第6讲 三角函数的概念与诱导公式
基础回归
经典回眸
1．(人A必一P176习题T7(1))已知α是锐角，那么2α是( C )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角
2．(多选)已知角α的终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值可能为( CD )
A． B．－
C． D．－
【解析】 已知角α的终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)，所以sin α==，cos α==，则当m＞0时，sin α=，cos α=－，此时2sin α＋cos α=2×＋=；当m＜0时，sin α=－，cos α=，此时2sin α＋cos α=2×＋=－，所以2sin α＋cos α的值可能为或－．
3．(人A必一P186习题T16)化简：－= －2tan α ．(其中α为第二象限角)
【解析】 因为α为第二象限角，所以－=－=－=－＋=－2tan α．
(2025·北京卷)已知α，β∈[0，2π]，且sin(α＋β)=sin(α－β)，cos(α＋β)≠cos(α－β)，写出满足条件的一组α，β的值：α= ，β= (答案不唯一，满足β∈(0，π)∪(π，
2π)即可) ．
【解析】 由得所以cos α=0，sin β≠0.因为α，β∈[0，2π]，所以α=或，β∈(0，π)∪(π，2π)．
某校欲建造一个扇环形状(ABDC)的花坛，如图，该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆构造出的，小圆半径OA=5 m，大圆半径OC=10 m，圆心角θ=，则该花坛的周长为
5π＋10 m，该花坛的面积为 m2．
【解析】 的长度为×10=(m)， 的长度为×5=(m)，AC=BD=10－5=5(m)，故该花坛的周长为＋＋5＋5=5π＋10 (m)，该花坛的面积S=××102－××52=××(100－25)=(m2)．
要点梳理
1．三角函数的符号规律
象限 符号 函数 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
sin α ＋ ＋ － －
cos α ＋ － － ＋
tan α ＋ － ＋ －
2． sin α，cos α和、差、积的转化
(1) (sin α＋cos α)2=1＋sin 2α；
(2) (sin α－cos α)2=1－sin 2α；
(3) (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2=2.
3． sin α，cos α的齐次式化正切
(1) 计算，可分子、分母同除以cos α，化为；
(2) 计算Asin2α＋Bsin αcos α＋Ccos2α，可先化为，再分子、分母同除以cos2α，化为．
4．三角函数的诱导公式(从左到右，从上到下)
sin(α＋k·2π)= sin α ，k∈Z cos(α＋k·2π)= cos α ，k∈Z tan(α＋k·π)= tan α ，k∈Z
sin(π＋α)= －sin α cos(π＋α)= －cos α tan(π＋α)= tan α
sin(－α)= －sin α cos(－α)= cos α tan(－α)= －tan α
sin(π－α)= sin α cos(π－α)= －cos α tan(π－α)= －tan α
sin= cos α cos= sin α tan=
sin= cos α cos= －sin α tan= －
sin= －cos α cos= －sin α tan=
sin= －cos α cos= sin α tan= －
温馨提示：正余弦诱导公式的记忆口诀是“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．正切利用正弦与余弦去推导．
举题固法
三角函数的定义
例 1 (多选)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标分别为和，则下列结论正确的是( AD )
A．cos α= B．cos β=
C．cos(α＋β)=0 D．cos(α－β)=0
【解析】 由三角函数的定义可得cos α=，sin α=，cos β=－，sin β=，故A正确，B错误；cos(α＋β)=cos αcos β－sin αsin β=×－×=－，cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β=×＋×=0，故C错误，D正确．
变式 1 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，且角α的终边上一点P的坐标是(－3，4)．
(1) 求sin α，cos α及tan α的值；
【解答】 由三角函数的定义可得sin α==，cos α==－，tan α==－．
(2) 求的值．
【解答】 ==tan α·sin α=－×=－．
诱导公式
例 2 (1) (人A必一P193例4)化简：
．
【解答】 原式=
==－=－tan α．
(2) (人A必一P193例5)已知sin(53°－α)=，且－270°＜α＜－90°，则sin(37°＋α)= － ．
【解析】 设β=53°－α，γ=37°＋α，那么β＋γ=90°，从而γ=90°－β，则sin γ=sin(90°－β)=cos β．因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜323°．由sin β=＞0，得143°＜β＜180°，所以cos β=－=－=－，所以sin(37°＋α)=－．
变式 2 (1) (人A必一P194练习T3(1))化简：sin(α－2π)cos(2π－α)．
【解答】 原式=·sin α·cos α=sin2α．
(2) (人A必一P194习题T3(2))化简：
sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)．
【解答】 原式=(－sin 1 071°)·sin 99°＋(－sin 171°)·(－sin 261°)=－[sin(3×360°－9°)]·sin(90°＋9°)＋[－sin(180°－9°)]·[－sin(270°－9°)]=－sin(－9°)·cos 9°－
sin 9°·cos 9°=sin 9°·cos 9°－sin 9°·cos 9°=0.
(3) (人A必一P195习题T8)已知sin=，且0＜x＜，求sin和cos的值．
【解答】 因为0＜x＜，所以－＜－x＜，又sin=＞0，所以0＜－x＜，所以cos==．故sin=sin=cos=，cos=cos=－cos=－．
同角三角函数关系
例 3 (1) 已知sin θ＋cos θ=，则sin θcos θ=( C )
A．－ B．－
C． D．
【解析】 由sin θ＋cos θ=，得(sin θ＋cos θ)2=1＋2sin θcos θ=，所以sin θcos θ=．
(2) (2025·惠州三调)已知tan α=－2，则=( A )
A．－3 B．－
C． D．3
【解析】 由tan α=－2，得===－3.
1．已知α∈(0，π)，sin α＋cos α=，则sin α－cos α=( A )
A． B．－
C． D．－
【解析】 由(sin α＋cos α)2=1＋2sin αcos α=，得2sin αcos α=－，故(sin α－
cos α)2=1－2sin αcos α=．又因为sin αcos α＜0且α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α－cos α＞0，故sin α－cos α=．
2．(2025·张家口二模)已知2tan θ－1=0，则=( D )
A． B．－
C． D．－
【解析】 由题意可得tan θ=，则===－．
3．(2025·石家庄一检)已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(cos θ，2sin θ)，且cos α=，则cos 2θ=( C )
A．－ B．
C．－ D．
【解析】 由三角函数的定义得cos α==，则cos2α==，解得
tan2θ=2.故cos 2θ=cos2θ－sin2θ====－．
4．已知=－1，则sin2α＋sin αcos α＋2=( D )
A． B．
C． D．
【解析】 因为=－1，所以tan α=，则sin2α＋sin αcos α＋2====．
配套热练
1．若角α的终边经过点(－3，3)，则tan(－α)=( C )
A．－ B．－2
C． D．2
【解析】 tan(－α)=－tan α=－=．
2．(2025·泉州期末)若sin θ=，且θ为第二象限角，则cos θ=( A )
A．－ B．
C．－ D．
【解析】 由题设知cos θ=－=－=－．
3．(人A必一P195T5)已知sin=，那么cos α=( B )
A．－ B．－
C． D．
【解析】 因为sin=sin=sin=－sin=－cos α=，所以cos α=－．
4．已知角α的终边过点(cos 2，tan 2)，则角α为( C )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】 因为cos 2＜0，tan 2＜0，所以点(cos 2，tan 2)在第三象限，所以角α为第三象限角．
5．已知α为第一象限角，=－，则sin的值是( C )
A． B．
C． D．
【解析】 由=－，得－2tan α=3tan=3×，解得tan α=或tan α=－3.又α为第一象限角，所以tan α=，所以sin=(sin 2α－cos 2α)=(2sin αcos α－cos2α＋sin2α)=×=×=．
6．(多选)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α=，则( AC )
A．＜α＜π B．sin αcos α=
C．tan α=－ D．cos α－sin α=
【解析】 由sin α＋cos α=，得1＋2sin αcos α=，解得sin αcos α=－＜0，B错误；由α∈(0，π)，得sin α＞0，cos α＜0，则＜α＜π，A正确；cos α－sin α=
－=－=－，D错误；sin α=，cos α=－，则tan α=－，C正确．
7．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是( BC )
A．sin(A＋B)=－sin C B．sin=cos
C．tan(A＋B)=－tan C D．cos(A＋B)=cos C
【解析】 在△ABC中，A＋B＋C=π．对于A，sin(A＋B)=sin(π－C)=sin C，故A错误；对于B，sin=sin=cos，故B正确；对于C，tan(A＋B)=tan(π－C)=－tan C，故C正确；对于D，cos(A＋B)=cos(π－C)=－cos C，故D错误．
8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ=－，则y= －8 ．
【解析】 由sin θ＜0，得y＜0，所以sin θ==－，解得y=－8.
9．若sin α＋cos α=，0＜α＜π，则cos2α＋2sin α·cos α－sin2α= － ．
【解析】 由题意，sin α＋cos α=①，所以(sin α＋cos α)2=1＋2sin αcos α=，即
2sin αcos α=－，则1－2sin αcos α=(sin α－cos α)2=．因为sin αcos α＜0，且0＜α＜π，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α－cos α=②．由①×②变形得cos2α－sin2α=－，所以cos2α＋2sin αcos α－sin2α=－－=－．
10．化简：sin(α－2π)－2cos－cos2＋·sin(－α)= －sin α ．
【解析】 原式=sin α－2sin α－sin2α＋·(－sin α)=－sin α．
11．如图，以Ox为始边作角α与β(0＜β＜α＜π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为．
(1) 求的值；
【解答】 依题意，tan α=－，所以===－．
(2) 若OP⊥OQ，求3sin β＋4cos β的值．
【解答】 由OP⊥OQ，得β=α－，则sin β=sin=－cos α=，cos β=cos=
sin α=，所以3sin β＋4cos β=3×＋4×=5.
12．已知f(α)=．
(1) 化简f(α)；
【解答】 f(α)==cos α．
(2) 若f=，求f．
【解答】 由f=可得cos=，则f=cos=cos =－cos=－．第6讲 三角函数的概念与诱导公式
基础回归
经典回眸
1．(人A必一P176习题T7(1))已知α是锐角，那么2α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角
2．(多选)已知角α的终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值可能为( )
A． B．－
C． D．－
3．(人A必一P186习题T16)化简：－= ．(其中α为第二象限角)
4．(2025·北京卷)已知α，β∈[0，2π]，且sin(α＋β)=sin(α－β)，cos(α＋β)≠cos(α－β)，写出满足条件的一组α，β的值：α= ，β= ．
某校欲建造一个扇环形状(ABDC)的花坛，如图，该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆构造出的，小圆半径OA=5 m，大圆半径OC=10 m，圆心角θ=，则该花坛的周长为
m，该花坛的面积为 m2．
要点梳理
1．三角函数的符号规律
象限 符号 函数 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
sin α ＋ ＋ － －
cos α ＋ － － ＋
tan α ＋ － ＋ －
2． sin α，cos α和、差、积的转化
(1) (sin α＋cos α)2=1＋sin 2α；
(2) (sin α－cos α)2=1－sin 2α；
(3) (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2=2.
3． sin α，cos α的齐次式化正切
(1) 计算，可分子、分母同除以cos α，化为；
(2) 计算Asin2α＋Bsin αcos α＋Ccos2α，可先化为，再分子、分母同除以cos2α，化为．
4．三角函数的诱导公式(从左到右，从上到下)
sin(α＋k·2π)= ，k∈Z cos(α＋k·2π)= ，k∈Z tan(α＋k·π)= ，k∈Z
sin(π＋α)= cos(π＋α)= tan(π＋α)=
sin(－α)= cos(－α)= tan(－α)=
sin(π－α)= cos(π－α)= tan(π－α)=
sin= cos= tan=
sin= cos= tan=
sin= cos= tan=
sin= cos= tan=
温馨提示：正余弦诱导公式的记忆口诀是“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．正切利用正弦与余弦去推导．
举题固法
三角函数的定义
例 1 (多选)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标分别为和，则下列结论正确的是( )
A．cos α= B．cos β=
C．cos(α＋β)=0 D．cos(α－β)=0
变式 1 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，且角α的终边上一点P的坐标是(－3，4)．
(1) 求sin α，cos α及tan α的值；
(2) 求的值．
诱导公式
例 2 (1) (人A必一P193例4)化简：．
(2) (人A必一P193例5)已知sin(53°－α)=，且－270°＜α＜－90°，则sin(37°＋α)= ．
变式 2 (1) (人A必一P194练习T3(1))化简：sin(α－2π)cos(2π－α)．
(2) (人A必一P194习题T3(2))化简：sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)．
(3) (人A必一P195习题T8)已知sin=，且0＜x＜，求sin和cos的值．
同角三角函数关系
例 3 (1) 已知sin θ＋cos θ=，则sin θcos θ=( )
A．－ B．－
C． D．
(2) (2025·惠州三调)已知tan α=－2，则=( )
A．－3 B．－
C． D．3
1．已知α∈(0，π)，sin α＋cos α=，则sin α－cos α=( )
A． B．－
C． D．－
2．(2025·张家口二模)已知2tan θ－1=0，则=( )
A． B．－
C． D．－
3．(2025·石家庄一检)已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(cos θ，2sin θ)，且cos α=，则cos 2θ=( )
A．－ B．
C．－ D．
4．已知=－1，则sin2α＋sin αcos α＋2=( )
A． B．
C． D．
配套热练
1．若角α的终边经过点(－3，3)，则tan(－α)=( )
A．－ B．－2
C． D．2
2．(2025·泉州期末)若sin θ=，且θ为第二象限角，则cos θ=( )
A．－ B．
C．－ D．
3．(人A必一P195T5)已知sin=，那么cos α=( )
A．－ B．－
C． D．
4．已知角α的终边过点(cos 2，tan 2)，则角α为( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
5．已知α为第一象限角，=－，则sin的值是( )
A． B．
C． D．
6．(多选)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α=，则( )
A．＜α＜π B．sin αcos α=
C．tan α=－ D．cos α－sin α=
7．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin(A＋B)=－sin C B．sin=cos
C．tan(A＋B)=－tan C D．cos(A＋B)=cos C
8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ=－，则y= ．
9．若sin α＋cos α=，0＜α＜π，则cos2α＋2sin α·cos α－sin2α= ．
10．化简：sin(α－2π)－2cos－cos2＋·sin(－α)= ．
11．如图，以Ox为始边作角α与β(0＜β＜α＜π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为．
(1) 求的值；
(2) 若OP⊥OQ，求3sin β＋4cos β的值．
12．已知f(α)=．
(1) 化简f(α)；
(2) 若f=，求f．(共42张PPT)
专题二
三角函数与解三角形
第6讲 三角函数的概念与诱导公式
基础回归
1．(人A必一P176习题T7(1))已知α是锐角，那么2α是 ( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角
C
【解析】
【答案】CD
【解析】
－2tan α
4．(2025·北京卷)已知α，β∈[0，2π]，且sin(α＋β)=sin(α－β)，cos(α＋β)≠cos(α－
β)，写出满足条件的一组α，β的值：α=___________，β=_______________________ ______________________.
【解析】
∈(0，π)∪(π，2π)即可)
【解析】
5π＋10
1．三角函数的符号规律
象限
符号
函数 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
sin α ＋ ＋ － －
cos α ＋ － － ＋
tan α ＋ － ＋ －
4．三角函数的诱导公式(从左到右，从上到下)
sin(α＋k·2π)=_________，k∈Z cos(α＋k·2π)=_________，k∈Z tan(α＋k·π)=_________，k∈Z
sin(π＋α)=_________ cos(π＋α)=_________ tan(π＋α)=_______
sin(－α)=_________ cos(－α)=_______ tan(－α)=_________
sin(π－α)=_______ cos(π－α)=_________ tan(π－α)=_________
sin α
cos α
tan α
－sin α
－cos α
tan α
－sin α
cos α
－tan α
sin α
－cos α
－tan α
cos α
sin α
cos α
－sin α
－cos α
－sin α
－cos α
sin α
举题固法
三角函数的定义
目标
1
1
【解析】
【答案】AD
【解答】
变式1
已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，且角α的终边上一点P的坐标是(－3，4)．
(1) 求sin α，cos α及tan α的值；
【解答】
变式1
诱导公式
目标
2
【解答】
2
【解析】
【解答】
变式2
【解答】
(2) (人A必一P194习题T3(2))化简：
sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)．
原式=(－sin 1 071°)·sin 99°＋(－sin 171°)·(－sin 261°)
=－[sin(3×360°－9°)]·sin(90°＋9°)＋[－sin(180°－9°)]·[－sin(270°－9°)]
=－sin(－9°)·cos 9°－sin 9°·cos 9°
=sin 9°·cos 9°－sin 9°·cos 9°=0.
【解答】
同角三角函数关系
目标
3
【解析】
C
3
【解析】
A
【解析】
A
题组
高频
强化
【解析】
D
【解析】
C
【解析】
D
热练
【解析】
C
【解析】
A
【解析】
B
4．已知角α的终边过点(cos 2，tan 2)，则角α为 ( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】
因为cos 2＜0，tan 2＜0，所以点(cos 2，tan 2)在第三象限，所以角α为第三象限角．
C
【解析】
C
【解析】
AC
【解析】
BC
【解析】
－8
【解析】
【解析】
－sin α
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
