2025-2026人教版九年级数学期末专项训练专题15 锐角三角函数（高频考点归纳 解析 单元检测）
文档属性
| 名称 | 2025-2026人教版九年级数学期末专项训练专题15 锐角三角函数（高频考点归纳 解析 单元检测） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 39.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-09 22:00:16 | ||
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文档简介
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2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题15 锐角三角函数（高频考点归纳+解析+单元检测）
考点01 锐角三角函数
考点02 特殊角的三角函数值
考点03 方格中的三角函数
考点04 解直角三角形
考点05解直角三角形的应用---仰角、俯角问题
考点06解直角三角形的应用---坡度、坡角问题
考点07解直角三角形的应用---方位角问题
考点01 锐角三角函数
一、单选题
1．（24-25九年级上·广东中山·期末）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．不确定
2．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点上，则的值是（ ）
A．2 B．0.5 C． D．
3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·北京房山·期末）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的正弦值为 ．
7．（24-25九年级上·山西临汾·期末）在中，，若，，则 ．
8．（24-25九年级上·福建龙岩期末）已知是锐角，且，则 ．
考点02 特殊角的三角函数值
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（24-25九年级上·山西大同·期末）已知是锐角，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·广东梅州·期末）下列三角函数中，值为 的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上广东深圳期末）如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·山东济南·期末）的值是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
6．（24-25九年级上·广东深圳·期末）计算：
7．（24-25九年级上·福建莆田·期末）计算：．
8．（24-25·上海闵行期末）计算：
考点03 方格中的三角函数
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（ ）
A． B． C． D．2
3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上（网格线的交点），则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（24-25福建福州期末）如图，的三个顶点分别在边长为的正方形网格的格点上，则 ．（填“”“”“”）
7．（24-25九年级上·福建三明期末）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC= ．
8．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，网格中的点都在小正方形顶点上，连接交于点，则的正切值是 ．
考点04 解直角三角形
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点，分别为，的中点，连接，，，若，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．
2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，中，，，，经过点B且半径为5的与交于D，与的延长线交于E，则线段的长为（ ）
A．6.4 B．7 C．7.2 D．8
二、填空题
4．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，点在边上，连接，以为斜边在其上方作等腰直角三角形，与交于点，连接．若，，则的长为 ．
5．（24-25九年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，是边上的一点，是延长线上的一点，为的中点，连接．若，则的长为 ．
三、解答题
6．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图在中，．
(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
①作的平分线，交于点D；
②作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E；
③以点O为圆心，长为半径作，交于另一点F．
(2)推理与计算：若，，求的长．
7．（24-25九年级上·广东中山·期末）如图1，在中，，，．动点P，Q同时从A点出发，点P沿着的路线以匀速运动，点Q沿着的路线匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动时间为x秒．
(1)求的值．
(2)如图2，当时，连接，若点P恰好在以为直径的圆上，求点Q的运动速度．
(3)设点Q的速度为，记的面积为y平方厘米，求y关于x的函数表达式，并指出x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
8．（24-25九年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，于点D，为锐角．
(1)将线段绕点A逆时针旋转（旋转角小于），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，过点B作于点F，连接，，若，试求的值．
考点05解直角三角形的应用---仰角、俯角问题
一、解答题
1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图（1），应县木塔（又名佛宫寺释迦塔）位于山西省朔州市，建于公元1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木结构楼阁式建筑．1961年，国务院公布其为全国重点文物保护单位．2016年9月，应县木塔被吉尼斯世界纪录认证为“世界最高的木塔”．如图（2），数学活动小组的同学想要测量应县木塔的高度，在点处用高为的测角仪，测得塔顶端的仰角为，沿方向前进后到达点处，此时测得塔顶端的仰角为．测量点，与塔的底部在同一水平线上，且，，，，，六点在同一竖直平面上．求应县木塔的高度．
（结果精确到．参考数据：，，，，，）
2．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，小明在处测得小土坡上松树（垂直地面）顶端的仰角，后退10米到达处，分别测得松树顶端的仰角，松树底部的仰角．已知点，，，，均在同一平面上，求松树的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，，）
3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）太谷白塔位于太谷区西南隅，建于北宋元佑年间，是一座具有1700多年历史的八边形七级楼阁式砖木结构塔，是我国八大白塔之一．某校综合与实践小组测量白塔的高度，形成了如下不完整的实践报告：
测量对象 太谷白塔
测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题
测量工具 无人机
测量方案 1．先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为；2．再将无人机从点P处沿水平方向飞行至点C，然后沿垂直方向上升至点Q．此时，测得塔的顶端A的俯角，图中各点均在同一竖直平面内．
测量示意图
请根据以上测量数据，求太谷白塔的高度（结果精确到，参考数据：）．
4．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内．
(1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）；
(2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，）
5．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）．
(1)求平台的高度；
(2)求建筑物的高度（即的长）．
6．（24-25九年级上·福建泉州·期末）小明利用“无人机”测量涂岭镇下炉村的下炉石佛（泉港打卡景点：玉笏朝天）的高度．无人机的探测器显示，观测“玉笏朝天”最高点的仰角是，观测“玉笏朝天”底部的俯角是，若与水平面垂直，无人机的观测点与的水平距离为米．请求出“玉笏朝天”的高度．
7．（24-25九年级上·陕西西安·期末）小明想用所学的数学知识来测量一个5G通讯塔（通讯塔底部不可到达）的高度．如图所示，他在坡底C处用高为1米的测角仪测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达E处，在E处用相同测角仪测得塔顶A的仰角为．已知点B，C在同一条直线上，，测角仪，，求该5G通讯塔的高度．（所有点均在同一平面内，结果取整数，参考数据：）
8．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点处看塔顶的仰角为．
(1)求点D与塔顶P的距离；
(2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求古塔的高度（参考数据：，，，，结果精确到米）．
考点06解直角三角形的应用---坡度、坡角问题
一、填空题
1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图为某兴趣小组绘制的跳台滑雪赛道的截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点C且与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，着陆坡的坡度为．某运动员第一次训练时在C处起跳腾空后，飞行至着陆坡的D处着陆．在这次训练过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间满足二次函数关系，且．若点D的横坐标为，则运动员离着陆坡的最大竖直距离为 m．
二、解答题
2．（2024·陕西西安·模拟预测）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且、、三点在一直线上如图所示．假设测角仪器的高度忽略不计，求点离地面的距离结果精确到米．(参考数据：，，，)
3．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）甲乙两名游客选择两种不同的方式游览某景区，如图，甲从山脚A处乘坐缆车到达景点C处，同时乙开车从山脚A处前行到达D处，此时遇一斜坡，坡度，沿着斜坡前行到达停车场E处，停车后，再跑步到达景点C处（汽车行驶在平路和上坡的速度相等，停车时间忽略不计）．甲在A处观测景点C的仰角为，乙在E处观测景点C的仰角为．
(1)求景点C的高度；（结果精确到）
(2)甲乘坐缆车的速度为，乙的车速为，乙的跑步速度为，谁先到达景点C （参考数据：）
4．（23-24九年级上·广东茂名·期末）某校数学兴趣小组为了测量建筑物的高度，先在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为，再沿斜坡走了到达斜坡顶点处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为，已知斜坡的坡度．（参考数据：，）
(1)求点到地面的高度；
(2)求建筑物的高度．
5．（23-24九年级上·四川内江·期末）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走到点D，此时从点A到D上升的高度为2米，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡的坡比为，E、A、C在同一水平线上．
(1)求小明从点A走到点D的距离；
(2)大树的高度约为多少米？
（参考数据：，，）
6．（25-26九年级上·陕西西安·月考）小明想用所学的数学知识来测量一个5G通讯塔（通讯塔底部不可到达）的高度．如图所示，他在坡底C处用高为1米的测角仪测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达E处，在E处用相同测角仪测得塔顶A的仰角为．已知点B，C在同一条直线上，，测角仪，，求该5G通讯塔的高度．（所有点均在同一平面内，结果取整数，参考数据：）
7．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点．（参考数据：，，）
(1)当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度；
(2)求点间的水平距离长．
考点07解直角三角形的应用---方位角问题
一、解答题
1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图是某风景区的局部简化示意图，风轩亭在翠微亭的正南方向，两亭被一座小山隔开，该风景区计划在，之间修建一条直通的景观隧道．为测量，两点之间的距离，在一条东西方向的小路上的点，处分别观测点，，测得点在点的北偏东方向上，点在点的北偏东方向上，米，米．求，两点之间的距离．（结果精确到米．参考数据：，，，，）
2．（2024·安徽宿州·一模）如图，为了测量小池塘点和点之间的距离，在直线下方选择一点，测量点位于点北偏西的方向，点位于点北偏东的方向，测得，求小池塘之间的距离．（参考数据：，，，，，）
3．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处．
(1)求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号）
(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，）
4．（2018·山东潍坊·中考真题）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1．5小时后到达B处此时测得岛礁P在北偏东30°方向,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？ (结果保留根号)
5．（25-26九年级上·重庆江北·期中）小月和小黄升入大学后，想利用假期来一场说走就走的旅行．如图，，，是四个必打卡的景点，而且沿途的风景也很美丽，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，也在的南偏西方向，在的北偏东方向．（参考数据：，）
(1)求南环线的长度（结果保留小数点后一位）；
(2)小月选择走北环线，小黄选择走南环线，两人同时从景点出发，小黄在途中发现小月的相机电池落在自己背包里了，于是小黄决定到之后前往与小月汇合，已知小黄的步行速度与小月的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求北环线的长度．（结果保留小数点后一位）
6．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，点为某市物流中心，该物流中心下设，，三个配送站点，配送站点在的正北方向4.2km处，在的正西方向，在的北偏东37°方向2.5km处，在的北偏东64°方向．（，，，，，）
(1)求配送站点与之间的距离；
(2)“双11”期间，派送员从物流中心出发，以30km/h的速度沿着到各配送站点派送快递，派送员途径、两个站点各停留10min存放快递，请计算说明派送员能否在50min内到达配送站点？
7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，直径为，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点），连接并延长交于点．
(1)点位于点的北偏东___________的方向上．
(2)求的长．
(3)连接，比较线段与大小（写出你作出判断的理由）
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（25-26九年级上·全国·期末）在中，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的的内角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
3．（25-26九年级上·云南昆明·期中）2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，，则BC的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．（25-26九年级上·北京·月考）在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）在菱形中，，，，则（ ）
A． B． C．2 D．
8．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）如图，直径为的经过原点和点，是轴右侧上一点，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）计算 ．
12．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了米到达点，则她沿垂直方向升高了 ．
13．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在离铁塔底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为，测角仪高为米，则铁塔的高为 米．
14．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点，则的值是 ．
15．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，矩形沿对角线翻折后，点落在点处．连接交边于点如果，，那么的长等于 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）（25-26九年级上·山东淄博·月考）计算：
(1)；
(2)．
17．(8分)（24-25九年级上·河北唐山·期末）某小区应辖区派出所要求在广场竖立一个“打黑除恶，共创和谐”的矩形电子灯牌，如图所示，施工人员在两侧加固铝合金框架，已知铝合金框架底端G距广告牌立柱距离为4米，从G点测得广告牌顶端F点和底端E点的仰角分别是和．
(1)若长为5米，求灯牌的面积；
(2)求两侧加固的铝合金框架总共用料多少米？（本题中的计算过程和结果均保留根号）
18．（9分）（24-25九年级下·重庆·期末）如图所示，四边形是我市某公园的平面示意图．经测量，池塘B在公园东门A的正西方向，公园西门C在池塘B的正北方向，梨园D在西门C的北偏东方向500米处，同时也在东门A的北偏西方向1200米处（参考数据：）．
(1)求A、B两地之间的距离；（结果保留根号）
(2)小乐和朋友约定下午在公园东门A处见面，他于下午从公园西门C出发，打算沿公园步道走到东门A．现在有两种路线方案：①从西门C进入公园，沿走到池塘B，再沿走到东门A；②从西门C进入公园，沿走到梨园D，再沿走到东门A．已知小乐的步行速度为每分钟50米，请计算说明他应该选择哪一种路线方案才不会迟到？
19．（8分）（2025·湖南·三模）觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一．登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底．想知道觉华塔的通高（塔顶到水平地面的距离），于是某校师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得塔顶D的仰角为，在B点处测得塔顶D的仰角为，已知，测角仪的高度是1.1m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据解决下列问题：
(1)求的度数；
(2)求觉华塔的通高．（，结果保留一位小数）
20．（8分）（2024·天津滨海新·一模）综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度．如图，在地面A处测得广告牌顶端顶点C的仰角为，走向广告牌到达B处，在B处测得广告牌低端顶点D的仰角为，已知，立柱垂直于，且点A，B，H在同一条水平直线上．（矩形广告牌与立柱垂直）过点D作，垂足为E．设（单位：m）．
(1)用含有h和的式子表示线段的长；
(2)求广告牌低端顶点D到地面的距离的长．（取2.25，结果取整数）
21．（9分）（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读以下材料，并完成相应的任务．
定义：若三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段长的积等于这个点与该边所对顶点之间的距离的平方，则称这个点为三角形中该边的“中顶点”．例：如图（1），在中，点在上，若，则点为中边的中顶点．
任务：
(1)如图（2），的三个顶点是的正方形网格的格点（网格线的交点），请用无刻度的直尺作出中边的一个中顶点，且点不是格点．
(2)如图（3），内接于，点是中边的中顶点，连接并延长，交于点．
①求证：点是的中点．
②若的半径为5，，，与过点的切线垂直，垂足为点，求的长．
22．（12分）（2025·广东·中考真题）综合与实践
【阅读材料】
如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题．
【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究．
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：
步骤1：如图，在空旷地找一点；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，．
【问题解决】
（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离．
（参考数据：，，）
【评价反思】
（2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识．
23．(13分)（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究
已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点B的坐标为，点A的坐标为，m、n满足，将沿直线折叠，使点O在上，点O的对应点为点D，折痕交x轴于点C．
(1)求点D的坐标；
(2)点是射线上的一点，连接，的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当点M在x轴正半轴运动，满足时，点M的坐标为______；
(4)在（3）的条件下，在平面直角坐标系内是否存在点K，使以C、B、M、K为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出K的坐标；若不存在，说明理由．
2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题15 锐角三角函数（高频考点归纳+解析+单元检测）（解析版）
考点01 锐角三角函数
考点02 特殊角的三角函数值
考点03 方格中的三角函数
考点04 解直角三角形
考点05解直角三角形的应用---仰角、俯角问题
考点06解直角三角形的应用---坡度、坡角问题
考点07解直角三角形的应用---方位角问题
考点01 锐角三角函数
一、单选题
1．（24-25九年级上·广东中山·期末）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义．先求出，再根据三角函数的定义分别求出的四个三角函数值，进而即可得出答案．
【详解】解：在中，，，，如图所示：
由勾股定理得：，
∴，，，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
2．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点上，则的值是（ ）
A．2 B．0.5 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键；
根据勾股定理，可得的长，根据锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，可得答案．
【详解】如图：
由题知，，，，
由勾股定理，得，
．
故选：D．
3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查锐角三角函数的定义和勾股定理，根据勾股定理求得的值，然后根据余弦的定义即可求解．掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．
【详解】解：中，，，，
，
．
故选：A．
4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据余弦、正切的定义逐一判断即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项正确，符合题意；
故选：．
5．（24-25九年级上·北京房山·期末）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查勾股定理及正弦的定义，掌握勾股定理及正弦的定义是解题的关键．
先利用勾股定理求出的长度，然后利用即可求解．
【详解】解：∵，，，
，
∴．
故选：A．
二、填空题
6．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的正弦值为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，三角形的正弦．过点B作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，，根据的面积即可求出，再根据正弦的定义即可解答．
【详解】解：过点B作于点D，过点A作，交的延长线于点E．
由题意可得，，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
7．（24-25九年级上·山西临汾·期末）在中，，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正切的定义即可求解．解答本题的关键要熟练掌握正切的定义：锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作．
【详解】解：在中，，，，
，
故答案为：．
8．（24-25九年级上·福建龙岩期末）已知是锐角，且，则 ．
【答案】
【分析】由sin∠A＝，可设BC＝x，AB＝3x，然后利用勾股定理求得AC的长，继而求得答案．
【详解】解：如图，∠C＝90°，
∵，
∴，
设BC＝x，则AB＝3x，
∴AC＝，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角函数的定义与勾股定理．难度不大，注意数形结合思想的应用．
考点02 特殊角的三角函数值
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，计算，选取答案即可，熟练计算是解题的关键．
【详解】解：，
故选：C．
2．（24-25九年级上·山西大同·期末）已知是锐角，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据是锐角，且得出，再求其正切值，即可求解．
【详解】解：∵是锐角，且
∴，
∴
故选：C．
3．（24-25九年级上·广东梅州·期末）下列三角函数中，值为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值直接判断．
【详解】解：，，，，
故选：D．
4．（24-25九年级上广东深圳期末）如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，据此求解即可．
【详解】解：连接AB，由图可知：OA=OB，AO=AB，∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴cos∠AOB=cos60°=．
故选B．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，得出△ABC是等边三角形是解题的关键．
5．（24-25九年级上·山东济南·期末）的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用特殊角的三角函数的值，求出结果即可．
【详解】解：，
故选C．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的值，熟记各特殊角的三角函数的值是解题的关键．
二、解答题
6．（24-25九年级上·广东深圳·期末）计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的性质和负整数指数幂分别运算，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键 ．
【详解】解：原式
．
7．（24-25九年级上·福建莆田·期末）计算：．
【答案】2
【分析】本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的加减，先根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，再算乘法，后算加减即可．
【详解】解：
．
8．（24-25·上海闵行期末）计算：
【答案】2
【分析】分别把特殊角的三角函数值代入，再分别计算，结合分母有理化，合并化简即可解题．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
考点03 方格中的三角函数
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求，再根据三角函数的意义可求出的值．
【详解】解：如图，取网格点D，连接，
由网格图，可得：，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
故选：C．
2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，连接，设小正方形边长为1，求出，，，即可证明是直角三角形，问题随之得解，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
设小正方形边长为1，
，，，
，
是直角三角形，
，
在中，，，
，
故选：B．
3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上（网格线的交点），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，求角的正弦值，取格点，连接，由网格线的特征易得共线，根据勾股定理得到，然后利用勾股定理求出，，然后利用代入求解即可．解题的关键是正确作出辅助线．
【详解】解：如图所示，连接，
由网格线的特征得共线，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：A．
4．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查旋转性质，三角函数求值，勾股定理．根据题意过点作，利用旋转性质可知，再利用勾股定理求得的长，即可得到答案；
【详解】解：过点作，
，
∵绕着点A逆时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
5．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作于点D，作于点E，把、表示出来，根据三角函数求值即可．
【详解】
解：如图，作于点D，作于点E，
由已知可得，，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
方法2：由已知可得，
，
∵
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握求一个角的三角函数值是解题的关键．
二、填空题
6．（24-25福建福州期末）如图，的三个顶点分别在边长为的正方形网格的格点上，则 ．（填“”“”“”）
【答案】
【分析】根据正切的概念和正方形网格图求出tanα和tanβ，根据等腰直角三角形的性质和tan45°的值求出tan（α＋β），比较即可．
【详解】由正方形网格图可知，tanα＝，tanβ＝，
则tanα＋tanβ＝＋＝，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴α＋β＝45°，
∴tan（α＋β）＝1，
∴tan（α＋β）＞tanα＋tanβ，
故答案为：＞
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值、锐角三角函数的定义以及等腰直角三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值、正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键．
7．（24-25九年级上·福建三明期末）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC= ．
【答案】
【详解】∵AB所在的直角三角形的两直角边分别为：2，4，
∴AB=．
∴sin∠ABC=．
8．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，网格中的点都在小正方形顶点上，连接交于点，则的正切值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了正切函数，勾股定理，正方形的性质等，连接、，，由平行线的性质得，由勾股定理求出、的长，由正切函数求出的值；掌握正切函数的定义，作出辅助线使得，构建直角三角形求解是解题的关键．
【详解】解：如图，连接、，
由正方形的性质得：
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：2．
考点04 解直角三角形
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点，分别为，的中点，连接，，，若，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、解直角三角形的相关计算，熟练三角函数的定义和旋转的性质，是解题关键．根据旋转得出为直角三角形，，，根据直角三角形性质得出，，证明为等腰直角三角形，得出，解直角三角形得出．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，
∴为直角三角形，，，
∵点，分别为，的中点，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查含正切的定义，角平分线的性质，全等三角形、相似三角形的判定及性质；延长交于F，则有，则，易证得，得，在中，因为，所以，所以 ，而，所以．
【详解】解：如图，延长交延长线于F，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：B．
3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，中，，，，经过点B且半径为5的与交于D，与的延长线交于E，则线段的长为（ ）
A．6.4 B．7 C．7.2 D．8
【答案】D
【分析】本题主要考查了解直角三角形，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，连接并延长交于，连接，由圆周角定理可得，由勾股定理可得，求出，再由圆内接四边形的性质可得，即可得出，从而即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接并延长交于，连接，
∵是直径，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
，
故选：D．
二、填空题
4．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，点在边上，连接，以为斜边在其上方作等腰直角三角形，与交于点，连接．若，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．
根据题意证明，可得，求出，，在中，由勾股定理得：，所以，证明可得，设，则，所以，在中，由勾股定理得：，即，解出的值，即可得到答案．
【详解】解：由题意知，
，
又，
，
，
又，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，，
，
，
设，则，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：（舍去），，
，
故答案为：．
5．（24-25九年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，是边上的一点，是延长线上的一点，为的中点，连接．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定及性质，勾股定理，由已知可得，，过点作，交于，可得，，过点作，交于，则，得到，即得，可得，设，，得到，，进而得到，即得，即得到，最后根据勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
过点作，交于，
则，，
过点作，交于，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴可设，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
6．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图在中，．
(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
①作的平分线，交于点D；
②作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E；
③以点O为圆心，长为半径作，交于另一点F．
(2)推理与计算：若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作图中的画垂直平分线和角平分线，垂直平分线的性质，角平分线的性质，平行线的性质以及三角函数的计算．按要求画出垂直平分线和角平分线，熟练掌握三角函数的计算是解题的关键．
（1）①以点为圆心，任意长度为半径画弧，叫和与点和，分别以点和为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则为的平分线；
②以点和为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点和，连接交，于点O，E，则为的垂直平分线；
③长为半径作，交于另一点F．
（2）连接．根据垂直平分得到，再根据平分得到，通过等量代换得到进而得到，再根据平行线的性质得到，最后计算即可求出的长．
【详解】（1）
①作图如图所示．
②作图如图所示．
③作图如图所示．
（2）解：如图，连接．
∵垂直平分，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．（24-25九年级上·广东中山·期末）如图1，在中，，，．动点P，Q同时从A点出发，点P沿着的路线以匀速运动，点Q沿着的路线匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动时间为x秒．
(1)求的值．
(2)如图2，当时，连接，若点P恰好在以为直径的圆上，求点Q的运动速度．
(3)设点Q的速度为，记的面积为y平方厘米，求y关于x的函数表达式，并指出x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
【答案】(1)
(2)点Q的运动速度为
(3)；当时，最大面积为平方厘米.
【分析】（1）先证明，再利用余弦的定义求解即可；
（2）如图，当时，连接，此时在上，可得，结合，可得答案；
（3）当时，连接，此时在上，过作于，求解，可得的面积为，如图，当时，在上，过作于，求解，可得的面积为，再进一步解答即可.
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，当时，连接，此时在上，
∵点P恰好在以为直径的圆上，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴点Q的运动速度为；
（3）解：当时，连接，此时在上，
过作于，
∵，，
∴，
∴，
∴的面积为，
当时，最大面积为（平方厘米）；
如图，当时，在上，过作于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为，
当时，
最大面积为（平方厘米）；
综上：当时，最大面积为平方厘米.
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，锐角三角函数的应用，圆周角定理的应用，二次函数的实际应用，清晰的分类讨论是解本题的关键.
8．（24-25九年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，于点D，为锐角．
(1)将线段绕点A逆时针旋转（旋转角小于），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，过点B作于点F，连接，，若，试求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识．
（1）以点C为圆心，的长为半径画弧，以点A为圆心，的长为半径画弧与前弧交于点E，点E即为所求；
（2）证明，推出，在中，，设，，由，推出，可得，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，点E即为所求；
（2）解：连接，
在中，，，
∴，
由（1）可知，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
设，，
∵，
∴，
∴，
∴．
考点05解直角三角形的应用---仰角、俯角问题
一、解答题
1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图（1），应县木塔（又名佛宫寺释迦塔）位于山西省朔州市，建于公元1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木结构楼阁式建筑．1961年，国务院公布其为全国重点文物保护单位．2016年9月，应县木塔被吉尼斯世界纪录认证为“世界最高的木塔”．如图（2），数学活动小组的同学想要测量应县木塔的高度，在点处用高为的测角仪，测得塔顶端的仰角为，沿方向前进后到达点处，此时测得塔顶端的仰角为．测量点，与塔的底部在同一水平线上，且，，，，，六点在同一竖直平面上．求应县木塔的高度．
（结果精确到．参考数据：，，，，，）
【答案】应县木塔的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握解题方法是本题的关键．连接并延长，交于点，设，在中，，在中，，得到，解得，即可得到的长．
【详解】解：如图，连接并延长，交于点，由题意知，．设．
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
解得，
，
答：应县木塔的高度约为．
2．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，小明在处测得小土坡上松树（垂直地面）顶端的仰角，后退10米到达处，分别测得松树顶端的仰角，松树底部的仰角．已知点，，，，均在同一平面上，求松树的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，，）
【答案】松树的高度约为16米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及仰角俯角，延长交于点，如图所示，在中，利用正切函数求出，在中，利用正切函数求出，数形结合表示出长度即可得到答案．熟记正切函数定义，求出线段长是解决问题的关键．
【详解】解：延长交于点，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
解得米，
在中，，，
∴（米），
∴（米），
答：松树的高度约为16米．
3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）太谷白塔位于太谷区西南隅，建于北宋元佑年间，是一座具有1700多年历史的八边形七级楼阁式砖木结构塔，是我国八大白塔之一．某校综合与实践小组测量白塔的高度，形成了如下不完整的实践报告：
测量对象 太谷白塔
测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题
测量工具 无人机
测量方案 1．先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为；2．再将无人机从点P处沿水平方向飞行至点C，然后沿垂直方向上升至点Q．此时，测得塔的顶端A的俯角，图中各点均在同一竖直平面内．
测量示意图
请根据以上测量数据，求太谷白塔的高度（结果精确到，参考数据：）．
【答案】太谷白塔的高度约为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于点，延长交于点，由题意得：，，，，，，然后设，则，分别在和中，利用解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：延长交于点，延长交于点，如图：
由题意得：，，，，，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
，
太谷白塔的高度约为．
4．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内．
(1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）；
(2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）过点作于，根据正弦的定义求出；
（2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于，
在中，，m，
则m，
答：小明一家步行上升的垂直高度约为；
（2）解：如图，过点作于，
则四边形为矩形，
，
，
，
在中，，
则，
答： 缆车的行驶路线的长约为．
5．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）．
(1)求平台的高度；
(2)求建筑物的高度（即的长）．
【答案】(1)10米
(2)米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质．
（1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可；
（2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：过点B作于点E，则
∵斜坡的坡度，
∴，
∵在中，，
即，
∴米，
∴平台的高度是10米．
（2）解：延长交于点F，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴米，，
设米，则（米），
∵在中，，
∴（米），
∵在中，，
∴（米），
∴米，
由（1）有（米），
∵，
∴，
解得，
∴（米），
即建筑物的高度（即的长）为米．
6．（24-25九年级上·福建泉州·期末）小明利用“无人机”测量涂岭镇下炉村的下炉石佛（泉港打卡景点：玉笏朝天）的高度．无人机的探测器显示，观测“玉笏朝天”最高点的仰角是，观测“玉笏朝天”底部的俯角是，若与水平面垂直，无人机的观测点与的水平距离为米．请求出“玉笏朝天”的高度．
【答案】“玉笏朝天”的高度米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题意可以得到和的长，从而可以求得的长，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
【详解】解：如图，
由题意可得，，，，，
∴，
∴，，
∴，，
解得：，，
∴，
答：“玉笏朝天”的高度米．
7．（24-25九年级上·陕西西安·期末）小明想用所学的数学知识来测量一个5G通讯塔（通讯塔底部不可到达）的高度．如图所示，他在坡底C处用高为1米的测角仪测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达E处，在E处用相同测角仪测得塔顶A的仰角为．已知点B，C在同一条直线上，，测角仪，，求该5G通讯塔的高度．（所有点均在同一平面内，结果取整数，参考数据：）
【答案】该5G通讯塔的高度为
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用及矩形的性质与判定，熟练掌握解直角三角形的应用及矩形的性质与判定是解题的关键；延长，交的延长线于点H，过点M作于点G，延长，交于点P，过点N作于点Q，由题意易得，，然后可得，设，则有，进而根据三角函数可进行求解．
【详解】解：延长，交的延长线于点H，过点M作于点G，延长，交于点P，过点N作于点Q，如图所示：
由题意得：，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
由坡比为的斜坡可知：，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则有，
∴，
在中，，
解得：，
∴；
答：该5G通讯塔的高度为．
8．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点处看塔顶的仰角为．
(1)求点D与塔顶P的距离；
(2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求古塔的高度（参考数据：，，，，结果精确到米）．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，三角函数的定义，熟练运用三角函数求出，的值是解题的关键，
（1）根据，，可得，利用等腰三角形的判定定理“等角对角边”即可得到，从而即可得到答案；
（2）过点作的垂线，分别交的延长线于点，在中易得的长，在中，根据三角函数可得的长，进而即可得到的高度．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
答：点D与塔顶P的距离为．
（2）解：过点作的垂线，分别交的延长线于点，如图
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：古塔的高度为．
考点06解直角三角形的应用---坡度、坡角问题
一、填空题
1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图为某兴趣小组绘制的跳台滑雪赛道的截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点C且与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，着陆坡的坡度为．某运动员第一次训练时在C处起跳腾空后，飞行至着陆坡的D处着陆．在这次训练过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间满足二次函数关系，且．若点D的横坐标为，则运动员离着陆坡的最大竖直距离为 m．
【答案】
【分析】·本题考查了一次函数，二次函数，平面直角坐标系等知识点．熟练掌握求一次函数表达式，已知点坐标求二次函数解析式中的参数以及求二次函数的最值是解题的关键．
根据着陆坡坡度得到斜率，结合过点，利用斜截式求出的直线方程，再将横坐标代入着陆坡方程得到点纵坐标，然后将坐标代入，求出确定二次函数表达式，用二次函数表示运动员高度减去着陆坡直线函数表示的高度，得到竖直距离关于的二次函数表达式，最后根据二次函数对称轴公式求出对称轴，将对称轴对应的值代入竖直距离函数，求出最大值，即运动员离着陆坡的最大竖直距离．
【详解】解：着陆坡的坡度为，且过点（由坐标系可知点在轴上，且纵坐标为），
则，,
∴
设直线方程为：,
∴，
解得：
直线方程为：．
将点D的横坐标代入得到，
点．
将点代入，
得到，
解得：．
设竖直距离为，
则
化简得：．
该二次函数的对称轴为，
将代入，
解得：．
故答案为：．
二、解答题
2．（2024·陕西西安·模拟预测）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且、、三点在一直线上如图所示．假设测角仪器的高度忽略不计，求点离地面的距离结果精确到米．(参考数据：，，，)
【答案】6.2米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题；
过点作于点，于点，先根据正切的定义求出，设米，根据坡度的概念用表示出，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：在中，米，，
，
米，
过点作于点，于点，
则四边形为矩形，
，，
设米，
米，
斜坡的坡比是：，
米，
米，
在中，
解得：，经检验是原方程的解，
答：点离地面的距离约为米．
3．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）甲乙两名游客选择两种不同的方式游览某景区，如图，甲从山脚A处乘坐缆车到达景点C处，同时乙开车从山脚A处前行到达D处，此时遇一斜坡，坡度，沿着斜坡前行到达停车场E处，停车后，再跑步到达景点C处（汽车行驶在平路和上坡的速度相等，停车时间忽略不计）．甲在A处观测景点C的仰角为，乙在E处观测景点C的仰角为．
(1)求景点C的高度；（结果精确到）
(2)甲乘坐缆车的速度为，乙的车速为，乙的跑步速度为，谁先到达景点C （参考数据：）
【答案】(1)；
(2)乙先到达景点．
【分析】本题主要考查了矩形的判定及性质，平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
（1）过点作，于，，延长交于点，在中，由，得，，进而得，，再证明，得，
，，设，进而，在中，由，构造方程求解即可；
（2）利用解直角三角形分别求出及，进而求得甲、乙的运动时间，从而比较即可得解．
【详解】（1）解：如图，过点作，于，，延长交于点，
∵在中，由，
∴，，
∴，，
∵为的边上的高，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
∴，，设，
∴，
在中，，即，
解得，经检验是原方程的解，
∴；
答：景点C的高度为；
（2）解：由（）得，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴乙先到达景点．
4．（23-24九年级上·广东茂名·期末）某校数学兴趣小组为了测量建筑物的高度，先在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为，再沿斜坡走了到达斜坡顶点处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为，已知斜坡的坡度．（参考数据：，）
(1)求点到地面的高度；
(2)求建筑物的高度．
【答案】(1)点到地面的高度为；
(2)．
【分析】（）作，利用坡度的定义求解即可；
（）在（）的基础之上，作，利用三角函数求解的长度即可；
此题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握坡度，仰角俯角等基本定义，灵活构造直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）过点作于点，于点，
在中，，设，，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得：，
∴，
∴点到地面的高度为；
（2），过点作于点，如上图，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，∴，
即：，解得：，
∴，
答：建筑物的高度约为米．
5．（23-24九年级上·四川内江·期末）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走到点D，此时从点A到D上升的高度为2米，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡的坡比为，E、A、C在同一水平线上．
(1)求小明从点A走到点D的距离；
(2)大树的高度约为多少米？
（参考数据：，，）
【答案】(1)米
(2)14米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡角、仰角、三角函数的概念等知识是解题的关键．
（1）作于，在中，，则．由勾股定理得，即可求出答案；
（2）延长交于点G，设．在中，根据求出，在中，，则米在中，，则米，即可求得答案．
【详解】（1）解∶ 作于，如图所示，
在中，
，，
，
，
，
答：小明从点A到点的距离为米；
（2）解： 如图，延长交于点G，
设，
由题意，得，
．
在中，，
．
在中，，
，
解得．
答：大树的高度约为14米．
6．（25-26九年级上·陕西西安·月考）小明想用所学的数学知识来测量一个5G通讯塔（通讯塔底部不可到达）的高度．如图所示，他在坡底C处用高为1米的测角仪测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达E处，在E处用相同测角仪测得塔顶A的仰角为．已知点B，C在同一条直线上，，测角仪，，求该5G通讯塔的高度．（所有点均在同一平面内，结果取整数，参考数据：）
【答案】该5G通讯塔的高度为
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用及矩形的性质与判定，熟练掌握解直角三角形的应用及矩形的性质与判定是解题的关键；延长，交的延长线于点H，过点M作于点G，延长，交于点P，过点N作于点Q，由题意易得，，然后可得，设，则有，进而根据三角函数可进行求解．
【详解】解：延长，交的延长线于点H，过点M作于点G，延长，交于点P，过点N作于点Q，如图所示：
由题意得：，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
由坡比为的斜坡可知：，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则有，
∴，
在中，，
解得：，
∴；
答：该5G通讯塔的高度为．
7．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点．（参考数据：，，）
(1)当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度；
(2)求点间的水平距离长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
（1）过点B作于F，过点C作于G，延长交于H，，设，根据坡度的概念用x表示出，根据勾股定理求出；
（2）根据余弦的定义求出，进而求出．
【详解】（1）解：过点B作于F，过点C作于G，延长交于H，
设，
∵坡道的坡度为，
∴，
在中，，即，
解得：，
所以他沿垂直方向上升的高度为；
（2）解：由（1）可知：，四边形为矩形，
∴，
在中，，
则，
则，
所以点A，D间的水平距离长约为．
考点07解直角三角形的应用---方位角问题
一、解答题
1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图是某风景区的局部简化示意图，风轩亭在翠微亭的正南方向，两亭被一座小山隔开，该风景区计划在，之间修建一条直通的景观隧道．为测量，两点之间的距离，在一条东西方向的小路上的点，处分别观测点，，测得点在点的北偏东方向上，点在点的北偏东方向上，米，米．求，两点之间的距离．（结果精确到米．参考数据：，，，，）
【答案】，两点之间的距离约为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
在中，利用锐角三角函数的定义求出、的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
【详解】解：如图，延长交于点，则，
在中，，，
，，
，，
，
在中，，
，
，
答：，两点之间的距离约为米．
2．（2024·安徽宿州·一模）如图，为了测量小池塘点和点之间的距离，在直线下方选择一点，测量点位于点北偏西的方向，点位于点北偏东的方向，测得，求小池塘之间的距离．（参考数据：，，，，，）
【答案】小池塘之间的距离为
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意得，再结合解直角三角形是解决问题的关键．
【详解】解：过点作，
由题意可知，，，则，
，
∴，
则，
即：小池塘之间的距离为．
3．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处．
(1)求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号）
(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，）
【答案】(1)小山与亭台之间的距离米
(2)小玲先到达寺庙处
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）作于点，在中求出，然后在中即可求解；
（2）延长，作于点，作于点，则，在中求出，米，在中求出，，进而求出两人行走的路程可得答案．
【详解】（1）作于点，
由题意知，，，，，
在中，
在中，，，
小山与亭台之间的距离米
（2）延长，作于点，作于点，则，
由题意知，，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，，
∴，
在中，，米，
在中，，
米，
米，
且两人速度一致，
小玲先到．
答：小玲先到达寺庙处．
4．（2018·山东潍坊·中考真题）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1．5小时后到达B处此时测得岛礁P在北偏东30°方向,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？ (结果保留根号)
【答案】渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达．
【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．
【详解】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，
在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以 BQ=PQ-90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ tan30°=PQ（海里），
所以 PQ-90=PQ，
所以 PQ=45（3+）（海里）
所以 MN=PQ=45（3+）（海里）
在直角△BMN中，∠MBN=30°，
所以 BM=2MN=90（3+）（海里）
所以（小时）
即渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达．
故答案是：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
5．（25-26九年级上·重庆江北·期中）小月和小黄升入大学后，想利用假期来一场说走就走的旅行．如图，，，是四个必打卡的景点，而且沿途的风景也很美丽，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，也在的南偏西方向，在的北偏东方向．（参考数据：，）
(1)求南环线的长度（结果保留小数点后一位）；
(2)小月选择走北环线，小黄选择走南环线，两人同时从景点出发，小黄在途中发现小月的相机电池落在自己背包里了，于是小黄决定到之后前往与小月汇合，已知小黄的步行速度与小月的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求北环线的长度．（结果保留小数点后一位）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作于点，可得和的度数，进而求出的度数，再根据解直角三角形求出、、、的长度，从而求得南环线的长度即可；
（2）过点作的延长线于点可得和，设小黄步行速度为，则小月步行速度为，两人步行时间为小时，再根据解直角三角形求出、、的长度，利用小黄和小月两人同时到达景点，则步行时间相等，列出方程，求得和的关系，再利用勾股定理得到，解出的长度，从而得出北环线的长度即可．
【详解】（1）解：过点作于点，如图：
、、
，
，，
，，
，
答：南环线的长度为；
（2）解：过点作的延长线于点，如图所示：
、，
设小黄步行速度为，则小月步行速度为，两人步行时间为小时，
，
、，
，
在中，由勾股定理得，，
由于小黄与小月两人同时到达景点，
则，
整理得，，
，
解得，
因此北环线的长度为
答：北环线的长度为．
【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理、方位角，一元二次方程的应用，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．
6．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，点为某市物流中心，该物流中心下设，，三个配送站点，配送站点在的正北方向4.2km处，在的正西方向，在的北偏东37°方向2.5km处，在的北偏东64°方向．（，，，，，）
(1)求配送站点与之间的距离；
(2)“双11”期间，派送员从物流中心出发，以30km/h的速度沿着到各配送站点派送快递，派送员途径、两个站点各停留10min存放快递，请计算说明派送员能否在50min内到达配送站点？
【答案】(1)．
(2)派送员能在到达配送站点．
【分析】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，将实际问题转化成解直角三角形的问题，利用解直角三角形的知识求解是解题的关键．
（1）过点作于，于，先解，求得、长，再证明，，继而求得长，再解即可得到答案；
（2）求出派送员所需总时间，再与比较即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，过点作于，于，
由已知则有，，，，
在中，∵，，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，∵，，
∴，
答：配送站点与之间的距离约为．
（2）解：∵，
∵，
∴
∴派送员到达配送站点所需的时间
∵，
∴派送员能在到达配送站点．
7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，直径为，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点），连接并延长交于点．
(1)点位于点的北偏东___________的方向上．
(2)求的长．
(3)连接，比较线段与大小（写出你作出判断的理由）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要正多边形和圆、勾股定理、圆周角定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）先根据正八边形每条边所对的弧都是，再利用圆周角是圆心角得一半即可得解；
（2）连接，易证；
（3）构造直角三角形求出，连接，过G作交于点M，易得，再利用勾股定理求出进行比较即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵八个方位将圆形八等分，
∴，
∴
∴，即点P位于点D的北偏东；
（2）解：连接，则为直径，
∴，
由（1）知
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图，连接，过G作交于点M，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵
∴，即．
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（25-26九年级上·全国·期末）在中，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．利用直角三角形中锐角的正弦定义，根据已知比例直接求解．
【详解】解：在中，，
为斜边，为对边．
．
故选：B．
2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的的内角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题考查正弦，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
先求出，再根据正弦的定义求解即可．
【详解】解：如图
有，
∴．
故选B．
3．（25-26九年级上·云南昆明·期中）2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据正弦的定义解答即可．
【详解】解：在中，，，如图，
∵，
∴米，
故选：B．
4．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，，则BC的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握相关概念是解题关键．
利用锐角三角函数求解．
【详解】解：在中，，
∵，
∴．
故选：A．
5．（25-26九年级上·北京·月考）在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理， 在直角中，根据勾股定理可以求出的长，再根据三角函数的定义就可以求出函数值．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴．
故选：B．
6．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形分别求出的长，则可求出的长．
【详解】解：由题意得，，
在中，，
在中，，
∴，
故选：C．
7．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）在菱形中，，，，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．根据，设出，则，，得出，根据，，求出，再利用勾股定理得出的长，即可求出答案．
【详解】解：，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
8．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．过点作于点，先利用三角函数的定义和勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，最后在中求出的度数．
【详解】如图所示，过点作于点，
，，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
故选：C．
9．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）如图，直径为的经过原点和点，是轴右侧上一点，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理，求余弦值等知识点．在中，由勾股定理得，求得，再根据圆周角定理可得，即可求解．
【详解】解：，
是直径，
直径为，
，
点的坐标为，
，
在中，由勾股定理得：，
，
由圆周角定理得：，
，
即的余弦值为．
故选：C．
10．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，由菱形的性质可得，，则，再证明，则，据此可得答案．
【详解】解：∵在菱形中，与相交于点，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的乘法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．利用特殊角的三角函数值，直接代入计算．
【详解】解：．
故答案为：．
12．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了米到达点，则她沿垂直方向升高了 ．
【答案】米
【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图，根据可得的长，由此即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，米，
∴，
∴米，
即她沿垂直方向升高了米，
故答案为：米．
13．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在离铁塔底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为，测角仪高为米，则铁塔的高为 米．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，特殊角的正切值．解题的关键在于构造直角三角形．
如图所示，过点作，则四边形为矩形，米，米，在中，，求出的值，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图所示，过点作，
则四边形为矩形，
∴米，米，
在中，，
∴（米），
∴（米），
故答案为：．
14．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理、平行线的性质、三角函数等知识，构造直角三角形是解三角函数问题的关键．如图，取格点E，连接，则，是直角三角形，根据计算即可．
【详解】解：如图，取格点E，连接，则，是直角三角形，
设小正方形的边长为1，
∵，，
∴是直角三角形，，
，
，
，
，
故答案为：．
15．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，矩形沿对角线翻折后，点落在点处．连接交边于点如果，，那么的长等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了几何变换中的翻折变换、相似三角形的性质和判定、矩形的性质、勾股定理．熟练掌握翻折变换和矩形的性质,利用相似三角形列比例式是本题的关键．
由折叠的性质可得，由矩形的性质可证明，故可得，再证明，求得，在中由勾股定理可得解．
【详解】解：四边形是矩形，是由翻折得到，
，，
，，
四边形是矩形，
，，
又，
，
，
，，
四边形是等腰梯形，
，，
，，
，，
，
又，
，
，即
或舍去，
在中，，
，
，
在中，，
由勾股定理得，，
即，
，
解得：．
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）（25-26九年级上·山东淄博·月考）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题主要考查了特殊三角函数值的计算，解决此题的关键是熟记特殊三角函数值；
（1）先代入特殊的三角函数值，进行计算即可；
（2）代入特殊的三角函数的值，进行计算即可；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．(8分)（24-25九年级上·河北唐山·期末）某小区应辖区派出所要求在广场竖立一个“打黑除恶，共创和谐”的矩形电子灯牌，如图所示，施工人员在两侧加固铝合金框架，已知铝合金框架底端G距广告牌立柱距离为4米，从G点测得广告牌顶端F点和底端E点的仰角分别是和．
(1)若长为5米，求灯牌的面积；
(2)求两侧加固的铝合金框架总共用料多少米？（本题中的计算过程和结果均保留根号）
【答案】(1)平方米
(2)米
【分析】本题考查解直角三角形——仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
（1）通过解直角三角形在中求出，在中求出，进而可求出，再根据矩形的面积公式即可求解；
（2）通过解直角三角形求出，，即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得米，，，，
∵中，米，，
∴（米），
∵中，米，，
∴（米），
∴（米），
∴平方米．
答：灯牌的面积为平方米．
（2）解：∵中，米，，
∴（米），
∵中，米，，
∴（米），
∴米，
∴两侧加固的铝合金框架总共用料米．
18．（9分）（24-25九年级下·重庆·期末）如图所示，四边形是我市某公园的平面示意图．经测量，池塘B在公园东门A的正西方向，公园西门C在池塘B的正北方向，梨园D在西门C的北偏东方向500米处，同时也在东门A的北偏西方向1200米处（参考数据：）．
(1)求A、B两地之间的距离；（结果保留根号）
(2)小乐和朋友约定下午在公园东门A处见面，他于下午从公园西门C出发，打算沿公园步道走到东门A．现在有两种路线方案：①从西门C进入公园，沿走到池塘B，再沿走到东门A；②从西门C进入公园，沿走到梨园D，再沿走到东门A．已知小乐的步行速度为每分钟50米，请计算说明他应该选择哪一种路线方案才不会迟到？
【答案】(1)
(2)选择②路径不会迟到．
【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角问题；矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）过点作于点，过点作于点，在中，根据可求出的长，进而可得的长，在中，根据可求出的长，最后由可得答案．
（2）分别求出两种步道的路程，进而可得求出所需时间，即可得出答案．
【详解】（1）过点作于点，过点作于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
则，，，，，
在中，，
，
在中，，
．
的长度为．
（2）解：由（1）知，，，
在中，，
∴，
∴，
即，
∵①从西门C进入公园，沿走到池塘B，再沿走到东门A；
∴，
则（分），
∵小乐和朋友约定下午在公园东门A处见面，他于下午从公园西门C出发，
∴，
选择①路径会迟到；
∵②从西门C进入公园，沿走到梨园D，再沿走到东门A．
∴，
则（分），
∴，
选择②路径不会迟到．
19．（8分）（2025·湖南·三模）觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一．登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底．想知道觉华塔的通高（塔顶到水平地面的距离），于是某校师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得塔顶D的仰角为，在B点处测得塔顶D的仰角为，已知，测角仪的高度是1.1m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据解决下列问题：
(1)求的度数；
(2)求觉华塔的通高．（，结果保留一位小数）
【答案】(1)
(2)觉华塔的通高约为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）根据题意可得，，利用三角形的外角性质可得；
（2）根据等腰三角形 的判定定理得到，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而完成解答．
【详解】（1）解：∵测角仪的高度是（A、B、C在同一直线上），，
∴，
由题意可知，
∵是的外角，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
答：觉华塔的通高约为．
20．（8分）（2024·天津滨海新·一模）综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度．如图，在地面A处测得广告牌顶端顶点C的仰角为，走向广告牌到达B处，在B处测得广告牌低端顶点D的仰角为，已知，立柱垂直于，且点A，B，H在同一条水平直线上．（矩形广告牌与立柱垂直）过点D作，垂足为E．设（单位：m）．
(1)用含有h和的式子表示线段的长；
(2)求广告牌低端顶点D到地面的距离的长．（取2.25，结果取整数）
【答案】(1)线段的长为
(2)的长约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）设，则，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，根据，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴线段的长为；
（2）解：设，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴广告牌低端顶点D到地面的距离的长约为．
21．（9分）（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读以下材料，并完成相应的任务．
定义：若三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段长的积等于这个点与该边所对顶点之间的距离的平方，则称这个点为三角形中该边的“中顶点”．例：如图（1），在中，点在上，若，则点为中边的中顶点．
任务：
(1)如图（2），的三个顶点是的正方形网格的格点（网格线的交点），请用无刻度的直尺作出中边的一个中顶点，且点不是格点．
(2)如图（3），内接于，点是中边的中顶点，连接并延长，交于点．
①求证：点是的中点．
②若的半径为5，，，与过点的切线垂直，垂足为点，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）过点A作的垂线交与点D即可．根据，由相似三角形性质即可得出．
（2）①连接，证明，由相似三角形的性质得出，再根据中顶点的定义得出，进而可得出．
②连接，根据，得出是的直径，且为10，再根据勾股定理得出，再得出，再根据正弦的定义即可求解．
【详解】（1）解：点如图（1）所示．
（2）解：①证明：如图（2），连接．
，，
，
，
．
点是中边的中顶点，
，
，
，
即点是的中点．
②如图（2），连接．
，
是的直径，
．
由①可知点是的中点，
，
．
是的切线，
，
．
，
．
【点睛】本题主要考查了作垂线，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形的计算等知识，掌握“中顶点”的定义是解题的关键．
22．（12分）（2025·广东·中考真题）综合与实践
【阅读材料】
如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题．
【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究．
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：
步骤1：如图，在空旷地找一点；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，．
【问题解决】
（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离．
（参考数据：，，）
【评价反思】
（2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键．
（1）利用三角形内角和定理求出，根据题意可得，代入数据求出的长，即可解答；
（2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
由题意得，，
又∵，
∴，
答：，两岛间的距离为．
（2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：
步骤1：如图，在空旷地找一点，使得是锐角三角形；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得的度数；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，．
计算过程：
过点作，则，
∵在中，，，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴．
答：，两岛间的距离为．
23．(13分)（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究
已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点B的坐标为，点A的坐标为，m、n满足，将沿直线折叠，使点O在上，点O的对应点为点D，折痕交x轴于点C．
(1)求点D的坐标；
(2)点是射线上的一点，连接，的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当点M在x轴正半轴运动，满足时，点M的坐标为______；
(4)在（3）的条件下，在平面直角坐标系内是否存在点K，使以C、B、M、K为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出K的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或或
【分析】（1）过D作于H，由，可得，即得，，根据将沿直线折叠，使点O落在上，点O的对应点为点D，可得，设，有，解得，用面积法得，即可得；
（2）当，即M在线段上不含时，；当，即M在射线上时，；
（3）作关于y轴的对称点R，连接，过C作于T，可得，用面积法得，可得，根据C，R关于y轴对称，有，又，故，可得；
（4）的面积为，设，而，分三种情况：①若为对角线，则的中点重合，；②若为对角线，则的中点重合，③若为对角线，则的中点重合，，分别解方程组得K的坐标为：或或．
【详解】（1）（1）过D作于H，如图：
，
，
，
，
，
，
将沿直线折叠，使点O落在上，的对应点为点D，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，
，
；
（2）当，即M在线段上不含时，如图，
，
，
，
；
当，即M在射线上时，如图，
，
；
综上所述，；
（3）作关于y轴的对称点R，连接，过C作于T，如图
，
，
，
，
，
，
，R关于y轴对称，
，
，
，
，
，即，
，
，
故答案为：；
（4）在平面直角坐标系内存在点K，使以C、B、M、K为顶点的四边形是平行四边形，理由如下；
设，而，
①若为对角线，则的中点重合，
，
解得，
；
②若为对角线，则的中点重合，
解得，
，
③若为对角线，则的中点重合，
，
解得，
，
的坐标为：或或
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及非负数性质，勾股定理及应用，三角形面积，平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．
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2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题15 锐角三角函数（高频考点归纳+解析+单元检测）
考点01 锐角三角函数
考点02 特殊角的三角函数值
考点03 方格中的三角函数
考点04 解直角三角形
考点05解直角三角形的应用---仰角、俯角问题
考点06解直角三角形的应用---坡度、坡角问题
考点07解直角三角形的应用---方位角问题
考点01 锐角三角函数
一、单选题
1．（24-25九年级上·广东中山·期末）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．不确定
2．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点上，则的值是（ ）
A．2 B．0.5 C． D．
3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·北京房山·期末）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的正弦值为 ．
7．（24-25九年级上·山西临汾·期末）在中，，若，，则 ．
8．（24-25九年级上·福建龙岩期末）已知是锐角，且，则 ．
考点02 特殊角的三角函数值
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（24-25九年级上·山西大同·期末）已知是锐角，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·广东梅州·期末）下列三角函数中，值为 的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上广东深圳期末）如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·山东济南·期末）的值是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
6．（24-25九年级上·广东深圳·期末）计算：
7．（24-25九年级上·福建莆田·期末）计算：．
8．（24-25·上海闵行期末）计算：
考点03 方格中的三角函数
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（ ）
A． B． C． D．2
3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上（网格线的交点），则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（24-25福建福州期末）如图，的三个顶点分别在边长为的正方形网格的格点上，则 ．（填“”“”“”）
7．（24-25九年级上·福建三明期末）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC= ．
8．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，网格中的点都在小正方形顶点上，连接交于点，则的正切值是 ．
考点04 解直角三角形
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点，分别为，的中点，连接，，，若，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．
2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，中，，，，经过点B且半径为5的与交于D，与的延长线交于E，则线段的长为（ ）
A．6.4 B．7 C．7.2 D．8
二、填空题
4．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，点在边上，连接，以为斜边在其上方作等腰直角三角形，与交于点，连接．若，，则的长为 ．
5．（24-25九年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，是边上的一点，是延长线上的一点，为的中点，连接．若，则的长为 ．
三、解答题
6．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图在中，．
(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
①作的平分线，交于点D；
②作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E；
③以点O为圆心，长为半径作，交于另一点F．
(2)推理与计算：若，，求的长．
7．（24-25九年级上·广东中山·期末）如图1，在中，，，．动点P，Q同时从A点出发，点P沿着的路线以匀速运动，点Q沿着的路线匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动时间为x秒．
(1)求的值．
(2)如图2，当时，连接，若点P恰好在以为直径的圆上，求点Q的运动速度．
(3)设点Q的速度为，记的面积为y平方厘米，求y关于x的函数表达式，并指出x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
8．（24-25九年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，于点D，为锐角．
(1)将线段绕点A逆时针旋转（旋转角小于），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，过点B作于点F，连接，，若，试求的值．
考点05解直角三角形的应用---仰角、俯角问题
一、解答题
1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图（1），应县木塔（又名佛宫寺释迦塔）位于山西省朔州市，建于公元1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木结构楼阁式建筑．1961年，国务院公布其为全国重点文物保护单位．2016年9月，应县木塔被吉尼斯世界纪录认证为“世界最高的木塔”．如图（2），数学活动小组的同学想要测量应县木塔的高度，在点处用高为的测角仪，测得塔顶端的仰角为，沿方向前进后到达点处，此时测得塔顶端的仰角为．测量点，与塔的底部在同一水平线上，且，，，，，六点在同一竖直平面上．求应县木塔的高度．
（结果精确到．参考数据：，，，，，）
2．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，小明在处测得小土坡上松树（垂直地面）顶端的仰角，后退10米到达处，分别测得松树顶端的仰角，松树底部的仰角．已知点，，，，均在同一平面上，求松树的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，，）
3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）太谷白塔位于太谷区西南隅，建于北宋元佑年间，是一座具有1700多年历史的八边形七级楼阁式砖木结构塔，是我国八大白塔之一．某校综合与实践小组测量白塔的高度，形成了如下不完整的实践报告：
测量对象 太谷白塔
测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题
测量工具 无人机
测量方案 1．先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为；2．再将无人机从点P处沿水平方向飞行至点C，然后沿垂直方向上升至点Q．此时，测得塔的顶端A的俯角，图中各点均在同一竖直平面内．
测量示意图
请根据以上测量数据，求太谷白塔的高度（结果精确到，参考数据：）．
4．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内．
(1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）；
(2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，）
5．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）．
(1)求平台的高度；
(2)求建筑物的高度（即的长）．
6．（24-25九年级上·福建泉州·期末）小明利用“无人机”测量涂岭镇下炉村的下炉石佛（泉港打卡景点：玉笏朝天）的高度．无人机的探测器显示，观测“玉笏朝天”最高点的仰角是，观测“玉笏朝天”底部的俯角是，若与水平面垂直，无人机的观测点与的水平距离为米．请求出“玉笏朝天”的高度．
7．（24-25九年级上·陕西西安·期末）小明想用所学的数学知识来测量一个5G通讯塔（通讯塔底部不可到达）的高度．如图所示，他在坡底C处用高为1米的测角仪测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达E处，在E处用相同测角仪测得塔顶A的仰角为．已知点B，C在同一条直线上，，测角仪，，求该5G通讯塔的高度．（所有点均在同一平面内，结果取整数，参考数据：）
8．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点处看塔顶的仰角为．
(1)求点D与塔顶P的距离；
(2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求古塔的高度（参考数据：，，，，结果精确到米）．
考点06解直角三角形的应用---坡度、坡角问题
一、填空题
1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图为某兴趣小组绘制的跳台滑雪赛道的截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点C且与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，着陆坡的坡度为．某运动员第一次训练时在C处起跳腾空后，飞行至着陆坡的D处着陆．在这次训练过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间满足二次函数关系，且．若点D的横坐标为，则运动员离着陆坡的最大竖直距离为 m．
二、解答题
2．（2024·陕西西安·模拟预测）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且、、三点在一直线上如图所示．假设测角仪器的高度忽略不计，求点离地面的距离结果精确到米．(参考数据：，，，)
3．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）甲乙两名游客选择两种不同的方式游览某景区，如图，甲从山脚A处乘坐缆车到达景点C处，同时乙开车从山脚A处前行到达D处，此时遇一斜坡，坡度，沿着斜坡前行到达停车场E处，停车后，再跑步到达景点C处（汽车行驶在平路和上坡的速度相等，停车时间忽略不计）．甲在A处观测景点C的仰角为，乙在E处观测景点C的仰角为．
(1)求景点C的高度；（结果精确到）
(2)甲乘坐缆车的速度为，乙的车速为，乙的跑步速度为，谁先到达景点C （参考数据：）
4．（23-24九年级上·广东茂名·期末）某校数学兴趣小组为了测量建筑物的高度，先在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为，再沿斜坡走了到达斜坡顶点处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为，已知斜坡的坡度．（参考数据：，）
(1)求点到地面的高度；
(2)求建筑物的高度．
5．（23-24九年级上·四川内江·期末）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走到点D，此时从点A到D上升的高度为2米，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡的坡比为，E、A、C在同一水平线上．
(1)求小明从点A走到点D的距离；
(2)大树的高度约为多少米？
（参考数据：，，）
6．（25-26九年级上·陕西西安·月考）小明想用所学的数学知识来测量一个5G通讯塔（通讯塔底部不可到达）的高度．如图所示，他在坡底C处用高为1米的测角仪测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达E处，在E处用相同测角仪测得塔顶A的仰角为．已知点B，C在同一条直线上，，测角仪，，求该5G通讯塔的高度．（所有点均在同一平面内，结果取整数，参考数据：）
7．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点．（参考数据：，，）
(1)当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度；
(2)求点间的水平距离长．
考点07解直角三角形的应用---方位角问题
一、解答题
1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图是某风景区的局部简化示意图，风轩亭在翠微亭的正南方向，两亭被一座小山隔开，该风景区计划在，之间修建一条直通的景观隧道．为测量，两点之间的距离，在一条东西方向的小路上的点，处分别观测点，，测得点在点的北偏东方向上，点在点的北偏东方向上，米，米．求，两点之间的距离．（结果精确到米．参考数据：，，，，）
2．（2024·安徽宿州·一模）如图，为了测量小池塘点和点之间的距离，在直线下方选择一点，测量点位于点北偏西的方向，点位于点北偏东的方向，测得，求小池塘之间的距离．（参考数据：，，，，，）
3．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处．
(1)求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号）
(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，）
4．（2018·山东潍坊·中考真题）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1．5小时后到达B处此时测得岛礁P在北偏东30°方向,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？ (结果保留根号)
5．（25-26九年级上·重庆江北·期中）小月和小黄升入大学后，想利用假期来一场说走就走的旅行．如图，，，是四个必打卡的景点，而且沿途的风景也很美丽，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，也在的南偏西方向，在的北偏东方向．（参考数据：，）
(1)求南环线的长度（结果保留小数点后一位）；
(2)小月选择走北环线，小黄选择走南环线，两人同时从景点出发，小黄在途中发现小月的相机电池落在自己背包里了，于是小黄决定到之后前往与小月汇合，已知小黄的步行速度与小月的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求北环线的长度．（结果保留小数点后一位）
6．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，点为某市物流中心，该物流中心下设，，三个配送站点，配送站点在的正北方向4.2km处，在的正西方向，在的北偏东37°方向2.5km处，在的北偏东64°方向．（，，，，，）
(1)求配送站点与之间的距离；
(2)“双11”期间，派送员从物流中心出发，以30km/h的速度沿着到各配送站点派送快递，派送员途径、两个站点各停留10min存放快递，请计算说明派送员能否在50min内到达配送站点？
7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，直径为，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点），连接并延长交于点．
(1)点位于点的北偏东___________的方向上．
(2)求的长．
(3)连接，比较线段与大小（写出你作出判断的理由）
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（25-26九年级上·全国·期末）在中，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的的内角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
3．（25-26九年级上·云南昆明·期中）2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，，则BC的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．（25-26九年级上·北京·月考）在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）在菱形中，，，，则（ ）
A． B． C．2 D．
8．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）如图，直径为的经过原点和点，是轴右侧上一点，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）计算 ．
12．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了米到达点，则她沿垂直方向升高了 ．
13．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在离铁塔底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为，测角仪高为米，则铁塔的高为 米．
14．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点，则的值是 ．
15．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，矩形沿对角线翻折后，点落在点处．连接交边于点如果，，那么的长等于 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）（25-26九年级上·山东淄博·月考）计算：
(1)；
(2)．
17．(8分)（24-25九年级上·河北唐山·期末）某小区应辖区派出所要求在广场竖立一个“打黑除恶，共创和谐”的矩形电子灯牌，如图所示，施工人员在两侧加固铝合金框架，已知铝合金框架底端G距广告牌立柱距离为4米，从G点测得广告牌顶端F点和底端E点的仰角分别是和．
(1)若长为5米，求灯牌的面积；
(2)求两侧加固的铝合金框架总共用料多少米？（本题中的计算过程和结果均保留根号）
18．（9分）（24-25九年级下·重庆·期末）如图所示，四边形是我市某公园的平面示意图．经测量，池塘B在公园东门A的正西方向，公园西门C在池塘B的正北方向，梨园D在西门C的北偏东方向500米处，同时也在东门A的北偏西方向1200米处（参考数据：）．
(1)求A、B两地之间的距离；（结果保留根号）
(2)小乐和朋友约定下午在公园东门A处见面，他于下午从公园西门C出发，打算沿公园步道走到东门A．现在有两种路线方案：①从西门C进入公园，沿走到池塘B，再沿走到东门A；②从西门C进入公园，沿走到梨园D，再沿走到东门A．已知小乐的步行速度为每分钟50米，请计算说明他应该选择哪一种路线方案才不会迟到？
19．（8分）（2025·湖南·三模）觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一．登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底．想知道觉华塔的通高（塔顶到水平地面的距离），于是某校师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得塔顶D的仰角为，在B点处测得塔顶D的仰角为，已知，测角仪的高度是1.1m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据解决下列问题：
(1)求的度数；
(2)求觉华塔的通高．（，结果保留一位小数）
20．（8分）（2024·天津滨海新·一模）综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度．如图，在地面A处测得广告牌顶端顶点C的仰角为，走向广告牌到达B处，在B处测得广告牌低端顶点D的仰角为，已知，立柱垂直于，且点A，B，H在同一条水平直线上．（矩形广告牌与立柱垂直）过点D作，垂足为E．设（单位：m）．
(1)用含有h和的式子表示线段的长；
(2)求广告牌低端顶点D到地面的距离的长．（取2.25，结果取整数）
21．（9分）（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读以下材料，并完成相应的任务．
定义：若三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段长的积等于这个点与该边所对顶点之间的距离的平方，则称这个点为三角形中该边的“中顶点”．例：如图（1），在中，点在上，若，则点为中边的中顶点．
任务：
(1)如图（2），的三个顶点是的正方形网格的格点（网格线的交点），请用无刻度的直尺作出中边的一个中顶点，且点不是格点．
(2)如图（3），内接于，点是中边的中顶点，连接并延长，交于点．
①求证：点是的中点．
②若的半径为5，，，与过点的切线垂直，垂足为点，求的长．
22．（12分）（2025·广东·中考真题）综合与实践
【阅读材料】
如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题．
【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究．
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：
步骤1：如图，在空旷地找一点；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，．
【问题解决】
（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离．
（参考数据：，，）
【评价反思】
（2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识．
23．(13分)（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究
已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点B的坐标为，点A的坐标为，m、n满足，将沿直线折叠，使点O在上，点O的对应点为点D，折痕交x轴于点C．
(1)求点D的坐标；
(2)点是射线上的一点，连接，的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当点M在x轴正半轴运动，满足时，点M的坐标为______；
(4)在（3）的条件下，在平面直角坐标系内是否存在点K，使以C、B、M、K为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出K的坐标；若不存在，说明理由．
2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题15 锐角三角函数（高频考点归纳+解析+单元检测）（解析版）
考点01 锐角三角函数
考点02 特殊角的三角函数值
考点03 方格中的三角函数
考点04 解直角三角形
考点05解直角三角形的应用---仰角、俯角问题
考点06解直角三角形的应用---坡度、坡角问题
考点07解直角三角形的应用---方位角问题
考点01 锐角三角函数
一、单选题
1．（24-25九年级上·广东中山·期末）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义．先求出，再根据三角函数的定义分别求出的四个三角函数值，进而即可得出答案．
【详解】解：在中，，，，如图所示：
由勾股定理得：，
∴，，，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
2．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点上，则的值是（ ）
A．2 B．0.5 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键；
根据勾股定理，可得的长，根据锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，可得答案．
【详解】如图：
由题知，，，，
由勾股定理，得，
．
故选：D．
3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查锐角三角函数的定义和勾股定理，根据勾股定理求得的值，然后根据余弦的定义即可求解．掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．
【详解】解：中，，，，
，
．
故选：A．
4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据余弦、正切的定义逐一判断即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项正确，符合题意；
故选：．
5．（24-25九年级上·北京房山·期末）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查勾股定理及正弦的定义，掌握勾股定理及正弦的定义是解题的关键．
先利用勾股定理求出的长度，然后利用即可求解．
【详解】解：∵，，，
，
∴．
故选：A．
二、填空题
6．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的正弦值为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，三角形的正弦．过点B作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，，根据的面积即可求出，再根据正弦的定义即可解答．
【详解】解：过点B作于点D，过点A作，交的延长线于点E．
由题意可得，，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
7．（24-25九年级上·山西临汾·期末）在中，，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正切的定义即可求解．解答本题的关键要熟练掌握正切的定义：锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作．
【详解】解：在中，，，，
，
故答案为：．
8．（24-25九年级上·福建龙岩期末）已知是锐角，且，则 ．
【答案】
【分析】由sin∠A＝，可设BC＝x，AB＝3x，然后利用勾股定理求得AC的长，继而求得答案．
【详解】解：如图，∠C＝90°，
∵，
∴，
设BC＝x，则AB＝3x，
∴AC＝，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角函数的定义与勾股定理．难度不大，注意数形结合思想的应用．
考点02 特殊角的三角函数值
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，计算，选取答案即可，熟练计算是解题的关键．
【详解】解：，
故选：C．
2．（24-25九年级上·山西大同·期末）已知是锐角，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据是锐角，且得出，再求其正切值，即可求解．
【详解】解：∵是锐角，且
∴，
∴
故选：C．
3．（24-25九年级上·广东梅州·期末）下列三角函数中，值为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值直接判断．
【详解】解：，，，，
故选：D．
4．（24-25九年级上广东深圳期末）如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，据此求解即可．
【详解】解：连接AB，由图可知：OA=OB，AO=AB，∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴cos∠AOB=cos60°=．
故选B．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，得出△ABC是等边三角形是解题的关键．
5．（24-25九年级上·山东济南·期末）的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用特殊角的三角函数的值，求出结果即可．
【详解】解：，
故选C．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的值，熟记各特殊角的三角函数的值是解题的关键．
二、解答题
6．（24-25九年级上·广东深圳·期末）计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的性质和负整数指数幂分别运算，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键 ．
【详解】解：原式
．
7．（24-25九年级上·福建莆田·期末）计算：．
【答案】2
【分析】本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的加减，先根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，再算乘法，后算加减即可．
【详解】解：
．
8．（24-25·上海闵行期末）计算：
【答案】2
【分析】分别把特殊角的三角函数值代入，再分别计算，结合分母有理化，合并化简即可解题．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
考点03 方格中的三角函数
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求，再根据三角函数的意义可求出的值．
【详解】解：如图，取网格点D，连接，
由网格图，可得：，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
故选：C．
2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，连接，设小正方形边长为1，求出，，，即可证明是直角三角形，问题随之得解，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
设小正方形边长为1，
，，，
，
是直角三角形，
，
在中，，，
，
故选：B．
3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上（网格线的交点），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，求角的正弦值，取格点，连接，由网格线的特征易得共线，根据勾股定理得到，然后利用勾股定理求出，，然后利用代入求解即可．解题的关键是正确作出辅助线．
【详解】解：如图所示，连接，
由网格线的特征得共线，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：A．
4．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查旋转性质，三角函数求值，勾股定理．根据题意过点作，利用旋转性质可知，再利用勾股定理求得的长，即可得到答案；
【详解】解：过点作，
，
∵绕着点A逆时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
5．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作于点D，作于点E，把、表示出来，根据三角函数求值即可．
【详解】
解：如图，作于点D，作于点E，
由已知可得，，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
方法2：由已知可得，
，
∵
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握求一个角的三角函数值是解题的关键．
二、填空题
6．（24-25福建福州期末）如图，的三个顶点分别在边长为的正方形网格的格点上，则 ．（填“”“”“”）
【答案】
【分析】根据正切的概念和正方形网格图求出tanα和tanβ，根据等腰直角三角形的性质和tan45°的值求出tan（α＋β），比较即可．
【详解】由正方形网格图可知，tanα＝，tanβ＝，
则tanα＋tanβ＝＋＝，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴α＋β＝45°，
∴tan（α＋β）＝1，
∴tan（α＋β）＞tanα＋tanβ，
故答案为：＞
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值、锐角三角函数的定义以及等腰直角三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值、正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键．
7．（24-25九年级上·福建三明期末）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC= ．
【答案】
【详解】∵AB所在的直角三角形的两直角边分别为：2，4，
∴AB=．
∴sin∠ABC=．
8．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，网格中的点都在小正方形顶点上，连接交于点，则的正切值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了正切函数，勾股定理，正方形的性质等，连接、，，由平行线的性质得，由勾股定理求出、的长，由正切函数求出的值；掌握正切函数的定义，作出辅助线使得，构建直角三角形求解是解题的关键．
【详解】解：如图，连接、，
由正方形的性质得：
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：2．
考点04 解直角三角形
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点，分别为，的中点，连接，，，若，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、解直角三角形的相关计算，熟练三角函数的定义和旋转的性质，是解题关键．根据旋转得出为直角三角形，，，根据直角三角形性质得出，，证明为等腰直角三角形，得出，解直角三角形得出．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，
∴为直角三角形，，，
∵点，分别为，的中点，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查含正切的定义，角平分线的性质，全等三角形、相似三角形的判定及性质；延长交于F，则有，则，易证得，得，在中，因为，所以，所以 ，而，所以．
【详解】解：如图，延长交延长线于F，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：B．
3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，中，，，，经过点B且半径为5的与交于D，与的延长线交于E，则线段的长为（ ）
A．6.4 B．7 C．7.2 D．8
【答案】D
【分析】本题主要考查了解直角三角形，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，连接并延长交于，连接，由圆周角定理可得，由勾股定理可得，求出，再由圆内接四边形的性质可得，即可得出，从而即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接并延长交于，连接，
∵是直径，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
，
故选：D．
二、填空题
4．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，点在边上，连接，以为斜边在其上方作等腰直角三角形，与交于点，连接．若，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．
根据题意证明，可得，求出，，在中，由勾股定理得：，所以，证明可得，设，则，所以，在中，由勾股定理得：，即，解出的值，即可得到答案．
【详解】解：由题意知，
，
又，
，
，
又，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，，
，
，
设，则，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：（舍去），，
，
故答案为：．
5．（24-25九年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，是边上的一点，是延长线上的一点，为的中点，连接．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定及性质，勾股定理，由已知可得，，过点作，交于，可得，，过点作，交于，则，得到，即得，可得，设，，得到，，进而得到，即得，即得到，最后根据勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
过点作，交于，
则，，
过点作，交于，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴可设，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
6．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图在中，．
(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
①作的平分线，交于点D；
②作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E；
③以点O为圆心，长为半径作，交于另一点F．
(2)推理与计算：若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作图中的画垂直平分线和角平分线，垂直平分线的性质，角平分线的性质，平行线的性质以及三角函数的计算．按要求画出垂直平分线和角平分线，熟练掌握三角函数的计算是解题的关键．
（1）①以点为圆心，任意长度为半径画弧，叫和与点和，分别以点和为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则为的平分线；
②以点和为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点和，连接交，于点O，E，则为的垂直平分线；
③长为半径作，交于另一点F．
（2）连接．根据垂直平分得到，再根据平分得到，通过等量代换得到进而得到，再根据平行线的性质得到，最后计算即可求出的长．
【详解】（1）
①作图如图所示．
②作图如图所示．
③作图如图所示．
（2）解：如图，连接．
∵垂直平分，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．（24-25九年级上·广东中山·期末）如图1，在中，，，．动点P，Q同时从A点出发，点P沿着的路线以匀速运动，点Q沿着的路线匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动时间为x秒．
(1)求的值．
(2)如图2，当时，连接，若点P恰好在以为直径的圆上，求点Q的运动速度．
(3)设点Q的速度为，记的面积为y平方厘米，求y关于x的函数表达式，并指出x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
【答案】(1)
(2)点Q的运动速度为
(3)；当时，最大面积为平方厘米.
【分析】（1）先证明，再利用余弦的定义求解即可；
（2）如图，当时，连接，此时在上，可得，结合，可得答案；
（3）当时，连接，此时在上，过作于，求解，可得的面积为，如图，当时，在上，过作于，求解，可得的面积为，再进一步解答即可.
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，当时，连接，此时在上，
∵点P恰好在以为直径的圆上，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴点Q的运动速度为；
（3）解：当时，连接，此时在上，
过作于，
∵，，
∴，
∴，
∴的面积为，
当时，最大面积为（平方厘米）；
如图，当时，在上，过作于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为，
当时，
最大面积为（平方厘米）；
综上：当时，最大面积为平方厘米.
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，锐角三角函数的应用，圆周角定理的应用，二次函数的实际应用，清晰的分类讨论是解本题的关键.
8．（24-25九年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，于点D，为锐角．
(1)将线段绕点A逆时针旋转（旋转角小于），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，过点B作于点F，连接，，若，试求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识．
（1）以点C为圆心，的长为半径画弧，以点A为圆心，的长为半径画弧与前弧交于点E，点E即为所求；
（2）证明，推出，在中，，设，，由，推出，可得，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，点E即为所求；
（2）解：连接，
在中，，，
∴，
由（1）可知，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
设，，
∵，
∴，
∴，
∴．
考点05解直角三角形的应用---仰角、俯角问题
一、解答题
1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图（1），应县木塔（又名佛宫寺释迦塔）位于山西省朔州市，建于公元1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木结构楼阁式建筑．1961年，国务院公布其为全国重点文物保护单位．2016年9月，应县木塔被吉尼斯世界纪录认证为“世界最高的木塔”．如图（2），数学活动小组的同学想要测量应县木塔的高度，在点处用高为的测角仪，测得塔顶端的仰角为，沿方向前进后到达点处，此时测得塔顶端的仰角为．测量点，与塔的底部在同一水平线上，且，，，，，六点在同一竖直平面上．求应县木塔的高度．
（结果精确到．参考数据：，，，，，）
【答案】应县木塔的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握解题方法是本题的关键．连接并延长，交于点，设，在中，，在中，，得到，解得，即可得到的长．
【详解】解：如图，连接并延长，交于点，由题意知，．设．
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
解得，
，
答：应县木塔的高度约为．
2．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，小明在处测得小土坡上松树（垂直地面）顶端的仰角，后退10米到达处，分别测得松树顶端的仰角，松树底部的仰角．已知点，，，，均在同一平面上，求松树的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，，）
【答案】松树的高度约为16米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及仰角俯角，延长交于点，如图所示，在中，利用正切函数求出，在中，利用正切函数求出，数形结合表示出长度即可得到答案．熟记正切函数定义，求出线段长是解决问题的关键．
【详解】解：延长交于点，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
解得米，
在中，，，
∴（米），
∴（米），
答：松树的高度约为16米．
3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）太谷白塔位于太谷区西南隅，建于北宋元佑年间，是一座具有1700多年历史的八边形七级楼阁式砖木结构塔，是我国八大白塔之一．某校综合与实践小组测量白塔的高度，形成了如下不完整的实践报告：
测量对象 太谷白塔
测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题
测量工具 无人机
测量方案 1．先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为；2．再将无人机从点P处沿水平方向飞行至点C，然后沿垂直方向上升至点Q．此时，测得塔的顶端A的俯角，图中各点均在同一竖直平面内．
测量示意图
请根据以上测量数据，求太谷白塔的高度（结果精确到，参考数据：）．
【答案】太谷白塔的高度约为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于点，延长交于点，由题意得：，，，，，，然后设，则，分别在和中，利用解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：延长交于点，延长交于点，如图：
由题意得：，，，，，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
，
太谷白塔的高度约为．
4．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内．
(1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）；
(2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）过点作于，根据正弦的定义求出；
（2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于，
在中，，m，
则m，
答：小明一家步行上升的垂直高度约为；
（2）解：如图，过点作于，
则四边形为矩形，
，
，
，
在中，，
则，
答： 缆车的行驶路线的长约为．
5．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）．
(1)求平台的高度；
(2)求建筑物的高度（即的长）．
【答案】(1)10米
(2)米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质．
（1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可；
（2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：过点B作于点E，则
∵斜坡的坡度，
∴，
∵在中，，
即，
∴米，
∴平台的高度是10米．
（2）解：延长交于点F，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴米，，
设米，则（米），
∵在中，，
∴（米），
∵在中，，
∴（米），
∴米，
由（1）有（米），
∵，
∴，
解得，
∴（米），
即建筑物的高度（即的长）为米．
6．（24-25九年级上·福建泉州·期末）小明利用“无人机”测量涂岭镇下炉村的下炉石佛（泉港打卡景点：玉笏朝天）的高度．无人机的探测器显示，观测“玉笏朝天”最高点的仰角是，观测“玉笏朝天”底部的俯角是，若与水平面垂直，无人机的观测点与的水平距离为米．请求出“玉笏朝天”的高度．
【答案】“玉笏朝天”的高度米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题意可以得到和的长，从而可以求得的长，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
【详解】解：如图，
由题意可得，，，，，
∴，
∴，，
∴，，
解得：，，
∴，
答：“玉笏朝天”的高度米．
7．（24-25九年级上·陕西西安·期末）小明想用所学的数学知识来测量一个5G通讯塔（通讯塔底部不可到达）的高度．如图所示，他在坡底C处用高为1米的测角仪测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达E处，在E处用相同测角仪测得塔顶A的仰角为．已知点B，C在同一条直线上，，测角仪，，求该5G通讯塔的高度．（所有点均在同一平面内，结果取整数，参考数据：）
【答案】该5G通讯塔的高度为
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用及矩形的性质与判定，熟练掌握解直角三角形的应用及矩形的性质与判定是解题的关键；延长，交的延长线于点H，过点M作于点G，延长，交于点P，过点N作于点Q，由题意易得，，然后可得，设，则有，进而根据三角函数可进行求解．
【详解】解：延长，交的延长线于点H，过点M作于点G，延长，交于点P，过点N作于点Q，如图所示：
由题意得：，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
由坡比为的斜坡可知：，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则有，
∴，
在中，，
解得：，
∴；
答：该5G通讯塔的高度为．
8．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点处看塔顶的仰角为．
(1)求点D与塔顶P的距离；
(2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求古塔的高度（参考数据：，，，，结果精确到米）．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，三角函数的定义，熟练运用三角函数求出，的值是解题的关键，
（1）根据，，可得，利用等腰三角形的判定定理“等角对角边”即可得到，从而即可得到答案；
（2）过点作的垂线，分别交的延长线于点，在中易得的长，在中，根据三角函数可得的长，进而即可得到的高度．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
答：点D与塔顶P的距离为．
（2）解：过点作的垂线，分别交的延长线于点，如图
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：古塔的高度为．
考点06解直角三角形的应用---坡度、坡角问题
一、填空题
1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图为某兴趣小组绘制的跳台滑雪赛道的截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点C且与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，着陆坡的坡度为．某运动员第一次训练时在C处起跳腾空后，飞行至着陆坡的D处着陆．在这次训练过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间满足二次函数关系，且．若点D的横坐标为，则运动员离着陆坡的最大竖直距离为 m．
【答案】
【分析】·本题考查了一次函数，二次函数，平面直角坐标系等知识点．熟练掌握求一次函数表达式，已知点坐标求二次函数解析式中的参数以及求二次函数的最值是解题的关键．
根据着陆坡坡度得到斜率，结合过点，利用斜截式求出的直线方程，再将横坐标代入着陆坡方程得到点纵坐标，然后将坐标代入，求出确定二次函数表达式，用二次函数表示运动员高度减去着陆坡直线函数表示的高度，得到竖直距离关于的二次函数表达式，最后根据二次函数对称轴公式求出对称轴，将对称轴对应的值代入竖直距离函数，求出最大值，即运动员离着陆坡的最大竖直距离．
【详解】解：着陆坡的坡度为，且过点（由坐标系可知点在轴上，且纵坐标为），
则，,
∴
设直线方程为：,
∴，
解得：
直线方程为：．
将点D的横坐标代入得到，
点．
将点代入，
得到，
解得：．
设竖直距离为，
则
化简得：．
该二次函数的对称轴为，
将代入，
解得：．
故答案为：．
二、解答题
2．（2024·陕西西安·模拟预测）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且、、三点在一直线上如图所示．假设测角仪器的高度忽略不计，求点离地面的距离结果精确到米．(参考数据：，，，)
【答案】6.2米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题；
过点作于点，于点，先根据正切的定义求出，设米，根据坡度的概念用表示出，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：在中，米，，
，
米，
过点作于点，于点，
则四边形为矩形，
，，
设米，
米，
斜坡的坡比是：，
米，
米，
在中，
解得：，经检验是原方程的解，
答：点离地面的距离约为米．
3．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）甲乙两名游客选择两种不同的方式游览某景区，如图，甲从山脚A处乘坐缆车到达景点C处，同时乙开车从山脚A处前行到达D处，此时遇一斜坡，坡度，沿着斜坡前行到达停车场E处，停车后，再跑步到达景点C处（汽车行驶在平路和上坡的速度相等，停车时间忽略不计）．甲在A处观测景点C的仰角为，乙在E处观测景点C的仰角为．
(1)求景点C的高度；（结果精确到）
(2)甲乘坐缆车的速度为，乙的车速为，乙的跑步速度为，谁先到达景点C （参考数据：）
【答案】(1)；
(2)乙先到达景点．
【分析】本题主要考查了矩形的判定及性质，平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
（1）过点作，于，，延长交于点，在中，由，得，，进而得，，再证明，得，
，，设，进而，在中，由，构造方程求解即可；
（2）利用解直角三角形分别求出及，进而求得甲、乙的运动时间，从而比较即可得解．
【详解】（1）解：如图，过点作，于，，延长交于点，
∵在中，由，
∴，，
∴，，
∵为的边上的高，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
∴，，设，
∴，
在中，，即，
解得，经检验是原方程的解，
∴；
答：景点C的高度为；
（2）解：由（）得，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴乙先到达景点．
4．（23-24九年级上·广东茂名·期末）某校数学兴趣小组为了测量建筑物的高度，先在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为，再沿斜坡走了到达斜坡顶点处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为，已知斜坡的坡度．（参考数据：，）
(1)求点到地面的高度；
(2)求建筑物的高度．
【答案】(1)点到地面的高度为；
(2)．
【分析】（）作，利用坡度的定义求解即可；
（）在（）的基础之上，作，利用三角函数求解的长度即可；
此题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握坡度，仰角俯角等基本定义，灵活构造直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）过点作于点，于点，
在中，，设，，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得：，
∴，
∴点到地面的高度为；
（2），过点作于点，如上图，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，∴，
即：，解得：，
∴，
答：建筑物的高度约为米．
5．（23-24九年级上·四川内江·期末）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走到点D，此时从点A到D上升的高度为2米，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡的坡比为，E、A、C在同一水平线上．
(1)求小明从点A走到点D的距离；
(2)大树的高度约为多少米？
（参考数据：，，）
【答案】(1)米
(2)14米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡角、仰角、三角函数的概念等知识是解题的关键．
（1）作于，在中，，则．由勾股定理得，即可求出答案；
（2）延长交于点G，设．在中，根据求出，在中，，则米在中，，则米，即可求得答案．
【详解】（1）解∶ 作于，如图所示，
在中，
，，
，
，
，
答：小明从点A到点的距离为米；
（2）解： 如图，延长交于点G，
设，
由题意，得，
．
在中，，
．
在中，，
，
解得．
答：大树的高度约为14米．
6．（25-26九年级上·陕西西安·月考）小明想用所学的数学知识来测量一个5G通讯塔（通讯塔底部不可到达）的高度．如图所示，他在坡底C处用高为1米的测角仪测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达E处，在E处用相同测角仪测得塔顶A的仰角为．已知点B，C在同一条直线上，，测角仪，，求该5G通讯塔的高度．（所有点均在同一平面内，结果取整数，参考数据：）
【答案】该5G通讯塔的高度为
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用及矩形的性质与判定，熟练掌握解直角三角形的应用及矩形的性质与判定是解题的关键；延长，交的延长线于点H，过点M作于点G，延长，交于点P，过点N作于点Q，由题意易得，，然后可得，设，则有，进而根据三角函数可进行求解．
【详解】解：延长，交的延长线于点H，过点M作于点G，延长，交于点P，过点N作于点Q，如图所示：
由题意得：，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
由坡比为的斜坡可知：，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则有，
∴，
在中，，
解得：，
∴；
答：该5G通讯塔的高度为．
7．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点．（参考数据：，，）
(1)当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度；
(2)求点间的水平距离长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
（1）过点B作于F，过点C作于G，延长交于H，，设，根据坡度的概念用x表示出，根据勾股定理求出；
（2）根据余弦的定义求出，进而求出．
【详解】（1）解：过点B作于F，过点C作于G，延长交于H，
设，
∵坡道的坡度为，
∴，
在中，，即，
解得：，
所以他沿垂直方向上升的高度为；
（2）解：由（1）可知：，四边形为矩形，
∴，
在中，，
则，
则，
所以点A，D间的水平距离长约为．
考点07解直角三角形的应用---方位角问题
一、解答题
1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图是某风景区的局部简化示意图，风轩亭在翠微亭的正南方向，两亭被一座小山隔开，该风景区计划在，之间修建一条直通的景观隧道．为测量，两点之间的距离，在一条东西方向的小路上的点，处分别观测点，，测得点在点的北偏东方向上，点在点的北偏东方向上，米，米．求，两点之间的距离．（结果精确到米．参考数据：，，，，）
【答案】，两点之间的距离约为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
在中，利用锐角三角函数的定义求出、的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
【详解】解：如图，延长交于点，则，
在中，，，
，，
，，
，
在中，，
，
，
答：，两点之间的距离约为米．
2．（2024·安徽宿州·一模）如图，为了测量小池塘点和点之间的距离，在直线下方选择一点，测量点位于点北偏西的方向，点位于点北偏东的方向，测得，求小池塘之间的距离．（参考数据：，，，，，）
【答案】小池塘之间的距离为
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意得，再结合解直角三角形是解决问题的关键．
【详解】解：过点作，
由题意可知，，，则，
，
∴，
则，
即：小池塘之间的距离为．
3．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处．
(1)求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号）
(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，）
【答案】(1)小山与亭台之间的距离米
(2)小玲先到达寺庙处
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）作于点，在中求出，然后在中即可求解；
（2）延长，作于点，作于点，则，在中求出，米，在中求出，，进而求出两人行走的路程可得答案．
【详解】（1）作于点，
由题意知，，，，，
在中，
在中，，，
小山与亭台之间的距离米
（2）延长，作于点，作于点，则，
由题意知，，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，，
∴，
在中，，米，
在中，，
米，
米，
且两人速度一致，
小玲先到．
答：小玲先到达寺庙处．
4．（2018·山东潍坊·中考真题）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1．5小时后到达B处此时测得岛礁P在北偏东30°方向,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？ (结果保留根号)
【答案】渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达．
【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．
【详解】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，
在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以 BQ=PQ-90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ tan30°=PQ（海里），
所以 PQ-90=PQ，
所以 PQ=45（3+）（海里）
所以 MN=PQ=45（3+）（海里）
在直角△BMN中，∠MBN=30°，
所以 BM=2MN=90（3+）（海里）
所以（小时）
即渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达．
故答案是：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
5．（25-26九年级上·重庆江北·期中）小月和小黄升入大学后，想利用假期来一场说走就走的旅行．如图，，，是四个必打卡的景点，而且沿途的风景也很美丽，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，也在的南偏西方向，在的北偏东方向．（参考数据：，）
(1)求南环线的长度（结果保留小数点后一位）；
(2)小月选择走北环线，小黄选择走南环线，两人同时从景点出发，小黄在途中发现小月的相机电池落在自己背包里了，于是小黄决定到之后前往与小月汇合，已知小黄的步行速度与小月的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求北环线的长度．（结果保留小数点后一位）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作于点，可得和的度数，进而求出的度数，再根据解直角三角形求出、、、的长度，从而求得南环线的长度即可；
（2）过点作的延长线于点可得和，设小黄步行速度为，则小月步行速度为，两人步行时间为小时，再根据解直角三角形求出、、的长度，利用小黄和小月两人同时到达景点，则步行时间相等，列出方程，求得和的关系，再利用勾股定理得到，解出的长度，从而得出北环线的长度即可．
【详解】（1）解：过点作于点，如图：
、、
，
，，
，，
，
答：南环线的长度为；
（2）解：过点作的延长线于点，如图所示：
、，
设小黄步行速度为，则小月步行速度为，两人步行时间为小时，
，
、，
，
在中，由勾股定理得，，
由于小黄与小月两人同时到达景点，
则，
整理得，，
，
解得，
因此北环线的长度为
答：北环线的长度为．
【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理、方位角，一元二次方程的应用，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．
6．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，点为某市物流中心，该物流中心下设，，三个配送站点，配送站点在的正北方向4.2km处，在的正西方向，在的北偏东37°方向2.5km处，在的北偏东64°方向．（，，，，，）
(1)求配送站点与之间的距离；
(2)“双11”期间，派送员从物流中心出发，以30km/h的速度沿着到各配送站点派送快递，派送员途径、两个站点各停留10min存放快递，请计算说明派送员能否在50min内到达配送站点？
【答案】(1)．
(2)派送员能在到达配送站点．
【分析】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，将实际问题转化成解直角三角形的问题，利用解直角三角形的知识求解是解题的关键．
（1）过点作于，于，先解，求得、长，再证明，，继而求得长，再解即可得到答案；
（2）求出派送员所需总时间，再与比较即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，过点作于，于，
由已知则有，，，，
在中，∵，，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，∵，，
∴，
答：配送站点与之间的距离约为．
（2）解：∵，
∵，
∴
∴派送员到达配送站点所需的时间
∵，
∴派送员能在到达配送站点．
7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，直径为，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点），连接并延长交于点．
(1)点位于点的北偏东___________的方向上．
(2)求的长．
(3)连接，比较线段与大小（写出你作出判断的理由）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要正多边形和圆、勾股定理、圆周角定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）先根据正八边形每条边所对的弧都是，再利用圆周角是圆心角得一半即可得解；
（2）连接，易证；
（3）构造直角三角形求出，连接，过G作交于点M，易得，再利用勾股定理求出进行比较即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵八个方位将圆形八等分，
∴，
∴
∴，即点P位于点D的北偏东；
（2）解：连接，则为直径，
∴，
由（1）知
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图，连接，过G作交于点M，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵
∴，即．
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（25-26九年级上·全国·期末）在中，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．利用直角三角形中锐角的正弦定义，根据已知比例直接求解．
【详解】解：在中，，
为斜边，为对边．
．
故选：B．
2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的的内角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题考查正弦，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
先求出，再根据正弦的定义求解即可．
【详解】解：如图
有，
∴．
故选B．
3．（25-26九年级上·云南昆明·期中）2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若米，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据正弦的定义解答即可．
【详解】解：在中，，，如图，
∵，
∴米，
故选：B．
4．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，，则BC的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握相关概念是解题关键．
利用锐角三角函数求解．
【详解】解：在中，，
∵，
∴．
故选：A．
5．（25-26九年级上·北京·月考）在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理， 在直角中，根据勾股定理可以求出的长，再根据三角函数的定义就可以求出函数值．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴．
故选：B．
6．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形分别求出的长，则可求出的长．
【详解】解：由题意得，，
在中，，
在中，，
∴，
故选：C．
7．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）在菱形中，，，，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．根据，设出，则，，得出，根据，，求出，再利用勾股定理得出的长，即可求出答案．
【详解】解：，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
8．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．过点作于点，先利用三角函数的定义和勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，最后在中求出的度数．
【详解】如图所示，过点作于点，
，，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
故选：C．
9．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）如图，直径为的经过原点和点，是轴右侧上一点，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理，求余弦值等知识点．在中，由勾股定理得，求得，再根据圆周角定理可得，即可求解．
【详解】解：，
是直径，
直径为，
，
点的坐标为，
，
在中，由勾股定理得：，
，
由圆周角定理得：，
，
即的余弦值为．
故选：C．
10．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，由菱形的性质可得，，则，再证明，则，据此可得答案．
【详解】解：∵在菱形中，与相交于点，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的乘法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．利用特殊角的三角函数值，直接代入计算．
【详解】解：．
故答案为：．
12．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了米到达点，则她沿垂直方向升高了 ．
【答案】米
【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图，根据可得的长，由此即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，米，
∴，
∴米，
即她沿垂直方向升高了米，
故答案为：米．
13．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在离铁塔底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为，测角仪高为米，则铁塔的高为 米．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，特殊角的正切值．解题的关键在于构造直角三角形．
如图所示，过点作，则四边形为矩形，米，米，在中，，求出的值，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图所示，过点作，
则四边形为矩形，
∴米，米，
在中，，
∴（米），
∴（米），
故答案为：．
14．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理、平行线的性质、三角函数等知识，构造直角三角形是解三角函数问题的关键．如图，取格点E，连接，则，是直角三角形，根据计算即可．
【详解】解：如图，取格点E，连接，则，是直角三角形，
设小正方形的边长为1，
∵，，
∴是直角三角形，，
，
，
，
，
故答案为：．
15．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，矩形沿对角线翻折后，点落在点处．连接交边于点如果，，那么的长等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了几何变换中的翻折变换、相似三角形的性质和判定、矩形的性质、勾股定理．熟练掌握翻折变换和矩形的性质,利用相似三角形列比例式是本题的关键．
由折叠的性质可得，由矩形的性质可证明，故可得，再证明，求得，在中由勾股定理可得解．
【详解】解：四边形是矩形，是由翻折得到，
，，
，，
四边形是矩形，
，，
又，
，
，
，，
四边形是等腰梯形，
，，
，，
，，
，
又，
，
，即
或舍去，
在中，，
，
，
在中，，
由勾股定理得，，
即，
，
解得：．
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）（25-26九年级上·山东淄博·月考）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题主要考查了特殊三角函数值的计算，解决此题的关键是熟记特殊三角函数值；
（1）先代入特殊的三角函数值，进行计算即可；
（2）代入特殊的三角函数的值，进行计算即可；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．(8分)（24-25九年级上·河北唐山·期末）某小区应辖区派出所要求在广场竖立一个“打黑除恶，共创和谐”的矩形电子灯牌，如图所示，施工人员在两侧加固铝合金框架，已知铝合金框架底端G距广告牌立柱距离为4米，从G点测得广告牌顶端F点和底端E点的仰角分别是和．
(1)若长为5米，求灯牌的面积；
(2)求两侧加固的铝合金框架总共用料多少米？（本题中的计算过程和结果均保留根号）
【答案】(1)平方米
(2)米
【分析】本题考查解直角三角形——仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
（1）通过解直角三角形在中求出，在中求出，进而可求出，再根据矩形的面积公式即可求解；
（2）通过解直角三角形求出，，即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得米，，，，
∵中，米，，
∴（米），
∵中，米，，
∴（米），
∴（米），
∴平方米．
答：灯牌的面积为平方米．
（2）解：∵中，米，，
∴（米），
∵中，米，，
∴（米），
∴米，
∴两侧加固的铝合金框架总共用料米．
18．（9分）（24-25九年级下·重庆·期末）如图所示，四边形是我市某公园的平面示意图．经测量，池塘B在公园东门A的正西方向，公园西门C在池塘B的正北方向，梨园D在西门C的北偏东方向500米处，同时也在东门A的北偏西方向1200米处（参考数据：）．
(1)求A、B两地之间的距离；（结果保留根号）
(2)小乐和朋友约定下午在公园东门A处见面，他于下午从公园西门C出发，打算沿公园步道走到东门A．现在有两种路线方案：①从西门C进入公园，沿走到池塘B，再沿走到东门A；②从西门C进入公园，沿走到梨园D，再沿走到东门A．已知小乐的步行速度为每分钟50米，请计算说明他应该选择哪一种路线方案才不会迟到？
【答案】(1)
(2)选择②路径不会迟到．
【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角问题；矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）过点作于点，过点作于点，在中，根据可求出的长，进而可得的长，在中，根据可求出的长，最后由可得答案．
（2）分别求出两种步道的路程，进而可得求出所需时间，即可得出答案．
【详解】（1）过点作于点，过点作于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
则，，，，，
在中，，
，
在中，，
．
的长度为．
（2）解：由（1）知，，，
在中，，
∴，
∴，
即，
∵①从西门C进入公园，沿走到池塘B，再沿走到东门A；
∴，
则（分），
∵小乐和朋友约定下午在公园东门A处见面，他于下午从公园西门C出发，
∴，
选择①路径会迟到；
∵②从西门C进入公园，沿走到梨园D，再沿走到东门A．
∴，
则（分），
∴，
选择②路径不会迟到．
19．（8分）（2025·湖南·三模）觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一．登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底．想知道觉华塔的通高（塔顶到水平地面的距离），于是某校师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得塔顶D的仰角为，在B点处测得塔顶D的仰角为，已知，测角仪的高度是1.1m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据解决下列问题：
(1)求的度数；
(2)求觉华塔的通高．（，结果保留一位小数）
【答案】(1)
(2)觉华塔的通高约为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）根据题意可得，，利用三角形的外角性质可得；
（2）根据等腰三角形 的判定定理得到，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而完成解答．
【详解】（1）解：∵测角仪的高度是（A、B、C在同一直线上），，
∴，
由题意可知，
∵是的外角，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
答：觉华塔的通高约为．
20．（8分）（2024·天津滨海新·一模）综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度．如图，在地面A处测得广告牌顶端顶点C的仰角为，走向广告牌到达B处，在B处测得广告牌低端顶点D的仰角为，已知，立柱垂直于，且点A，B，H在同一条水平直线上．（矩形广告牌与立柱垂直）过点D作，垂足为E．设（单位：m）．
(1)用含有h和的式子表示线段的长；
(2)求广告牌低端顶点D到地面的距离的长．（取2.25，结果取整数）
【答案】(1)线段的长为
(2)的长约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）设，则，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，根据，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴线段的长为；
（2）解：设，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴广告牌低端顶点D到地面的距离的长约为．
21．（9分）（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读以下材料，并完成相应的任务．
定义：若三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段长的积等于这个点与该边所对顶点之间的距离的平方，则称这个点为三角形中该边的“中顶点”．例：如图（1），在中，点在上，若，则点为中边的中顶点．
任务：
(1)如图（2），的三个顶点是的正方形网格的格点（网格线的交点），请用无刻度的直尺作出中边的一个中顶点，且点不是格点．
(2)如图（3），内接于，点是中边的中顶点，连接并延长，交于点．
①求证：点是的中点．
②若的半径为5，，，与过点的切线垂直，垂足为点，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）过点A作的垂线交与点D即可．根据，由相似三角形性质即可得出．
（2）①连接，证明，由相似三角形的性质得出，再根据中顶点的定义得出，进而可得出．
②连接，根据，得出是的直径，且为10，再根据勾股定理得出，再得出，再根据正弦的定义即可求解．
【详解】（1）解：点如图（1）所示．
（2）解：①证明：如图（2），连接．
，，
，
，
．
点是中边的中顶点，
，
，
，
即点是的中点．
②如图（2），连接．
，
是的直径，
．
由①可知点是的中点，
，
．
是的切线，
，
．
，
．
【点睛】本题主要考查了作垂线，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形的计算等知识，掌握“中顶点”的定义是解题的关键．
22．（12分）（2025·广东·中考真题）综合与实践
【阅读材料】
如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题．
【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究．
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：
步骤1：如图，在空旷地找一点；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，．
【问题解决】
（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离．
（参考数据：，，）
【评价反思】
（2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键．
（1）利用三角形内角和定理求出，根据题意可得，代入数据求出的长，即可解答；
（2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
由题意得，，
又∵，
∴，
答：，两岛间的距离为．
（2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：
步骤1：如图，在空旷地找一点，使得是锐角三角形；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得的度数；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，．
计算过程：
过点作，则，
∵在中，，，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴．
答：，两岛间的距离为．
23．(13分)（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究
已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点B的坐标为，点A的坐标为，m、n满足，将沿直线折叠，使点O在上，点O的对应点为点D，折痕交x轴于点C．
(1)求点D的坐标；
(2)点是射线上的一点，连接，的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当点M在x轴正半轴运动，满足时，点M的坐标为______；
(4)在（3）的条件下，在平面直角坐标系内是否存在点K，使以C、B、M、K为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出K的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或或
【分析】（1）过D作于H，由，可得，即得，，根据将沿直线折叠，使点O落在上，点O的对应点为点D，可得，设，有，解得，用面积法得，即可得；
（2）当，即M在线段上不含时，；当，即M在射线上时，；
（3）作关于y轴的对称点R，连接，过C作于T，可得，用面积法得，可得，根据C，R关于y轴对称，有，又，故，可得；
（4）的面积为，设，而，分三种情况：①若为对角线，则的中点重合，；②若为对角线，则的中点重合，③若为对角线，则的中点重合，，分别解方程组得K的坐标为：或或．
【详解】（1）（1）过D作于H，如图：
，
，
，
，
，
，
将沿直线折叠，使点O落在上，的对应点为点D，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，
，
；
（2）当，即M在线段上不含时，如图，
，
，
，
；
当，即M在射线上时，如图，
，
；
综上所述，；
（3）作关于y轴的对称点R，连接，过C作于T，如图
，
，
，
，
，
，
，R关于y轴对称，
，
，
，
，
，即，
，
，
故答案为：；
（4）在平面直角坐标系内存在点K，使以C、B、M、K为顶点的四边形是平行四边形，理由如下；
设，而，
①若为对角线，则的中点重合，
，
解得，
；
②若为对角线，则的中点重合，
解得，
，
③若为对角线，则的中点重合，
，
解得，
，
的坐标为：或或
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及非负数性质，勾股定理及应用，三角形面积，平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．
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