中小学教育资源及组卷应用平台
【解答题强化训练·50道优选题】人教版数学八年级上册期末总复习
1．已知三角形的两边分别长1和2，第三边的数值是方程 的根，求这个三角形的周长.
2．如图1，△ACB和△DCE均为等腰三角形，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE。点A，D，E在同一条直线上，连结BE.
（1）求证：AD=BE.
（2）如图 2，若∠ACB= 60°，求∠AEB 的度数.
（3）若∠CEB=135°，CM为△DCE中DE边上的高，猜想线段CM，AE，BE之间存在的数量关系，并证明。
3．如果，则，例如：，则．
（1）根据上述规定，若，求x的值；
（2）记，，，求的值．
4．如图，在△ABC中，点D在BC边上，AB=AD=CD．若∠BAD=36°，求∠C的度数．
5．在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=2∠C，求∠B的度数．
6．化简求值：（），其中a满足a2+2a＝2021．
7．一艘轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行有无触礁的危险
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为49和40，求△EDF的面积为多少？
9． 如图， AD是△ABC 的高线， AE是△ABC的角平分线， ∠C=30°， ∠B=80°
（1） 求∠DAE 的度数；
（2） 请探究∠DAE与∠B， ∠C的关系， 并说明理由。
10．小坪在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下：
先化简，后求值：，其中，任选一个合适的整数作为的值代入．
解：原式
当时，原式
请帮助小坪找出错误步骤一步即可，并写出正确的解答过程．
（1）小坪在第 步出错，错误原因是 ．
（2）请在下方写出正确解答过程．
11．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，AE长为半径画弧，交边BC于点F，求证△ABE≌△CDF。
12．垃圾分类齐参与，美好生活共创建．为巩固创文成果，某社区计划购买甲，乙两种型号的垃圾桶．已知每个甲型垃圾桶比每个乙型垃圾桶少元，且元购买甲型垃圾桶的数量与元购买乙型垃圾桶的数量相同．
（1）求甲、乙两种型号的垃圾桶的单价；
（2）若需购买甲，乙两种型号的垃圾桶共个，总费用不超过元，至少需购买甲型垃圾桶多少个？
13．如图1，已知，点为直线上一点：在直线的上方，．一个含的直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）在图1的时刻，的度数为 ，的度数为 ；
（2）如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数；
（3）如图3，当三角板绕点旋转至一边在的内部时，的度数为 ；
（4）在三角板绕点逆时针旋转的过程中，直接写出与的数量关系．
14．学校到学习基地的公路距离为15千米，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘坐汽车出发，结果他们同时到达，如果汽车的平均速度与自行车的平均速度的比是3：1，问：汽车与自行车的平均速度分别是多少？
15．若（m﹣3）m＝π0，求代数式2m2+3m﹣4的值．
16．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形及长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形的面积可以验证公式 ；
（2）若，，求的值；
（3）如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为．求的长度．
17．某广场将于2018年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木，A花木4200棵，B花木2400棵．如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？
18．如图，已知AB=AC，∠B=∠C，则BD与CD相等吗 请说明理由．
19．小深家的新能源汽车，既可以纯油动行驶，也可以纯电动行驶.请你帮助小深完成下列问题：
动力源 纯油动 纯电动
行驶里程 a千米 a千米
总耗油(电)量 50升 70千瓦时
油(电)单价 7.6元/升 0.5元/千瓦时
每千米费用 元 ▲ 元
（1）纯电动力时每千米费用为 ▲ 元；
（2）若每千米纯用油的费用比纯用电的费用多0.69元：
①求出a的值；
②若行驶这a千米先后使用两种动力方式，总费用为242元，则汽车纯电动行驶了多少千米
20．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，BC＝10．
（1）求证：MF=ME；
（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．
21． 小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程.
小颖：原式=
···
小红：原式=
（1）小颖解法的依据是（ ），小红解法的依据是（ ）
A. 分式的基本性质
B. 等式的基本性质
C. 乘法结合律
D. 乘法分配律
（2） 请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“-2，1，2”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值.
22．先化简，再求值： ÷（1﹣），其中m=
23．规定一种新的运算“”，其中，为正整数．其运算规则如下：
①；②（其中为常数）．
（1）计算：_______，______（其中为常数）；
（2）（其中，均不为0）．
①求，，的值；
②化简并计算：．
24．学校为了让学生进行物理实验的体验和实验效果更好，决定向相关部门申请采购一批新的电流表和电压表.已知市场上电流表的单价比电压表的单价高20%，且学校计划购买电流表和电压表共150台，其中购买电流表花费3 840元，购买电压表花费1600 元.
（1）电压表的单价是多少元
（2）因原材料市场价格浮动，实验仪器厂商计划对电流表的售价提高20%，电压表的售价为原来的8折，若学校计划再次购进的电流表和电压表的总费用不超过3 800元，且两种仪器共购买100 台，则学校最多可以购买电流表多少台
25．如图，在中，，，CD是的高线，CE是的角平分线，求的度数．
26．在数轴上，点A表示7，点B表示5，点O表示0，C为线段OB上一点，当以OC，CB，BA三条线段为边，可以围成等腰三角形时，点C表示什么数
27．如图所示的是人民公园的一块长为米．宽为米的空地．预计在空地上建造一个网红打卡观景台，阴影部分．
（1）请用、表示观景台的面积．结果化为最简
（2）如果修建观景台的费用为元平方米．且已知米，米那么修建观景台需要费用多少元？
28．先化简，再求值：，其中.
29．以下是圆圆解方程 的解答过程：
解： 去分母， 得 ，
去括号， 得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ．
圆圆的解答过程是否有错误？ 如果有错误， 请写出正确的解答过程．
30．如图，直线，平分，，垂足为点，＝，求的度数．
31．某县学校分为初中部和小学部，做广播操时，两部分别站两个不同的操场上进行，站队时，做到了整齐划一，初中部排成的是一个规范的长方形方阵，每排人，站有排；小学部站的方阵更特别，排数和每排人数都是.试求：该县直学校初中部比小学部多多少名学生；
32．化简求值：，其中x是不等式组的整数解．
33．2024年汤尤杯比赛于4月27日至5月5日在成都高新体育中心举行．作为世界羽毛球界的重要赛事，它的周边产品（如熊猫挂件）深受球迷喜爱．已知每件A型熊猫挂件比每件B型熊猫挂件多15元，用1200元购买的A型熊猫挂件与900元购买的B型熊猫挂件数量相同．
（1）每件A型熊猫挂件与每件B型熊猫挂件的售价是多少元？
（2）若某球迷决定用不超过2000元购买A，B两种型号的熊猫挂件共40件，则最多购买A型熊猫挂件多少件？
34．若有理数a．b满足|a﹣1|+|ab﹣3|=0，试求 + + +…+ 的值．
35．一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地，设前一小时行驶的速度为xkm/h.
（1）直接用含x的式子表示提速后走完剩余路程的时间为 h.
（2）求汽车实际走完全程所花的时间.
（3）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以akm/h的速度行驶，另一半路程以bkm/h的速度行驶（a≠b），则用时t1小时；若用一半时间以akm/h的速度行驶，另一半时间以bkm/h的速度行驶，则用时t2小时.请比较t1，t2的大小，并说明理由.
36．为了感受大自然，描绘大自然的美景，李老师打算为学生购买画笔（单位：盒）与画板（单位：个）两种写生工具数量若干．已知用340元购买画笔与用300元购买画板的数量相同，且每个画板的单价比每盒画笔的单价少2元．
（1）请问购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？
（2）根据班级需要，购买画笔盒数和画板个数总共30件，且购买这些写生工具的总费用不超过475元，求至少购买画板多少个？
37．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，AB＝10，AC＝6，求△ADE的周长.
38．为保障新冠病毒抗原检测试剂盒的需求，某生物科技公司开启“加速”模式生产效率比原先提高了20%，现在生产480万试剂盒所用的时间比原先生产450万试剂盒所用的时间少1天．问原先每天生产多少万试剂盒？
39．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1： ； 方法2： ．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系． ；
（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②已知，求的值．
40．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接EF，求证：AD垂直平分EF．
41．先化简，再求值：，其中.
42．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠AOC=28°，OF平分∠DOE，求∠EOF的度数．
43．如图， 将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成 9 块， 其中有 2 块是边长为 的大正方形， 2 块是边长都为 的小正方形， 5 块是长为 ， 宽为 的相同的小长方形， 且 ．
（1） 观察图形， 可以发现代数式 可以因式分解为
（2） 若图中阴影部分的面积为 ， 大长方形纸板的周长为 ．
①求 的值；
②求图中空白部分的面积．
44．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，求：①a＋b的值；②a4－b4的值．
45．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，CD平分∠ACB，交边AB于点D，点E是边AB的中点．点P为边CB上的一个动点．
（1）AE＝ ，∠ACD＝ 度；
（2）当四边形ACPD为轴对称图形时，求BP的长；
（3）若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度数；
（4）若点M在线段CD上，连接MP、ME，直接写出MP+ME的值最小时CP的长度．
46．为创建文明校园环境，高校长制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图所示的板材裁剪而成，其为一个长为，宽为的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图所示的一个大正方形．
（1）用两种不同方法表示图中小正方形阴影部分面积：
方法一： ；
方法二： ；
（2），，这三个代数式之间的等量关系为 ；
（3）根据题中的等量关系，解决如下问题：
已知：，，求：的值；
已知：，求：的值．
47．
（1）如图1，已知和为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.
①求证：AD=BE.
②∠AEB的度数为 ▲ .
（2）如图2，若和为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，于点，连结BE.
①计算∠AEB的度数.
②写出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
48．已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β.
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上.
①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α= °，β= °.②求α，β之间的关系式.
（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，请求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由.
49．如图，AD⊥BC于D，BD=AC+DC，若∠BAC=110°，求∠C的度数.
50．如图，已知直线EF与直线AB，直线CD分别交于点E，F，EM平分∠AEF交直线CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）求证：AB∥CD；
（2）点G是射线MD上的一个动点(不与点M，F重合)，EH平分∠FEG交直线CD 于点H，过点H作HN∥EM交直线AB于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①点G在点F右侧，且β＝70°，求α的度数；
②点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出结论．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【解答题强化训练·50道优选题】人教版数学八年级上册期末总复习
1．已知三角形的两边分别长1和2，第三边的数值是方程 的根，求这个三角形的周长.
【答案】解：解方程 得： ，
当 时，三角形的三边为1，2， ，满足三角形三边关系，符合题意，
当 时，三角形的三边为1，2， ，不满足三角形三边关系，舍去，
∴三角形周长为： .
【解析】【分析】首先将方程解出，再利用三角形三边关系进行判断求解.
2．如图1，△ACB和△DCE均为等腰三角形，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE。点A，D，E在同一条直线上，连结BE.
（1）求证：AD=BE.
（2）如图 2，若∠ACB= 60°，求∠AEB 的度数.
（3）若∠CEB=135°，CM为△DCE中DE边上的高，猜想线段CM，AE，BE之间存在的数量关系，并证明。
【答案】（1）证明：∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
（2）解：∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴△ACB，△DCE都是等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°，
∵A，D，E共线，
∴ADC=120°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°.
（3）解：结论：AE-BE=2CM.理由为，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CDA=∠CEB=135°，AD=BE，
∵A，D，E共线，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∴∠DCE=90°，
∵CM⊥DE，
∴DM=EM，
∴CM=MD=ME，
∴AE-AD=DE=2CM，
∴AE-BE=2CM.
【解析】【分析】(1)根据SAS证明可得结论；
(2)得到△ACB，△DCE都是等边三角形，再利用全等三角形的性质解决问题即可；
(3)证根据全等三角形的性质得到∠CDA=∠CEB=135°，AD=BE，然后根据等腰直角三角形的性质得到CM=MD=ME，然后根据线段的和差解答即可.
3．如果，则，例如：，则．
（1）根据上述规定，若，求x的值；
（2）记，，，求的值．
【答案】（1）解：根据定义的公式，由，得
∵，
∴
∴；
（2）解：∵，，∴，，
∴
．
【解析】【分析】（1）根据题设中新定义的运算方式，由， 得到，求得x的值，即可得到答案；
（2）根据题设中新定义的运算方式，列式求得，，，再根据幂的乘方逆运算，以及同底数幂的乘法逆运算法则，变形计算求值，即可得到答案．
4．如图，在△ABC中，点D在BC边上，AB=AD=CD．若∠BAD=36°，求∠C的度数．
【答案】解：△ABD中，AB=AD，∠BAD=36°，
∴∠B=∠ADB=（180°-∠BAD）=72°，
∵AD=CD，
∴∠C=∠DAC，
∵∠ADB=∠C+∠DAC，
∴2∠C=72°，
∴∠C=36°.
【解析】【分析】由等边对等角及三角形的内角和定理得∠B=∠ADB=（180°-∠BAD）=72°，∠C=∠DAC，再由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠ADB=∠C+∠DAC，据此建立方程可求出∠C的度数.
5．在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=2∠C，求∠B的度数．
【答案】解：∵∠_A=30°，∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C= 180°，
∴30°+3∠C=180°，
解得∠C=50°，
∴∠B=2∠C=2×50°= 100°
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理，任意三角形的内角和都是， △ABC中 ，∠A+∠B+∠C= 180°，将∠B=2∠C和∠A= 30° 代入，即可求出∠B的度数.
6．化简求值：（），其中a满足a2+2a＝2021．
【答案】解：原式
，
∵a2+2a＝2021，
则原式．
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得，再将 a2+2a＝2021代入计算即可.
7．一艘轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行有无触礁的危险
【答案】解：依题意画示意图，
则AB＝7海里. 过点P作PC⊥AB，垂足为点C，
则∠PBC＝30°，∴∠APB＝∠PBC -∠PAB＝30°-15°＝15°
∴∠PAB＝∠APB，
∴ PB =AB=7海里
∵PC= PB= ×7=3.5海里
∴PC＜3.8海里，该船一直向东航行有触礁的危险
【解析】【分析】过点P作PC⊥AB于点C，可求出∠APB的度数，从而可证得∠PAB=∠APB，利用等腰三角形的性质可求出BP的长；再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可求出PC的长，将PC的长与3.8比较大小，可作出判断。
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为49和40，求△EDF的面积为多少？
【答案】解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，
∵DE=DG，DM=DE，
∴DM=DG，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
∵ ，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），
∵△ADG和△AED的面积分别为49和40，
∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=49﹣40=9，
S△DNM=S△DEF= S△MDG= ×9=4.5．
【解析】【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将△EDF的面积转化为△DNM的面积来解．
9． 如图， AD是△ABC 的高线， AE是△ABC的角平分线， ∠C=30°， ∠B=80°
（1） 求∠DAE 的度数；
（2） 请探究∠DAE与∠B， ∠C的关系， 并说明理由。
【答案】（1）解：∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∠B=80°， ∠C= 30°，
∴∠BAC =180°-(∠B+∠C)=180-(80°+30°)= 70°，
∵AE平分∠BAC，
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-80°=10°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=35°-10°=25°；
（2）
理由： 由 (1) 可知 ∠DAE =∠BAE-∠BAD，
【解析】【分析】(1)首先计算出∠BAC的度数，然后再根据角平分线定义可得∠BAE的度数，再根据直角三角形两锐角互余计算出∠BAD的度数，进而可得∠DAE的度数；
(2)由 (1) 知∠DAE=∠BAE-∠BAD， 再把∠ 代入整理可得答案.
10．小坪在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下：
先化简，后求值：，其中，任选一个合适的整数作为的值代入．
解：原式
当时，原式
请帮助小坪找出错误步骤一步即可，并写出正确的解答过程．
（1）小坪在第 步出错，错误原因是 ．
（2）请在下方写出正确解答过程．
【答案】（1）；括号前面是负号，去括号时没改变符号.
（2）解：
，
且为整数，
，，，
，
，
当时，原式.
【解析】【解答】(1)解：
∴小坪在第②步出错，错误原因是：括号前面是负号，去括号时没改变符号.
故答案为：；括号前面是负号，去括号时没改变符号.
【分析】（1）把通分化简，即可判断小坪在第②步出错，错误原因是：括号前面是负号，去括号时没改变符号.
（2）把化简得，根据且为整数得，，，再根据得，故或，选一个代入即可.
11．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，AE长为半径画弧，交边BC于点F，求证△ABE≌△CDF。
【答案】证明：由题意可得：AE＝FC，
在平行四边形ABCD中，AB＝DC
在△ABE和△CDF中，，
所以，△ABE≌△CDF（SAS）．
【解析】【分析】直接利用已知作图可得AE=FC，进而根据SAS证明全等，即可得证．
12．垃圾分类齐参与，美好生活共创建．为巩固创文成果，某社区计划购买甲，乙两种型号的垃圾桶．已知每个甲型垃圾桶比每个乙型垃圾桶少元，且元购买甲型垃圾桶的数量与元购买乙型垃圾桶的数量相同．
（1）求甲、乙两种型号的垃圾桶的单价；
（2）若需购买甲，乙两种型号的垃圾桶共个，总费用不超过元，至少需购买甲型垃圾桶多少个？
【答案】（1）解：设乙种型号的垃圾桶的单价为元/个，则甲种型号的垃圾桶的单价为元/个，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
答：甲、乙两种型号的垃圾桶的单价分别为元/个，元/个．
（2）解：设购买甲型垃圾桶个，则购买乙型垃圾桶个，
根据题意得：，
解得，
m为整数，
的最小值为，
至少需购买甲型垃圾桶个．
【解析】【分析】（1）设乙种型号的垃圾桶的单价为元/个，则甲种型号的垃圾桶的单价为元/个，根据“元购买甲型垃圾桶的数量与元购买乙型垃圾桶的数量相同 ”列出方程，再求解即可；
（2）设购买甲型垃圾桶个，则购买乙型垃圾桶个，根据“ 总费用不超过元 ”列出不等式，再求解即可.
13．如图1，已知，点为直线上一点：在直线的上方，．一个含的直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）在图1的时刻，的度数为 ，的度数为 ；
（2）如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数；
（3）如图3，当三角板绕点旋转至一边在的内部时，的度数为 ；
（4）在三角板绕点逆时针旋转的过程中，直接写出与的数量关系．
【答案】（1）解：∵，，
∴，，
∴；
故答案为：，.
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴.
（3）解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：.
（4）解：如图所示，当在内部时，
∴
∵，
∴；
当在的内部时，如图所示，
∴
∴，
综上所述，或．
【解析】【分析】（1）由平角的定义可求和的度数，进而可求的度数；
（2）由角平分线的定义求出，再根据角的和差关系解答即可；
（3）由，，可得，，然后作差即可；
（4）分两种情况讨论，当在内部时，当在的内部时， 根据角度的和差关系，即可求解．
（1）解：∵，，
∴，，
∴；
故答案为：，；
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（4）解：如图所示，当在内部时，
∴
∵，
∴；
当在的内部时，如图所示，
∴
∴，
综上所述，或．
14．学校到学习基地的公路距离为15千米，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘坐汽车出发，结果他们同时到达，如果汽车的平均速度与自行车的平均速度的比是3：1，问：汽车与自行车的平均速度分别是多少？
【答案】解：设自行车的平均速度是x千米/小时，汽车的平均速度是3x千米/小时，
由题意得： ，
x=15，
经检验，x=15是原方程的解且符合题意，
∴3x=45，
答：自行车的平均速度是15千米/小时，汽车的平均速度是45千米/小时。
【解析】【分析】先根据题意设自行车的平均速度是x千米/小时，汽车的平均速度是3x千米/小时，然后根据自行车所用时间=汽车所用时间+早出发的时间可得分式方程，最后解方程进行检验即可.
15．若（m﹣3）m＝π0，求代数式2m2+3m﹣4的值．
【答案】解：∵（m﹣3）m＝π0，
∴（m﹣3）m＝1，
∴m＝0或m＝4或m＝2，
当m＝0时，
原式＝2×02+3×0﹣2＝﹣2；
当m＝4时，
原式＝2×42+3×4﹣2＝32+12﹣2＝42；
当m＝2时，
原式＝2×22+3×2﹣2＝8+6﹣2＝12，
综上，代数式2m2+3m﹣4的值﹣2或42或12．
【解析】【分析】先利用零指数幂的意义，求得m的值，再分别把符合题意的m值代入代数式2m2+3m﹣4中，计算求解即可.
16．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形及长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形的面积可以验证公式 ；
（2）若，，求的值；
（3）如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为．求的长度．
【答案】（1）
（2）解：，，
；
（3）解：设正方形ABCD的边长为正方形DGFE的边长为
由题意可得，，
即，
，
，
，，
，
即．
【解析】【解答】（1）解：图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为，
所以有，
故答案为：；
【分析】（1）从“整体”与“部分”两种情况，分别根据正方形及长方形面积计算公式用代数式表示图①的面积，再根据用两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子相等，即可得出结论；
（2）由（1）的结论可得x2+y2=(x+y)2-2xy，然后整体代入计算即可；
（3）设正方形ABCD的边长为m，正方形DGFE的边长为n，根据三角形的面积计算公式可得mn=6，m2+n2=24，根据（1）的结论可得(m+n)2=m2+n2+2mn，从而整体代入计算后再求算术平方根即可得出答案.
17．某广场将于2018年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木，A花木4200棵，B花木2400棵．如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？
【答案】解：设安排a人种植A花木，由题意得：
，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：安排14人种植A花木，12人种植B花木．
【解析】【分析】设安排a人种植A花木，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
18．如图，已知AB=AC，∠B=∠C，则BD与CD相等吗 请说明理由．
【答案】解：相等，
理由如下：如图，连接BC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠DBC=∠CDB，
∴BD=CD.
【解析】【分析】连接BC，根据等腰三角形的性质性质∠ABC=∠ACB，从而得出∠DBC=∠CDB，即可得出BD=CD.
19．小深家的新能源汽车，既可以纯油动行驶，也可以纯电动行驶.请你帮助小深完成下列问题：
动力源 纯油动 纯电动
行驶里程 a千米 a千米
总耗油(电)量 50升 70千瓦时
油(电)单价 7.6元/升 0.5元/千瓦时
每千米费用 元 ▲ 元
（1）纯电动力时每千米费用为 ▲ 元；
（2）若每千米纯用油的费用比纯用电的费用多0.69元：
①求出a的值；
②若行驶这a千米先后使用两种动力方式，总费用为242元，则汽车纯电动行驶了多少千米
【答案】（1）
（2）解：①每千米纯用油的费用比纯用电的费用多0.69元，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
②
设汽车纯电动力行驶了，
由题意得：，
解得，
答：汽车纯电动力行驶了200km．
【解析】【解答】（1）解：纯电动力每千米行驶费用是（元），
故答案为：；
【分析】 （1）依据“每千米费用 = 总费用÷行驶里程”的关系，由纯电动行驶的耗电量、电单价算出总费用，进而得出每千米费用；
（2）①通过已知纯油动与纯用电每千米费用差为0.69元，列方程求解a的值；
②利用总费用242元，结合两种动力方式的费用关系，设未知数列方程求解纯电动行驶的千米数。
20．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，BC＝10．
（1）求证：MF=ME；
（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．
【答案】（1）证明：因为 CF⊥AB于F，BE⊥AC于E ，所以 和均为直角三角形，又因为 M为BC的中点 ，所以所以
（2）由（1）知所以则所以又因为在中：则四边形的内角和为360°，所以
40°
【解析】【分析】本题主要考查直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形及四边形的内角和，（1）根据在直角三角形中三角形斜边上中线等于斜边的一半即可得证；
（2）根据（1）知得到在根据补角的关系可得：在利用三角形内角和求出再利用四边形内角和为360°求解即可.
21． 小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程.
小颖：原式=
···
小红：原式=
（1）小颖解法的依据是（ ），小红解法的依据是（ ）
A. 分式的基本性质
B. 等式的基本性质
C. 乘法结合律
D. 乘法分配律
（2） 请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“-2，1，2”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值.
【答案】（1）A，D
（2）解：①选择小颖解法
原式
当x=1时，原式=
②选择小红解法
原式
当x=1时，原式=
【解析】【分析】（1）根据分式的基本性质结合乘法分配律即可求解；
（2）根据分式的化简结合题意选择其中一种解法化简，进而根据分式有意义的条件代入数值即可求解。
22．先化简，再求值： ÷（1﹣），其中m=
【答案】解：原式=
=
当m= 时，原式= =
【解析】【分析】对分子利用平方差公式进行化简，分母提公因式进行化简，将化简的结果，利用m=代入即可。
23．规定一种新的运算“”，其中，为正整数．其运算规则如下：
①；②（其中为常数）．
（1）计算：_______，______（其中为常数）；
（2）（其中，均不为0）．
①求，，的值；
②化简并计算：．
【答案】（1），
（2）解：①由题意知，，，，
∴，整理得，，
∴，，，，
解得，，，
∴，，；
②解：由①可知，，整理得，
∴，
∴的值为3．
【解析】【解答】解：（1）由题意知，，，
故答案为：，；
【分析】（1），，求解作答；
（2）①先根据，，，得出，从而可得，，，，求解作答即可；
②先根据，得到，再代入化简即可．
24．学校为了让学生进行物理实验的体验和实验效果更好，决定向相关部门申请采购一批新的电流表和电压表.已知市场上电流表的单价比电压表的单价高20%，且学校计划购买电流表和电压表共150台，其中购买电流表花费3 840元，购买电压表花费1600 元.
（1）电压表的单价是多少元
（2）因原材料市场价格浮动，实验仪器厂商计划对电流表的售价提高20%，电压表的售价为原来的8折，若学校计划再次购进的电流表和电压表的总费用不超过3 800元，且两种仪器共购买100 台，则学校最多可以购买电流表多少台
【答案】（1）解：设电压表的单价是x元，则电流表的单价是(1+20%)x元，
由题意，得
去分母，得3 840+1600×1.2=150×1.2x，
移项、合并同类项，得180x=5760，
解得x=32，
检验：当x=32时，1.2x≠0，
∴x=32是分式方程的解，且符合实际.
答：电压表的单价是32元；
（2）解：由(1)知，电压表的单价为32元，电流表的单价为32×1.2=38.4(元)，
设学校购买电流表a台，则购买电压表(100-a)台，
由题意，得32×0.8×(100-a)+38.4×(1+20%)a≤3800，
∵a为正整数，
∴a最大为60.
答：学校最多可以购买电流表60台.
【解析】【分析】（1）设电压表的单价是x元，则电流表的单价是(1+20%)x元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设学校购买电流表a台，则购买电压表(100-a)台，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
25．如图，在中，，，CD是的高线，CE是的角平分线，求的度数．
【答案】解：∵CD是△ABC的高，
∴∠CDB=90°，
∴∠DCB=90°-∠B=90°-50°=40°；
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB=∠ACB=×90°=45°，
∴∠DCE=∠ECB-∠DCB=45°-40°=5°
【解析】【分析】利用三角形高的定义可求出∠CDB的度数，利用直角三角形的两锐角互余，求出∠DCB的度数；再利用角平分线的定义求出∠ECB的度数；然后根据∠DCE=∠ECB-∠DCB，代入计算求出∠DCE的度数.
26．在数轴上，点A表示7，点B表示5，点O表示0，C为线段OB上一点，当以OC，CB，BA三条线段为边，可以围成等腰三角形时，点C表示什么数
【答案】解：∵数轴上A点表示数7，B点表示数5，
∴BA=2
∵以OC、CB、BA三条线段为边围成等腰三角形时，
若CB=BA=2，则OC=5-2=3，所以C点表示数为3，
若OC=BA=2，所以C点表示数为2，
若OC=CB，则OC=5÷2=2.5，所以C点表示数为2.5
【解析】【分析】根据等腰三角形的两边相等进行解答即可.
27．如图所示的是人民公园的一块长为米．宽为米的空地．预计在空地上建造一个网红打卡观景台，阴影部分．
（1）请用、表示观景台的面积．结果化为最简
（2）如果修建观景台的费用为元平方米．且已知米，米那么修建观景台需要费用多少元？
【答案】（1）解：阴影部分的面积为：
；
答：观景台的面积为平方米；
（2）解：当时，
原式
平方米，
元．
答：修建观景台需要费用为元．
【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式，结合图形，结合面积之间的和差关系，列出算式，化简运算，即可得到答案；
（2）把代入（1）中的代数式，计算求值，即可得到答案.
28．先化简，再求值：，其中.
【答案】解：
=
=，
当时，原式.
【解析】【分析】对第二个分式的分母利用完全平方公式进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，然后将m=9代入进行计算.
29．以下是圆圆解方程 的解答过程：
解： 去分母， 得 ，
去括号， 得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ．
圆圆的解答过程是否有错误？ 如果有错误， 请写出正确的解答过程．
【答案】解 ： 圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：
去分母， 得 ，
去括号， 得 ，
移项， 得 ，
合并同类项， 得 ，
系数化为 1 ， 得 ．
检验： 当 时， ，
所以 是原方程的根．
【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可.
30．如图，直线，平分，，垂足为点，＝，求的度数．
【答案】解：∵AC∥BD，
∴∠BAC+∠ABD=180°，
又∵∠BAC=100°，
∴∠ABD=180°-100°=80°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠ABD=40°，
∵DE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∴∠EDB=90°-∠DBE=90°-40°=50°.
【解析】【分析】由二直线平行，同旁内角互补可求出∠ABD的度数，根据角平分线的定义可求出∠DBC的度数，进而根据垂直的定义得∠BED=90°，最后根据三角形的内角和定理可算出∠EDB的度数.
31．某县学校分为初中部和小学部，做广播操时，两部分别站两个不同的操场上进行，站队时，做到了整齐划一，初中部排成的是一个规范的长方形方阵，每排人，站有排；小学部站的方阵更特别，排数和每排人数都是.试求：该县直学校初中部比小学部多多少名学生；
【答案】解：由题意，得：初中部的学生人数为：，
小学部的学生人数为，
，
∴该县直学校初中部比小学部多名学生.
【解析】【分析】根据排数乘以每排的人数结合多项式乘以多项式的法则分别算出初中部与小学部的人数，最后再根据整式的减法运算方法求差即可.
32．化简求值：，其中x是不等式组的整数解．
【答案】解：原式=÷
=
=，
解不等式组，
解不等式①，得：x＞﹣4，
解不等式②，得：x≤﹣1，
∴不等式组的解集为﹣4＜x≤﹣1，
∴不等式的整数解是﹣3，﹣2，﹣1．
又∵x+1≠0，x﹣1≠0∴x≠±1，
∴x=﹣3或x=﹣2，
当x=﹣3时，原式=﹣，
当x=﹣2时，原式=﹣1．
【解析】【分析】先化简分式，再解不等式组的解集，根据分式有意义的条件可得x的值，将其代入化简好的分式求值即可.
33．2024年汤尤杯比赛于4月27日至5月5日在成都高新体育中心举行．作为世界羽毛球界的重要赛事，它的周边产品（如熊猫挂件）深受球迷喜爱．已知每件A型熊猫挂件比每件B型熊猫挂件多15元，用1200元购买的A型熊猫挂件与900元购买的B型熊猫挂件数量相同．
（1）每件A型熊猫挂件与每件B型熊猫挂件的售价是多少元？
（2）若某球迷决定用不超过2000元购买A，B两种型号的熊猫挂件共40件，则最多购买A型熊猫挂件多少件？
【答案】（1）解：设每件A型熊猫挂件的售价是x元，则每件B型熊猫挂件的售价是元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意；
，
答：每件A型熊猫挂件的售价是60元，则每件B型熊猫挂件的售价是45元；
（2）解：设购买A型熊猫挂件m件，则购买B型熊猫挂件件，根据题意得：，
解得：，
∵m为整数，
∴m的最大值为13，
答：最多购买A型熊猫挂件13件．
【解析】【分析】（1）设每件A型熊猫挂件的售价是x元，则每件B型熊猫挂件的售价是(x-15)元，根据总价除以单价等于数量及“ 用1200元购买的A型熊猫挂件与900元购买的B型熊猫挂件数量相同 ”，列出方程，即可求解；
（2）购买A型熊猫挂件m件，则购买B型熊猫挂件(40-x)件，根据单价乘以数量等于总价及购买m件A型熊猫挂件的费用+购买(40-m)件B型熊猫挂件的费用不超过2000元，列出不等式，求出最大整数解即可.
34．若有理数a．b满足|a﹣1|+|ab﹣3|=0，试求 + + +…+ 的值．
【答案】解：由题意可知：a﹣1=0，ab﹣3=0，
∴a=1，b=3，
∴b﹣a=2，
∴原式= （ ）+ （ ）+ （ ）+…+ （ ）
= （ ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ）
= （ ﹣ ）
=
【解析】【分析】有题意可知：a=1，ab=3，所以b=3，将原分式化简，将a和b的值代入即可．
35．一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地，设前一小时行驶的速度为xkm/h.
（1）直接用含x的式子表示提速后走完剩余路程的时间为 h.
（2）求汽车实际走完全程所花的时间.
（3）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以akm/h的速度行驶，另一半路程以bkm/h的速度行驶（a≠b），则用时t1小时；若用一半时间以akm/h的速度行驶，另一半时间以bkm/h的速度行驶，则用时t2小时.请比较t1，t2的大小，并说明理由.
【答案】（1）
（2）解：依题意，得
解得x=60，
经检验：x=60是原方程的解，且符合题意，
答：汽车实际走完全程所花的时间为h.
（3）解：t1>t2.理由：
均为正数，且即∴t1>t2.
【解析】【解答】解：（1）∵前一小时行驶的速度为xkm/h，则提速后速度为km/h，
∴提速后走完剩余路程的时间为：
故答案为：；
【分析】（1）根据题意得到：提速后速度为km/h，则得到提速后走完剩余路程的时间为：即可求解；
（2）根据"提速后比原计划提前40min到达目的地"，据此列出分式方程为：解得：进而将x的值代入即可求解；
（3）根据时间等于路程除以速度，据此分别求出：t1，t2，进而将其作差比较即可求解.
36．为了感受大自然，描绘大自然的美景，李老师打算为学生购买画笔（单位：盒）与画板（单位：个）两种写生工具数量若干．已知用340元购买画笔与用300元购买画板的数量相同，且每个画板的单价比每盒画笔的单价少2元．
（1）请问购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？
（2）根据班级需要，购买画笔盒数和画板个数总共30件，且购买这些写生工具的总费用不超过475元，求至少购买画板多少个？
【答案】（1）解：设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要（x-2）元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元；
（2）解：设购买画板a个，则购买画笔(30-a)个，
根据题意有，
解得：，
根据题意可知为整数，
的最小值为18．
答：至少购买画板18个．
【解析】【分析】（1）设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要（x-2）元，根据总价除以单价等于数量及根据用340元购买画笔与用300元购买画板的数量相同列出方程，解方程即可；
（2）设购买画板a个，则购买画笔(30-a)个，根据单价乘以数量等于总价及购买这些写生工具的总费用不超过475元列出不等式解不等式求出最小整数解即可．
（1）解：设购买一盒画笔需要元，一个画板需要元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元．
（2）解：设购买画板个，则购买画笔个，
根据题意有，
解得：，
根据题意可知为整数，
的最小值为18．
答：至少购买画板18个．
37．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，AB＝10，AC＝6，求△ADE的周长.
【答案】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O
∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO
∵DE∥BC
∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO
∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC
∴DB=DO，EC =EO
∴△ADE的周长= AD+DE＋AE = AD+DO＋EO＋AE= AD+ DB＋EC＋AE=AB＋AC=10＋6=16
【解析】【分析】根据角平分线的定义可得：∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，再根据平行的性质可得∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，从而证出∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，根据等角对等边即可得：DB=DO，EC =EO，计算△ADE的周长即可.
38．为保障新冠病毒抗原检测试剂盒的需求，某生物科技公司开启“加速”模式生产效率比原先提高了20%，现在生产480万试剂盒所用的时间比原先生产450万试剂盒所用的时间少1天．问原先每天生产多少万试剂盒？
【答案】解：设原先每天生产x万试剂盒，根据题意，
得：，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
答：原先每天生产50万试剂盒．
【解析】【分析】设原先每天生产x万试剂盒，根据题意列出方程求解即可。
39．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1： ； 方法2： ．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系． ；
（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】（1）解：方法1：由大正方形的面积计算：，
方法2：由两个小正方形和两个小矩形的面积计算：；
（2）解：由图2可直接得出；
（3）解：如图；
（4）解：①∵，∴，即．
∵，
∴，
∴；
②，
，
，
，
∴．
【解析】【分析】（1）根据给定的图形，结合大正方形的面积计算，以及两个小正方形和两个小矩形的面积计算，即可的得到答案；
（2）根据给定的图形，由大正方形的面积=两个小正方形+两个小矩形的面积，即得出答案；
（3）由等式可得出该图形为长为，宽为的大正方形，根据2个边长为b，1个边长为a的正方形，3个长为b，宽为a的长方形组成，据此画出图形，即可求解；
（4）①由题意可求出，得到，再将代入求解即可；
②将原等式化简为，再将看作整体，结合完全平方公式去括号，进行计算，即可得到答案．
（1）解：方法1：由大正方形的面积计算：，
方法2：由两个小正方形和两个小矩形的面积计算：；
（2）解：由图2可直接得出；
（3）解：如图；
（4）解：①∵，
∴，即．
∵，
∴，
∴；
②，
，
，
，
∴．
40．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接EF，求证：AD垂直平分EF．
【答案】（1）证明：∵D是BC的中点 ∴BD=CD， 又∵BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∴点D在∠BAC的平分线上， ∴AD平分∠BAC
（2）证明： ∴∠B =∠C， ∴AB=AC， ∵BE=CF， ∴AB BE=AC CF， ∴AE=AF， ∵DE=DF， ∴AD垂直平分EF.
【解析】【分析】（1）由直角三角形全等判定定理HL可知RtΔBDE≌RtΔCDF，再由全等三角形的对应边相等可知DE=DF，再由角平分线的判定定理即可判定AD是∠BAC的平分线；
（2）由全等三角形的对应边相等可知BE=CF，全等三角形的对应角相等可知∠B=∠C，再由等角对等边可知AB=AC，由此可知AE=AF，再由线段垂直平分线的判定定理即可判定AD垂直平分EF。
41．先化简，再求值：，其中.
【答案】解： 原式，
，
.
当时，
原式.
【解析】【分析】对括号外分式的分子、分母进行分解，对括号内的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，接下来将x的值代入计算即可.
42．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠AOC=28°，OF平分∠DOE，求∠EOF的度数．
【答案】解：∵∠AOC＝28°，
∴∠BOD＝28°，
又∵OE⊥AB，
∴∠EOD＝62°
∵OF平分∠DOE，
∴∠EOF＝∠EOD＝31°．
【解析】【分析】依据对顶角相等，可得∠AOC＝∠BOD＝28°，再根据OE⊥AB，即可得到∠EOD＝62°，最后依据OF平分∠DOE，即可得到∠EOF＝∠EOD＝31°
43．如图， 将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成 9 块， 其中有 2 块是边长为 的大正方形， 2 块是边长都为 的小正方形， 5 块是长为 ， 宽为 的相同的小长方形， 且 ．
（1） 观察图形， 可以发现代数式 可以因式分解为
（2） 若图中阴影部分的面积为 ， 大长方形纸板的周长为 ．
①求 的值；
②求图中空白部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：①∵大长方形周长，
∴a+b=42÷6=7；
②∵，即，且a+b=7，
∴，
∴空白部分面积=5ab=5×10=50cm2.
【解析】【解答】解：（1） 观察图形， 代数式 实际为大长方形的面积，其边长分别为2a+b以及a+2b，因此结合长方形的面积公式可得 =.
故填：.
【分析】（1）结合图形可知实际为大长方形的面积，然后再结合大长方形的面积公式建立等式即可；
（2）空白部分面积易知5ab，则解题关键在于求出a、b，而由条件可知的值以及a+b的值，则结合完全平方公式即可计算出ab值.
44．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，求：①a＋b的值；②a4－b4的值．
【答案】（1）解：两个阴影图形的面积和可表示为：
a2＋b2或 (a＋b)2－2ab
（2）解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
（3）解：∵a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，
∴①(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab
＝53＋2×14=81
∴a＋b＝±9，
又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9．
②∵a4－b4＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)，
且∴a－b＝±5
又∵a＞b＞0，
∴a－b＝5，
∴a4﹣b4＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)＝53×9×5＝2385．
【解析】【分析】（1）第一种表示方法为：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积即可，即（a+b）2-2ab；第二种表示方法为：阴影部分的面积为两个正方形的面积之和，即a2+b2；
（2）因为两种方法表示的为同一个阴影的面积即两种表示方法为相等的关系，即(a+b)2-2ab=a2+b2；
（3）由（2）题中的等量关系即可求得a+b的值，再根据（2）题中的等量关系可以表示（a-b）2+2ab=a2+b2，可求出a-b的值，将a4-b4进行因式分解，即可求出它的值。
45．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，CD平分∠ACB，交边AB于点D，点E是边AB的中点．点P为边CB上的一个动点．
（1）AE＝ ，∠ACD＝ 度；
（2）当四边形ACPD为轴对称图形时，求BP的长；
（3）若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度数；
（4）若点M在线段CD上，连接MP、ME，直接写出MP+ME的值最小时CP的长度．
【答案】（1）6；45
（2）解：根据题意知 当四边形ACPD为轴对称图形时则，又因为在Rt△ABC中所以则
（3）解：①当时，②当时，③当时，则
90°，45°，67.5°
（4）解：如下图，点M在CD上，且，作点P关于CD的对称点，
因为所以又因为 CD平分∠ACB ，所以在和中所以（AAS），所以
则故当E、M、三点共线时，有最小值又根据垂线段最短可得当时有最小值，
所以所以又则所以
CP=3
【解析】【解答】解：（1）因为 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60° ，所以则又 点E是边AB的中点 ，所以AE=6；
因为 ∠ACB＝90° ， CD平分∠ACB， 所以.
故答案为：6，45.
【分析】本题主要考查轴对称最短路径问题。全等三角形的判定与性质。等腰三角形的性质，含30度的直角三角形，角平分线的性质，本题综合性较强，难度较大.（1）根据题意可得：即可得到：在根据平分即可求解第二空；
（2）根据轴对称图形可得从而得到在运用勾股定理及线段计算即可求解；
（3）根据题意知然后分①，②，③三种情况讨论即可求解；
（4）点M在CD上，且，作点P关于CD的对称点，因为所以可证得：（AAS），所以则故当E、M、三点共线时，有最小值再根据含30度的直角三角形及平行的性质即可求解.
46．为创建文明校园环境，高校长制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图所示的板材裁剪而成，其为一个长为，宽为的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图所示的一个大正方形．
（1）用两种不同方法表示图中小正方形阴影部分面积：
方法一： ；
方法二： ；
（2），，这三个代数式之间的等量关系为 ；
（3）根据题中的等量关系，解决如下问题：
已知：，，求：的值；
已知：，求：的值．
【答案】（1）；
（2）
（3），，
，
；
．
【解析】【解答】解：（1）小正方形的面积=边长×边长=（m-n）×（m-n）=（m-n）2；小正方形的面积=大正方形的面积-4×小长方形的面积=；
故答案为：；；
（2）根据小正方形的面积相等可得：，
故答案为：.
【分析】（1）利用不同的表达式表示出小正方形的面积即可；
（2）根据小正方形的面积相等列出等式即可；
（3）①将代数式变形为，再将数据代入求解即可；
②将代数式变形为，再将数据代入求解即可.
47．
（1）如图1，已知和为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.
①求证：AD=BE.
②∠AEB的度数为 ▲ .
（2）如图2，若和为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，于点，连结BE.
①计算∠AEB的度数.
②写出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）①证明，如图：
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE；
∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE.
②60°.
（2）解：①在题图2中，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB=∠BCE；
∵CA=CB，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°.
∵点A，D，E在同一直载上，
∴∠ADC=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.
②AE=BE+2CM；理由如下：
∵CD=CE，CM⊥DE于M，
∴DM=ME；
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM.
【解析】【解答】解：（1）②解：∵△ACD≌△BCE
∴∠ADC=∠BEC；
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°；
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°.
故答案为：60°.
【分析】（1）①根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°可得CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°；推得∠ACD=∠BCE；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AD=BE.
②根据全等三角形的对应角相等可得∠ADC=∠BEC；根据等边三角形的性质可得∠CDE=∠CED=60°，求得∠ADC=∠BEC=120°；即可求解.
（2）①根据等腰直角三角形的底角所对的边相等可得CA=CB，CD=CE；推得∠ACD=∠BCE；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等，对应角相等可得AD=BE，∠ADC=∠BEC；结合等腰直角三角形的性质即可推得∠BEC=135°；即可求解.
②根据等腰三角形底边上的中线，底边上的高，顶角的角平分线重合可得DM=ME；结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=ME=CM，即可求解.
48．已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β.
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上.
①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α= °，β= °.②求α，β之间的关系式.
（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，请求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由.
【答案】（1）20；10；α=2β
（2）解：如图，点E在CA延长线上，点D在线段BC上，
设∠ABC=x，∠ADE=y，则∠ACB=x，∠AED=y，
在△ABD中，x+α=β-y，
在△DEC中，x+y+β=180°，
所以α=2β-180°.
注：求出其它关系式，相应给分，如点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，可得α=180°-2β.
【解析】【解答】解：（1）①因为AD=AE，
所以∠AED=∠ADE=70°，∠DAE=40°，
又因为AB=AC，∠ABC=60°，
所以∠BAC=∠C=∠ABC=60°，
所以α=∠BAC-∠DAE=60°-40°=20°，
β=∠AED-∠C=70°-60°=10°；
②解：如图，设∠ABC=x，∠ADE=y，
则∠ACB=x，∠AED=y，
在△DEC中，y=β+x，
在△ABD中，α+x=y+β，
所以α=2β.
【分析】（1）①在△ADE中，由AD=AE，∠ADE=70°，不难求出∠AED和∠DAE；由AB=AC，∠ABC=60°，可得∠BAC=∠C=∠ABC=60°，则α=∠BAC-∠DAE，再根据三角形外角的性质可得β=∠AED-∠C；②求解时可借助设未知数的方法，然后再把未知数消去的方法，可设∠ABC=x，∠ADE=y；（2）有很多种不同的情况，做法与（1）中的②类似，可求这种情况：点E在CA延长线上，点D在线段BC上.
49．如图，AD⊥BC于D，BD=AC+DC，若∠BAC=110°，求∠C的度数.
【答案】解：如图，以A为圆心，AC长为半径画弧，交BC于点E，连接AE，
则AE=AC，CD=DE，∠CAD=∠EAD，又BD=AC+DC，BD=BE+DE，
∴AE=AC=BE，∴∠B=∠BAE
∴令∠C=x，则∠CAD=90°-x，∠B=∠BAE=110°-2（90°-x）=110°-180°+2x=2x-70°，
∴由三角形内角和定理得：x+2（90°-x）+2（2x-70°）=180°，解得：x= .
【解析】【分析】 以A为圆心，AC长为半径画弧，交BC于点E，连接AE，由等腰三角形的性质可得 CD=DE ， ∠CAD=∠EAD ， 进而得出 AE=AC=BE ，根据等边对等角得出 ∠B=∠BAE ，并设∠C=x，然后用哪个含x的式子表示出∠CAD及∠B与∠BAE，最后根据三角形的内角和定理列出方程，解方程可以得到∠C的度数.
50．如图，已知直线EF与直线AB，直线CD分别交于点E，F，EM平分∠AEF交直线CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）求证：AB∥CD；
（2）点G是射线MD上的一个动点(不与点M，F重合)，EH平分∠FEG交直线CD 于点H，过点H作HN∥EM交直线AB于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①点G在点F右侧，且β＝70°，求α的度数；
②点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出结论．
【答案】（1）证明：∵EM平分∠AEF，∴∠AEM＝∠FEM，
∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠FME，
∴AB∥CD；
（2）解：①
∵EH平分∠FEG，
∴∠HEF＝∠HEG，
∵HN∥EM，
∴∠EHN＝∠HEM＝∠HEF+∠FEM，
∵∠FEM＝∠FME，
∴∠EHN＝∠HEF+∠FME＝α，
∵∠EGF＝180° ∠FME ∠GEM
＝180° ∠FME ∠FEM 2∠HEF
＝180° 2(∠FME+∠HEF)，
∴β＝180° 2α，
∵β＝70°，
∴70°＝180° 2α
解得α＝55°．
②α和β之间的数量关系为β＝2α或β＝180° 2α．
理由如下：
当点G在点F的右侧，由上题得α＝180° 2β，
当点G在点F的左侧时，如下图，
∵EH平分∠FEG，
∴∠HEF＝∠HEG，
∵HN∥EM，
∴∠EHN＝∠HEM，
∵∠FEM＝∠FME，
∴∠EGF＝∠FME+∠GEM＝∠FEM+∠GEM
＝∠GEM+2∠HEG+∠GEM＝2(∠GEM+∠HEG)＝2∠HEM，
∴∠EGF＝2∠EHN，
即β＝2α，
综上所述，α和β之间的数量关系为β＝2α或β＝180° 2α．
【解析】【分析】（1）由EM平分∠AEF 可得 ∠AEM＝∠FEM ，又已知 ∠FEM＝∠FME． 等量代换可知∠AEM=∠FME，由图易知这是一组内错角，据平行线的判定可知结论成立；
（2）①由EH平分∠FEH得到∠HEF=∠HEG，再根据平行线的性质得到∠EHN=∠HEM=∠HEF+∠FEM，由于∠FEM=∠FME，则三角形内角和定理得到∠EGF=180°-2（∠FME+∠HEF），即β=180°-2α，然后把β=70°代入可计算出α的值；
②当点G在点F的右侧，由①得α=180°-2β；当点G在点F的左侧时，如图2，由EH平分∠FEH得到∠HEF=∠HEG，根据平行线的性质得到∠EHN=∠HEM，由于∠FEM=∠FME，利用三角形外角性质得到∠EGF=∠FME+∠GEM=2（∠GEM+∠HEG）=2∠HEM，即β=2α，综上所述，α和β之间的数量关系为β=2α或β=180°-2α．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
