2025-2026学年广东省深圳市高三上学期期末自编模拟题数学试题（四）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年广东省深圳市高三上学期期末自编模拟题数学试题（四）（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 708.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-08 07:10:13 | ||
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文档简介
2025-2026学年广东省深圳市高三期末自编模拟题数学试题（四）
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题（本大题共8小题）
1．设全集为，非空真子集，，满足：，，则（ ）
A． B． C． D．
2．某工厂随机抽取部分工人，对他们某天生产的产品件数进行了统计，统计数据如表所示，则该组数据的产品件数的第60百分位数是（ ）
件数 7 8 9 10 11
人数 3 6 5 4 2
A．8.5 B．9 C．9.5 D．10
3．已知直线与曲线相切，则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知在四面体中，为等边三角形，且，则与平面所成角正切值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点在圆：上，椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，过点作圆的切线，则切线斜率为（ ）
A． B． C． D．
6．一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度 的大小为 ，水流速度 的大小为
．设船行驶方向与水流方向的夹角为 ，若船的航程最短，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．将6名新教师安排到A，B，C三所学校去任教，每所学校至少一人，其中教师甲不能去A学校，则不同的安排方案的种数是（ ）
A．540 B．360 C．240 D．180
8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数，则（ ）
A．z的实部是 B．z的虚部是
C．z的共轭复数为 D．
10．高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分．则
A． B．
C． D．
11．已知函数的定义域为R，，，则（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．设双曲线的左，右焦点分别是，，点是上的点，若是等腰直角三角形，则的离心率是 ．
13．已知函数.给出下列四个结论：
①当时，在区间上单调递增；
②当时，有最小值；
③当时，设的零点从大到小依次为，，，…，则对任意正整数i，都有；
④存在a，使得在上有四个零点.
其中所有正确结论的序号是 .
14．一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面ABC水平放置时，水面高为，当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知F为抛物线C：的焦点，点A在C上，.点P（0，-2），M，N是抛物线上不同两点，直线PM和直线PN的斜率分别为，.
(1)求C的方程；
(2)存在点Q，当直线MN经过点Q时，恒成立，请求出满足条件的所有点Q的坐标；
(3)对于（2）中的一个点Q，当直线MN经过点Q时，|MN|存在最小值，试求出这个最小值.
16．已知函数的图象过原点.
(1)求的值及的最小正周期；
(2)若函数在区间上单调递增，求正数的最大值.
17．空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中均为常数，），为该平面的一个法向量．已知球的半径为4，点均在球的球面上，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示．平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面平面，设截面与球球面的交线为圆（为线段的中点）．
（1）求点的坐标；
（2）若平面，证明：平面平面；
（3）已知点B在平面内，设线段在平面内绕着点逆时针旋转弧度至，点H在圆上，且，过H作平面，垂足为点P：
①用表示点的坐标；
②若，求点到平面距离的最大值；
③若，当直线与平面所成的角最小时，求的值．
18．记为数列的前项和，为数列的前项和，已知.
（1）证明：为等比数列；
（2）求；
（3）求.
19．已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若的极小值点为，证明：存在唯一的零点，且．
参考答案
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】AD
10．【答案】BC
11．【答案】BCD
12．【答案】/
13．【答案】①④
14．【答案】
15．【答案】(1);
(2)（2，2）或（4，2）;
(3)5.
16．（1）由得.所以
.
所以的最小正周期为.
（2）由（），得（）.
所以的单调递增区间为（）.
因为在区间上单调递增，且，此时，
所以，故的最大值为.
17．（1）连接，过作，交于点．根据题意易得为等边三角形，所以，
则，所以．
（2）连接，根据球的性质可得平面，
则即为平面的一个法向量．
因为，所以．
平面的一个法向量为，
因为，
所以，故平面平面．
（3）①当时，过点作交于，
过点作交于，过点作交
于，过点作交于，过点作交于，则，
，
，
则，
同理可得当时，．
②因为点在平面内，所以，则平面的一个法向量为．
，
点到平面的距离
，
当，即时，取得最大值，最大值为．
③易得平面的一个法向量为．
因为，所以．
设直线与平面所成的角为，
则
，
令，则，
则
，
当即时，最小，即直线与平面所成的角最小.
18．（1）由可得，当，两式相减，可得，又
则
整理可得
当时，
当时，，，解得，
所以，数列是以1为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可知，,则，
因为，则=－+，化简整理，.
（3）由（2）可知，，则
设
则
则－，
整理可得：=，则；
设
则，
则，
整理可得：=，则；
.
19．（1），
若，由，则时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，令，得或，
若，则或时，，单调递增；时，，单调递减；
若，则在上恒成立，在上单调递增；
若，则或时，，单调递增；时，，单调递减．
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）由(1)知，时，在，上单调递增；
在上单调递减，则的极小值点为，
由极大值，且当趋近正无穷时，趋近正无穷，
存在唯一的零点，满足，
化简得，，
∴，即，
∴，
设，，
，
当时，，单调递增，
时，，单调递减，
从而当时，有最小值，
综上所述，存在唯一的零点，且．
.
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题（本大题共8小题）
1．设全集为，非空真子集，，满足：，，则（ ）
A． B． C． D．
2．某工厂随机抽取部分工人，对他们某天生产的产品件数进行了统计，统计数据如表所示，则该组数据的产品件数的第60百分位数是（ ）
件数 7 8 9 10 11
人数 3 6 5 4 2
A．8.5 B．9 C．9.5 D．10
3．已知直线与曲线相切，则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知在四面体中，为等边三角形，且，则与平面所成角正切值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点在圆：上，椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，过点作圆的切线，则切线斜率为（ ）
A． B． C． D．
6．一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度 的大小为 ，水流速度 的大小为
．设船行驶方向与水流方向的夹角为 ，若船的航程最短，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．将6名新教师安排到A，B，C三所学校去任教，每所学校至少一人，其中教师甲不能去A学校，则不同的安排方案的种数是（ ）
A．540 B．360 C．240 D．180
8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数，则（ ）
A．z的实部是 B．z的虚部是
C．z的共轭复数为 D．
10．高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分．则
A． B．
C． D．
11．已知函数的定义域为R，，，则（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．设双曲线的左，右焦点分别是，，点是上的点，若是等腰直角三角形，则的离心率是 ．
13．已知函数.给出下列四个结论：
①当时，在区间上单调递增；
②当时，有最小值；
③当时，设的零点从大到小依次为，，，…，则对任意正整数i，都有；
④存在a，使得在上有四个零点.
其中所有正确结论的序号是 .
14．一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面ABC水平放置时，水面高为，当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知F为抛物线C：的焦点，点A在C上，.点P（0，-2），M，N是抛物线上不同两点，直线PM和直线PN的斜率分别为，.
(1)求C的方程；
(2)存在点Q，当直线MN经过点Q时，恒成立，请求出满足条件的所有点Q的坐标；
(3)对于（2）中的一个点Q，当直线MN经过点Q时，|MN|存在最小值，试求出这个最小值.
16．已知函数的图象过原点.
(1)求的值及的最小正周期；
(2)若函数在区间上单调递增，求正数的最大值.
17．空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中均为常数，），为该平面的一个法向量．已知球的半径为4，点均在球的球面上，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示．平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面平面，设截面与球球面的交线为圆（为线段的中点）．
（1）求点的坐标；
（2）若平面，证明：平面平面；
（3）已知点B在平面内，设线段在平面内绕着点逆时针旋转弧度至，点H在圆上，且，过H作平面，垂足为点P：
①用表示点的坐标；
②若，求点到平面距离的最大值；
③若，当直线与平面所成的角最小时，求的值．
18．记为数列的前项和，为数列的前项和，已知.
（1）证明：为等比数列；
（2）求；
（3）求.
19．已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若的极小值点为，证明：存在唯一的零点，且．
参考答案
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】AD
10．【答案】BC
11．【答案】BCD
12．【答案】/
13．【答案】①④
14．【答案】
15．【答案】(1);
(2)（2，2）或（4，2）;
(3)5.
16．（1）由得.所以
.
所以的最小正周期为.
（2）由（），得（）.
所以的单调递增区间为（）.
因为在区间上单调递增，且，此时，
所以，故的最大值为.
17．（1）连接，过作，交于点．根据题意易得为等边三角形，所以，
则，所以．
（2）连接，根据球的性质可得平面，
则即为平面的一个法向量．
因为，所以．
平面的一个法向量为，
因为，
所以，故平面平面．
（3）①当时，过点作交于，
过点作交于，过点作交
于，过点作交于，过点作交于，则，
，
，
则，
同理可得当时，．
②因为点在平面内，所以，则平面的一个法向量为．
，
点到平面的距离
，
当，即时，取得最大值，最大值为．
③易得平面的一个法向量为．
因为，所以．
设直线与平面所成的角为，
则
，
令，则，
则
，
当即时，最小，即直线与平面所成的角最小.
18．（1）由可得，当，两式相减，可得，又
则
整理可得
当时，
当时，，，解得，
所以，数列是以1为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可知，,则，
因为，则=－+，化简整理，.
（3）由（2）可知，，则
设
则
则－，
整理可得：=，则；
设
则，
则，
整理可得：=，则；
.
19．（1），
若，由，则时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，令，得或，
若，则或时，，单调递增；时，，单调递减；
若，则在上恒成立，在上单调递增；
若，则或时，，单调递增；时，，单调递减．
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）由(1)知，时，在，上单调递增；
在上单调递减，则的极小值点为，
由极大值，且当趋近正无穷时，趋近正无穷，
存在唯一的零点，满足，
化简得，，
∴，即，
∴，
设，，
，
当时，，单调递增，
时，，单调递减，
从而当时，有最小值，
综上所述，存在唯一的零点，且．
.
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