，
以此类推可得，，即，
故答案为：；
【分析】（1）Rt△ABC的面积S=ab，周长l=a+b+c，分别将3、4、5，5、12、13，8、15、17三组数据代入两式，可求出的值；
（2）通过观察以上三组数据，可得出：；
（3）根据lm=（a+b+c）（a+b-c），a2+b2=c2，S=ab可得出：lm=4s，即。
11． 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发.设慢车行驶的时间为x(小时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示y与x之间的函数关系.
根据图象进行以下探究：
（1）信息读取甲、乙两地之间的距离为　 　千米.
（2）请解释图中点 B 的实际意义.
（3）图象理解求慢车和快车的速度.
（4）求线段BC所表示的y与x间的函数关系式，写出自变量x的取值范围.
（5）问题解决若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同.在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇.则第二列快车比第一列快车晚出发多少小时
【答案】（1）900
（2）解：图中点 B 的实际意义是：当慢车行驶4小时时，慢车和快车相遇
（3）解：由图象可知，慢车12小时行驶的路程为900千米，所以慢车的速度为 (千米/时)；
当慢车行驶4小时时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900千米，
所以慢车和快车行驶的速度之和为 (千米/时)，
所以快车的速度为150千米/时
（4）解：根据题意，快车行驶900千米到达乙地，
所以快车行驶 (小时)到达乙地，
此时两车之间的距离为6×75=450(千米)，所以点C的坐标为(6，450).
设线段 BC 所表示的y与x之间的函数关系式为y= kx+b，
把(4，0)，(6，450)代入得
解得
所以，线段 BC 所表示的y与x之间的函数关系式为y=225x-900.自变量x的取值范围是4≤x≤6
（5）解：慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，
此时，慢车的行驶时间是4.5小时.
把x=4.5代入y=225x-900，得y=112.5.
此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离112.5 千米，
所以两列快车出发的间隔时间是112.5÷150=0.75(小时)，
即第二列快车比第一列快车晚出发0.75 小时.
【解析】【解答】由图象可得当x=0时，两地相距900千米，
故答案为：900；
【分析】（1）根据图象回答问题即可；
（2）根据两人距离为0，即为相遇解答即可；
（3）根据路程÷时间=速度解答即可；
（4）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（5）求出慢车与第一列快车间的距离，除以快车的速度解答即可.
12．对x，y定义一种新的运算A，规定：（其中ab≠0）．
（1）若已知，，则 ；
（2）已知，，求a，b的值；
（3）在（2）问的基础上，若关于正数p的不等式组恰好有2个整数解，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：根据题中的新定义得：
解得：
（3）解：由（2）化简得：
∵p为正数，
∴3p＞2p-1，1-3p＜-2p
∴
解12p-3＞4得
解得
∵不等式组恰有两个整数解，
∴这两个整数解为：1和2，
解得；
【解析】【解答】（1）解：∵4＞3，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据新定义运算法则结合a、b的值列出式子，计算即可；
（2）根据题中的新定义运算法则列出方程组，利用加减消元法求出方程组的解即可得到a与b的值；
（3）由（2）化简A（x，y）的关系式，先判断括号内数的大小，再根据新定义运算法则转化成不等式组，结合该不等式组恰有两个整数解求解即可．
13．已知y与成正比例，当时，.
（1）求y与x之间的函数关系式：
（2）求当时自变量x的值.
【答案】（1）解：
（2）解：1
【解析】【解答】解：（1）设y=k(x－2)，其中k≠0
把x=3，y=2代入y=k(x－2)中，得：（3－2）k=2
解得k=2
所以y=2(x－2)
即y=2x－4
（2）把y=－2代入y=2x－4中，得2x－4=－2
解得：x=1
即自变量x的值为1。
【分析】（1）根据正比例函数的概念，设y=k(x－2)，把x=3，y=2代入所设的解析式中，求得k的值，即可得到所求的结果；
（2）把y=－2代入（1）中的解析式中，解方程即可求得自变量x的值．
14．如图，点、、、在直线上、之间不能直接测量，点、在异侧，测得，，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明：，
，
在与中
≌；
（2）解：≌，
，
，
，
，，
，
故FC的长度。
【解析】【分析】（1）直接根据ASA证明≌；
（2）根据全等三角形的性质可得，进而根据线段的和差，即可求解．
15．如图，圆锥的底面半径是2cm，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么
（2）如果圆锥的高为h(单位：cm)，那么圆锥的体积V(单位：如何表示
（3）当圆锥的高由1cm变化到10cm时，它的体积是如何变化的
【答案】（1）自变量是圆锥的高，因变量是圆锥的体积。
（2）解：
（3）解：当圆锥高是1cm时，圆锥的体积；
当圆锥高是10cm时，圆锥的体积；
∴ 当圆锥的高由1cm变化到10cm时，它的体积从增加到。
【解析】【分析】（1）题，因为圆锥底面半径2cm时固定的，因此圆锥的体积随着圆锥的高变化而变化，所以自变量是圆锥的高，因变量是圆锥的体积。（2）题利用圆锥的体积计算公式代入计算化简即可；（3）题利用（2）题的结论计算，然后总结概括即可。
16．在平面直角坐标系中，已知点P(m- 3，5-2m)，m是任意实数．
（1）当m=0时，点P在第几象限？
（2）当点P在第三象限时，求m的取值范围．
（3）判断命题“点P不可能在第一象限”的真假，并说明理由．
【答案】（1）解：当时，点的坐标为，
点在第二象限
（2）解：点在第三象限，
且，
解得，
的取值范围为.
（3）解：点不可能在第一象限”为真命题.
理由如下：
无解，
点不可能在第一象限.
【解析】【分析】(1)将m=0代入，求出点P坐标，根据象限中x，y的取值范围判断即可.
(2)根据象限中x，y的取值范围列出不等式，求解即可.
(3)根据象限中x，y的取值范围进行列式计算即可.
17．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF=AC，DF=DC.
（1）若BD=3CD，S△ABC=96，求AF的长.
（2）求∠BED的度数.
【答案】（1）解：设CD=x，则BD=3x，DF=CD=x；
∵AD⊥BC， BF=AC，DF=DC
∴△BDF≌△ADC
∴BD=AD，DF=DC
∴S△ABC=96 =(3x+x)×3x，解得x=4；
∴AF=AD-DF=4×3-4=8
（2）解：过点D分别作DM⊥BE交BE于点M，作DN⊥AC交AC于点N，
由(1)可知△BDF≌△ADC；
∴S△BDF=S△ADC，∠BFD=∠C
∵BF=AC
∴DM=DN
∴∠BED=∠CED
∵∠BFD+∠EBC=∠C+∠EBC=90°
∴∠BEC=90°
∴∠BED=45°
【解析】【分析】(1)根据三角形全等的判定和性质，可得CD的长，进而求出AF的长；
(2)根据三角形全等的性质，可得S△BDF=S△ADC，∠BFD=∠C；根据角平分线的判定和性质，可得DM=DN；根据等量代换原则，可得∠BEC=90°，进而求出∠BED的度数.
18．如图，，，点在轴正半轴上，且．
（1）求点的坐标；
（2）在轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形面积为6？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，点在轴正半轴上，且，
，
∴点的坐标为
（2）解：存在，理由如下：设点的坐标为，
，
或，
∴在轴上存在点或，使以三点为顶点的三角形的面积为6
【解析】【分析】（1）利用点A的坐标及点B在x轴的正半轴，由AB=4，可得到点B的坐标.
（2）设点的坐标为，利用三角形的面积公式可得到关于m的方程，解方程求出m的值，即可动点符合题意的点P的坐标.
（1）解：∵，点在轴正半轴上，且，
，
∴点的坐标为．
（2）解：存在，理由如下：
设点的坐标为，
，
或，
∴在轴上存在点或，使以三点为顶点的三角形的面积为6．
19．一次函数（k为常数，且）．
（1）若点在一次函数的图象上，
①求k的值；
②设，则当时，求P的最大值．
（2）若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式．
【答案】（1）解：①将点（-1，3）代入一次函数y=kx-k+2，得：3=-1×k-k+2，
解得：k=；
②由①得：一次函数表达式为：y=x-（）+2=x+，
∴P=x++x=x+，
由一次函数图象的性质可知：y随x的增大而增大，
∴当时，时，P的值最大，
当时，，
即P的最大值为5.
（2）解：当时，由一次函数图象的性质可知：y随x的增大而增大，
当x=m时，函数取得最大值M，，
当x=m-3时，函数取得最小值N，，
∵，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
当时，由一次函数图象的性质可知：y随x的增大而减小，
当x=m-3时，函数取得最大值M，，
当x=m时，函数取得最小值N，，
∵，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
∴一次函数解析式为或．
答：一次函数解析式为或．
【解析】【分析】（1）①将点（-1，3）代入求值即可；
②由①得一次函数表达式为：y=x+，然后用x表示P得到，根据一次函数图象的性质可知时，P取得最大值，即可得出答案；
（2）分k＞0和k＜0两种情况讨论，求的最大值和最小值的代数式，再根据题意列出方程求解即可.
（1）解：①把代入得，
解得；
②当时，，
∴，
∵y随x的增大而增大，
∴当时，时，P的值最大，
当时，，
即P的最大值为5；
（2）解：当时，，，
∵，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
当时，，，
∵，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
综上所述，一次函数解析式为或．
20． 在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量y箱与售价x元/箱满足关系式y＝-20x+2200．
（1）若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润；
（2）若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围．
【答案】（1）解：∵y＝-20x+2200，
∴当x＝80时，y＝-20×80+2200＝600，
∴600×（80-60）＝12000（元），
答：若芒果的售价为80元/箱，合作社每天芒果的销售利润为12000元；
（2）解：由题意得：，
解得：86≤x≤95，
答：芒果的售价x的范围为86≤x≤95．
【解析】【分析】（1）根据每天的销售量y箱与售价x元/箱满足关系式由售价计算出销售量，再根据总利润=（售价-成本）×数量即可求得答案；
（2）根据“售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱”列出不等式求解即可.
21．如图，在中，是角平分线，，分别为，上的点，且与有何数量关系请说明理由．
【答案】解：．
理由：如图，过点作于点，于点．
平分，
．
，，
．
在和中，
，
．
【解析】【分析】根据与可知，根据是角平分线 可知，再根据即可证明 ，即可证明．
22．如图，已知一次函数y=kx+3-2k（k≠0），A(-2，1），B（1，-3），C（-2，-3）
（1）求证：，M（2，3）在直线y=kx+3-2k（k≠0）上；
（2）当直线经过点C时，点P是直线上一点，若，求点P的坐标．
【答案】（1）证明：∵当时，，
∴点在直线上；
（2）解：将点代入中，得，
解得，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为．
∵，， ，
∵，
，
，
∴，
解得，，
当时，，此时点P的坐标为，
当时，，此时点P的坐标为，
∴点P的坐标为或．
【解析】【分析】（1）将代入，求出，由此即可证出点在直线上；
（2）根据点C的坐标利用待定系数法求出此时直线的解析式，由此可设点P的坐标为，再根据，得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出m的值，将其代入P点坐标即可得出结论．
（1）证明：∵，
∴，
∴当时，，
∴点在直线上；
（2）解：将点代入中，
得，
解得，
此时直线的解析式为，
设点P的坐标为．
∵，
，
，
∴，
解得，，
∴点P的坐标为或．
23．如图，函数和的图象相交于点．
（1）求m，a的值；
（2）根据图象，求的面积．
【答案】（1）解：把代入得，，解得：，
∴点的坐标为，
∵函数的图象经过点，
∴，
解得：
（2）解：∵一次函数为，
当时，则，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）把代入求出m，再把的坐标代入可得的值即可.
（2）令y=0求出点的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可.
（1）解：把代入得，，
解得：，
∴点的坐标为，
∵函数的图象经过点，
∴，
解得：；
（2）解：∵一次函数为，
当时，则，
∴，
∴；
24．如图是小华用数学软件GeoGebra画的图形.画图步骤：①用线段工具 画△ABC，②用角平分线工具画∠ABC的平分线i，∠ACB的平分线j，③用交点工具 画直线i，j的交点D，④用度量工具心测得，回答问题：测得∠A的度数会是多少 请说明理由.
【答案】解：∠A=80°，
理由如下：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠DBC，∠ACB=2∠DCB，
∴∠ABC+∠ACB=2∠DBC+2∠DCB
在△DBC中，
∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC
在△ABC中，
∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°-(2∠DBC+2∠DCB)
=180°-2(180°-∠BDC)
=2∠BDC-180°，
=2×130°-180°
=80°
∴∠A=80°.
【解析】【分析】先利用角平分线性质（角平分线将对应角分成两个相等的角）得到∠ABC+∠ACB，然后通过在△DBC中，根据三角形内角和定理（三角形内角和为180°）求出∠DBC+∠DCB，然后在△ABC中，根据三角形内角和定理（三角形内角和为180°）求出∠A。
25．综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，其中、、满足关系式．
（1）求A、B、三点的坐标；
（2）如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
（3）在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使的面积等于四边形的面积的2倍？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，，；
∴，，；
（2）解：过点作于，则
∵，，
∴，
∴，，
∴；

（3）存在，点的坐标为或
【解析】【解析】（3）存在，点的坐标为或
补充理由如下：
假设存在这样的点N，设为，则，
∵
∴
∵，的面积等于四边形的面积的2倍，
∴
解得：，
∴存在这样的点，点的坐标为或
【分析】
（1）根据非负数的性质即可求出a、b、c的值；
（2）求出，，再用计算即可；
（3）根据设为，则，由三角形面积公式表示出，再结合的面积等于四边形的面积的2倍列出含绝对值方程，即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∴，，；
∴，，；
（2）过点作于，则
∵，，
∴，
∴，，
∴；
（3）存在，点的坐标为或
补充理由如下：
假设存在这样的点N，设为，则，
∵
∴
∵，的面积等于四边形的面积的2倍，
∴
解得：，
∴存在这样的点，点的坐标为或
26．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
（1）求点的“长距”；
（2）若点是“完美点”，求a的值；
（3）若点的长距为4，点D的坐标为，且点D是“完美点”，求b，c的值．
【答案】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为4，到轴的距离为2，
∴点A的“长距”为4．
（2）解：∵点是“完美点”，
∴，
∴或，
解得：或.
（3）解：∵点的长距为4，
∴，
解得：或，
∵点D的坐标为，且点D是“完美点”
∴或
当，则或
当，则．
【解析】【分析】（1）利用点坐标的定义及“长距”的定义分析求解即可；
（2）根据“完美点”的定义可得，再求出a的值即可；
（3）根据“完美点”的定义可得，求出b的值，再求出c的值即可.
（1）解：根据题意，得点到轴的距离为4，到轴的距离为2，
∴点A的“长距”为4．
故答案为：4；
（2）解：∵点是“完美点”，
∴，
∴或，
解得或；
（3）解：∵点的长距为4，
∴，
解得或，
∵点D的坐标为，且点D是“完美点”
∴或
当，则或
当，则．
27．如图，于点D，于点G，．请问：AD平分吗？若平分，请说明理由．
【答案】解：AD平分，理由如下：
，
AD平分．
【解析】【分析】先证明，可得，再证出，即可得到AD平分。
28．如图， 点E在线段AB上， ∠A=∠B， AD=BE， AE=BC， F是CD的中点.
（1） 求证：EF⊥CD；
（2） 若∠CEA=80°， ∠B=60°， 求∠ECD 的度数.
【答案】（1）证明：在 △AED 和 △BCE 中，
所以△AED≌△BCE(SAS) ，
所以DE= EC ，
因为F 是 CD 的中点，
所以EF⊥CD.
（2）解：因为∠CEA =80°，∠B =60°，
所以∠BCE=∠CEA-∠B =80°-60°=20°，
因为△AED≌△BCE ，
所以∠AED=∠BCE=20°，
所以∠CED =∠CEA+∠AED =80°+20°= 100°，
因为DE= EC ，
所以
所以∠ECD 的度数是 40°.
【解析】【分析】(1)由AD=BE、∠A=∠B，AE=BC ，根据全等三角形的判定定理“SSS"证明△AED≌△BCE，得DE=EC，即可根据等腰三角形的“三线合一”进而即可证明；
(2)由∠CEA=80°，∠B=60°，得∠BCE=∠CBA-∠B=20°，则∠AED=∠BCE=20°，则∠AED=∠BCE=20°，∠CED=100°，根据“等边对等角”及三角形的内角和定理即可求解.
29．如图：，，，，垂足分别是，，，求的长．
【答案】解：
【解析】【分析】根据题意结合全等三角形判定定理可得，则 ，，由即可求出答案.
30．如图，已知，，，，求，的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
答：
【解析】【分析】先根据全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”可得，由角的和差∠DAE=∠CAB=（∠BAD-∠EAC）可求出的度数，再根据三角形的内角和等于180°即可求解．
31．如图，折线OABC表示了距离s(米)与时间t（　　）分)之间的函数关系.
（1）分别直接写出线段OA、AB 所对应的函数表达式，并注明相应的t的取值范围；
（2）请你想象一个符合函数图象的实际情境，并用语言进行描述(不必描述具体的速度).
【答案】（1）解：设线段OA对应的函数解析式为s=kt，
∵点(20， 900)在该函数图象上，
∴900=20k， 得k=45，
∴线段OA 对应的函数解析式为s=45t(0≤t≤20)，由图象可得， 线段AB对应的函数解析式为s=900(20≤t≤30)
（2）解：小明从家步行去图书馆，图书馆距离小明家900米，用时20分钟，然后小明在图书馆看书用了10分钟，再步行回家，用时15分钟(答案不唯一，符合图象即可)
【解析】【分析】（1）设线段OA对应的函数解析式为s=kt，将点(20， 900)代入函数解析式，可求出k的值，即可得到函数解析式；观察函数图象可得到线段AB对应的函数解析式及相应的t的取值范围.
（2）观察图象，写出一个符合函数图象的实际情境即可.
32．如图：，，，，
（1）图中、有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．
（2）连接，求证：平分．
【答案】（1）解：结论：，．
理由：，，
，
，
．
在和中，
≌，
，，
，
，
．
，．
（2）证明：作于，于，连结，
≌，
全等三角形对应边上的高相等．
于，于，
平分．
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出，再利用“SAS”证出 ≌，可得，再利用角的运算和等量代换求出，可得，从而得解；
（2）作于，于，连结，利用全等三角形的性质可得AP=AQ，再利用角平分线的判定可得 平分．
33．如图，在中，AD是边BC上的高线，CF是边AB上的中线，且，于点.
（1）E是CF的中点吗 试说明理由.
（2）求证：∠B=2∠BCF.
【答案】（1）E是CF的中点，理由：如图，连结DF.
是边BC上的高线，CF是边AB上的中线，
，
，
是CF的中点.
（2）证明：由（1）的结论DF=BF得.
，
由外角的性质得，
.
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的斜边中线定理得DF=AB，从而推出CD=DF，再根据等腰三角形的性质得DE为△CDF的中线；
（2）根据等腰三角形的性质和外角得性质即可求得.
34．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，∠BAC的平分线AD交BC于点D．求∠DAC与∠ADB的度数．
【答案】解：∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°-∠B-∠C＝100°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC＝50°，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝100°
【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC，再根据角平分线性质可得∠DAC，再根据三角形外角性质即可求出答案。
35．在中，，，过点C作于点D，点E是边上（不含端点A、B）一动点，连接，过点B作的垂线交直线于点F，交直线于点G．
（1）当点E在上时，如图（1），试说明；
（2）当点E在上时，如图（2），（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以说明；若不成立，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）解：∵CD⊥AB
∴∠ACD+∠A=90°
∵BF⊥CE.
∴∠CBF+∠BCF=90°
∵∠ACB=90°
∴∠BCD+∠ACD=90°，∠BCF+∠ACE=90°
∴∠BCD=∠A，∠CBF=∠ACE.
在△CAE和△BCG中，
∴△CAE≌△BCG(ASA)
∴AE=CG
（2）解：AE=CG成立，
理由如下：
∵∠ACB=90°
∴∠ACE+∠BCE=90°
∵BF⊥CF.
∴∠CBF+∠BCE=90°
∴∠ACE=∠CBF.
由(1)知∠A=∠BCD，
在△CAE和△BCG中，
∴△CAE≌△BCG(ASA)
∴AE=CG
【解析】【分析】(1)根据已知条件推得∠A=∠BCG，∠CBG=∠ACE，再结合BC=CA，可得出△CAE≌△BCG，从而可得结论；
(2)解题方法同(1).
36．如图，一列快车从甲地驶往乙地，-列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
（1）甲、乙两地之间的距离为　 　；
（2）请解释图中点B的实际意义为　 　；
（3）求慢车和快车的速度分别是多少？
【答案】（1）900km
（2）当慢车行驶4小时时，慢车和快车相遇；
（3）由图象可知慢车行驶900km，用12h，
∴慢车的速度：900÷12＝75（km/h），
∵行驶4小时时，慢车和快车相遇，
∴慢车和快车行驶速度之和为：900÷4＝225（km/h），
∴快车的速度：225﹣75＝150（km/h），
【解析】【解答】解：（1）由图像可知甲、乙两地之间的距离为900km；
（2）当两车出发4小时后在B点相遇；
（3）由图象可知慢车行驶900km，用12h，
∴慢车的速度：900÷12＝75（km/h），
∵行驶4小时时，慢车和快车相遇，
∴慢车和快车行驶速度之和为：900÷4＝225（km/h），
∴快车的速度：225﹣75＝150（km/h），
【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题．
（1）根据图像可直接找出甲、乙两地之间的距离；
（2）由坐标系中点的意义可得出点B的实际意义 ；
（2）由D点坐标，结合速度=路程÷时间可先求出慢车速度，再由B点坐标可知快、慢车两车速度和，据此可求出快车速度；
37．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与y轴交于点B．求点的坐标．
【答案】解：将代入得，，则
将代入得，，则
【解析】【分析】将x=0和y=0分别代入求出y和x的值，即可得到点B、A的坐标。
38．如图，在中，，D为BC上一点，DE交AC于点F，且，连接AE，，请判断的形状，并说明理由．
【答案】解：是直角三角形．理由如下：
，
．
，
．
，
是直角三角形．
【解析】【分析】根据等边对等角得到∠ADB=∠B=64°，∠DAE=∠E=55°，进而根据三角形的内角和定理求出，，即，即可证明是直角三角形．
39．已知一个长方形中，相邻的两边长分别是和，设长方形的周长为．
（1）在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________；
（2）试写出与之间的关系式；
（3）求长方形周长为时，的值．
【答案】（1），
（2）解：根据长方形的周长公式得，
∴与之间的关系式，
（3）解：∵长方形周长为时，
∴，
解得．
【解析】【解答】解：（1）∵相邻的两边长分别是和，
∴长方形的周长为，
∴随的变化而变化，
∴自变量为，因变量为，
故答案为：，.
【分析】（1）根据长方形的周长公式和函数的定义解答即可；
（2）根据长方形的周长公式列式即可得解；
（3）把y的值代入x、y的关系式即可求出x的值；
（1）解：∵相邻的两边长分别是和，
∴长方形的周长为，
∴随的变化而变化，
∴自变量为，因变量为，
故答案为：，；
（2）解：根据长方形的周长公式得，
∴与之间的关系式，
（3）解：∵长方形周长为时，
∴，
解得．
40．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：在等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2：在等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式：在等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．
（1）变式中∠B的度数为　 　.
（2）解答完（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
【答案】（1）或或
（2）解：分两种情况：
当时，只能为顶角，
的度数只有一个；
当时，
若为顶角，则；
若为底角，为顶角，则，
若为底角，为底角，则.
当且且，
即时，有三个不同的度数.
的上所述，可知当且时，有三个不同的度数.
【解析】【解答】解：（1）当∠A、∠B是底角时，∴∠A=∠B=80°；
当∠A是顶角时，∠B=∠C=（180°-80）÷2=50°；
当∠B是顶角，∠A是底角时，∠B=180°-80°-80°=20°；
故答案为：20°或50°或80°；
【分析】（1）分类讨论：当∠A、∠B是底角时；当∠A是顶角时；当∠B是顶角，∠A是底角时，分别进行求解即可；
（2）分类讨论，第一种：当90°≤x＜180°时，只能为顶角；第二种：当时，又分为以下三种可能：若为顶角，；若为底角，为顶角，若为底角，为底角，最后根据∠B有三个不同的度数求得且.
41．S、J和R三人在火车上担任刹车员、司炉和司机(不一定依此顺序).
今天火车上只有三位乘客，而且很凑巧，三位乘客的姓也是S、J和R.为了把工作人员和乘客区分开，让我们把乘客称为先生—S先生、J先生和R先生.
此外，我们还知道：
①R先生住在底特律市；
②刹车员住在芝加哥和底特律之间的某地；
③住在芝加哥的乘客和刹车员同姓；
④刹车员的一位邻居也是一位乘客，他的年薪正好是刹车员的三倍(年薪为整数)；
⑤J先生一年恰好挣20000元，得靠政府救济过日子；
⑥S的台球打得比司炉好；
现在要问，谁是司机
【答案】解：由 ⑥知司炉不姓S，则司机和刹车员必有一人姓S，
∵①R先生住在底特律市，
由②③④⑤可知刹车员的邻居是S先生，则J先生住在芝加哥，
∴刹车员姓J，
∴司机姓S.
【解析】【分析】由 ⑥知司炉不姓S，则司机和刹车员必有一人姓S，再由①②③④⑤可知刹车员姓J，从而可得S是司机.
42．平面直角坐标系中，已知，为等腰三角形且面积为，求满足条件的点坐标．
【答案】解：，
，
设的边上的高是，
则，
解得：，
在轴的两侧作直线和直线都和轴平行，且到轴的距离都等于，如图：
以为圆心，以为半径画弧，交直线和直线分别有两个点，即共个点符合，分别为，，；
以为圆心，以为半径画弧，交直线和直线分别有两个点，即共个点符合，分别为，，；
作的垂直平分线分别交直线、于一点，即共个点符合，分别为，．
综上所述．的坐标分别为，，，，，，，．
【解析】【分析】 使为等腰三角形，分两种情况：OA为底边或OA为腰，①当OA为底边时，有两个点，②当OA为腰时，有8个点，分别写出对应的坐标点即可.
43．正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，如果 的周长为2，求 的度数．
【答案】解：如图所示，
△APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ=2①，
正方形ABCD的边长是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，
∴AP+AQ+QD+PB=2②，
①-②得，PQ-QD-PB=0，
∴PQ=PB+QD．
延长AB至M，使BM=DQ．连接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），
∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，
∵∠DCQ+∠QCB=90°，
∴∠BCM+∠QCB=90°，即∠QCM=90°，
PM=PB+BM=PB+DQ=PQ．
在△CPQ与△CPM中，
CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，
∴△CPQ≌△CPM（SSS），
∴∠PCQ=∠PCM= ∠QCM=45°．
【解析】【分析】首先从△APQ的周长入手求出PQ=DQ+BP，然后将△CDQ逆时针旋转90°，使得CD、CB重合，然后利用全等来解．
44．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长．
（3）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段、、三者之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】解：（1）SAS；；
（2）延长到M，使，连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵是中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
（3）等量关系为：．
理由如下：延长到点G，使，连接，，如图所示：
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴中，由勾股定理得：，
∴．
【解析】【解答】解：（1）由已知和作图得到，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；．
【分析】（1）先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，最后利用三角形三边的关系分析求解即可；
（2）延长到M，使，连接，先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，最后利用等角对等边的性质可得；
（3）延长到点G，使，连接，，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，， 再利用角的运算可得，最后利用勾股定理及等量代换可得.
45．在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，B（2，0），直线 ： ·经过点B，点C是x轴正半轴上的一动点，以线段AC为边在第一象限作等边△ACD.
（1）直接写出点A的坐标，当直线 经过点A时，求直线BA的表达式.
（2）当直线 经过点D时，直线与y轴相交于点F，随着点C的变化，点F的位置是否发生变化？若没有变化，求出此时点F的坐标.；若有变化，请说明理由.
（3）当直线与线段OA相交与点E时，如果直线 把△AOB的面积分为1：2两部分，求出此时点E的坐标.
（4）若点C的坐标为（4，0）时，直线 与线段AD有交点，请直接写出此时k的取值范围.
【答案】（1）解：A（1， ）；
由已知 ，解之得 ，所以直线解析式为 。
（2）解：作直线BD，由已知AO=AB，AC=AO，
又∠OAB=∠CAD，
∠OAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC
∠OAC=∠BAD
△OAC≌△BAD(SAS)
∠AOC=∠ABD
OA‖BD
求得直线OA的解析式为 ，
设直线BD： ，则 ，所以 ，
即点F的位置不会发生变化，为F（0， ）.
（3）解：有两种情况， ； 。
（4）解： 或者 。
【解析】【解答】解：（3）有两种情况，
当OE=OA或OE'=OA时，满足条件，
∵A（1.），
∴ ； .
（4）如图，
当C (4，0)时，易知： AB=BC=2，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠ABO=60°= ∠BAC+∠BCA，
∴∠BCA=∠BAC=30°，
∵∠ACD= ∠OAB=60，
∴∠DCB=∠OAC=90°，
∴AC=，
∴D（4，），
∵直线AB的解析式为，
观察图象可知满足条件的k值为 或者 .
【分析】（1）根据图像，写出A点的坐标，利用待定系数法解出一次函数解析式。
（2）根据全等三角形的判定定理，可得出 △OAC≌△BAD(SAS) ，然后可求得直线BD的解析式，得出结论。
（3）分两种情况分别求解即可。
（4）求出直线AB、BD的解析式即可判断k值的取值范围。
46． 某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况．当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量x（）与A，B植物的生长高度（），（）的关系如图所示．
（1）请分别求植物A、植物B生长高度y（）与药物施用量x（）的函数关系式；
（2）请求出两种植物生长高度相同时，药物的施用量x（）为多少？
（3）同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量x（）的取值范围．
【答案】（1）解：设，，
把代入中得：，
∴，
∴；
把代入中得：，
∴，
∴；
（2）解：联立，
解得，
∴两种植物生长高度相同时，药物的施用量为；
（3）解：由函数图象可知当时，，当时，
当时，即时，则，
解得，
∴此时满足；
当，即时，则，
解得，
∴此时满足；
综上所述，当时，两种植物高度差距不超过，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态．
【解析】【分析】（1） 设，， 利用待定系数法求出的值，即可求解；
（2）联立A，B关系式建立方程组，解方程组即可求解；
（3）根据函数图象，建立相应自变量的取值范围内的不等式，解不等式即可求解.
47．甲、乙两车早上从A城车站出发匀速前往B城车站，在整个行程中，两车离开A城的距离s与时间t的对应关系如图所示：
（1）求甲、乙两车的速度分别是多少？
（2）乙车出发多长时间追上甲车？
（3）从乙车出发后到甲车到达B城车站这一时间段，在何时间点两车相距50？
【答案】（1）解：由图象可知，甲的速度，
乙的速度，
∴甲、乙两车的速度分别是和；
（2）解：设乙车出发追上甲车，
由题意：，
解得：，
∴乙车出发追上甲车；
（3）解：设乙车出发后到甲车到达B城车站这一段时间内，甲车与乙车相距时甲车行驶了，
①当甲车在乙车前时，
得：，
解得：，
此时是上午6：15；
②当甲车在乙车后面时，
，
解得：，
此时是上午8：45；
③当乙车到达B城后，
，
解得：，
此时是上午9：10．
∴分别在上午6：15，8：45，9：10这三个时间点两车相距．
【解析】【分析】（1）用路程除以时间可得速度；
（2）设乙车出发t小时追上甲车，由此时两车路程相同列方程可解得答案；
（3）分两种情况列方程：①当甲车在乙车前时；②当甲车在乙车后面时，可解得答案.
48．已知点P(-1，2)，点P关于x轴的对称点为P，关于直线y=-1的对称点为P2，关于直线y=3的对称点为P3，分别写出P1，P2，P3的坐标，想一想，试写出点Q(x，y)关于直线y=a对称点的坐标．
【答案】解：∵点
∴点P关于x轴的对称点为
点P关于直线y=-1的对称点
点P关于直线y=3的对称点
点Q关于直线y=a的对称点
【解析】【分析】根据关于x轴对称点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，进而可写出点P关于x轴的对称点为P1，关于直线y=-1的对称点为P2，关于直线y=3的对称点为P3，找到规律进而写出点Q(x，y)关于直线y=a对称点的坐标.
49．直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD．
（1）在图1中，若∠BCE=40°，求∠ACF的度数；
（2）在图1中，若∠BCE=α，直接写出∠ACF的度数（用含α的式子表示）；
（3）将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，探究：写出∠ACF与∠BCE的度数之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）解：如图1，∵∠ACB=90°，∠BCE=40°，
∴∠ACD=180°﹣90°﹣40°=50°，∠BCD=180°﹣40°=140°，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠BCF= ∠BCD=70°，
∴∠ACF=∠DCF﹣∠ACD=70°﹣50°=20°；
（2）解：如图1，
∵∠ACB=90°，∠BCE=α°，
∴∠ACD=180°﹣90°﹣α°=90°﹣α，∠BCD=180°﹣α，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠BCF= ∠BCD=90°﹣ α，
∴∠ACF=90°﹣ α﹣90°+α= α；
（3）解：∠ACF= ∠BCE．理由如下：
如图2，
∵点C在DE上，
∴∠BCD=180°﹣∠BCE．
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF= ∠BCD= （180°﹣∠BCE）=90°- ∠BCE．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=∠ACB﹣∠BCF=90°﹣（90°- ∠BCE）= ∠BCE．
即：∠ACF= ∠BCE．
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质，以及直角三角形的直角，计算得出∠ACF的度数。（2）同第一问的原理，用α表示出∠ACF的度数。（3）利用角平分线的性质，以及直角三角形的直角，计算出∠ACF与∠BCE的关系。
50．已知、共顶点O，平分，平分．
（1）如图1，当与重合时，若，，求的度数；
（2）将绕点O逆时针旋转一个角α至图2所示位置，设，求的度数（用、表示）；
（3）在（1）条件下，将从图1所示位置逆时针以每秒2°的速度旋转，设运动时间为秒（），当时，的值为 　 　．（直接写出答案）
【答案】（1）解：∵平分，平分，与重合，
∴，，
∴；
（2）解：∵平分，平分，
∴，，
∴
＝
＝
＝
＝
＝，
∵绕点O逆时针旋转一个角，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①当时，如图3，
由题可知，，
则，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
解得：；
②当时，如图4，
由题可知，，
则，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
③当时，如图5，
由题可知，，
则，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
④当时，如图6，
由题可知，，
则，，
∵平分，平分，
∴∴，，
∴
，
∵，
∴，
解得：；
综上，t的值为或，
故答案为：或．
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义，以及角的和差解题即可；
（2） 利用角平分线的定义，以及角的和差解题即可；
（3）分①当时，②当时，③当时，④当时，四种情况画图，然后根据角平分线定义以及角的和差解题.
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