【解答题强化训练·50道优选题】人教版数学九年级上册期末总复习（原卷版 解析版）

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【解答题强化训练·50道优选题】人教版数学九年级上册期末总复习
1．如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求AB、BC边各为多少米？
2．如图， 内接于 ， ， ，则 的直径等于多少？
3．如图，
AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB=CP．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
4．4张相同的卡片上分别写有数字0、1、﹣2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为 　 　；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）
5．解下列方程：
（1）（配方法）
（2）（公式法）
6．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，当Q到达点C时，点Q、P同时停止移动．
（1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2？
（2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5cm？
7．已知抛物线y=-x2+bx+c经过点（1，0），（0，）。
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）将抛物线y=-x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方式．
8．如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）要使无盖长方体盒子的底面积为，求剪去的正方形的边长．
（2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值吗？如有求出最大值，如果没有，请说明理由．
9．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练.在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分.已知铅球出手处A距离地面的高度是 米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度 的B处.小丁此次投掷的成绩是多少米？
10．某工厂生产一批小家电，年的出厂价是144元，2021年、2022年连续两年改进技术，降低成本，年出厂价调整为100元．
（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（结果保留2位小数）
（2）某商场今年销售这批小家电的售价为元时，平均每天可销售台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低元，每天可多售出台，如果每天盈利元，单价应降低多少
11．垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分．
运动员丙测试成绩统计表
测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩（分） 7 6 8 b 7 5 8 a 8 7
（1）若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则成绩表中的a＝　 　，b＝　 　；
（2）若在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的统计量加以分析说明（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2＝0.81、S乙2＝0.4、S丙2＝0.8）
（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从乙手中传出，第二轮结束时球又回到乙手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）
12．老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2）
（1）求抽查学生总数．
（2）求所抽查学生读课外书册数的平均数．（结果保留整数）
（3）老师手里有1本课外读物，七、八年级两位同学都想借阅，为此九年级的一位同学设计了一个转盘游戏，指针固定不动，分别旋转两个转盘，若先后两次转动出现字母A与B的的混合结果，就借给七年级的同学，否则就借给八年级的同学．你认为这个游戏公平吗？为什么？
13．某景区内有一块矩形郁金香园地，AD=8米，AB=5米，现在其中修建一条花道（阴影所示）供游人赏花.花道的面积为12平方米.设AE=AF=HC=GC=x米.
（1）DE=　 　；DH=　 　；（用含x的式子表示）
（2）求x的值.
14．已知平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）若的长为5，求的值；
（2）为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长．
15．已知方程 ；则①当 取什么值时，方程有两个不相等的实数根？②当 取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当 取什么值时，方程没有实数根？
16． 如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为，求AB的长度（可利用的围墙长度超过6m）．
17．一个二次函数的图象经过（0，1）、（2，3）、（4，7）三点，求这个二次函数的表达式.
18．如图，在一只不透明的箱子中装有4个大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字0，，3，，搅匀后，甲先从中随机模出一个球（不放回），将小球上的数字记录下来，乙再从余下的3个球中摸出一个球，同样将小球上的数字记录下来．
（1）写出第一次摸出的小球上数字是正数的概率；
（2）利用画树状图或列表的方法，求出第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为正数的概率．
19．已知二次函数的图象顶点为．且过点为，求该抛物线的解析式．
20．某商店购进一种商品，每件商品进价20元，规定该商品的售价不低于进价，且不高于进价的两倍．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件销售价（元）的关系数据如下：
30 32 34 36
40 36 32 28
（1）已知与满足一次函数关系，根据上表，求出与之间的关系式；
（2）设该商店每天销售这种商品所获利润为（元），求出每件商品销售价定为多少元时利润最大，并求出最大利润？
21．如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图，地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽．
22．按要求填一填，画一画。
（1）平行四边形的B点用数对表示是（ ， ）。
（2）把平行四边形绕点顺时针旋转，得到图形①。
（3）以直线MN为对称轴，画出平行四边形ABCD的轴对称图形，得到图形②。
（4）把平行四边形ABCD按2：1放大，得到图形③。
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 为 AB 上一点，以BD 为直径的半圆交 BC于点 F，且AC切半圆O 于点 E.
（1）求证：
（2）若∠A=30°，AB=6，求 CF的长.
24．如图，某中学把五育并举与减负延时服务相结合，劳动课准备在校园里利用校围墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形茶园，让学生在茶园里体验种茶活动．现已知校围墙长25米，篱笆40米长（篱笆用完），设长米，矩形茶园的面积为平方米．
（1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）当矩形茶园的面积为200平方米时，求的长．
25．美化城市、改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．长沙市近几年来，通过拆迁旧房、植草、栽树、修公园等措施，使城区绿地面积不断增加．该市某城区2023年底时绿化面积约为万亩，计划到2025年底时绿化面积达到万亩．若每年的年平均增长率相同，试解决下列问题：
（1）求该城区绿化面积的年平均增长率；
（2）按照（1）中的年平均增长率，该城区期望2026年底绿化面积达到万亩，请通过计算说明该目标能否实现．
26．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为．
①分别求出抛物线和直线的解析式；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过．
27．新能源汽车节能、环保，越来越受到消费者喜爱．某新能源汽车厂近几年产量逐年增加，2021年产量为16万辆，2023年产量增加到49万辆．
（1）从2021年到2023年，该新能源汽车厂年产量的平均增长率是多少？
（2）按照这个增长速度，预计在2024年，该新能源汽车厂产量可以达到多少万辆（结果保留小数点后一位）？
28．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（-1，-1）、B（-3，3）、C（-4，1）
（1）在图（1）中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）在图（2）中画出△ABC绕点A按顺时针旋转90°后的△AB2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．
29．已知二次函数的图象经过点，．
（1）求，的值及这个图象的顶点坐标．
（2）若点在该二次函数图象上，且到轴的距离小于，求的取值范围．
30．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏：两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6． 小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
31．将小球（看作一点）从距离地面高的点处向右发射，建立如图所示的平面直角坐标系，小球沿抛物线运动．
（1）若当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度．
①求小球达到的最大高度；
②当小球前方无障碍物时，求小球落地时的水平距离．
（2）若小球的正前方（）处有一个截面为长方形的球筐，其中长为，宽为，若要使小球落入筐中，求的取值范围．
32．某公司推出一款消毒产品，成本价为8元／千克，经过市场调查，该产品的日销售量（千克）与销售单价x（元／千克）（单价不高于22元）之间满足一次函数关系，该产品的目销售量与销售单价的几组对应值如表：
销售单价（元／千克） 10 15 18 20
日销售量（千克） 240 190 160 140
（1）求关于的函数表达式；
（2）若要每天盈利1200元，则销售单价应为多少元？
（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，那么当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润为多少元？
33． 青岛某饭店推出一款新品“特色香辣小龙虾”按照以堂食和外卖两种方式售卖；一份“特色香辣小龙虾”的堂食单价比外卖单价高20元，4份外卖的总价比3份堂食的总价多48元；
（1）求一份“特色香辣小龙虾”的堂食单价和外卖单价分别是多少元？
（2）五月份第一周按照（1）中的单价共卖出200分“特色香辣小龙虾”，由于小龙虾成熟旺季到来，成本降低，因此该饭店决定从五月第二周降价销售，每份外卖单价降元，第二周的总销售量在第一周200份的基础上增加份．每份堂食单价直接降价8元，且第二周堂食的销售量占第二周总销售量的，其余均由外卖售出．最终这款“特色香辣小龙虾”第二周的总销售额为元，求的值．
34． 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为P，M，N，AC=9，AB=8，BC=10，D，E 分别为BC，AC 上的点，且 DE 为⊙O 的切线，切点为 Q，求△CDE 的周长.
35．已知圆内接正十二边形的面积为S，求同圆的内接正六边形的面积．
36．已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0．
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．
37．已知抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），与y轴的交点是（0，﹣3），求这个二次函数的解析式.
38．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
39．代数证明题：已知实数a，b，c满足a2+b2+c2＝ab+bc+ca，如果△ABC的三边长是a，b，c，求证△ABC是等边三角形.
40．在平面直角坐标系中，抛物线（b、c）是常数)经过点A(1，0)，B(0，3).点P在此抛物线上，其横坐标为m.
（1）求此抛物线的表达式.
（2）若-1≤x≤d时，-1≤y≤8，则d的取值范围是　 　.
（3）点P和点A之间(包括端点)的函数图象称为图象G，当图象G对应的函数最大值和最小值的差是5时，求m的值.
41．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数）．
（1）若该函数经过点，求该函数图象上的“三倍点”坐标；
（2）在（1）的条件下，当时，求该函数的最小值（用含的代数式表示）；
（3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求的取值范围．
42．如图，是边长为4的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边、相交于点D、E，，垂足为F.
（1）求证：直线是的切线；
（2）当直线与相切时，求的半径.
43．在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线、与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形．
（1）观察线段和之间有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；
（2）观察线段、和之间有怎样的数量关系，并以图③为例，加以说明；
（3）把三角板绕P点旋转，点E从C点沿射线方向移动，是否构成等腰三角形？若能，请直接写出的度数；若不能，请说明理由．
44．已知二次函数
（1）若二次函数过点
①求此二次函数表达式．
②将三次函数向下平移2个单位，求平移后的二次函数与轴的两个交点之间的距离．
（2）如果都在这个二次函数上，且，求的取值范围．
45．如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，边分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线的顶点．
（1）直接写出顶点P的坐标；（用m表示）
（2）当时，判断是否在抛物线上，并直接写出该抛物线下方（含边界）的好点个数；
（3）当时，直接写出该抛物线上的好点坐标；
（4）若点P在正方形内部，该抛物线下方（含边界）恰好存在8个好点，直接写出m的取值范围．
46．已知在平面直角坐标系中，点．
（1）如图，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论；
（2）若P为x轴正半轴上异于原点O的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q，
①当P点在x轴上移动时，试判断线段的长是否会发生变化，如果不变求出线段的长，如果发生变化请说明理由；
②连接，直接写出线段的最小值．
47．在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点．已知函数，，且是的相切函数，点为切点．
（1）试写出切点的坐标（____，____），及与的关系式_____．
（2）当时，试判断以下两组值①，；②，能否使成立？并说明理由．
（3）若函数的图象经过点，函数的图象经过点，且，求的值．
48．已知关于的两个函数（为常数，，）与（为常数，，）的图像组成一个新图形．图形与轴交于A，两点（点A在点左边），交轴于点．
（1）求点A，坐标；
（2）若为直角三角形；
①求实数的值；
②若直线与图形有且只有两个交点，，满足，求实数满足条件．
49．已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为P.
（1）当m＝0时，请判断抛物线与坐标轴的交点情况；
（2）该抛物线的顶点P的位置随着m的变化而移动，当顶点P移动到最高处时，求该抛物线的顶点P的坐标；
（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点P的横坐标的取值范围．
50．如图， 四边形ABCD 内接于⊙O，( 交AD的延长线于点 E， 连接AC、BD， CD平分.
（1） 若 求 的长；
（2） 求证CA=CB；
（3） 若点 B为CAD的中点， .DE=2，CE=6时，求AD 的长.
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【解答题强化训练·50道优选题】人教版数学九年级上册期末总复习
1．如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求AB、BC边各为多少米？
【答案】解：设AB为x米，则BC为（36-3x）米，
x（36-3x）＝96，
解得：x1＝4，x2＝8，
当x＝4时，
36-3x＝24＞20（不合题意，舍去），
当x＝8时，
36-3x＝12．
答：AB的长为8米，BC的长为12米．
【解析】【分析】根据这个长方形ABCD的面积为96平方米 ，可列方程为 x（36-3x）＝96， 再计算求解即可。
2．如图， 内接于 ， ， ，则 的直径等于多少？
【答案】解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝6，
∴⊙O的直径等于12．
故答案为：12．
【解析】【分析】连接OB、OC，如图，利用圆周角定理得到∠BOC＝60°，则可判断△OBC为等边三角形，从而得到OB＝6．
3．如图，
AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB=CP．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】解：相切．理由如下：
连结OB，如图，
∵CP=CB，OA=OB，
∴∠A=∠OBA，∠CPB= ∠CBP．
∵∠APO=∠CPB，
∴∠APO=∠CBP．
∵OC⊥OA，即∠AOP= 90°，
∴∠A+∠APO=90°=∠OBA+∠CBP=∠OBC，
∴OB⊥BC，
∴直线BC与⊙O的位置关系是相切.
【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线的判定，熟练掌握切线的判定是解题关键。连结OB，证∠APO=∠CBP．再证OB⊥BC，可判定直线BC与⊙O的位置关系是相切.
4．4张相同的卡片上分别写有数字0、1、﹣2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为 　 　；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2）小敏设计的游戏规则公平，理由如下：
列表如下：
0 1 ﹣2 3
0 　 1 ﹣2 3
1 ﹣1 　 ﹣3 2
﹣2 2 3 　 5
3 ﹣3 ﹣2 ﹣5 　
由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，
∴甲获胜的概率＝乙获胜的概率＝＝，
∴小敏设计的游戏规则公平．
【解析】【解答】解：（1） 第一次抽取有4种等可能的结果，其中非负数的结果有0，1，3这三种，
∴ 第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为：，
故答案为： 。
【分析】（1）直接利用概率的公式计算；
（2）先列表，从中确定所有等可能的结果的数量和符合条件的结果的数量，再利用概率的公式计算，根据概率的大小判定即可。
5．解下列方程：
（1）（配方法）
（2）（公式法）
【答案】（1）解：
，
，
，
，
，
，
（2）解：，
∵，
∴，
∴方程有两不等实数根，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）分析求解即可.
（2）利用一元二次方程的公式法的计算方法及步骤分析求解即可.
（1），
，
，
，
，
，
（2），
∵，
∴，
∴方程有两不等实数根，
∴，
∴．
6．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，当Q到达点C时，点Q、P同时停止移动．
（1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2？
（2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5cm？
【答案】（1）解：设xs后，△PBQ的面积为4cm2，此时，AP＝xcm，BP＝（5-x）cm，BQ＝2xcm，
由，得：，
整理，得x2-5x＋4＝0，
解之得：x1＝1，x2＝4，
当x＝4时，2x＝8＞7，说明此时点Q越过点C，不符合要求，舍去，
答：1s后，△PBQ的面积为4cm2；
故答案为：1秒.
（2）解：仿照（1），由BP2＋BQ2＝PQ2，得：
（5-x）2＋（2x）2＝25，
整理，得x2-2x＝0，
解之得：x1＝0（不合题意，含去），x2＝2，
答：2s后，PQ的长度为5cm；
故答案为：2秒.
【解析】【分析】（1）设xs后，△PBQ的面积为4cm2，此时，AP＝xcm，BP＝（5-x）cm，BQ＝2xcm，再结合“ △PBQ的面积为4cm2 ”列出方程，再求解即可；
（2）根据“BP2＋BQ2＝PQ2”列出方程（5-x）2＋（2x）2＝25，再求出x的值即可.
（1）解：设xs后，△PBQ的面积为4cm2，此时，AP＝xcm，BP＝（5-x）cm，BQ＝2xcm，
由，得：，
整理，得x2-5x＋4＝0，
解之得：x1＝1，x2＝4，
当x＝4时，2x＝8＞7，说明此时点Q越过点C，不符合要求，舍去，
答：1s后，△PBQ的面积为4cm2；
（2）解：仿照（1），由BP2＋BQ2＝PQ2，得：
（5-x）2＋（2x）2＝25，
整理，得x2-2x＝0，
解之得：x1＝0（不合题意，含去），x2＝2，
答：2s后，PQ的长度为5cm；
7．已知抛物线y=-x2+bx+c经过点（1，0），（0，）。
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）将抛物线y=-x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方式．
【答案】（1）解：把代人抛物线表达式，得
解得
则抛物线表达式为；
（2）解：抛物线表达式为，将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，表达式变为，其顶点在原点.
【解析】【分析】（1）将（1，0），（0，）代入抛物线y=-x2+bx+c 中得出方程组，求出b，c的值即可求出该抛物线表达式.
（2）根据题中要求写出一种平移方式即可.
8．如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）要使无盖长方体盒子的底面积为，求剪去的正方形的边长．
（2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值吗？如有求出最大值，如果没有，请说明理由．
【答案】（1）解：设剪去的正方形的边长为，则
即
解得：(不合题意，舍去)，，
答：剪去的正方形的边长为；
（2）解：有侧面积更大的情况，
设正方形的边长为，盒子的侧面积为，
则与的函数关系式为，
即，
，
当时，最大为，
即当剪去的正方形的边长为时，长方体盒子的侧面积最大为．
【解析】【分析】（1）设剪去的正方形边长为，根据题目条件建立方程解方程即可；
（2）设正方形边长为，盒子侧面积为，得到侧面积函数关系式：，将其化为顶点式，进一步即可得出当时，最大为。
（1）解：设剪去的正方形的边长为，则
即
解得：(不合题意，舍去)，，
答：剪去的正方形的边长为；
（2）解：有侧面积更大的情况，
设正方形的边长为，盒子的侧面积为，
则与的函数关系式为，
即，
，
当时，最大为，
即当剪去的正方形的边长为时，长方体盒子的侧面积最大为．
9．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练.在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分.已知铅球出手处A距离地面的高度是 米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度 的B处.小丁此次投掷的成绩是多少米？
【答案】解：如图建立直角坐标系，
∵铅球出手处距离地面的高度是 米，当铅球运行的水平距离为3米时，最大高度为 米，
∴A（0， ），B（3， ），
设二次函数的解析式为y=a(x-3)2+ ，
∴(0-3)2a+ = ，
解得：a= ，
∴二次函数的解析式为y= (x-3)2+ ，
当y=0时， (x-3)2+ =0，
解得：x1=8，x2=-2（舍去），
∴小丁此次投掷的成绩是8米.
【解析】【分析】如图建立直角坐标系，可得顶点坐标为（3， ），A点坐标为（0， ）根据顶点坐标设二次函数解析式为y=a(x-3)2+ ，把A点坐标代入即可求出a值，可得二次函数解析式，令y=0，求出x的正值即为铅球投掷的成绩.
10．某工厂生产一批小家电，年的出厂价是144元，2021年、2022年连续两年改进技术，降低成本，年出厂价调整为100元．
（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（结果保留2位小数）
（2）某商场今年销售这批小家电的售价为元时，平均每天可销售台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低元，每天可多售出台，如果每天盈利元，单价应降低多少
【答案】（1）解：设这两年平均下降率为x，
根据题意得：144（1-x）2=100，
解得（舍），%，
答：这两年平均下降率约为16.67%；
（2）解：设单价降价y元，
则每天的销售量是20+×10=20+2y（台），
根据题意得：（140-100-y）（20+2y）=1250，
整理得：y2-30y+225=0，
解得：y1=y2=15．
答：单价应降15元．
【解析】【分析】（1）设这两年平均下降率为x，由年的出厂价是144元，年出厂价调整为100元可列出关于x的一元二次方程，解方程即可求出答案.
（2）设单价降价y元，则每天的销售量是（20+2y）台，根据总利润=每台利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解方程即可求出答案.
（1）设这两年平均下降率为x，
根据题意得：144（1-x）2=100，
解得（舍），%，
答：这两年平均下降率约为16.67%；
（2）设单价降价y元，
则每天的销售量是20+×10=20+2y（台），
根据题意得：（140-100-y）（20+2y）=1250，
整理得：y2-30y+225=0，
解得：y1=y2=15．
答：单价应降15元．
11．垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分．
运动员丙测试成绩统计表
测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩（分） 7 6 8 b 7 5 8 a 8 7
（1）若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则成绩表中的a＝　 　，b＝　 　；
（2）若在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的统计量加以分析说明（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2＝0.81、S乙2＝0.4、S丙2＝0.8）
（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从乙手中传出，第二轮结束时球又回到乙手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）
【答案】（1）7，7
解：（2）甲的平均数为：＝＝6.3分，众数是6分，
乙的平均数为： ＝＝7分，众数为7分，
丙的平均数为：＝7分，众数为7分，
从平均数上看，乙、丙的较高，从众数上看乙、丙较高，
但S乙2＝0.4＜S丙2＝0.8，
因此，综合考虑，选乙更合适．
（3）树状图如图所示：
∴第二轮结束时球又回到乙手中的概率P＝．
【解析】【解答】解：（1）由众数的意义可知，a、b中至少有一个为7，又平均数是7，即（56+a+b）÷10＝7，
因此，a＝7，b＝7，
故答案为：7，7；
【分析】（1）根据众数、得到a、b中至少有一个为7，再根据平均数进而确定a＝b＝7；
（2）求出甲、乙、丙的平均数、众数，通过平均数、众数比较得出乙、丙较好，再根据方差，得出乙的成绩较好，较稳定．
（3）用树状图表示所有可能的情况，从中得出第二轮又回到乙手中的概率．
12．老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2）
（1）求抽查学生总数．
（2）求所抽查学生读课外书册数的平均数．（结果保留整数）
（3）老师手里有1本课外读物，七、八年级两位同学都想借阅，为此九年级的一位同学设计了一个转盘游戏，指针固定不动，分别旋转两个转盘，若先后两次转动出现字母A与B的的混合结果，就借给七年级的同学，否则就借给八年级的同学．你认为这个游戏公平吗？为什么？
【答案】（1）解：抽查学生总数为：（人）；
（2）解：读5册的学生人数为：（人），
∴所抽查学生读课外书册数的平均数为（册）；
（3）解：这个游戏不公平，理由如下：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中出现字母A与B的混合结果有种，
∴借给七年级的同学的概率，借给八年级的同学的概率，
∵，
∴这个游戏不公平．
【解析】【分析】
（1）观察条形统计图与扇形统计图可由读6册的学生 除以所占百分比即可；
（2）先求出读册的学生人数，再由平均数的计算公式计算即可；
（3）可利用画出树状图的方法分别求出两种事件的概率，然后再比较即可．
13．某景区内有一块矩形郁金香园地，AD=8米，AB=5米，现在其中修建一条花道（阴影所示）供游人赏花.花道的面积为12平方米.设AE=AF=HC=GC=x米.
（1）DE=　 　；DH=　 　；（用含x的式子表示）
（2）求x的值.
【答案】（1）（8-x）；（5-x）
（2）解：由图形可得：，
，
化简得，，
解得，，（舍），
．
【解析】【解答】（1）解：∵米，米，四边形是矩形，
∴米，米，
∴；；
故答案为：；；
【分析】(1) 根据矩形对边相等的性质，米、米，因此；米、米，因此；
(2) 解题核心是建立“花道面积”的等量关系。矩形总面积为平方米，花道面积=矩形面积 - 两个空白三角形的面积，两个空白三角形均为直角三角形，底为、高为，因此空白面积为。根据花道面积为12平方米，建立方程，整理后得到一元二次方程，求解后根据的实际意义（线段长度为正，且）即可求解。
14．已知平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）若的长为5，求的值；
（2）为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长．
【答案】（1）解：∵平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且，
∴，
解得：；
（2）解：平行四边形是菱形，
，
∵的长是关于的一元二次方程的两个实数根，
方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
∴，
解得：，
，即菱形的边长为4，
∴当时，平行四边形是菱形，菱形的边长是4．
【解析】【分析】（1）将代入原方程并解之即可；
（2）根据菱形的性质得到，然后利用一元二次方程根的判别式列出关于的一元二次方程并解之即可得出的值，将其代入原方程，解方程即可得出菱形的边长．
（1）解：∵的长是关于的一元二次方程的两个实数根，的长为5，
∴把代入，得
解得：；
（2）解：平行四边形是菱形，
，
方程有两个相等的实数根，
，
，
此时方程为，
，
，即菱形的边长为4；
答：，平行四边形是菱形，菱形的边长是4．
15．已知方程 ；则①当 取什么值时，方程有两个不相等的实数根？②当 取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当 取什么值时，方程没有实数根？
【答案】解：∵Δ＝b2-4ac=16+4a；
∴①.Δ＞0有两个不相等的实数根，∴a＞-4且a≠0；
②.Δ=0有两个相等的实数根，∴a=-4；
③.Δ＜0没有实数根，∴a＜-4.
【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.
16． 如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为，求AB的长度（可利用的围墙长度超过6m）．
【答案】解：设的长为，根据题意，得
解这个方程，得
，（不合题意，舍去）
所以，的长度为．
【解析】【分析】根据题意设未知数，找到长和宽的代数式，利用矩形的面积做等量列方程，注意求得的解有不符合题意的要舍去。
17．一个二次函数的图象经过（0，1）、（2，3）、（4，7）三点，求这个二次函数的表达式.
【答案】解：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，把（0，1）、（2，3）、（4，7）各点代入上式得 ，
解得 ．
则抛物线解析式为 .
【解析】【分析】用待定系数法求解即可。
18．如图，在一只不透明的箱子中装有4个大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字0，，3，，搅匀后，甲先从中随机模出一个球（不放回），将小球上的数字记录下来，乙再从余下的3个球中摸出一个球，同样将小球上的数字记录下来．
（1）写出第一次摸出的小球上数字是正数的概率；
（2）利用画树状图或列表的方法，求出第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为正数的概率．
【答案】（1）
（2）两次随机摸球（不放回）列表如下：
第二次摸出的数字
第一次摸出的数字 差 0 3
0 × 2 1
×
3 3 5 × 4
1 ×
两次随机摸球（不放回）并将第一次记录下来的数减去第二次记录下来的数的差，
共有12个等可能结果，其中结果为正数共有6个等可能结果．
故符合条件的概率．
【解析】【解答】（1） 第一次摸出的小球上数字是正数的概为
故答案为：
【分析】（1）根据概率的公式计算即可；
（2）列出表格，根据表格求解即可.
19．已知二次函数的图象顶点为．且过点为，求该抛物线的解析式．
【答案】解：设抛物线的解析式为 ，
把 代入得 ，解得 ，
所以抛物线的解析式为∶
【解析】【分析】利用二次函数的顶点坐标，因此设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+2，再将点A的坐标代入函数解析式，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到抛物线的解析式.
20．某商店购进一种商品，每件商品进价20元，规定该商品的售价不低于进价，且不高于进价的两倍．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件销售价（元）的关系数据如下：
30 32 34 36
40 36 32 28
（1）已知与满足一次函数关系，根据上表，求出与之间的关系式；
（2）设该商店每天销售这种商品所获利润为（元），求出每件商品销售价定为多少元时利润最大，并求出最大利润？
【答案】（1）解：设与之间的关系式为，
将，代入关系式，得，
解得：，
∴与之间的关系式为；
（2）解：根据题意，得，
∴，
∴当时，的值最大，
∵规定该商品的售价不低于进价，且不高于进价的两倍，
∴，符合题意，
∴当销售单价为35元时，获得利润最大，最大利润是450元．
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）根据题意所获利润=销售量×单件利润列出关于的函数关系式并化为顶点式，然后由二次函数的最值知识，结合题意进行求解.
（1）解：设该函数的表达式为，根据题意，得：
，
解得
，
∴y与x之间的关系式为．
（2）解：根据题意，得
，
∵，
∴当时，w的值最大，
，符合题意，
∴当销售单价为35元时，获得利润最大，最大利润是450元．
21．如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图，地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽．
【答案】解：设花边的宽为x米，
根据题意得（2x+8）（2x+6）＝80，
解得x1＝1，x2＝﹣8，
x2＝﹣8不合题意，舍去．
答：花边的宽为1米．
【解析】【分析】首先设花边的宽为x米，根据题意可得等量关系为：（矩形图案的长+两个花边的宽）×（矩形图案的宽+两个花边的宽）＝地毯的面积，根据等量关系列出方程，再解即可．
22．按要求填一填，画一画。
（1）平行四边形的B点用数对表示是（ ， ）。
（2）把平行四边形绕点顺时针旋转，得到图形①。
（3）以直线MN为对称轴，画出平行四边形ABCD的轴对称图形，得到图形②。
（4）把平行四边形ABCD按2：1放大，得到图形③。
【答案】（1）4，3
（2）解：如图①；
（3）如上图②；
（4）如上图③.
【解析】【解答】（1）解：由点B在网格图中的位置可知，B（4，3）.
故答案为：4，3.
【分析】（1）根据点B在网格图中的位置可求解；
（2）根据旋转的性质和网格图中的性质可求解；
（3）根据轴对称的性质可求解；
（4）由题意，将相邻两边扩大2倍画图即可求解.
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 为 AB 上一点，以BD 为直径的半圆交 BC于点 F，且AC切半圆O 于点 E.
（1）求证：
（2）若∠A=30°，AB=6，求 CF的长.
【答案】（1）证明：连接OE，OF，如图，
∵AC切☉O于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO=90°，
∵∠ACB=90°
∴OE//BC，
∴∠DOE=∠B，∠EOF=∠OFB，
∵OB=OF，
∴∠B=∠OFB，
∴∠DOE=∠EOF
∴
（2）解：设⊙O的半径为r，则OB=OE=r，
在Rt△AOE中，
∵∠A=30°，
∴AO=2OE=r，
∵AB=6，
∴2r+r=6，
解得r=2，
即OB=2，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴，∠B=60°，
∵OB=OF
∴△OBF为等边三角形，
∴BF=OB=2，
∴CF=BC-BF=3-2=1
【解析】【分析】(1)连接OB，OF，如图，先根据切线的性质得到∠AEO=90°，则可判断OE//BC，根据平行线的性质得到∠DOE=∠B，∠EOF=∠OFB，则可证明∠DOE=∠EOF，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到结论；
(2)设⊙O的半径为r，则OB=OE=r，在Rt△AOE中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到2r+r=6，解得r=2，所以OB=2，接着在Rt△ABC中计算出BC=3，然后证明△OBF为等边三角形得到BF=OB=2，最后计算BC-BF即可.
24．如图，某中学把五育并举与减负延时服务相结合，劳动课准备在校园里利用校围墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形茶园，让学生在茶园里体验种茶活动．现已知校围墙长25米，篱笆40米长（篱笆用完），设长米，矩形茶园的面积为平方米．
（1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）当矩形茶园的面积为200平方米时，求的长．
【答案】（1）解：
，
，得
自变量的取值范围为：
（2）根据题意，令得：
解得
答：当矩形茶园的面积为200平方米时，长10米．
【解析】【分析】本题考查列二次函数解析式，一元二次方程的应用.（1）根据题意长可表示为，利用矩形的面积计算公式可得：，再根据 校围墙长25米 ，可得，解不等式可求出自变量的取值范围；
（2）根据矩形茶园的面积为200平方米，令，据此可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出的长.
（1）解：
，
，得
自变量的取值范围为：
（2）根据题意，令得：
解得
答：当矩形茶园的面积为200平方米时，长10米．
25．美化城市、改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．长沙市近几年来，通过拆迁旧房、植草、栽树、修公园等措施，使城区绿地面积不断增加．该市某城区2023年底时绿化面积约为万亩，计划到2025年底时绿化面积达到万亩．若每年的年平均增长率相同，试解决下列问题：
（1）求该城区绿化面积的年平均增长率；
（2）按照（1）中的年平均增长率，该城区期望2026年底绿化面积达到万亩，请通过计算说明该目标能否实现．
【答案】（1）解：设年平均增长率为x，依题意得：，
解得：
答：绿化面积的平均增长率为；
（2）解：2026年的绿化面积为万亩，
该目标能实现．
【解析】【分析】
（1）平均增长率（减小率）问题常列方程，其中分别为起始和终止数据，为平均增长率或减小率，注意求平均增长率括号内用“+”，反之用“－”；
（2）由平均增长率可求出2026年的绿化面积，再与预计值17万比较即可.
（1）解：设年平均增长率为x，依题意得：，
解得：
答：绿化面积的平均增长率为；
（2）解：2026年的绿化面积为万亩，
该目标能实现．
26．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为．
①分别求出抛物线和直线的解析式；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过．
【答案】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为
∴抛物线和直线均经过点
∴，
解得，，
∴，；
②由①知，，，
∴，
∴最大值，
当时，
则，
解得，，
又∵时，，
∴当时，
则，
解得，
，
∴这两个位置之间的距离；
（2）
【解析】【解答】（2）解：当水平距离超过时，
火箭第二级的引发点为，
将，代入，得
，，
解得，，
∴．
【分析】（1）①根据待定系数法将点分别代入二次函数，一次函数解析式即可求出答案.
②根据二次函数性质可得最大值，再分别将y=2.4代入一次函数，二次函数解析式即可求出答案.
（2）根据题意将，代入即可求出答案.
（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为
∴抛物线和直线均经过点
∴，
解得，，
∴，；
②由①知，，，
∴，
∴最大值，
当时，
则，
解得，，
又∵时，，
∴当时，
则，
解得，
，
∴这两个位置之间的距离；
（2）解：当水平距离超过时，
火箭第二级的引发点为，
将，代入，得
，，
解得，，
∴．
27．新能源汽车节能、环保，越来越受到消费者喜爱．某新能源汽车厂近几年产量逐年增加，2021年产量为16万辆，2023年产量增加到49万辆．
（1）从2021年到2023年，该新能源汽车厂年产量的平均增长率是多少？
（2）按照这个增长速度，预计在2024年，该新能源汽车厂产量可以达到多少万辆（结果保留小数点后一位）？
【答案】（1）解：设该新能源汽车厂在2021年到2023年中年产量的平均增长率为．
解这个方程得：，（不合题意，舍去）
答：从2021年到2023年，该新能源汽车厂年产量的平均增长率是
（2）解：预计该新能源汽车厂2024年产量：（万辆）．
答：新能源汽车厂产量可以达到85.8万辆
【解析】【分析】（1）从2021年到2023年，该新能源汽车厂年产量的平均增长率是x，根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列关于x的方程，解方程即可求解；
（2）用2023年产量，根据增长率，求出2024年该新能源汽车厂产量即可．
（1）解：设该新能源汽车厂在2021年到2023年中年产量的平均增长率为．
解这个方程得：，（不合题意，舍去）
答：从2021年到2023年，该新能源汽车厂年产量的平均增长率是；
（2）解：预计该新能源汽车厂2024年产量：（万辆）．
28．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（-1，-1）、B（-3，3）、C（-4，1）
（1）在图（1）中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）在图（2）中画出△ABC绕点A按顺时针旋转90°后的△AB2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．
【答案】（1）解：如图（1）所示，△A1B1C1即为所求，其中B1的坐标为（3，3）．
（2）如图（2）所示，△AB2C2即为所求，C2的坐标为（1，2）．

【解析】【分析】（1）根据作图-轴对称画图，进而直接读出点的坐标即可求解；
（2）根据作图旋转进行画图，进而直接读出点的坐标即可求解。
29．已知二次函数的图象经过点，．
（1）求，的值及这个图象的顶点坐标．
（2）若点在该二次函数图象上，且到轴的距离小于，求的取值范围．
【答案】（1）解：把，代入中，得：，
解得：，
∴的值为，的值为，
∴二次函数解析式为，
∴，，
∴顶点坐标为
（2）解：∵由（1）得二次函数解析式为，∴把代入解析式，得：，
把代入解析式，得：，
∵若点在该二次函数图象上，且到轴的距离小于时，
∴，
又∵二次函数图象顶点坐标为，
∴
【解析】【分析】（1）将，分别代入二次函数解析式，可得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，可得到函数解析式；然后求出抛物线的顶点坐标.
（2）分别把和代入函数解析式，可求出对应的y的值；结合顶点坐标，根据点到轴的距离小于，写出的取值范围即可．
（1）解：把，代入中，
得：，
解得：，
∴的值为，的值为，
∴二次函数解析式为，
∴，，
∴顶点坐标为；
（2）解：∵由（1）得二次函数解析式为，
∴把代入解析式，得：，
把代入解析式，得：，
∵若点在该二次函数图象上，且到轴的距离小于时，
∴，
又∵二次函数图象顶点坐标为，
∴．
30．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏：两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6． 小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】解：小敏：×，小霞：×；
移项：得3（x-3）-（x-3）2=0，
提取公因式，得(x-3)[3-(x-3)]=0，
法括号，得(x-3)(3-x+3)=0，
则x-3=0或6-x=0，
解得x1=3，x2=6.
【解析】【分析】小敏的错误在于：等式两边要同除以一个不为0的数；小霞的错误在于脱括号时未变号；先移项，再提取公因式，利用因式法解二元一次方程即可.
31．将小球（看作一点）从距离地面高的点处向右发射，建立如图所示的平面直角坐标系，小球沿抛物线运动．
（1）若当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度．
①求小球达到的最大高度；
②当小球前方无障碍物时，求小球落地时的水平距离．
（2）若小球的正前方（）处有一个截面为长方形的球筐，其中长为，宽为，若要使小球落入筐中，求的取值范围．
【答案】（1）解：①由题意，得抛物线的对称轴为，且经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表述式为：，
∵，
∴当时，y有最大值，
∴小球达到的最大高度；
②令，则，
解得，，
∴球落地时的水平距离；
（2）解： ∵ 抛物线经过，∴，
∴，
当抛物线经过时，
则，
解得：，
当抛物线经过时，
则，
解得：，
∴要使小球落入筐中，则．

【解析】【分析】（1）①利用抛物线的对称轴公式，结合过点求出解析式，再把解析式化为顶点式即可求解；②令，得出，然后解方程即可求解；
（2）把代入抛物线求出c，然后确定E、F的坐标，再分别E、F的坐标代入函数解析式求出b的值，最后数形结合观察图形即可得出答案．
（1）解：①∵当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度可求b，
∴抛物线的对称轴为，
∴，
解得，
∴，
由题意知抛物线经过，
∴，
∴
∴，
∴当时，y有最大值，
∴小球达到的最大高度；
②令，则，
解得，，
∴球落地时的水平距离；
（2）解：由题意知抛物线经过，
∴，
∴，
根据题意知，，
当抛物线经过时，
则，
解得，
当抛物线经过时，
则，
解得，
∴要使小球落入筐中，则．
32．某公司推出一款消毒产品，成本价为8元／千克，经过市场调查，该产品的日销售量（千克）与销售单价x（元／千克）（单价不高于22元）之间满足一次函数关系，该产品的目销售量与销售单价的几组对应值如表：
销售单价（元／千克） 10 15 18 20
日销售量（千克） 240 190 160 140
（1）求关于的函数表达式；
（2）若要每天盈利1200元，则销售单价应为多少元？
（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，那么当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）解：设y=kx+b，将（10，240）和（15，190）代入可得
解得 k=-10，b=340
关于的函数表达式为y=-10x+340
（2）解：设销售单价应为x元，则每千克销售利润为（x-8）元，日销量y=-10x+340，
根据题意得 （x-8）（-10x+340）=1200
解得 (不合题意，舍去）
销售单价应为14元。
（3）解：设每天获得的利润为W，则W=（x-8）（-10x+340）-100
即W=-10（x-21）2+1590
当销售单价为21元时，每天获得的利润最大，最大利润为1590元。
【解析】【分析】（1）选取两组数据，利用待定系数法求出关于的函数表达式 ；
（2）根据利润等于每千克利润乘以销售量列出方程求解即可；
（3）在利润表达式基础上减去捐赠100元，再通过求二次函数最值来确定销售单价和最大利润。
33． 青岛某饭店推出一款新品“特色香辣小龙虾”按照以堂食和外卖两种方式售卖；一份“特色香辣小龙虾”的堂食单价比外卖单价高20元，4份外卖的总价比3份堂食的总价多48元；
（1）求一份“特色香辣小龙虾”的堂食单价和外卖单价分别是多少元？
（2）五月份第一周按照（1）中的单价共卖出200分“特色香辣小龙虾”，由于小龙虾成熟旺季到来，成本降低，因此该饭店决定从五月第二周降价销售，每份外卖单价降元，第二周的总销售量在第一周200份的基础上增加份．每份堂食单价直接降价8元，且第二周堂食的销售量占第二周总销售量的，其余均由外卖售出．最终这款“特色香辣小龙虾”第二周的总销售额为元，求的值．
【答案】（1）解：设一份“特色香辣小龙虾”的堂食单价是元，一份“特色香辣小龙虾”的外卖单价是元，
根据题意得：，解得：．
答：一份“特色香辣小龙虾”的堂食单价是128元，一份“特色香辣小龙虾”的外卖单价是108元；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，解得：．答：的值为20．
【解析】【分析】（1） 设一份"特色香辣小龙虾"的堂食单价是元，一份“特色香辣小龙虾”的外卖单价是元，根据一份“特色香辣小龙虾”的堂食单价比外卖单价高20元 ， 4份外卖的总价比3份堂食的总价多48元，可得方程组：，解方程组，即可得出答案；
（2）根据第二周的总销售额为元， 可得方程为： ， 解方程，即可得出a的值。
34． 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为P，M，N，AC=9，AB=8，BC=10，D，E 分别为BC，AC 上的点，且 DE 为⊙O 的切线，切点为 Q，求△CDE 的周长.
【答案】解：设⊙O与AB，BC，AC的切点分别为P，M，N。
根据切线长定理，有：
AP=AN， BP=BM， CM=CN。
设CM=CN=x，
则BM = BP = BC-CM =10-x，
AN = AP = AC-CN =9-x。
由AB=AP+BP=(9-x)+(10-x)=8，得：
19-2x=8
2x=11
x=5.5，
因为DE是⊙O的切线，切点为Q，
所以DQ=DM，EQ=EN。
△CDE的周长=CD+DE+CE
=CD+(DQ+EQ)+CE
=CD+DM+EN+CE
=(CD+DM)+(CE+EN)
=CM+CN
=x+x
= 2x
=2×5.5
=11.
【解析】【分析】设切点为P，M，N，根据切线长定理得到AP=AN， BP=BM， CM=CN，DQ=DM，EQ=EN，然后根据三角形的边长求出CM的长，再根据三角形的周长计算即可.
35．已知圆内接正十二边形的面积为S，求同圆的内接正六边形的面积．
【答案】解：设ED是正六边形的边，EG是正十二边形的边，则ED⊥OG．
∵∠EOG＝ ＝30°，
∴设圆的半径是r，S△EOG＝ OE OG sin30°＝ r2＝ S，
∴r2＝ S．
∴S△OED＝ r2＝ ．
则正六边形的面积是：6× ＝ ．
【解析】【分析】先求出 S△OED＝ r2＝ ，再计算求解即可。
36．已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0．
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．
【答案】解：（1）根据题意得：△=36+4m≥0，
解得：m≥﹣9，
即m的取值范围为：m≥﹣9；
（2）根据题意得：x1+x2=﹣6，x1x2=﹣m，
∵x1+x2﹣2x1x2=0，
∴﹣6﹣2×（﹣m）=0，
解得：m=3（符合题意），
即m的值为3．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根；）分析可得△=36+4m≥0，再求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得x1+x2=﹣6，x1x2=﹣m，再结合x1+x2﹣2x1x2＝0，可得﹣6﹣2×（﹣m）=0，求解即可.
37．已知抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），与y轴的交点是（0，﹣3），求这个二次函数的解析式.
【答案】解：由抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4）可设其解析式为y＝a（x+1）2﹣4，
将（0，﹣3）代入，得：a﹣4＝﹣3，
解得：a＝1，
则抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4
【解析】【分析】已知两点坐标，其中一点是顶点坐标，因此设函数解析式为顶点式，再将点（0，-3）代入计算，就可得到函数解析式。
38．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】解：b2-4ac=（-2）2-4×（k-1）×1=-4k+8，
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴-4k+8＞0，且k-1≠0
解得：k＜2且k≠1.
【解析】【分析】由题意，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"并结合题意可得关于k的不等式，解之可求解.
39．代数证明题：已知实数a，b，c满足a2+b2+c2＝ab+bc+ca，如果△ABC的三边长是a，b，c，求证△ABC是等边三角形.
【答案】证明： ∵a2+b2+c2＝ab+bc+ca，
∴2a2+2b2+2c2＝2ab+2bc+2ca
∴ 2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac =0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（c2﹣2ca+a2） =0
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2 =0
根据非负数的性质得，（a﹣b）2＝0，（b﹣c）2＝0，（c﹣a）2＝0，
可知a＝b＝c，
故这个三角形是等边三角形.
【解析】【分析】首先给已知等式两边同时乘以2，然后将右边的式子移至左边，利用完全平方公式变形可得
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 =0，根据偶次幂的非负性可得a-b=0，b-c=0，c-a=0，推出a＝b＝c，据此判断.
40．在平面直角坐标系中，抛物线（b、c）是常数)经过点A(1，0)，B(0，3).点P在此抛物线上，其横坐标为m.
（1）求此抛物线的表达式.
（2）若-1≤x≤d时，-1≤y≤8，则d的取值范围是　 　.
（3）点P和点A之间(包括端点)的函数图象称为图象G，当图象G对应的函数最大值和最小值的差是5时，求m的值.
【答案】（1）解：将点 A(1，0)，B(0，3) 分别代入y=x2+bx+c，
得，
解得
∴此抛物线的解析式为：；
（2）
（3）解：∵P点在此抛物线的解析式上，其横坐标为m，
∴P（m，m2-4m+3），
①当点P在对称轴的右侧时，m>2，抛物线的顶点最低，即最小值为-1，此时图象G的最大值为m2-4m+3，
∴图象G的最大值和最小值差是5，
∴.m2-4m+3-(-1)=5，
∴m2-4m-1-0，
解得：m=或m=(不合题意，舍去)，
∴m=；
②点P在抛物线的顶点与点A之间时，此时最小值为-1，最大值为0，
图象G的最大值和最小值差不可能为5，此种情形不存在；
③点P在点A的左侧，m <1，点A处最低，即最小值为0，此时图象G的最大值为m2-4m+3，
∵图象G的最大值和最小值差是5，
∴m2-4m+3=5，
解得(不合题意，舍去)或m=，
综上，当图象G的最大值和最小值差是5时，m的值为或.
【解析】【解答】解：（2）∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1，
∴抛物线y=x2-4x+3的对称轴为直线x=2，
当x=2时，函数有最小值-1，
令y=8，则x2-4x+3=8，
解得x=-1或x=5，
∵当-1≤x≤d时，-1≤y≤8，当x=2时，函数有最小值为-1，
∴当-1≤x≤d时，函数要取得最小值，2≤d≤5；
故答案为：2≤d≤5；
【分析】（1）将点A、B的坐标分别代入y=x2+bx+c，可得关于字母b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）将抛物线的解析式配成顶点式可得当x=2时，函数有最小值-1，再令函数解析式中的y=8算出对应的x的值，从而结合函数性质即可解决此题；
（3）易得P（m，m2-4m+3），然后分类讨论：①当点P在对称轴的右侧时，②点P在抛物线的顶点与点A之间时，③点P在点A的左侧，分别求出最大及最小值，根据已知条件列出方程，求解并检验即可得出答案.
41．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数）．
（1）若该函数经过点，求该函数图象上的“三倍点”坐标；
（2）在（1）的条件下，当时，求该函数的最小值（用含的代数式表示）；
（3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求的取值范围．
【答案】（1）解：把代入，得，
抛物线的解析式为．
设该函数图象上的“三倍点”坐标为，
把代入，得，
整理，得，解得，
“三倍点”坐标为．
（2）解：由（1）可知，则抛物线的对称轴为直线．
当，即时，此时左侧端点离对称轴越远，则；
当，即时，此时右侧端点离对称轴越远，则．
综上，当时，；当时，．
（3）解：由题意，得“三倍点”所在的直线为．在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和的图象至少有一个交点，
令，整理得，
则，解得；
把代入，得，代入，得，
则，解得；
把代入，得，代入，得，
则，解得．
综上，的取值范围为．
【解析】【分析】（1）首先根据点（1.-6），可求出二次函数解析式，进而根据“三倍点”定义，可设该函数图象上的“三倍点”坐标为，进而根据解析式可得出，解方程即可求解；
（2）首先可求出抛物线的对称轴，进而分类求出 该函数的最小值（用含的代数式表示） ，①当即时，②当即时，分别求解即可．
（3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解．
（1）解：把代入，得，
抛物线的解析式为．
设该函数图象上的“三倍点”坐标为，
把代入，得，
整理，得，解得，
“三倍点”坐标为．
（2）解：由（1）可知，则抛物线的对称轴为直线．
当，即时，此时左侧端点离对称轴越远，则；
当，即时，此时右侧端点离对称轴越远，则．
综上，当时，；当时，．
（3）由题意，得“三倍点”所在的直线为．
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和的图象至少有一个交点，
令，整理得，
则，解得；
把代入，得，代入，得，
则，解得；
把代入，得，代入，得，
则，解得．
综上，的取值范围为．
42．如图，是边长为4的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边、相交于点D、E，，垂足为F.
（1）求证：直线是的切线；
（2）当直线与相切时，求的半径.
【答案】（1）证明：连接OE，如图：
∵是等边三角形
∴ ∠C=∠OBE=60°
∵ OB=OE
∴ ∠OEB=∠OBE=60°
∵ EF⊥AC
∴ ∠EFC=90°
∴ ∠FEC=30°
∴ ∠OEF=180°-∠OEB-∠FEC=90°
∴ 直线EF是的切线 ；
（2）解：设 的半径为r，则OB=OE=OD=r
∵ 是边长为4的等边三角形
∴ AB=BC=AC=4，∠A=60°
∴ CE=4-r，AD=4-2r，
由（1）知：∠FEC=30°，EF⊥AC
∴FC=CE=（4-r）
∴ AF=4-（4-r）
∵ DF 与相切
∴ ∠ODF=∠ADF=90°，
∴ AF=2AD=2（4-2r）
∴ 4-（4-r）=2（4-2r）
解得：r=
∴的半径为.
【解析】【分析】本题考查圆的切线判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握圆的切线判定与性质是关键。（1）由等边和OB=OE得 ∠OEB=60°，由EF⊥AC得∠FEC=30°，可证∠OEF=90°，可证EF是∠FEC=30°；（2）设半径为r，得OB=OE=OD=r，由等边 的边长为4得 CE=4-r，AD=4-2r；根据∠FEC=30°，EF⊥AC得AF=4-（4-r）；根据 DF 与相切 ，∠A=60°得AF=2AD=2（4-2r），可得r.
43．在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线、与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形．
（1）观察线段和之间有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；
（2）观察线段、和之间有怎样的数量关系，并以图③为例，加以说明；
（3）把三角板绕P点旋转，点E从C点沿射线方向移动，是否构成等腰三角形？若能，请直接写出的度数；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：．连接，
∵是等腰直角三角形，P为斜边的中点，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，
∴
∴；
（2）解：理由如下：
连接，
∵是等腰直角三角形，P为斜边的中点，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∴
∴，
∵，
∴
（3）能．
当点E在上时，
①若，则，此时点D与点A重合，点E与点C重合；
②若，则，；
③若，则；
当点E在的延长线上时，如图3，此时是钝角，只能是顶角，则，
则，
综上可知，或或或．
【解析】【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质，利用证明，得出；
（2）连接，根据等腰直角三角形的性质，利用证明，得出，从而得到结论；
（3）分点E在线段上和在的延长线上，利用等腰三角形的等边对等角进行解答．
（1）解：．
以图②为例，如图，连接，
∵是等腰直角三角形，P为斜边的中点，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，
∴
∴；
（2）、和的数量关系：
理由如下：以图③为例，连接，
∵是等腰直角三角形，P为斜边的中点，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∴
∴，
∵，
∴
（3）能．
当点E在上时，
①若，则，此时点D与点A重合，点E与点C重合；
②若，则，；
③若，则；
当点E在的延长线上时，如图3，此时是钝角，只能是顶角，则，
则，
综上可知，或或或．
44．已知二次函数
（1）若二次函数过点
①求此二次函数表达式．
②将三次函数向下平移2个单位，求平移后的二次函数与轴的两个交点之间的距离．
（2）如果都在这个二次函数上，且，求的取值范围．
【答案】（1）解： ①在二次函数的图象上
② 设二次函数向下平移2个单位长度得到二次函数，则
令，则
解得：
抛物线与轴两个交点的坐标分别为和
（2）解：
抛物线的对称轴为：且开口向下
都在抛物线上
在抛物线上
当时，
当点M在对称轴的左侧时，随的增大而增大，即：
解得：
当点M在对称轴的右侧时，随的增大而减小，即：
解得：
综上所述：的取值范围为或.
【解析】【分析】（1） ① 利用待定系数法即可求出的值，则抛物线解析式可求；
② 利用“上加下减左加右减”的平移法则可直接写出平移后的抛物线解析式，令解析式等于0即可求出抛物线与轴两个交点的横坐标，则两点之间的距离就是两横坐标差的绝对值；
（2）由于点P、Q两点的纵坐标相同，则P、Q两点关于抛物线的对称轴对称，则利用其横坐标和的一半可得到抛物线的对称轴的表达式，即可写出抛物线的解析式；再利抛物线上点的坐标特征可先分别求出的抛物线与直线的两个交点的横坐标，即函数值为4时对应的自变量的值以及点M的纵坐标的值；再利用可先得到的大体取值范围；再利用二次函数的增减性来分类讨论，即点M在对称轴的左侧时或在对称轴的右侧时两种情况，分别建立不等式或不等式组，即可确定的具体范围.
45．如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，边分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线的顶点．
（1）直接写出顶点P的坐标；（用m表示）
（2）当时，判断是否在抛物线上，并直接写出该抛物线下方（含边界）的好点个数；
（3）当时，直接写出该抛物线上的好点坐标；
（4）若点P在正方形内部，该抛物线下方（含边界）恰好存在8个好点，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）当时，在抛物线上；好点有：，，共5个；
（3）
（4）
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线，
∴顶点P的坐标为；
（2）当时，在抛物线上，理由如下：当时，表达式为：，函数图象如图1：
当时，；
当时，；
∴抛物线经过点和，
即点在抛物线上，
观察图象可知：好点有：，，共5个．
（3）解：当时，二次函数解析式为．如图2．
当时，，
当时，，
当时，，
∴抛物线经过，
根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为；
（4）解：∵点P在正方形内部，，正方形的边长为4，∴，，解得：，
取开始，，可得抛物线内有10个好点，不符合意思；
∴抛物线向下并向左移动，如图3，
∵抛物线的顶点，
∴抛物线的顶点P在直线上，
∵点P在正方形内部，则，
如图3中，，
观察图象可知，当点P在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段有交点（点F除外），
当抛物线经过点E时，，
解得或（不合题意，舍去），
当抛物线经过点F时，，
解得或4（不合题意，舍去），
∴当时，顶点P在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．
【分析】（1）根据抛物线方程可直接得出顶点坐标为。（2）当参数时，函数表达式简化为。通过绘制函数图象（如图1），可以直观地分析函数性质并解决问题。
（3）当参数时，函数表达式变为。结合图2所示的函数图象，可以更清晰地分析问题。
（4）分析抛物线顶点的运动轨迹，可以发现顶点始终在直线上移动。当顶点位于正方形内部时，参数范围满足。特别地，考察关键点和（如图3），当抛物线在正方形内且下方区域恰好包含8个特殊点时，需要抛物线与线段EF（不含F点）相交。通过计算抛物线经过E点和F点时对应的m值，可以确定参数的取值范围。
（1）解：∵抛物线，
∴顶点P的坐标为；
（2）解：当时，在抛物线上，理由如下：
当时，表达式为：，函数图象如图1：
当时，；
当时，；
∴抛物线经过点和，
即点在抛物线上，
观察图象可知：好点有：，，共5个．
（3）解：当时，二次函数解析式为．如图2．
当时，，
当时，，
当时，，
∴抛物线经过，
根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为；
（4）解：∵点P在正方形内部，，正方形的边长为4，
∴，，解得：，
取开始，，可得抛物线内有10个好点，不符合意思；
∴抛物线向下并向左移动，如图3，
∵抛物线的顶点，
∴抛物线的顶点P在直线上，
∵点P在正方形内部，则，
如图3中，，
观察图象可知，当点P在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段有交点（点F除外），
当抛物线经过点E时，，
解得或（不合题意，舍去），
当抛物线经过点F时，，
解得或4（不合题意，舍去），
∴当时，顶点P在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．
46．已知在平面直角坐标系中，点．
（1）如图，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论；
（2）若P为x轴正半轴上异于原点O的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q，
①当P点在x轴上移动时，试判断线段的长是否会发生变化，如果不变求出线段的长，如果发生变化请说明理由；
②连接，直接写出线段的最小值．
【答案】（1）解：线段、、之间的数量关系为；
证明：，
，
将绕点逆时针旋转得到，如图，
则，，，，
，
，即、、三点共线，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
；
即；
（2）解：①是定值，且；
作于，在上截取，连接，如图，则，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
，即，
，
，
，
，即是定值；
②
【解析】【解答】
解：(2)②由①知点为定点，且，，
，
如图，当时，线段有最小值，
，
，即的最小值为．
【分析】
本题考查了图形与坐标、旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线、熟知以上知识点是解题的关键．
（1）根据点A的坐标为（2，0）点B的坐标为(0，2)由此可知：OA=OB=2，结合∠AOB=90°可知：△OAB是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质：等角对等边可知：∠OAB=∠OBA=45°，结合△AOC绕点O逆时针旋转得到△OBF，根据旋转的性质：旋转前后两个三角形对应边相等，对应角相等可知：，，，，故∠DBA=90°，根据等式的性质和角的和差运算可知：，再根据三角形全等的判定定理SAS可证得：△ODF≌△ODC，根据全等三角形的性质：对应边相等可知：DC=DF，再结合等量代换和线段的和差运算可知：CD=BD+AC，由此可得出结论；
（2）①BQ是定值，作EF⊥OA于点F，在FE上截取PF=FD，连接PD，如图，由图可知：∠BAO=∠PDF=45°，由平角的定义可知：，根据余角的性质：同角的余角相等可得，结合PB=PE，根据三角形全等的判定定理AAS可证得：，由全等三角形的性质：对应边相等可得：，从而可得，再根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：，即，再根据等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：OA=OQ=2，故BQ=OB+OQ=4是定值，由此可得出结论；
②由①知：OQ=2，故点Q的坐标为，且，当时，线段有最小值，根据面积自等法：，可得：，代入数据计算即可得出答案．
（1）线段、、之间的数量关系为；
证明：，
，
将绕点逆时针旋转得到，如图，
则，，，，
，
，即、、三点共线，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
；
即；
（2）是定值，且；
作于，在上截取，连接，如图，则，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
，即，
，
，
，
，即是定值；
②由①知点为定点，且，，
，
如图，当时，线段有最小值，
，
，即的最小值为．
47．在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点．已知函数，，且是的相切函数，点为切点．
（1）试写出切点的坐标（____，____），及与的关系式_____．
（2）当时，试判断以下两组值①，；②，能否使成立？并说明理由．
（3）若函数的图象经过点，函数的图象经过点，且，求的值．
【答案】（1），，
（2）解：①不成立，②成立，理由如下：
由（1）得：，
，
，
要使成立，则：
，
整理，得：，
，
，
，
，
①当，时，
，不满足，
不成立；
②当，时，
，满足，
成立；
（3）解：函数的图象经过点，函数的图象经过点，
，，
，
，
即：，
由（1）得：，
将代入，得：，
整理，得：，
，
，
，
解得：或，
的值为或．
【解析】【解答】
（1）
解：由题意可得y1=y2，
∴，
整理，得：，
由题意得：，
即：
，
，
，
将代入方程，得：
，
整理，得：，
，
，
，即：，
将代入，得：
，
切点的坐标为，
故答案为：，，.
【分析】
（1）联立与，得，整理得，根据两个函数相切可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则可得，于是可得，即，将代入方程，得，解方程即可求解；
（2）由（1）得，要使成立，则，整理得，由偶次方的非负性并结合不等式的性质可得，对、的两组值进行验证，即可求解；
（3）由“函数的图象经过点，函数的图象经过点”可得，，再结合，可得，由（1）得，将代入并整理，得，由可得，进而可得，解方程即可求出的值．
（1）解：联立与，得：
，
整理，得：，
由题意得：，
即：
，
，
，
将代入方程，得：
，
整理，得：，
，
，
，即：，
将代入，得：
，
切点的坐标为，
故答案为：，，；
（2）解：①不成立，②成立，理由如下：
由（1）得：，
，
，
要使成立，则：
，
整理，得：，
，
，
，
，
①当，时，
，不满足，
不成立；
②当，时，
，满足，
成立；
（3）解：函数的图象经过点，函数的图象经过点，
，，
，
，
即：，
由（1）得：，
将代入，得：，
整理，得：，
，
，
，
解得：或，
的值为或．
48．已知关于的两个函数（为常数，，）与（为常数，，）的图像组成一个新图形．图形与轴交于A，两点（点A在点左边），交轴于点．
（1）求点A，坐标；
（2）若为直角三角形；
①求实数的值；
②若直线与图形有且只有两个交点，，满足，求实数满足条件．
【答案】（1）解：令，则有：，解得：；，即，解得：；
∵点A在点左边，
∴，
（2）解：①当时，，
∵为直角三角形，
∴，
∴，解得：.
②当时，当时，
如图，
当过点，且与二次函数部分有且只有一个交点时，k取到最大值；
∵直线过点，
∴，解得；
∵直线与二次函数部分有且只有一个交点，
∴，
∴只有一个根，
∴，
解得：，（舍去），
∴；
当时，如图：
当过点，且与二次函数部分有且只有一个交点时，k取到最小值；
∵过点，
∴；
∵直线与二次函数部分有且只有一个交点，
∴只有一个根，
∴只有一个根，
∴，解得：；
∴；
综上所述，当时，或；
同理可得：当时，或
【解析】【分析】（1）令，求出x的值即可得出结论；
（2）①根据直角三角形的性质求得，即可求得；②分和两种情况，可求得直线经过点和，再利用判别式求解．
49．已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为P.
（1）当m＝0时，请判断抛物线与坐标轴的交点情况；
（2）该抛物线的顶点P的位置随着m的变化而移动，当顶点P移动到最高处时，求该抛物线的顶点P的坐标；
（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点P的横坐标的取值范围．
【答案】（1）解：当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，
当y=0时，x2﹣x+3＝0，－4ac=－11<0，与x轴无交点，
当x=0时，y=3，与y轴的交点为（0，3）；
（2）解：抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点P（，），
化简得P（，），
顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，
∵（m﹣3）2+5，
∴m＝3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，
此时顶点坐标P（2，5）；
（3）解：设直线EF解析式为y＝kx+b，将E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：
，解得，
∴直线EF的解析式为y＝2x+1，
由得：或，
∴直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），
而（2，5）在线段EF上，
∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，
∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2，
∴或或
∴或或．
【解析】【分析】（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，利用判别式可判断抛物线与x轴交点情况，即可得解；
（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点P的纵坐标，m＝3时，纵坐标最大，可得顶点P的坐标；
（3）利用待定系数法求得直线EF的解析式为y＝2x+1，与抛物线联立，得直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，分别计算求解即可.
50．如图， 四边形ABCD 内接于⊙O，( 交AD的延长线于点 E， 连接AC、BD， CD平分.
（1） 若 求 的长；
（2） 求证CA=CB；
（3） 若点 B为CAD的中点， .DE=2，CE=6时，求AD 的长.
【答案】（1）解：四边形内接于，，
，
，
，
，
在中，，则
（2）证明：四边形内接于，
，
平分，
，
，
，
，
（3）解：过点C作于H， ，
设， 则，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得 ，
，
解得，
∴
【解析】【分析】（1）先由圆内接四边形性质得到，在中，由两锐角互余即可得到答案；
（2）先由圆内接四边形性质得到，再由角平分线定义得到，然后由同弧所对的圆周角相等得到，等量代换确定，最后由等腰三角形的判定与性质即可得证；
（3）过点C作于H， ，设， 则，根据全等三角形的判定和性质得出，，，再结合弧与弦的关系确定，利用勾股定理求解即可．
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