三角形“四心”向量形式的充要条件应用
1． 知识总结
1．重心(中线交点)
①G是△ABC的重心
证明 作图如右，图中
连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.
将代入=，
得=，故G是△ABC的重心.(反之亦然(证略))
②为△ABC的重心(P是平面上的点).
证明
∵G是△ABC的重心
∴==，即
由此可得.(反之亦然(证略))
③G是△ABC的重心
④若，G是△ABC的重心
2．垂心(高线交点)
①H是△ABC的垂心
由,
同理，.故H是△ABC的垂心.
(反之亦然(证略))
3．外心(边垂直平分线交点，外接圆圆心)
O是△ABC的外心||=||=||(或2=2=2)(点O到三边距离相等)
(+)·=(+)·=(+)·=0(O为三边垂直平分线)
若O是△ABC的外心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=sinBOC：sinAOC：sinAOB=sin2A：sin2B：sin2C
4．内心(角平分线交点，内切圆圆心)
O是△ABC的内心充要条件是
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记，，的单位向量为，则O是△ABC内心的充要条件可以写成·(+)=·(+)=(+)=
1 设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心;
2 设，则向量必平分∠BAC的邻补角
二.与三角形的“四心”有关的高考链接题及其应用
例1：（2003年全国高考题）是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
解析：因为是向量的单位向量，设与方向上的单位向量分别为和，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.
事实上如图设都是单位向量易知四边形AETF是菱形
例2：（2005年北京市东城区高三模拟题）为△ABC所在平面内一点，如果，则O必为△ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
事实上OB⊥CA 故选答案D
例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足
，则点O是三角形ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
事实上由条件可推出 故选答案D
例4：设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，
动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
事实上 故选答案D
例5：2005年全国（I）卷第15题“的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，，则实数=________”
先解决该题：
作直经，连，,有，，，，，故，
故是平行四边形，进而，又
∴故，所以
评注：外心的向量表示可以完善为：
若为的外心，为垂心，则。其逆命题也成立。
例6．已知向量，，满足条件++=0，||=||=||=1，
求证： △P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）
证明： 由已知+=-，两边平方得·=，
同理 ·=·=， ∴||=||=||=，从而△P1P2P3是正三角形.
反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有++=0且||=||=||，即O是△ABC所在平面内一点，
++=0且||=||=||点O是正△P1P2P3 的中心.
三．练习
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足=(++2),则点P一定为三角形ABC的( B)
A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB边的中点
分析：取AB边的中点M，则，
由=(++2)可得3，
∴，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心。
2．在同一个平面上有及一点Ｏ满足关系式：2+2=2+2＝2＋2，则Ｏ为△ABC的( D )
A.外心 B.内心 C．重心 D．垂心
3．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：，则P为△ABC的( C )
A.外心 B. 内心 C．重心 D．垂心
4．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：
，则P的轨迹一定通过△ABC的(C )
A.外心 B. 内心 C. 重心 D．垂心
5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且满足：，则P点为三角形的 ( D )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
6．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的(B )
A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
7．在三角形ABC中，动点P满足：，则P点一定通过△ABC的(B )
A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
8.非零向量与满足(+)·=0且·=,则△ABC为(D)
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D．等边三角形
解析：非零向量与满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC，
∴AB=AC，又=，∠A=，所以△ABC为等边三角形.
9.△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m= 1
10.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是△ABC的(B)
(A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点
(C)三条中线的交点 (D)三条高的交点
11.如图1，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，，则。
证 点G是△ABC的重心，知，得
，有。
又M，N，G三点共线(A不在直线MN上)，
于是存在λ，μ，使得，
有=，得，于是得。
P
B
C
A
图3
D
A
H
C
B
A
G
D
C
B
图1
G
N
M
C
B
A
O
D
C
B
A三角形“四心”向量形式的充要条件应用
1． 知识总结
1．重心(中线交点)
①G是△ABC的重心
证明 作图如右，图中
连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.
将代入=，
得=，故G是△ABC的重心.(反之亦然(证略))
②为△ABC的重心(P是平面上的点).
证明
∵G是△ABC的重心
∴==，即
由此可得.(反之亦然(证略))
③G是△ABC的重心
④若，G是△ABC的重心
2．垂心(高线交点)
①H是△ABC的垂心
由,
同理，.故H是△ABC的垂心.
(反之亦然(证略))
3．外心(边垂直平分线交点，外接圆圆心)
O是△ABC的外心||=||=||(或2=2=2)(点O到三边距离相等)
(+)·=(+)·=(+)·=0(O为三边垂直平分线)
若O是△ABC的外心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=sinBOC：sinAOC：sinAOB=sin2A：sin2B：sin2C
4．内心(角平分线交点，内切圆圆心)
O是△ABC的内心充要条件是
1 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记，，的单位向量 为，则O是△ABC内心的充要条件可以写成 ·(+)=·(+)=(+)=
2 设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心;
3 设，则向量必平分∠BAC的邻补角
二.与三角形的“四心”有关的高考链接题及其应用
例1：（2003年全国高考题）是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
解析：因为是向量的单位向量，设与方向上的单位向量分别为和，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.事实上如图设都是单位向量易知四边形AETF是菱形
例2：（2005年北京市东城区高三模拟题）为△ABC所在平面内一点，如果，则O必为△ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
事实上OB⊥CA 故选答案D
例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足
，则点O是三角形ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
事实上由条件可推出 故选答案D
例4：设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，
动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
事实上 故选答案D
例5：2005年全国（I）卷第15题“的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，，则实数=________”
先解决该题：
作直经，连，,有，，，，，故，
故是平行四边形，进而，又
∴故，所以
评注：外心的向量表示可以完善为：
若为的外心，为垂心，则。其逆命题也成立。
例6．已知向量，，满足条件++=0，||=||=||=1，
求证： △P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）
证明： 由已知+=-，两边平方得·=，
同理 ·=·=， ∴||=||=||=，从而△P1P2P3是正三角形.
反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有++=0且||=||=||，即O是△ABC所在平面内一点，
++=0且||=||=||点O是正△P1P2P3 的中心.
三．练习
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足=(++2),则点P一定为三角形ABC的( )
A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB边的中点
2．在同一个平面上有及一点Ｏ满足关系式：2+2=2+2＝2＋2，则Ｏ为△ABC的( )
A.外心 B.内心 C．重心 D．垂心
3．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：，则P为△ABC的( )
A.外心 B. 内心 C．重心 D．垂心
4．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：
，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B. 内心 C. 重心 D．垂心
5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且满足：，则P点为三角形的 ( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
6．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的( )
A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
7．在三角形ABC中，动点P满足：，则P点一定通过△ABC的( )
A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
8.非零向量与满足(+)·=0且·=,则△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D．等边三角形
9.△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=
10.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是△ABC的( )
(A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点
(C)三条中线的交点 (D)三条高的交点
11.如图1，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，，则。
P
B
C
A
图3
D
A
H
C
B
A
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D
C
B
图1
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N
M
C
B
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