云南省昆明市仁泽中学2025-2026学年高一（上）期末数学试卷（含答案）

云南省昆明市仁泽中学2025-2026学年高一（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4.设，则( )
A. B. C. D.
5.设，，，则三者的大小顺序是( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.函数的大致图象是( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数对于任意的都满足，当时，，若函数至少有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
10.下列结论正确的是( )
A.
B. 一扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为
C. 的最小正周期为
D. 点是函数图象的一个对称中心
11.已知定义在上的函数，满足是奇函数，且是偶函数则下列命题正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是幂函数，则的值为 ．
13.若，且，则 ．
14.定义符号函数为，已知，，若恒成立，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算下列各式的值：
；
．
16.本小题分
已知函数．
是否存在实数，使函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
判断函数的单调性，并加以证明．
17.本小题分
荆州自古以来就是一个以鱼产业闻名的地方，而荆州鱼糕更是该地区的八大名肴之一相传荆州鱼糕起源于舜帝时代，由舜帝妃子女英创制，历经春秋战国等时期的演变，荆州鱼糕逐渐成为楚宫廷的头道菜肴据说，乾隆皇帝曾品尝过荆州花猜皮糕后咏叹道：“食鱼不见鱼，可人百合糕”可见荆州鱼糕的美味非常引人注目当地某鱼糕生产企业由市场调研分析可知，当前“鱼糕”的产量供不应求，某企业每售出千件“鱼糕”的销售额为千元且生产的成本总投入为千元记该企业每生产销售千件“鱼糕”的利润为千元．
求函数的解析式；
求的最大值．
18.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
求的单调递增区间；
函数，若且，，求的最大值．
19.本小题分
已知函数和函数．
求方程的根的个数；
是否存在非负实数，，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出，的值；若不存在，则说明理由；
当时，求函数的最大值．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12.或 13. 14.
15.解：原式；
原式．
16.解：根据题意，存在实数符合题意，
理由如下：
因为的定义域为，
若函数为奇函数，则，
即，整理可得，解得，
所以．
单调递减，
证明：设，且，
则，
因为，则，，，
可得，
故在定义域上单调递减，结论成立．
17.解：依题意，得，又，
则，
即；
当时，，其开口向上，对称轴为，
则函数在为增函数，
所以当时，函数取最大值，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
因为，
所以当千件时，取得最大值千元．
18.解：，
，
，
，
，
，
，
，
的最小正周期为；
由可得，
令，可得，
的单调递增区间为；
，
，
，
，，
，
，，
，
，，
时的，
，
，
，
同理可得，
时，取最大值，
且最大值为，
的最大值．
将利用二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简为，利用周期公式求解；
由解出的的范围就是的单调递增区间；
由求出，由，的范围求出的范围，从而得到，的范围，由得到，，从而求出，的值，继而得到的最大值．
本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
19.解：方程的根的个数，即为函数，的图象的交点个数，
在同一坐标系内作出，的图象，如图：
观察图象，得函数，的图象有唯一交点，
所以方程的根的个数是．
依题意，函数，
假设存在非负实数，，使得函数的定义域为，值域为，
而函数在上单调递增，则，即，
因此，是方程的两个不等的非负实数根，解得，
所以当时，给定函数的定义域为，值域为．
依题意，，
由，得，令，函数，
当时，函数在上单调递增，则；
当时，则；当时，则；
当时，函数在上单调递减，则，
所以．
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