考前排查 考点回放
一、 不等式
1．二次函数y=ax2＋bx＋c(a＞0)与一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a＞0)、不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)和ax2＋bx＋c≤0(a＞0)的解的对应关系
判别式Δ=b2－4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0
二次函数的图象
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1=x2=－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} R
ax2＋bx＋c≤0的解集 [x1，x2] {x1}
2．一元二次不等式的恒成立问题
(1) ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是① ．
(2) ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的条件是② ．
如：若对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是③ [1，3] ．
3．基本不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；≤(a≥0，b≥0)；变式：ab≤2≤(a，b∈R)，以上不等式当且仅当a=b时等号成立．
如：已知x＞0，y＞0，且4x＋2y－xy=0，则2x＋y的最小值为④ 16 ．
二、 集合与简易逻辑
1．常用数集的符号表示：自然数集① N ；正整数集② N*或N＋ ；整数集
③ Z ；有理数集④ Q ；实数集⑤ R ．
2．注意区分集合中元素的形式，如：
A={x|y=x2－1}表示⑥ R ；
B={y|y=x2－1}表示⑦ {y|y≥－1} ；
C={(x，y)|y=x2－1}表示⑧ 二次函数图象上的点的集合 ；
D=表示⑨ {x|x≤0或x≥4} ．
3．空集是指不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集．
(1) 注意{0}、 和{ }的区别：
{0}表示⑩ 含有元素0的单元素集合 ； 表示 空集 ；{ }表示 含有元素 的单元素集合 ．
(2) 注意：当条件为A B时，在讨论的时候不要遗忘了A= 的情况．
如：A={x|1≤ax≤2}，B={x|x2－2x－3≤0}，若A B，则a的取值范围为 ．
4．含n个元素的集合的子集个数为 2n ；真子集个数为 2n－1 ．
5．若p q且qp，则q的一个 充分不必要 条件是p．
6．全称量词命题、存在量词命题及其否定
(1)全称量词命题： x∈M，p(x)，它的否定为存在量词命题： x∈M， p(x) ．
(2)存在量词命题： x∈M，p(x)，它的否定为全称量词命题： x∈M， p(x) ．
(3)命题与其否定真假相反．
三、 函数
1．函数的单调性
(1) 单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 ＞0 f(x)在[a，b]上单调递① 增 ；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0 ＜0 f(x)在[a，b]上单调递② 减 ．
(2) 若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数．
(3) 复合函数单调性由“同增异减”判定：对于复合函数f[g(x)]，设t=g(x)，若t关于x的单调性与f关于t的单调性相同，f[g(x)]就是x的③ 增函数 ；若t关于x的单调性与f关于t的单调性相异，f[g(x)]就是x的④ 减函数 ．
提醒：求单调区间时要注意定义域；单调性一般用区间表示，不能用集合表示．
如：1)函数y=(－x2＋2x)的单调递增区间是⑤ [1，2) ．
2)已知函数f(x)=是R上的增函数，则实数a的取值范围是⑥ ．
2．函数的奇偶性
(1) 函数有奇偶性的必要条件是其定义域关于⑦ 原点 对称．
(2) 若f(x)是偶函数，则f(－x)=⑧ f(x) ，在关于原点对称的两个区间上单调性⑨ 相反 ；若f(x)是奇函数，则f(－x)=⑩ －f(x) ，在关于原点对称的两个区间上单调性 相同 ．
如：若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则不等式f(2x)＜f(x－1)的解集为 ．
(3) 定义域包含零的奇函数必满足 f(0)=0 ．
(4) f(x＋a)是偶函数 f(x＋a)= f(－x＋a) ．
(5) 若f(x)是偶函数，则f(x＋1)的对称轴是 x=－1 ；若f(x＋1)是奇函数，则f(x)的对称中心是 (1，0) ．
3．函数的周期性
(1)若函数f(x)满足f(x＋a)=f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
(2)若函数f(x)满足f(x＋a)=，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
(3)若函数f(x)满足f(x＋a)=－f(x)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
如：若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)=－f(x)，且当1≤x≤2时，f(x)=x－1，则f= － ．
4．函数图象的几种常见变换
(1) 平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；
上下平移——“上加下减”(注意是针对f(x)而言)．
(2) 翻折变换：y=f(x)→y=f(|x|)；y=f(x)→y=|f(x)|．
(3) 伸缩变换(a＞0)：f(x)→f(ax)；f(x)→af(x)．
(4) 对称变换：函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于 y轴 对称；函数f(x)的图象与函数－f(x)的图象关于 x轴 对称；函数f(x)的图象与函数－f(－x)的图象关于 原点 对称；函数f(x)的图象与它的反函数的图象关于 y=x 对称；若函数f(x)满足f(a＋x)=f(b－x)，则f(x)的图象关于 x= 对称；对于两个函数y=f(a＋x)，y=f(b－x)，它们的图象关于直线x=对称(由a＋x=b－x求得)．
如：已知奇函数f(x)满足f(5)=1，且f(x－2)的图象关于x=3对称，则f(1 001)= 1 ．
5．指数函数与对数函数的基本性质
(1) 定点：y=ax(a＞0，且a≠1)恒过定点 (0，1) ；y=logax(a＞0，且a≠1)恒过定点 (1，0) ．
(2) 单调性：当a＞1时，y=ax在R上单调递 增 ，y=logax在(0，＋∞)上单调递 增 ；
当0＜a＜1时，y=ax在R上单调递 减 ，y=logax在(0，＋∞)上单调递 减 ．
注意：(1)y=ax与y=logax的图象关系是 关于直线y=x对称 ．
(2) 对数运算法则： logaM＋logaN=loga(MN) ； logaM－logaN=loga ； logaNn=nlogaN ．
(3) loganbm= logab ；换底公式： logab= ；对数恒等式： alogaN=N ．
如：1) 已知函数f(x)=(x2＋kx＋2)的定义域为R，则k的取值范围为 (－2，2) ．
2) 已知函数f(x)=(x2＋kx＋2)的值域为R，则k的取值范围为 (－∞，－2]∪[2，＋∞) ．
四、 导数
1．导数的定义：f(x)在点x0处的导数记作y′|x=x0=f′(x0)=．
2．函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义：曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，切线方程为y－f(x0)=f′(x0)(x－x0)．
如：曲线f(x)=在(0，f(0))处的切线方程为① y=3x－2 ．
常见函数的导数公式：C′=② 0 (C为常数)；(xn)′=③ nxn－1 ；
(sin x)′=④ cos x ；(cos x)′=⑤ －sin x ；(ax)′=⑥ axln a ；(ex)′=⑦ ex ；(logax)′=⑧ ；(ln x)′=⑨ ．
4．导数的四则运算法则：
[f(x)＋g(x)]′=⑩ f′(x)＋g′(x) ；[f(x)·g(x)]′= f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
′= ；[f(g(x))]′=f′(g(x))·g′(x)．
如：1)[ln(x2－1)]′= ．
2)对于xf′(x)＋f(x)＞0，构造函数h(x)= xf(x) ．
3)对于xf′(x)－f(x)＞0，构造函数h(x)= ．
4)对于f(x)＋f′(x)＞0，构造函数h(x)= exf(x) ．
5)对于f′(x)－f(x)＞0，构造函数h(x)= ．
5．利用导数判断函数的单调性：
(1) 设函数y=f(x)在某个区间内可导且连续，如果f′(x)＞0，那么f(x)为 增函数 ；如果f′(x)＜0，那么f(x)为 减函数 ．
(2) 由函数的单调性求参数的取值范围
1)若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则 f′(x)≥0 恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则 f′(x)≤0 恒成立．
2)若可导函数在某区间上存在单调增(减)区间，则 f′(x)＞0 ( f′(x)＜0 )在该区间上存在解集．
如：已知函数f(x)=ln x－ax2－2x(a≠0)，若f(x)在[1，4]上单调递减，则实数a的取值范围为 ∪(0，＋∞) ；若f(x)在[1，4]上存在单调减区间，则实数a的取值范围为 (－1，0)∪(0，＋∞) ．
6．利用导数求函数极值、最值：
若x=x0是方程f′(x)=0的根，当x＜x0时f′(x)＞0且x＞x0时f′(x)＜0，那么函数y=f(x)在x=x0处取得 极大 值；当x＜x0时f′(x)＜0且x＞x0时f′(x)＞0，那么函数y=f(x)在x=x0处取得 极小 值；将y=f(x)在[a，b]内的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
如：已知x=2是f(x)=2ln x＋ax2－3x的极值点，则f(x)在上的最大值是 2ln 3－ ．
另外，f(x)＞a恒成立 f(x)min＞a；f(x)＜a恒成立 f(x)max＜a；
f(x)＞a能成立 f(x)max＞a；f(x)＜a能成立 f(x)min＜a．
如：已知函数f(x)=ln x－ax－1，若f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围为 ．
五、 三角函数
1．在半径为r的圆内，弧长为l的圆心角α的弧度数的绝对值|α|=① ；扇形的面积公式为S=② lr =③ |α|r2 ．
如：已知一扇形的周长为16 cm，则S的最大值为④ 16 cm2，此时扇形圆心角为⑤ 2 ．
2．诱导公式的记忆可概括为：奇变偶不变，符号看象限(答案从左到右，从上到下，统一编号为⑥)．
sin(2kπ＋α)= ＋ sin α，cos(2kπ＋α)= ＋ cos α，tan(2kπ＋α)= ＋ tan α；
sin(2π－α)= － sin α，cos(2π－α)= ＋ cos α，tan(2π－α)= － tan α；
sin(π＋α)= － sin α，cos(π＋α)= － cos α，tan(π＋α)= ＋ tan α；
sin(π－α)= ＋ sin α，cos(π－α)= － cos α，tan(π－α)= － tan α；
sin(－α)= － sin α，cos(－α)= ＋ cos α，tan(－α)= － tan α；
sin= cos α ，cos= sin α ，tan= ；
sin= －cos α ，cos= －sin α ，tan= ．
如：已知sin＋cos(π－α)=sin α，则2sin2α－sin αcos α=⑦ 2 ．
3．两角和、差的三角公式
sin(α＋β)=⑧ sin αcos β＋cos αsin β ；cos(α＋β)=⑨ cos αcos β－sin αsin β ；
tan(α＋β)=⑩ ；sin(α－β)= sin αcos β－cos αsin β ；
cos(α－β)= cos αcos β＋sin αsin β ；tan(α－β)= ．
4．二倍角公式
sin 2α= 2sin αcos α ，tan 2α= ，
cos 2α= cos2α－sin2α = 2cos2α－1 = 1－2sin2α ．
如：已知sin α=，cos β=，且α，β为锐角，则α＋2β= ．
5．降幂公式：sin2α= ，cos2α= ．
6．辅助角公式：asin x＋bcos x= sin(x＋φ) ，其中tan φ= ．
如：将函数f(x)=－sin x＋cos x写成f(x)=Asin(x＋φ)的形式为 2sin ．
7．三角函数的图象和性质
正弦函数y=sin x 余弦函数y=cos x 正切函数y=tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1，1](有界性) [－1，1](有界性) R
零点 {x|x=kπ，k∈Z} {x|x=kπ，k∈Z}
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调 性 增区间 (k∈Z) [－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z) (k∈Z)
减区间 (k∈Z) [2kπ，π＋2kπ](k∈Z)
对称性 对称轴 x=＋kπ(k∈Z) x=kπ(k∈Z)
对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z)
8．正弦型函数y=Asin(ωx＋φ)(A＞0)
(1) 先平移后伸缩：
y=sin x y=siny=sin
y=sin
(2) 先伸缩后平移：
y=sin x y=sin 2x y=sin
y=sin
如：已知函数f(x)=2sin，将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)在[0，2π]上的单调减区间为 ．
9．解斜三角形
(1) 正弦定理： == =2R(R为△ABC外接圆的半径)．
(2) 余弦定理：a2= b2＋c2－2bccos A ，b2= a2＋c2－2accos B ，c2= a2＋b2－2abcos C ．
(3) 面积公式：S△ABC= bcsin A = acsin B = absin C ．
S△ABC===r·p，其中p=(a＋b＋c)，R，r分别为△ABC的外接圆和内切圆的半径．
如：在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，则= ．
10．常用的三角换元
如：在圆x2＋y2=a2中，可设x=acos θ，y=asin θ；在椭圆＋=1中，可设x=acos θ，y=bsin θ．
六、 数列
1．an和Sn之间的关系：an=①(如若a1也适合n≥2时的表达式，则统一成一种形式)．
如：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2n＋2－3，则an=② ．
2．等差数列、等比数列的性质：
等差数列 等比数列
求和公式 Sn=③ =④ na1＋d 当q=1时，Sn=⑦ na1 ； 当q≠1时，Sn=⑧
性质 若m＋n=p＋q，则⑤ am＋an=ap＋aq ； 若m＋n=2p，则⑥ am＋an=2ap ； Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列 若m＋n=p＋q，则⑨ am·an=ap·aq ； 若m＋n=2p，则⑩ am·an= ； Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列
3．根据数列递推公式求通项
(1) 累加法，如：已知{an}中a1=1，an＋1=an＋3n，则an= ．
(2) 累乘法，如：已知{an}中a1=2，an＋1=an，则an= 2n ．
(3) an＋1=pan＋q(p，q为常数)型：设an＋1＋x=p(an＋x)，得到x=，则为等比数列．
如：已知a1=1，an＋1=2an＋5，则an= 3×2n－5 ．
(4) an＋1=pan＋qn(p，q为常数)型：两边同时除以qn＋1，得=＋，令bn=，转化为bn＋1=bn＋，再用(3)法解决．
4．常用结论
(1) 1＋2＋3＋…＋n=． (2) 1＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2.
(3) 12＋22＋32＋…＋n2=n(n＋1)(2n＋1)． (4) 13＋23＋33＋…＋n3=2.
(5) 裂项相消法：an== ；an== －) ；an== (a≠1)；an== － ；an== ；an=(－1)n= (－1)n ．
七、 平面向量
1．设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)．
(1) |a|=① ．(2) a∥b(b≠0) ② x1y2－x2y1=0 ．(3) a⊥b ③ x1x2＋y1y2=0 ．
(4) a·b=④ |a||b|·cos θ =⑤ x1x2＋y1y2 ．(5) cos〈a，b〉=⑥ ．
如：已知向量a=(2，m)，b=(3，1)，若a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是⑦ ．
2．向量b在a上的投影向量为⑧ ·a ．
如：已知向量a，b满足|a＋b|=|a－b|，则a＋b在a上的投影向量为⑨ a ．
3．设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则
(1) 若P(x，y)为线段P1P2的中点，则x=⑩ ，y= ．
(2) 若P(x，y)为直线P1P2上的一点，且=λ，则x= ，y= ．
(3) P1，P，P2三点共线 存在实数λ，μ使得=λ＋，其中 λ＋μ=1 ．
如：在△ABC中，M是BC的中点，点N满足=，AM与CN交于点D，=λ，则λ= ．
4．△ABC中向量性质：
(1) 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则重心G的坐标为 ．
(2) ＋=2 P为 BC的中点 ．
(3) ＋＋=0 P为 重心 ．
(4) == P为 垂心 ．
八、 直线和圆的方程
1．直线的两种位置关系
(1) 当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时：
1) 两直线平行：l1∥l2 ① k1=k2 ．
2) 两直线垂直：l1⊥l2 ② k1k2=－1 ．
如：已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3=0，l2：2x＋ay－1=0，若l1⊥l2，则实数a的值是③ 0或－1 ．
(2) 直线方程一般式是Ax＋By＋C=0.
1) 若直线l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，则l1∥l2 ④ A1B2－B1A2=0且A1C2－A2C1≠0 ．
2) 若直线l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，则l1⊥l2 ⑤ A1A2＋B1B2=0 ．
2．三种距离公式
(1) 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点间的距离|AB|=⑥ ．
(2) 已知直线方程为Ax＋By＋C=0(A2＋B2≠0)，则点P(x0，y0)到直线的距离d=⑦ ．
(3) 两平行线l1：Ax＋By＋C1=0，l2：Ax＋By＋C2=0(A2＋B2≠0)间的距离d=⑧ ．
3．圆的方程
(1) 以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为⑨ (x－a)2＋(y－b)2=r2 ．
(2) 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0中圆心为⑩ ，半径为 ．
(3) 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0 ．
4．圆的切线方程
(1) 过圆x2＋y2=r2上的点P(x0，y0)的切线方程为 x0x＋y0y=r2 ．
(2) 过圆(x－a)2＋(y－b)2=r2上的点P(x0，y0)的切线方程为 (x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)=r2 ．
5．圆的弦所在直线方程
(1) 过圆x2＋y2=r2外一点P(x0，y0)作圆的两切线，A，B为切点，则直线AB的方程为 x0x＋y0y=r2 ；过圆(x－a)2＋(y－b)2=r2外一点P(x0，y0)作圆的两切线，A，B为切点，则直线AB的方程为 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)=r2 ．
(2) 相交两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0的公共弦所在的直线方程为 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)=0 ．
如：圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24=0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8=0的公共弦所在直线的方程为 x－2y＋4=0 ，公共弦长为 2 ．
九、 圆锥曲线方程
1．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称 椭圆 双曲线 抛物线
定义 |PF1|＋|PF2|=2a(2a＞|F1F2|) ||PF1|－|PF2||=2a(2a＜|F1F2|) |PF|=|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l交l于点M
标准方程 ＋=1(a＞b＞0) －=1(a＞0，b＞0) y2=2px(p＞0)
图形
几 何 性 质 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0
顶点 (±a，0)，(0，±b) (±a，0) (0，0)
对称性 关于x轴、y轴和原点对称 关于x轴对称
焦点 (±c，0)
轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e==(0＜e＜1) e==(e＞1) e=1
准线 x=± x=± x=－
渐近线 y=±x
如：1) 已知椭圆＋=1的两个焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于M，N两点，则△F1MN的周长为① 8 ．
2) 已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2=2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为② 2 ．
2．斜率为k的直线与圆锥曲线相交的弦长公式|AB|==③ |x1－x2| ．
3．抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦(过焦点的弦)为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有如下结论：
(1) |AB|=x1＋x2＋p．(2) x1x2=④ ，y1y2=⑤ －p2 ．(3) ＋=⑥ ．
4．圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．
在椭圆＋=1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k=⑦ － ；在双曲线－=1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k=⑧ ；在抛物线y2=2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k=⑨ ．
5．过椭圆＋=1(a＞b＞0)上的点P(x0，y0)的切线方程为⑩ ＋=1 ；过椭圆＋=1(a＞b＞0)外一点P(x0，y0)作两切线，A，B为切点，则直线AB的方程为 ＋=1 ．
十、 直线、平面、简单几何体
1．证明直线与平面平行的常用方法：
(1) 利用线面平行的定义(无公共点)．
(2) 利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)．
(3) 利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)．
2．证明平面与平面平行的常用方法：
(1) 面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)．
(2) 面面平行的判定定理(a β，b β，a∩b=P，a∥α，b∥α β∥α，这是主要方法)．
(3) 利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)．
(4) 利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．
3．证明直线与平面垂直的常用方法：
(1) 线面垂直的判定定理(l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b=P l⊥α)．
(2) 面面垂直的性质定理(α⊥β，α∩β=l，a α，l⊥a a⊥β)．
(3) 性质：a∥b，b⊥α a⊥α；α∥β，a⊥β a⊥α．
4．证明平面与平面垂直的常用方法：
(1) 定义法：判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．
(2) 定理法：证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线面垂直解决．
5．空间角的求法：
(1) 异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角．
异面直线所成角的范围：① ．
设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角的余弦为② ．
(2) 线面所成的角：斜线与它在平面内的投影所成的角．
斜线与平面所成角的范围：③ ．
设a是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角的正弦为④ ．
(3) 二面角
二面角大小的范围：⑤ [0，π] ．
面面夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，其中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
设n1，n2是二面角α－l－β的两个半平面的法向量，则二面角α－l－β的平面角θ的余弦的绝对值为|cos θ|=⑥ ．
6．距离的求法：
(1) 点线距：设e是直线l的方向向量，A是l上一点，则点P到直线l的距离为d=⑦ ||sin〈，e〉 ．
(2) 点面距：设n是平面α的法向量，A是α外一点，在α内取一点B，则A到α的距离d=⑧ ．
7．多面体
棱柱：
(1) 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．
棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱；
四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体．
(2) 性质：1) 侧面都是平行四边形；
2) 两底面是全等多边形；
3) 平行于底面的截面和底面全等，对角面是平行四边形；
4) 长方体一条体对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
棱锥：
定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．
正棱锥：底面是正多边形，各侧棱长都相等的棱锥叫做正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥叫正四面体．
8．立体几何中的表面积和体积公式
(1)表面积公式
S圆柱侧=⑨ 2πrl ，S圆锥侧=⑩ πrl ，S圆台侧= π(r＋R)l ，S球= 4πR2 ．
如：已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 2 cm．
(2)体积公式
V柱体=Sh(S为底面积，h为高)，V锥体=Sh(S为底面积，h为高)，
V台体= (S上＋S下＋)×h ，V球= πR3 ．
如：正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为 ．
十一、 排列组合和二项式定理
1．排列数公式：=n(n－1)·…·(n－m＋1)=(m≤n，m，n∈N*)，当m=n时为全排列=n!．
2．组合数公式：==(m≤n)，==① 1 ．
3．二项式定理：(a＋b)n=an＋an－1b＋…＋an－rbr＋…＋bn(n∈N*)．
(1) 展开式共有② n＋1 项，其中(r=0，1，2，…，n)叫做③ 二项式 系数，
an－rbr叫做二项式的④ 展开式通项 ，即展开式的第⑤ r＋1 项．
(2) 二项式系数具有下列性质：与首末两端等距离的二项式系数相等，即=；展开式正中间的二项式系数最大；＋＋＋…＋=⑥ 2n ；＋＋…=＋＋…=⑦ 2n－1 ．
特别提醒：二项式的展开式的项的系数与二项式系数是不同的两个概念，如在(ax＋b)n的展开式中，第r＋1项的二项式系数为，第r＋1项的系数为an－rbr．
十二、 概率与统计
1．用样本估计总体
(1) 众数：出现次数最多的数．
(2) 中位数：将数据从小到大排列，则处于正中间的一个数叫做中位数．若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均数作为中位数．用频率分布直方图来估计中位数时，该数两侧面积相等．
(3) 第p百分位数
计算步骤：
第1步，按① 从小到大 的顺序排列原始的n个数据；
第2步，计算i=② n×p% ；
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第③ j 项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第j项数据的④ 平均数 ．
(4) 分层随机抽样的均值与方差
设两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为，，方差分别为，，则这个样本的均值为=⑤ ，方差为s2=⑥ ＋(－)2]＋＋(－)2] ．
2．概率的计算公式
(1) 古典概型的概率计算公式：P(A)=．
(2) 互斥事件的概率计算公式：P(A∪B)=⑦ P(A)＋P(B) ．
(3) 独立事件的概率计算公式：P(AB)=⑧ P(A)P(B) ，这也是两个事件是否独立的判定方法．
(4) 对立事件的概率计算公式：P()=⑨ 1－P(A) ．
(5) 条件概率公式：P(B|A)=⑩ ；
概率的乘法公式：P(AB)= P(A)P(B|A) ；
全概率公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)＞0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)= =1P(Ai)P(B|Ai) ．
3．离散型随机变量的分布列：
ξ x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
1) 期望(又称均值)E(ξ)=x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…．
2) 方差D(ξ)=[x1－E(ξ)]2p1＋[x2－E(ξ)]2p2＋…＋[xn－E(ξ)]2pn＋…．
3) 标准差δ(ξ)=．
4) E(a(ξ)＋b)=aE(ξ)＋b；D(a(ξ)＋b)=a2D(ξ)．
4．二项分布：在n次试验中，每次发生的概率为p，满足P(ξ=k)=pk(1－p)n－k，则称随机变量ξ服从二项分布，记作ξ~B(n，p)，则E(ξ)= np ，D(ξ)= np(1－p) ．
5．正态总体的概率密度函数：f(x)=，x∈R，式中μ，σ是参数，分别表示总体的平均数与标准差．
6．(1) 经验回归方程=x＋必过样本点的中心 (，) ．
(2) 样本相关系数r具有如下性质：
1) |r|≤1；
2) |r|越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强；
3) |r|越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越弱．
7．2×2列联表的独立性检验：χ2=，n=a＋b＋c＋d．考前排查 考点回放
一、 不等式
1．二次函数y=ax2＋bx＋c(a＞0)与一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a＞0)、不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)和ax2＋bx＋c≤0(a＞0)的解的对应关系
判别式Δ=b2－4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0
二次函数的图象
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1=x2=－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} R
ax2＋bx＋c≤0的解集 [x1，x2] {x1}
2．一元二次不等式的恒成立问题
(1) ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是① ．
(2) ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的条件是② ．
如：若对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是③ ．
3．基本不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；≤(a≥0，b≥0)；变式：ab≤2≤(a，b∈R)，以上不等式当且仅当a=b时等号成立．
如：已知x＞0，y＞0，且4x＋2y－xy=0，则2x＋y的最小值为④ ．
二、 集合与简易逻辑
1．常用数集的符号表示：自然数集① ；正整数集② ；整数集③ ；有理数集④ ；实数集⑤ ．
2．注意区分集合中元素的形式，如：
A={x|y=x2－1}表示⑥ ；
B={y|y=x2－1}表示⑦ ；
C={(x，y)|y=x2－1}表示⑧ ；
D=表示⑨ ．
3．空集是指不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集．
(1) 注意{0}、 和{ }的区别：
{0}表示⑩ ； 表示 ；{ }表示 ．
(2) 注意：当条件为A B时，在讨论的时候不要遗忘了A= 的情况．
如：A={x|1≤ax≤2}，B={x|x2－2x－3≤0}，若A B，则a的取值范围为 ．
4．含n个元素的集合的子集个数为 ；真子集个数为 ．
5．若p q且qp，则q的一个 条件是p．
6．全称量词命题、存在量词命题及其否定
(1)全称量词命题： x∈M，p(x)，它的否定为存在量词命题： ．
(2)存在量词命题： x∈M，p(x)，它的否定为全称量词命题： ．
(3)命题与其否定真假相反．
三、 函数
1．函数的单调性
(1) 单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 ＞0 f(x)在[a，b]上单调递① ；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0 ＜0 f(x)在[a，b]上单调递② ．
(2) 若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数．
(3) 复合函数单调性由“同增异减”判定：对于复合函数f[g(x)]，设t=g(x)，若t关于x的单调性与f关于t的单调性相同，f[g(x)]就是x的③ ；若t关于x的单调性与f关于t的单调性相异，f[g(x)]就是x的④ ．
提醒：求单调区间时要注意定义域；单调性一般用区间表示，不能用集合表示．
如：1)函数y=(－x2＋2x)的单调递增区间是⑤ ．
2)已知函数f(x)=是R上的增函数，则实数a的取值范围是⑥ ．
2．函数的奇偶性
(1) 函数有奇偶性的必要条件是其定义域关于⑦ 对称．
(2) 若f(x)是偶函数，则f(－x)=⑧ ，在关于原点对称的两个区间上单调性⑨ ；若f(x)是奇函数，则f(－x)=⑩ ，在关于原点对称的两个区间上单调性 ．
如：若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则不等式f(2x)＜f(x－1)的解集为 ．
(3) 定义域包含零的奇函数必满足 ．
(4) f(x＋a)是偶函数 f(x＋a)= ．
(5) 若f(x)是偶函数，则f(x＋1)的对称轴是 ；若f(x＋1)是奇函数，则f(x)的对称中心是 ．
3．函数的周期性
(1)若函数f(x)满足f(x＋a)=f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
(2)若函数f(x)满足f(x＋a)=，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
(3)若函数f(x)满足f(x＋a)=－f(x)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
如：若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)=－f(x)，且当1≤x≤2时，f(x)=x－1，则f= ．
4．函数图象的几种常见变换
(1) 平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；
上下平移——“上加下减”(注意是针对f(x)而言)．
(2) 翻折变换：y=f(x)→y=f(|x|)；y=f(x)→y=|f(x)|．
(3) 伸缩变换(a＞0)：f(x)→f(ax)；f(x)→af(x)．
(4) 对称变换：函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于 对称；函数f(x)的图象与函数－f(x)的图象关于 对称；函数f(x)的图象与函数－f(－x)的图象关于 对称；函数f(x)的图象与它的反函数的图象关于 对称；若函数f(x)满足f(a＋x)=f(b－x)，则f(x)的图象关于 对称；对于两个函数y=f(a＋x)，y=f(b－x)，它们的图象关于直线x=对称(由a＋x=b－x求得)．
如：已知奇函数f(x)满足f(5)=1，且f(x－2)的图象关于x=3对称，则f(1 001)= ．
5．指数函数与对数函数的基本性质
(1) 定点：y=ax(a＞0，且a≠1)恒过定点 ；y=logax(a＞0，且a≠1)恒过定点 ．
(2) 单调性：当a＞1时，y=ax在R上单调递 ，y=logax在(0，＋∞)上单调递 ；
当0＜a＜1时，y=ax在R上单调递 ，y=logax在(0，＋∞)上单调递 ．
注意：(1)y=ax与y=logax的图象关系是 ．
(2) 对数运算法则： ； ； ．
(3) loganbm= ；换底公式： ；对数恒等式： ．
如：1) 已知函数f(x)=(x2＋kx＋2)的定义域为R，则k的取值范围为 ．
2) 已知函数f(x)=(x2＋kx＋2)的值域为R，则k的取值范围为 ．
四、 导数
1．导数的定义：f(x)在点x0处的导数记作y′|x=x0=f′(x0)=．
2．函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义：曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，切线方程为y－f(x0)=f′(x0)(x－x0)．
如：曲线f(x)=在(0，f(0))处的切线方程为① ．
3．常见函数的导数公式：C′=② (C为常数)；(xn)′=③ ；(sin x)′=④ ；(cos x)′=⑤ ；(ax)′=⑥ ；(ex)′=⑦ ；(logax)′=⑧ ；(ln x)′=⑨ ．
4．导数的四则运算法则：
[f(x)＋g(x)]′=⑩ ；[f(x)·g(x)]′= ；
′= ；[f(g(x))]′=f′(g(x))·g′(x)．
如：1)[ln(x2－1)]′= ．
2)对于xf′(x)＋f(x)＞0，构造函数h(x)= ．
3)对于xf′(x)－f(x)＞0，构造函数h(x)= ．
4)对于f(x)＋f′(x)＞0，构造函数h(x)= ．
5)对于f′(x)－f(x)＞0，构造函数h(x)= ．
5．利用导数判断函数的单调性：
(1) 设函数y=f(x)在某个区间内可导且连续，如果f′(x)＞0，那么f(x)为 ；如果f′(x)＜0，那么f(x)为 ．
(2) 由函数的单调性求参数的取值范围
1)若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则 恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则 恒成立．
2)若可导函数在某区间上存在单调增(减)区间，则 ( )在该区间上存在解集．
如：已知函数f(x)=ln x－ax2－2x(a≠0)，若f(x)在[1，4]上单调递减，则实数a的取值范围为 ；若f(x)在[1，4]上存在单调减区间，则实数a的取值范围为 ．
6．利用导数求函数极值、最值：
若x=x0是方程f′(x)=0的根，当x＜x0时f′(x)＞0且x＞x0时f′(x)＜0，那么函数y=f(x)在x=x0处取得 值；当x＜x0时f′(x)＜0且x＞x0时f′(x)＞0，那么函数y=f(x)在x=x0处取得 值；将y=f(x)在[a，b]内的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
如：已知x=2是f(x)=2ln x＋ax2－3x的极值点，则f(x)在上的最大值是 ．
另外，f(x)＞a恒成立 f(x)min＞a；f(x)＜a恒成立 f(x)max＜a；
f(x)＞a能成立 f(x)max＞a；f(x)＜a能成立 f(x)min＜a．
如：已知函数f(x)=ln x－ax－1，若f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围为 ．
五、 三角函数
1．在半径为r的圆内，弧长为l的圆心角α的弧度数的绝对值|α|=① ；扇形的面积公式为S=② =③ ．
如：已知一扇形的周长为16 cm，则S的最大值为④ cm2，此时扇形圆心角为⑤ ．
2．诱导公式的记忆可概括为：奇变偶不变，符号看象限(答案从左到右，从上到下，统一编号为⑥)．
sin(2kπ＋α)= sin α，cos(2kπ＋α)= cos α，tan(2kπ＋α)= tan α；
sin(2π－α)= sin α，cos(2π－α)= cos α，tan(2π－α)= tan α；
sin(π＋α)= sin α，cos(π＋α)= cos α，tan(π＋α)= tan α；
sin(π－α)= sin α，cos(π－α)= cos α，tan(π－α)= tan α；
sin(－α)= sin α，cos(－α)= cos α，tan(－α)= tan α；
sin= ，cos= ，tan= ；
sin= ，cos= ，tan= ．
如：已知sin＋cos(π－α)=sin α，则2sin2α－sin αcos α=⑦ ．
3．两角和、差的三角公式
sin(α＋β)=⑧ ；cos(α＋β)=⑨ ；
tan(α＋β)=⑩ ；sin(α－β)= ；
cos(α－β)= ；tan(α－β)= ．
4．二倍角公式
sin 2α= ，tan 2α= ，cos 2α= = = ．
如：已知sin α=，cos β=，且α，β为锐角，则α＋2β= ．
5．降幂公式：sin2α= ，cos2α= ．
6．辅助角公式：asin x＋bcos x= ，其中tan φ= ．
如：将函数f(x)=－sin x＋cos x写成f(x)=Asin(x＋φ)的形式为 ．
7．三角函数的图象和性质
正弦函数y=sin x 余弦函数y=cos x 正切函数y=tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1，1](有界性) [－1，1](有界性) R
零点
最小正周期 2π 2π π
奇偶性
单调 性 增区间
减区间
对称性 对称轴
对称中心
8．正弦型函数y=Asin(ωx＋φ)(A＞0)
(1) 先平移后伸缩：
y=sin x y=siny=sin
y=sin
(2) 先伸缩后平移：
y=sin x y=sin 2x y=sin
y=sin
如：已知函数f(x)=2sin，将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)在[0，2π]上的单调减区间为 ．
9．解斜三角形
(1) 正弦定理： =2R(R为△ABC外接圆的半径)．
(2) 余弦定理：a2= ，b2= ，c2= ．
(3) 面积公式：S△ABC= = = ．
S△ABC===r·p，其中p=(a＋b＋c)，R，r分别为△ABC的外接圆和内切圆的半径．
如：在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，则= ．
10．常用的三角换元
如：在圆x2＋y2=a2中，可设x=acos θ，y=asin θ；在椭圆＋=1中，可设x=acos θ，y=bsin θ．
六、 数列
1．an和Sn之间的关系：an=①(如若a1也适合n≥2时的表达式，则统一成一种形式)．
如：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2n＋2－3，则an=② ．
2．等差数列、等比数列的性质：
等差数列 等比数列
求和公式 Sn=③ =④ 当q=1时，Sn=⑦ ； 当q≠1时，Sn=⑧
性质 若m＋n=p＋q，则⑤ ； 若m＋n=2p，则⑥ ； Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列 若m＋n=p＋q，则⑨ ； 若m＋n=2p，则⑩ ； Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列
3．根据数列递推公式求通项
(1) 累加法，如：已知{an}中a1=1，an＋1=an＋3n，则an= ．
(2) 累乘法，如：已知{an}中a1=2，an＋1=an，则an= ．
(3) an＋1=pan＋q(p，q为常数)型：设an＋1＋x=p(an＋x)，得到x=，则为等比数列．
如：已知a1=1，an＋1=2an＋5，则an= ．
(4) an＋1=pan＋qn(p，q为常数)型：两边同时除以qn＋1，得=＋，令bn=，转化为bn＋1=bn＋，再用(3)法解决．
4．常用结论
(1) 1＋2＋3＋…＋n=． (2) 1＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2.
(3) 12＋22＋32＋…＋n2=n(n＋1)(2n＋1)． (4) 13＋23＋33＋…＋n3=2.
(5) 裂项相消法：an== ；an== ；an== (a≠1)；an== ；an== ；an=(－1)n= ．
七、 平面向量
1．设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)．
(1) |a|=① ．(2) a∥b(b≠0) ② ．(3) a⊥b ③ ．
(4) a·b=④ =⑤ ．(5) cos〈a，b〉=⑥ ．
如：已知向量a=(2，m)，b=(3，1)，若a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是⑦ ．
2．向量b在a上的投影向量为⑧ ．
如：已知向量a，b满足|a＋b|=|a－b|，则a＋b在a上的投影向量为⑨ ．
3．设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则
(1) 若P(x，y)为线段P1P2的中点，则x=⑩ ，y= ．
(2) 若P(x，y)为直线P1P2上的一点，且=λ，则x= ，y= ．
(3) P1，P，P2三点共线 存在实数λ，μ使得=λ＋，其中 ．
如：在△ABC中，M是BC的中点，点N满足=，AM与CN交于点D，=λ，则λ= ．
4．△ABC中向量性质：
(1) 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则重心G的坐标为 ．
(2) ＋=2 P为 ．
(3) ＋＋=0 P为 ．
(4) == P为 ．
八、 直线和圆的方程
1．直线的两种位置关系
(1) 当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时：
1) 两直线平行：l1∥l2 ① ．
2) 两直线垂直：l1⊥l2 ② ．
如：已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3=0，l2：2x＋ay－1=0，若l1⊥l2，则实数a的值是③ ．
(2) 直线方程一般式是Ax＋By＋C=0.
1) 若直线l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，则l1∥l2 ④ ．
2) 若直线l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，则l1⊥l2 ⑤ ．
2．三种距离公式
(1) 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点间的距离|AB|=⑥ ．
(2) 已知直线方程为Ax＋By＋C=0(A2＋B2≠0)，则点P(x0，y0)到直线的距离d=⑦ ．
(3) 两平行线l1：Ax＋By＋C1=0，l2：Ax＋By＋C2=0(A2＋B2≠0)间的距离d=⑧ ．
3．圆的方程
(1) 以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为⑨ ．
(2) 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0中圆心为⑩ ，半径为 ．
(3) 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为 ．
4．圆的切线方程
(1) 过圆x2＋y2=r2上的点P(x0，y0)的切线方程为 ．
(2) 过圆(x－a)2＋(y－b)2=r2上的点P(x0，y0)的切线方程为 ．
5．圆的弦所在直线方程
(1) 过圆x2＋y2=r2外一点P(x0，y0)作圆的两切线，A，B为切点，则直线AB的方程为 ；过圆(x－a)2＋(y－b)2=r2外一点P(x0，y0)作圆的两切线，A，B为切点，则直线AB的方程为 ．
(2) 相交两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0的公共弦所在的直线方程为 ．
如：圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24=0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8=0的公共弦所在直线的方程为 ，公共弦长为 ．
九、 圆锥曲线方程
1．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称 椭圆 双曲线 抛物线
定义 |PF1|＋|PF2|=2a(2a＞|F1F2|) ||PF1|－|PF2||=2a(2a＜|F1F2|) |PF|=|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l交l于点M
标准方程 ＋=1(a＞b＞0) －=1(a＞0，b＞0) y2=2px(p＞0)
图形
几 何 性 质 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0
顶点 (±a，0)，(0，±b) (±a，0) (0，0)
对称性 关于x轴、y轴和原点对称 关于x轴对称
焦点 (±c，0)
轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e==(0＜e＜1) e==(e＞1) e=1
准线 x=± x=± x=－
渐近线 y=±x
如：1) 已知椭圆＋=1的两个焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于M，N两点，则△F1MN的周长为① ．
2) 已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2=2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为② ．
2．斜率为k的直线与圆锥曲线相交的弦长公式|AB|==③ ．
3．抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦(过焦点的弦)为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有如下结论：
(1) |AB|=x1＋x2＋p．(2) x1x2=④ ，y1y2=⑤ ．(3) ＋=⑥ ．
4．圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．
在椭圆＋=1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k=⑦ ；在双曲线－=1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k=⑧ ；在抛物线y2=2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k=⑨ ．
5．过椭圆＋=1(a＞b＞0)上的点P(x0，y0)的切线方程为⑩ ；过椭圆＋=1(a＞b＞0)外一点P(x0，y0)作两切线，A，B为切点，则直线AB的方程为 ．
十、 直线、平面、简单几何体
1．证明直线与平面平行的常用方法：
(1) 利用线面平行的定义(无公共点)．
(2) 利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)．
(3) 利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)．
2．证明平面与平面平行的常用方法：
(1) 面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)．
(2) 面面平行的判定定理(a β，b β，a∩b=P，a∥α，b∥α β∥α，这是主要方法)．
(3) 利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)．
(4) 利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．
3．证明直线与平面垂直的常用方法：
(1) 线面垂直的判定定理(l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b=P l⊥α)．
(2) 面面垂直的性质定理(α⊥β，α∩β=l，a α，l⊥a a⊥β)．
(3) 性质：a∥b，b⊥α a⊥α；α∥β，a⊥β a⊥α．
4．证明平面与平面垂直的常用方法：
(1) 定义法：判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．
(2) 定理法：证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线面垂直解决．
5．空间角的求法：
(1) 异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角．
异面直线所成角的范围：① ．
设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角的余弦为② ．
(2) 线面所成的角：斜线与它在平面内的投影所成的角．
斜线与平面所成角的范围：③ ．
设a是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角的正弦为④ ．
(3) 二面角
二面角大小的范围：⑤ ．
面面夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，其中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
设n1，n2是二面角α－l－β的两个半平面的法向量，则二面角α－l－β的平面角θ的余弦的绝对值为|cos θ|=⑥ ．
6．距离的求法：
(1) 点线距：设e是直线l的方向向量，A是l上一点，则点P到直线l的距离为d=⑦ ．
(2) 点面距：设n是平面α的法向量，A是α外一点，在α内取一点B，则A到α的距离d=⑧ ．
7．多面体
棱柱：
(1) 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．
棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱；
四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体．
(2) 性质：1) 侧面都是平行四边形；
2) 两底面是全等多边形；
3) 平行于底面的截面和底面全等，对角面是平行四边形；
4) 长方体一条体对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
棱锥：
定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．
正棱锥：底面是正多边形，各侧棱长都相等的棱锥叫做正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥叫正四面体．
8．立体几何中的表面积和体积公式
(1)表面积公式
S圆柱侧=⑨ ，S圆锥侧=⑩ ，S圆台侧= ，S球= ．
如：已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为
cm．
(2)体积公式
V柱体=Sh(S为底面积，h为高)，V锥体=Sh(S为底面积，h为高)，
V台体= ，V球= ．
如：正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为 ．
十一、 排列组合和二项式定理
1．排列数公式：=n(n－1)·…·(n－m＋1)=(m≤n，m，n∈N*)，当m=n时为全排列=n!．
2．组合数公式：==(m≤n)，==① ．
3．二项式定理：(a＋b)n=an＋an－1b＋…＋an－rbr＋…＋bn(n∈N*)．
(1) 展开式共有② 项，其中(r=0，1，2，…，n)叫做③ 系数，an－rbr叫做二项式的④ ，即展开式的第⑤ 项．
(2) 二项式系数具有下列性质：与首末两端等距离的二项式系数相等，即=；展开式正中间的二项式系数最大；＋＋＋…＋=⑥ ；＋＋…=＋＋…=⑦ ．
特别提醒：二项式的展开式的项的系数与二项式系数是不同的两个概念，如在(ax＋b)n的展开式中，第r＋1项的二项式系数为，第r＋1项的系数为an－rbr．
十二、 概率与统计
1．用样本估计总体
(1) 众数：出现次数最多的数．
(2) 中位数：将数据从小到大排列，则处于正中间的一个数叫做中位数．若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均数作为中位数．用频率分布直方图来估计中位数时，该数两侧面积相等．
(3) 第p百分位数
计算步骤：
第1步，按① 的顺序排列原始的n个数据；
第2步，计算i=② ；
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第③ 项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第j项数据的④ ．
(4) 分层随机抽样的均值与方差
设两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为，，方差分别为，，则这个样本的均值为=⑤ ，方差为s2=⑥ ．
2．概率的计算公式
(1) 古典概型的概率计算公式：P(A)=．
(2) 互斥事件的概率计算公式：P(A∪B)=⑦ ．
(3) 独立事件的概率计算公式：P(AB)=⑧ ，这也是两个事件是否独立的判定方法．
(4) 对立事件的概率计算公式：P()=⑨ ．
(5) 条件概率公式：P(B|A)=⑩ ；
概率的乘法公式：P(AB)= ；
全概率公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)＞0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)= ．
3．离散型随机变量的分布列：
ξ x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
1) 期望(又称均值)E(ξ)=x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…．
2) 方差D(ξ)=[x1－E(ξ)]2p1＋[x2－E(ξ)]2p2＋…＋[xn－E(ξ)]2pn＋…．
3) 标准差δ(ξ)=．
4) E(a(ξ)＋b)=aE(ξ)＋b；D(a(ξ)＋b)=a2D(ξ)．
4．二项分布：在n次试验中，每次发生的概率为p，满足P(ξ=k)=pk(1－p)n－k，则称随机变量ξ服从二项分布，记作ξ~B(n，p)，则E(ξ)= ，D(ξ)= ．
5．正态总体的概率密度函数：f(x)=，x∈R，式中μ，σ是参数，分别表示总体的平均数与标准差．
6．(1) 经验回归方程=x＋必过样本点的中心 ．
(2) 样本相关系数r具有如下性质：
1) |r|≤1；
2) |r|越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强；
3) |r|越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越弱．
7．2×2列联表的独立性检验：χ2=，n=a＋b＋c＋d．(共53张PPT)
考前排查
考点回放
一、 不等式
1．二次函数y=ax2＋bx＋c(a＞0)与一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a＞0)、不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)和ax2＋bx＋c≤0(a＞0)的解的对应关系
判别式Δ=b2－4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0
二次函数的图象
判别式Δ=b2－4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} R
ax2＋bx＋c≤0的解集 [x1，x2] {x1}
[1，3]
16
N
N*或N＋
Z
Q
R
R
{y|y≥－1}
二次函数图象上的点的集合
{x|x≤0或x≥4}
3．空集是指不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集．
(1) 注意{0}、 和{ }的区别：
{0}表示⑩_________________________； 表示 ________；{ }表示 __________ ________________．
(2) 注意：当条件为A B时，在讨论的时候不要遗忘了A= 的情况．
如：A={x|1≤ax≤2}，B={x|x2－2x－3≤0}，若A B，则a的取值范围为
___________________________．
4．含n个元素的集合的子集个数为 ______；真子集个数为 _________．
含有元素0的单元素集合
空集
含有元素
的单元素集合
2n
2n－1
5．若p q且q p，则q的一个 ______________条件是p．
6．全称量词命题、存在量词命题及其否定
(1)全称量词命题： x∈M，p(x)，它的否定为存在量词命题： _______________．
(2)存在量词命题： x∈M，p(x)，它的否定为全称量词命题： _______________．
(3)命题与其否定真假相反．
充分不必要
x∈M， p(x)
x∈M， p(x)
增
减
增函数
减函数
[1，2)
2．函数的奇偶性
(1) 函数有奇偶性的必要条件是其定义域关于⑦________对称．
(2) 若f(x)是偶函数，则f(－x)=⑧________，在关于原点对称的两个区间上单调性⑨________；若f(x)是奇函数，则f(－x)=⑩__________，在关于原点对称的两个区间上单调性 ________．
如：若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则不等式f(2x)＜f(x－1)的解集为 ________.
(3) 定义域包含零的奇函数必满足 ___________．
(4) f(x＋a)是偶函数 f(x＋a)= _____________．
(5) 若f(x)是偶函数，则f(x＋1)的对称轴是 __________；若f(x＋1)是奇函数，则f(x)的对称中心是 __________．
原点
f(x)
相反
－f(x)
相同
f(0)=0
f(－x＋a)
x=－1
(1，0)
y轴
x轴
原点
y=x
1
5．指数函数与对数函数的基本性质
(1) 定点：y=ax(a＞0，且a≠1)恒过定点 _________；y=logax(a＞0，且a≠1)恒过定点 __________．
(2) 单调性：当a＞1时，y=ax在R上单调递 ______，y=logax在(0，＋∞)上单调递 ______；
当0＜a＜1时，y=ax在R上单调递 ______，y=logax在(0，＋∞)上单调递 ______．
注意：(1)y=ax与y=logax的图象关系是 ____________________．
(2) 对数运算法则： _________________________； _______________________； __________________．
(3) loganbm= ________；换底公式： ___________；对数恒等式： __________.
(0，1)
(1，0)
增
增
减
减
关于直线y=x对称
logaM＋logaN=loga(MN)
logaNn=nlogaN
alogaN=N
y=3x－2
3．常见函数的导数公式：
C′=②_____(C为常数)；(xn)′=③__________；
(sin x)′=④_________；(cos x)′=⑤___________；
(ax)′=⑥__________；(ex)′=⑦______；
(logax)′=⑧_______；(ln x)′=⑨______．
0
nxn－1
cos x
－sin x
axln a
ex
f′(x)＋g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
xf(x)
exf(x)
增函数
减函数
f′(x)≥0
f′(x)≤0
f′(x)＞0
f′(x)＜0
(－1，0)∪(0，＋∞)
极大
极小
五、 三角函数
1．在半径为r的圆内，弧长为l的圆心角α的弧度数的绝对值|α|=①______；扇形的
面积公式为S=②________=③_________．
如：已知一扇形的周长为16 cm，则S的最大值为④______cm2，此时扇形圆心角为⑤_____．
2．诱导公式的记忆可概括为：奇变偶不变，符号看象限(答案从左到右，从上到下，统一编号为⑥)．
sin(2kπ＋α)=______sin α，cos(2kπ＋α)=______cos α，tan(2kπ＋α)=______tan α；
sin(2π－α)=______sin α，cos(2π－α)=______cos α，tan(2π－α)=______tan α；
16
2
＋
＋
＋
－
＋
－
－
－
＋
＋
－
－
－
＋
－
cos α
sin α
－cos α
－sin α
2
sin αcos β＋cos αsin β
cos αcos β－sin αsin β
sin αcos β－cos αsin β
cos αcos β＋sin αsin β
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
正弦函数y=sin x 余弦函数y=cos x 正切函数y=tan x
图象
正弦函数y=sin x 余弦函数y=cos x 正切函数y=tan x
定义域 R R
值域 [－1，1](有界性) [－1，1](有界性) R
零点 _______________
____________________ ________________
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 ________ ________ ________
{x|x=kπ，k∈Z}
{x|x=kπ，k∈Z}
奇函数
偶函数
奇函数
正弦函数y=sin x 余弦函数y=cos x 正切函数y=tan x
单调性 增区间 ____________________
减区间 ____________________
对称性 对称轴 ____________
对称中心 _________________ _______________
[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)
[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)
x=kπ(k∈Z)
(kπ，0)(k∈Z)
b2＋c2－2bccos A
a2＋c2－2accos B
a2＋b2－
2abcos C
2．等差数列、等比数列的性质：
等差数列 等比数列
求和公式
Sn=③____________=④______________ 当q=1时，Sn=⑦_______；
当q≠1时，Sn=⑧__________
性质 若m＋n=p＋q，则⑤______________；
若m＋n=2p，则⑥_______________；
Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列 若m＋n=p＋q，则⑨______________；
若m＋n=2p，则⑩____________；
Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列
am＋an=ap＋aq
am＋an=2ap
na1
am·an=ap·aq
七、 平面向量
1．设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)．
(1) |a|=①_________．(2) a∥b(b≠0) ②____________．(3) a⊥b ③____________.
(4) a·b=④___________=⑤___________．(5) cos〈a，b〉=⑥__________________．
如：已知向量a=(2，m)，b=(3，1)，若a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是⑦
________________________．
2．向量b在a上的投影向量为⑧_______．
如：已知向量a，b满足|a＋b|=|a－b|，则a＋b在a上的投影向量为⑨_____．
a
八、 直线和圆的方程
1．直线的两种位置关系
(1) 当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时：
1) 两直线平行：l1∥l2 ①__________．
2) 两直线垂直：l1⊥l2 ②_____________．
如：已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3=0，l2：2x＋ay－1=0，若l1⊥l2，则实数a的值是③__________．
(2) 直线方程一般式是Ax＋By＋C=0.
1) 若直线l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，则l1∥l2 ④________________ ________________．
2) 若直线l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，则l1⊥l2 ⑤_______________.
k1=k2
k1k2=－1
0或－1
A1B2－B1A2=0且
A1C2－A2C1≠0
A1A2＋B1B2=0
2．三种距离公式
(1) 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点间的距离|AB|=⑥______________________.
(2) 已知直线方程为Ax＋By＋C=0(A2＋B2≠0)，则点P(x0，y0)到直线的距离d=⑦
________________.
(3) 两平行线l1：Ax＋By＋C1=0，l2：Ax＋By＋C2=0(A2＋B2≠0)间的距离d=⑧_______.
3．圆的方程
(1) 以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为⑨____________________．
(2) 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0中圆心为⑩__________________，半径为
________________.
(3) 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为 _____________________________.
4．圆的切线方程
(1) 过圆x2＋y2=r2上的点P(x0，y0)的切线方程为 _____________．
(2) 过圆(x－a)2＋(y－b)2=r2上的点P(x0，y0)的切线方程为 _____________________ ___________.
5．圆的弦所在直线方程
(1) 过圆x2＋y2=r2外一点P(x0，y0)作圆的两切线，A，B为切点，则直线AB的方程为 ________________；过圆(x－a)2＋(y－b)2=r2外一点P(x0，y0)作圆的两切线，A，B为切点，则直线AB的方程为 ________________________________．
(2) 相交两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0的公共弦所在的直线方程为 __________________________________．
如：圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24=0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8=0的公共弦所在直线的方程为 _______________，公共弦长为 _______．
x0x＋y0y=r2
(x－a)(x0－a)＋(y－b)·
(y0－b)=r2
x0x＋y0y=r2
(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)=r2
(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)=0
x－2y＋4=0
九、 圆锥曲线方程
1．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称 椭圆 双曲线 抛物线
定义 |PF1|＋|PF2|=2a(2a＞|F1F2|) ||PF1|－|PF2||=2a(2a＜|F1F2|) |PF|=|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l交l于点M
标准方程 y2=2px(p＞0)
图形
名称 椭圆 双曲线 抛物线
几何性质 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0
顶点 (±a，0)，(0，±b) (±a，0) (0，0)
对称性 关于x轴、y轴和原点对称 关于x轴对称
焦点 (±c，0)
轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e=1
准线
渐近线
8
十、 直线、平面、简单几何体
1．证明直线与平面平行的常用方法：
(1) 利用线面平行的定义(无公共点)．
(2) 利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)．
(3) 利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)．
2．证明平面与平面平行的常用方法：
(1) 面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)．
(2) 面面平行的判定定理(a β，b β，a∩b=P，a∥α，b∥α β∥α，这是主要方法)．
(3) 利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)．
(4) 利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．
3．证明直线与平面垂直的常用方法：
(1) 线面垂直的判定定理(l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b=P l⊥α)．
(2) 面面垂直的性质定理(α⊥β，α∩β=l，a α，l⊥a a⊥β)．
(3) 性质：a∥b，b⊥α a⊥α；α∥β，a⊥β a⊥α．
4．证明平面与平面垂直的常用方法：
(1) 定义法：判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．
(2) 定理法：证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线面垂直解决．
5．空间角的求法：
(1) 异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角．
异面直线所成角的范围：①_________．
设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角的余弦为②______.
(2) 线面所成的角：斜线与它在平面内的投影所成的角．
斜线与平面所成角的范围：③_________．
设a是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角的正弦为④
________．
(3) 二面角
二面角大小的范围：⑤________．
面面夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，其中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
设n1，n2是二面角α－l－β的两个半平面的法向量，则二面角α－l－β的平面角θ的余
弦的绝对值为|cos θ|=⑥__________．
6．距离的求法：
(1) 点线距：设e是直线l的方向向量，A是l上一点，则点P到直线l的距离为d=⑦___________________．
[0，π]
(2) 点面距：设n是平面α的法向量，A是α外一点，在α内取一点B，则A到α的距离d=
⑧______．
(2) 性质：1) 侧面都是平行四边形；
2) 两底面是全等多边形；
3) 平行于底面的截面和底面全等，对角面是平行四边形；
4) 长方体一条体对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
棱锥：
定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．
正棱锥：底面是正多边形，各侧棱长都相等的棱锥叫做正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥叫正四面体．
2πrl
πrl
π(r＋R)l
4πR2
2
1
n＋1
二项式
展开式通项
r＋1
2n
2n－1
十二、 概率与统计
1．用样本估计总体
(1) 众数：出现次数最多的数．
(2) 中位数：将数据从小到大排列，则处于正中间的一个数叫做中位数．若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均数作为中位数．用频率分布直方图来估计中位数时，该数两侧面积相等．
(3) 第p百分位数
计算步骤：
第1步，按①____________的顺序排列原始的n个数据；
第2步，计算i=②__________；
从小到大
n×p%
j
平均数
P(A)＋P(B)
P(A)P(B)
1－P(A)
ξ x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
np
np(1－p)
