2025年数学(全国新课标卷1)
1.考点:复数的概念及运算
C ∵(1+5i)i=-5+i,∴虚部为1.故选C.
2.考点:集合补集运算
C 由题可得, UA={2,4,6,7,8},有5个元素.故选C.
【知识拓展】两种求补集的方法
(1)若所给的集合是用列举法表示,则用Venn图求解.
(2)若所给的集合是有关不等式的集合,则常借助于数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后再根据补集的定义求解,注意端点值的取舍.
3.考点:双曲线的离心率
D (方法1)由题知,2b=×2a,∴b=a,
∴c==2a,
∴e==2.故选D.
(方法2)由题可得,,
则e==2.故选D.
【知识拓展】求双曲线离心率(值或范围)的两种方法
(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=求解;若已知a,b,可利用e=求解.
(2)方程法:若无法求出a,b,c的具体值,但根据条件可确定a,b,c之间的关系,可通过b2=c2-a2,将关系式转化为关于a,c的齐次方程(不等式),借助于e=,转化为关于e的n次方程(不等式)求解.
4.考点:正切函数的图象及性质
B 由题意知,a-,k∈Z,
∴a=,k∈Z.
又a>0,∴当k=0时,a取最小值,故a的最小值为=60°.故选B.
【知识拓展】正切函数对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x轴的交点,还有“渐近线”与x轴的交点,正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解决与图象有关问题的关键.
5.考点:函数的基本性质
A 由题知,f(-x)=f(x),且f(x+2)=f(x),
∴f-=f=f=5-2×=-.故选A.
【知识拓展】周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等,常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,或已知单调性的区间内求解.
6.考点:平面向量的物理应用
A 由题可知,视风风速为(0,2)-(3,3)=(-3,-1),船速为(3,3)-(2,0)=(1,3).
因为船行风风速与船速大小相等,方向相反,则船行风风速为(-1,-3).
又视风风速是真风风速和船行风风速的和向量,所以真风风速为(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2),故真风风速大小为=2≈2.828.故选A.
【知识拓展】速度、位移的合成与分解,实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、位移等问题,主要借助于向量的线性运算,有时也借助于坐标来运算.
7.考点:直线和圆的位置关系
B 由题知,该圆的圆心为C(0,-2),半径为r,圆心C到直线的距离d==2,
∴要使圆C上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有2个,则d-1【知识拓展】处理直线与圆的位置关系问题常用策略
(1)几何法:利用d与r的关系判断.
(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
8.考点:指对互化积运算,比较大小
B 因为2+log2x=3+log3y=5+log5z=k,
所以log2x=k-2,log3y=k-3,log5z=k-5,则x=2k-2,y=3k-3,z=5k-5.
当k=0时,x=,y=,z=,此时x>y>z,故A正确;
当k=5时,x=23=8,y=32=9,z=1,此时y>x>z,故C正确;
当k=8时,此时y>z>x,故D正确.
故选B.
【知识拓展】利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.
9.考点:线线、线面位置关系
BD 取B1C1中点D1,连接A1D1,AD,
则AD∥A1D1.
易知A1D1不垂直于平面AA1C1C,
∴A1D1与A1C不垂直,
∴AD与A1C不垂直,故A错误;
∵BC⊥AD,BC⊥AA1,AD∩AA1=A,
∴BC⊥平面AA1D,故B正确;
∵AD∥A1D1,AD∥平面A1B1C1,A1D1与A1B1相交,
∴AD与A1B1异面,故C错误;
∵CC1∥AA1,CC1 平面AA1D,AA1 平面AA1D,
∴CC1∥平面AA1D,故D正确.
故选BD.
10.主考点:抛物线定义及几何性质+次考点:三角形面积
ACD 由题意知,F,0,抛物线的准线方程为x=-.
由抛物线定义知|AD|=|AF|,故A正确;
设AB的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去x可得y2-6my-9=0,
则y1+y2=6m,y1y2=-9,x1+x2=m(y1+y2)+3=6m2+3,
则|AB|=x1+x2+p=6m2+6,|AB|≥6,故C正确;
当m=0时,E-,0,|AB|=6,|AE|=3,此时|AE|≠|AB|,故B错误;
当m=0时,|AE|=|BE|=3,|AE|·|BE|=18;当m≠0时,直线EF的方程为x=-y+,E-,3m,|EF|=,S△AEB=|AE|·|BE|sin∠AEB=(6m2+6)=9(m2+1)>9,
则|AE|·|BE|>>18,
综上可知,|AE|·|BE|≥18,故D正确.
故选ACD.
【方法总结】(1)过抛物线焦点的弦长问题要注意两点:一是利用定义求弦长;二是牢记通径长为2p.
(2)有关弦长乘积最值问题可结合三角形面积及三角函数取值范围求解.
11.主考点:解三角形+次考点:三角恒等变换、三角函数
ACD 由cos 2A+cos 2B+2sin C=2,得1-2sin2A+1-2sin2B+2sin C=2,
∴sin C=sin2A+sin2B,故A正确.
由A知,sin2A+sin2B=sin Acos B+cos Asin B,得sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)=0. *○
由cos Acos Bsin C=,可知A,B均为锐角.
若A+B>,则
∴sin A>cos B,sin B>cos A,
(关键:利用函数y=sin x的单调性判定A,B两角的正弦、余弦值的大小)
与*○式矛盾,舍去.
同理,若A+B<,与*○式也矛盾.
∴A+B=(提示:分类讨论,否定三类中的两种情形),
∴B=-A,C=.
由cos Acos Bsin C=,得sin Acos A=.(注意该条件的反复利用)
由S△ABC=absin C=,得ab=,
即csin A·ccos A=,c2sin Acos A=,∴c2=2,∴AB=,故C正确.
AC2+BC2=2≠3,故B错误.
∵(sin A+sin B)2=(sin A+cos A)2=1+2sin Acos A=,∴sin A+sin B=,故D正确.
故选ACD.
12.考点:导数的几何意义
4 设切点P(x0,+x0+a),令f(x)=y=ex+x+a,则f'(x)=ex+1,则
解得故a=4.
13.考点:等比数列前n项和
2 由题意知q≠1,S4==4, ①
S8==68. ②
②÷①,得1+q4=17,∴q4=16,即q=2(负值舍去).
14.主考点:二项分布+次考点:排列组合
由题意X=1,2,3,P(X=1)=;
P(X=2)=×2×;
P(X=3)=×3=.
故E(X)=×1+×2+×3=.
【易错警示】求P(X=2)与P(X=3)时,应先选球,再排序,此处易漏掉顺序排列.
15.考点:独立性检验
解 (1)超声波检查结果不正常者有200人,这200人中患该疾病的有180人,∴P=.
(2)零假设为H0:超声波检查结果与是否患该疾病无关.
根据列联表中的数据,经计算得到χ2==765.625>10.828=x0.001.
根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关.
16.(1)证明 ∵,
∴(n+1)an+1=nan+1,
∴(n+1)an+1-nan=1.
又a1=3,1×a1=3,
∴数列{nan}是以3为首项,1为公差的等差数列.
(2)解 ∵f(x)=a1x+a2x2+…+amxm,
则f'(x)=a1+2a2x+…+mamxm-1.
由(1)知,nan=n+2,
∴f'(-2)=3+4×(-2)+…+(m+2)×(-2)m-1, ①
-2f'(-2)=3×(-2)+…+(m+1)×(-2)m-1+(m+2)×(-2)m, ②
①-②,得3f'(-2)=3+(-2)+…+(-2)m-1-(m+2)×(-2)m=3+-(m+2)×(-2)m=3--m+×(-2)m,故f'(-2)=-×(-2)m.
17.(1)证明 ∵PA⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,
∴PA⊥AB.
又AB⊥AD,AP,AD 平面ADP,AP∩AD=A,
∴AB⊥平面ADP.
又AB 平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.
(2)(ⅰ)证明 易知PA,AB,AD两两垂直,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
∵AP=,AB=,BC=2,AD=+1,
∴P(0,0,),B(,0,0),C(,2,0),D(0,+1,0).
∵点O为P,B,C,D共球面的球心,
则PO=OB,CO=DO,BO=CO.
设O(x,y,z),
则有
解得
即点O(0,1,0),∴点O在平面ABCD上.
(ⅱ)解 由(ⅰ)知=(,2,0),=(0,1,-),
则cos<>=.
18.解 (1)∵椭圆离心率为e=,∴,
∴b2=a2-c2=a2,即a2=9b2.
由题意知A(0,-b),B(a,0),
∴|AB|=,
∴b2=1,a2=9,∴椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)(ⅰ)由(1)知A(0,-1),∴=(m,n+1).
∵点Q在射线AP上,设Q(xQ,yQ),=t(t>0),
∴||=t||.又|AP|·|AQ|=3,
∴t|AP|2=t||2=t[m2+(n+1)2]=3,
∴t=,
∴xQ=tm=,yQ=t(n+1)-1=-1,
∴点Q的坐标为-1.
(ⅱ)由(ⅰ)可知k1=,k2=,
∵k1=3k2,
即,得m2+(n+4)2=18,
可知点P的轨迹为以点(0,-4)为圆心,以3为半径的圆.
又点M在椭圆+y2=1上,故而可设点M(3cos θ,sin θ),圆心N(0,-4),
∴|MN|2=9cos2θ+(sin θ+4)2=9-9sin2θ+sin2θ+8sin θ+16=-8sin2θ+8sin θ+25=-8sin θ-2+27.
∵sin θ∈[-1,1],∴|MN|max=3,
∴|PM|max=3+3.
19.(1)解 ∵f(x)=5cos x-cos 5x,x∈0,,
∴f'(x)=-5sin x+5sin 5x=5(sin 5x-sin x)=10cos 3xsin 2x,sin 2x≥0,令f'(x)=0,则x=.
∴f(x)在区间0,上单调递增,在区间上单调递减,∴f(x)max=f=3.
(2)证明 假设 y∈[a-θ,a+θ],都有cos y>cos θ.
∵函数g(x)=cos x在区间(0,π)上单调递减,∴必有y∈(2kπ-θ,2kπ+θ)(k∈Z).
则a-θ>2kπ-θ,且a+θ<2kπ+θ,解得a>2kπ且a<2kπ,a无解,则假设不成立,
∴必然存在y∈[a-θ,a+θ],使得cos y≤cos θ.
(3)解 ∵f(-x)=5cos(-x)-cos(-5x)=f(x),f(x+2π)=f(x),∴f(x)是以2π为周期的偶函数.
由(1)进一步可得f(x)在区间0,上单调递增,在区间上单调递减,在区间,π上单调递增,f(π)=-4<3,由对称性和周期性可知f(x)≤3.
令h(x)=5cos x-cos(5x+φ),
当φ=0时,h(x)=f(x)≤3,此时bmin=3,
当φ≠0时,由(2)可知 x∈-,5x+φ∈φ-,φ+,使得cos(5x+φ)≤cos,
此时
即5cos x-cos(5x+φ)≥3,即b≥3.
综上所述,b的最小值为3.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程
2025年普通高等学校招生全国统一考试
3视枫速7
或演算步骤
(全国一卷)
2上
15.(13分)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波
检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
船速
数学
01
23
超声波检查结果
组别
合计
本试卷满分150分，考试时间120分钟，
图2
正常
不正常
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四
A.轻风
B.微风
C.和风
D.劲风
个选项中，只有一项是符合题目要求的.
7.已知圆x2十(y十2)2=r2(r>0)上到直线y=√3x十2的距离为1
患该疾病
20
180
200
1.(1+5i)i的虚部为
的点有且仅有两个，则r的取值范围是
(
未患该疾病
780
20
800
A.-1
B.0
C.1
D.6
A.(0,1)
B.(1,3)
C.(3,+∞)
D.(0,十∞)
合计
800
200
1000
弥2.已知集合U={xx是小于9的正整数}，A={1,3,5},则CA中
8.已知2+十log2,x=3十1og3y=5十log5z,则x,y,z的大小关系不可
元素的个数为
(
能为
()
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p,求p的估
A.0
B.3
C.5
D.8
A.x>y>z
B.>>y
C.y>x>z
D.y>>x
计值；
3.已知双曲线C的虚轴长是实轴长的√7倍，则C的离心率为(
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选
(2)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果
A.2
B.2
C.7
D.2√2
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分
是否与患该疾病有关。
分，有选错的得0分.
n(ad-bc)2
4.已知点(a,0(a>0)是函数y=2tan(x-5)的图象的一个对称中
9.在正三棱柱ABC一A1B1C1中，D为BC的中点，则
附：X2=(a+b)(c十i)(a+c)6+d0
封
心，则a的最小值为
(
A.AD⊥AC
B.B1C1⊥平面AA1D
P(x2≥k)0.0500.0100.001
A吾
B.
c
D.
C.AD∥A1B1
D.CC1∥平面AA1D
3.8416.63510.828
5.已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，
10.已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B
fx)=5-2,则f-)
两点，过A作直线1：x=一2的垂线，垂足为D,过F且与直线
1
B.-
AB垂直的直线交l于点E,则
()
线
A.-2
c
D.2
A.AD=AF
B.AE=ABI
6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的
C.|AB|≥6
D.AE1·|BE|≥18
结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速
对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应
11.已知△ABC的面积为，cos2A+cos2B+2sinC=2,cos Acos
的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风
()
力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻
Bsin C-,则
测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段
A.sin C=sin2A+sin2B
B.AB=√2
长度代表速度大小，单位：m/s),则该时刻的真风为
)
CsnA十sinB=9
D.AC2+BC2=3
等级
名称
风速大小（单位：m/s)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
2
轻风
1.63.3
12.若直线y=2x十5是曲线y=e十x十a的一条切线，则a
3
微风
3.4-5.4
13.若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的
4
和风
5.57.9
和等于68，则这个数列的公比等于
14.有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取
5
劲风
8.010.7
3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的
图1
个数，则X的数学期望E(X)=·
2025全国一卷1■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
2025年普通高等学校招生全国统一考试·全国一卷
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数学答题卡
续15题：
17.(15分)
年
考生条形码区
准考证号
此方框为缺考考生标记，由监考员用2B铅笔填涂
正确填涂示例一
1
正确填涂
填！由监考老师
注
3.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用
填
责用2B铅笔填涂
错误填涂
CQ]
的答题区内
/甲器品
16.(15分)】
5,保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不淮使
用涂改液、刮纸刀。
一、选择题（共8小题，每小题5分）
1 CA]CB3 Cc]Coa
6 CA]CB3 CC]CD3
2 CAJ CB3 CCJ CD3
7 CAJ CB3 CCJ CD3
3 CA]CB3 CC3 Co3
8 CAT CB3 Cc3 Co3
4 CAJ CB3 CCJ CD
5 CA3 CB3
二、选择题（共3小题，每小题6分）
9 CA3 CB3 CC3 CD3
10CA3 CB3 CC3 Co3
11CA]CB3 Cca CD3
三、填空题（共3小题，每小题5分）
12
13.
14
四、解答题（共5小题，共77分）
15.(13分)
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■
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18.(17分)
续18题：
续19题：
19.(17分)
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