第9讲 解三角形
基础回归
经典回眸
1．(2025·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2，AC=1＋，AB=，则A=( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C=( )
A． B．
C． D．
3．(2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)=b(sin A－sin B)，则C=( )
A． B．
C． D．
4．(2023·全国乙卷文)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若acos B－bcos A=c，且C=，则B=( )
A． B．
C． D．
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，c=，A=，则b= ．
要点梳理
1．三角形的边角与恒等关系
(1) 三角形中的三角函数关系
①sin(A＋B)=sin C；
②cos(A＋B)=－cos C；
③sin=cos；
④cos=sin．
(2) 三角形中的边角关系
在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A＞B a＞b sin A＞sin B cos A＜cos B．
2．正、余弦定理
(1) ===2R(R为外接圆半径)．
(2) a2=b2＋c2－2bccos A，cos A=．
3．三角形面积公式：S= = = ．
举题固法
正、余弦定理的直接应用
例 1 (2025·广州一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=a(1＋2cos B)．
(1) 求证：B=2A；
(2) 若a=3，b=2，求△ABC的面积．
1．正弦定理边角互化及外接圆半径R
①齐次的边与内角互化：a=b sin A=sin B；
②分式转化：=；
③涉及外接圆半径：2R=．
2．余弦定理
①涉及b2＋c2－a2，b2＋c2这类含边的平方的结构，考虑利用余弦定理及其推论；
②等式中有cos A，且边化角不易，可考虑将cos A换成，角化边处理；
③涉及a±b和ab的关系，考虑将余弦定理配方处理，即c2=(a±b)2－2ab(cos C±1)．
变式1－1 (2023·全国乙卷理)在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.
(1) 求sin∠ABC的值；
(2) 若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ACD的面积．
变式1－2 (2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A=2.
(1) 求角A的大小；
(2) 若a=2，bsin C=csin 2B，求△ABC的周长．
三角恒等变换与解三角形的综合
例 2 (2025·徐州2月调研改)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(c－a)(sin A＋sin C)=b(sin B－sin A)．
(1) 求角C的大小；
(2) 若cos2A＋cos2B=，求sin的值．
解此类题的常用方法是“化简转化法”，即先用诱导公式、同角关系、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”，然后再用正、余弦定理对三角形的边、角进行互化．
变式 2 (2025·赣州期末)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
sin ＋cos =2.
(1) 求A；
(2) 若a=2，cos A＋cos(B－C)=sin 2Bsin C，求△ABC的周长．
多三角形问题(选讲)
例 3 (2025·赣州二模改)在△ABC中，cos A=，tan(A－B)=．
(1) 求B；
(2) 若BC=，且∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD．
解多三角形问题的步骤：
(1) 把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中；
(2) 在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形；
(3) 寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件；
(4) 结合三角恒等变换公式进行求解．
变式 3 (2025·潍坊3月模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos C＋b=0，b=c．
(1) 求cos C；
(2) 若△ABC的面积为，D是BC上的点，且∠ADB=，求CD的长．
配套热练
1．(2025·八省联考)在△ABC中，BC=8，AC=10，cos∠BAC=，则△ABC的面积为( )
A．6 B．8
C．24 D．48
2．(2025·景德镇5月适应性考试)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=，C=，a=1，则b=( )
A． B．－1
C． D．＋1
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=6，A=，若△ABC有两解，则a的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(3，3)
C．(3，＋∞) D．(3，6)
4．(2025·石家庄二模)如图，在△ABC中，已知∠CBA=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB=( )
A．4 B．5
C．2 D．
5．(2025·湛江期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=b(cos C＋sin C)，且a＋c=4，则b的最小值是( )
A． B．2
C．2 D．2
(多选)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin=
cos B，b=2，c=3，则( )
A．C=
B．a=＋
C．sin A=
D．△ABC的面积为
7．(多选)(2025·芜湖期末)在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，∠BCA=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，则( )
A．△ABC是钝角三角形
B．BC=
C．AD=2
D．BD=－
8.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsin B＋csin C－asin A=
bsin C，则A= ．
9．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=50 m，在点C测得塔顶A的仰角为30°，则塔高AB= ．
10．(2025·合肥二模)已知△ABC为锐角三角形，且AB=5，AC=6，△ABC的面积为6，则BC= ．
11．(2025·深圳二模)在△ABC中，A=，BC边上的高等于BC．
(1) 求sin Bsin C的值；
(2) 若BC=2，求△ABC的周长．
12．(2025·肇庆三模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=8.
(1) 求ac；
(2) 若b=2acos Acos 2C＋2ccos Ccos 2A，求△ABC的面积．第9讲 解三角形
基础回归
经典回眸
1．(2025·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2，AC=1＋，AB=，则A=( A )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
【解析】 由题意得cos A===，又0°＜A＜180°，所以A=45°．
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C=( C )
A． B．
C． D．
【解析】 由题可知S△ABC=absin C=，所以a2＋b2－c2=2absin C，由余弦定理a2＋b2－c2=2abcos C，得sin C=cos C．因为C∈(0，π)，所以C=．
3．(2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)=b(sin A－sin B)，则C=( B )
A． B．
C． D．
【解析】 因为(a＋c)(sin A－sin C)=b(sin A－sin B)，所以由正弦定理得(a＋c)(a－c)=b(a－b)，即a2－c2=ab－b2，则a2＋b2－c2=ab，故cos C===，又0＜C＜π，所以C=．
4．(2023·全国乙卷文)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若acos B－bcos A=c，且C=，则B=( C )
A． B．
C． D．
【解析】 由题意，结合正弦定理可得sin Acos B－sin Bcos A=sin C=sin(A＋B)=sin Acos B＋sin Bcos A，可得sin Bcos A=0.由B∈(0，π)，知sin B＞0，所以cos A=0，A=，则B=π－A－C=π－－=．
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，c=，A=，则b= 2或1 ．
【解析】 由=，得sin C===，所以C=或．当C=时，B=，所以b=2；当C=时，B=，所以b=1.综上所述，b=2或b=1.
要点梳理
1．三角形的边角与恒等关系
(1) 三角形中的三角函数关系
①sin(A＋B)=sin C；
②cos(A＋B)=－cos C；
③sin=cos；
④cos=sin．
(2) 三角形中的边角关系
在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A＞B a＞b sin A＞sin B cos A＜cos B．
2．正、余弦定理
(1) ===2R(R为外接圆半径)．
(2) a2=b2＋c2－2bccos A，cos A=．
3．三角形面积公式：S= absin C = acsin B = bcsin A ．
举题固法
正、余弦定理的直接应用
例 1 (2025·广州一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=a(1＋2cos B)．
(1) 求证：B=2A；
【解答】 因为c=a(1＋2cos B)，所以由正弦定理得sin C=sin A(1＋2cos B)．又A＋B＋C=π，所以sin C=sin(A＋B)=sin A＋2sin Acos B，即cos Asin B－sin Acos B=sin A，所以sin(B－A)=sin A，B－A=A或B－A＋A=π(舍)，所以B=2A．
(2) 若a=3，b=2，求△ABC的面积．
【解答】 由正弦定理=得=，即cos A=．由余弦定理a2=b2＋c2－2bccos A，得c2－8c＋15=0，解得c=3或c=5.当c=3时，a=c=3，C=A，B=2A，则4A=π，B=，而a2＋c2≠b2，矛盾，舍去，故c=5，又sin A=，所以△ABC的面积为S=bcsin A=×2×5×=5．
1．正弦定理边角互化及外接圆半径R
①齐次的边与内角互化：a=b sin A=sin B；
②分式转化：=；
③涉及外接圆半径：2R=．
2．余弦定理
①涉及b2＋c2－a2，b2＋c2这类含边的平方的结构，考虑利用余弦定理及其推论；
②等式中有cos A，且边化角不易，可考虑将cos A换成，角化边处理；
③涉及a±b和ab的关系，考虑将余弦定理配方处理，即c2=(a±b)2－2ab(cos C±1)．
变式1－1 (2023·全国乙卷理)在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.
(1) 求sin∠ABC的值；
【解答】 设角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理可得a2=b2＋c2－2bccos A=1＋4－2×1×2×cos 120°=7，则a=．由正弦定理得=，所以sin∠ABC=
==．
(2) 若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ACD的面积．
【解答】 由三角形面积公式可得==4，则S△ACD=S△ABC=×=．
变式1－2 (2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A=2.
(1) 求角A的大小；
【解答】 由sin A＋cos A=2，可得sin A＋cos A=1，即sin=1.由于A∈(0，π)，所以A＋∈，故A＋=，解得A=．
(2) 若a=2，bsin C=csin 2B，求△ABC的周长．
【解答】 由题设条件和正弦定理及bsin C=csin 2B，得sin Bsin C=2sin Csin Bcos B，又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，所以cos B=，则B=，于是C=π－A－B=，sin C=sin(π－A－B)=sin(A＋B)=sin Acos B＋cos Asin B=．由正弦定理==可得==，解得b=2，c=＋，故△ABC的周长为2＋＋3．
三角恒等变换与解三角形的综合
例 2 (2025·徐州2月调研改)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(c－a)(sin A＋sin C)=b(sin B－sin A)．
(1) 求角C的大小；
【解答】 由题设条件及正弦定理得(c－a)(a＋c)=b(b－a)，故c2－a2=－ab＋b2，即a2＋b2－c2=ab，所以cos C==，因为C∈(0，π)，所以C=．
(2) 若cos2A＋cos2B=，求sin的值．
【解答】 因为C=，所以2B=－2A，所以cos2A＋cos2B=＋=(cos 2A＋cos 2B)＋1=1＋(cos 2A－sin 2A)=1－sin=，所以sin=．
解此类题的常用方法是“化简转化法”，即先用诱导公式、同角关系、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”，然后再用正、余弦定理对三角形的边、角进行互化．
变式 2 (2025·赣州期末)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
sin ＋cos =2.
(1) 求A；
【解答】 由sin ＋cos =2，得2sin cos ＋=2，从而sin A＋cos A=2，化简得sin=1，因为0＜A＜π，所以＜A＋＜，故A=．
(2) 若a=2，cos A＋cos(B－C)=sin 2Bsin C，求△ABC的周长．
【解答】 由cos A＋cos(B－C)=sin 2Bsin C，可得cos(B－C)－cos(B＋C)=2sin B·
cos Bsin C，即(cos Bcos C＋sin Bsin C)－(cos Bcos C－sin Bsin C)=2sin Bcos Bsin C，即
2sin Bsin C=2sin Bcos Bsin C，又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，所以cos B=，则B=，所以C=π－A－B=．由正弦定理==可得==，解得b=2，c=＋，故△ABC的周长为2＋3＋．
多三角形问题(选讲)
例 3 (2025·赣州二模改)在△ABC中，cos A=，tan(A－B)=．
(1) 求B；
【解答】 由cos A=，且0＜A＜π，得sin A==，故tan A==，所以tan B=
tan [A－(A－B)]===1，又0＜B＜π，所以B=．
(2) 若BC=，且∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD．
【解答】 如图，设∠BAC=2θ，∠ADC=α．由cos∠BAC=cos 2θ=1－2sin2θ=，且0＜θ＜，可得sin θ=，cos θ==．故sin C=sin(2θ＋B)=sin 2θcos B＋cos 2θsin B=×＋×=，sin α=sin(θ＋B)=sin θcos B＋cos θsin B=×＋×=．在△ABD中，由正弦定理=，得BD==AD．在△ACD中，由正弦定理=，得CD==AD，所以BC=BD＋CD=AD，所以AD=．
解多三角形问题的步骤：
(1) 把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中；
(2) 在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形；
(3) 寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件；
(4) 结合三角恒等变换公式进行求解．
变式 3 (2025·潍坊3月模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos C＋b=0，b=c．
(1) 求cos C；
【解答】 因为acos C＋b=0，所以a·＋b=0，即a2＋3b2－c2=0，又b=c，所以c=2b，即a2＋3b2－8b2=0，故a=b，所以cos C=－=－．
(2) 若△ABC的面积为，D是BC上的点，且∠ADB=，求CD的长．
【解答】 因为cos C=－，C∈(0，π)，所以sin C===．由S△ABC=absin C=ab=，可得ab=．又a=b，c=2b，所以a=，b=，c=．如图，由D是BC上的点，且∠ADB=，得∠CAD=－C，∠ADC=，所以sin∠CAD=sin=
sin cos C－cos sin C=×＋×=．在△ACD中，由正弦定理可得=，故CD===．
配套热练
1．(2025·八省联考)在△ABC中，BC=8，AC=10，cos∠BAC=，则△ABC的面积为( C )
A．6 B．8
C．24 D．48
【解析】 方法一：在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由余弦定理得a2=b2＋c2－2bc·cos∠BAC，即c2－12c＋36=0，解得c=6.又sin∠BAC==，所以S△ABC=bc·sin∠BAC=×10×6×=24.
方法二：因为sin∠BAC=sin A===，所以sin B=1，故△ABC是以AC为斜边的直角三角形，直角边长分别为6，8，则面积为×6×8=24.
2．(2025·景德镇5月适应性考试)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=，C=，a=1，则b=( C )
A． B．－1
C． D．＋1
【解析】 因为B=π－A－C=，所以由正弦定理可得b==．
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=6，A=，若△ABC有两解，则a的取值范围为( D )
A．(3，＋∞) B．(3，3)
C．(3，＋∞) D．(3，6)
【解析】 如图，△ABC中，b=6，A=，则△ABC有两解的充要条件为bsin A＜a＜b，即3＜a＜6.
4．(2025·石家庄二模)如图，在△ABC中，已知∠CBA=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB=( D )
A．4 B．5
C．2 D．
【解析】 在△ACD中，由余弦定理得cos C===，又因为C∈(0，π)，所以sin C==．在△ABC中，由正弦定理得=，即=，解得AB=．
5．(2025·湛江期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=b(cos C＋sin C)，且a＋c=4，则b的最小值是( B )
A． B．2
C．2 D．2
【解析】 因为a=b(cos C＋sin C)，所以由正弦定理得sin A=sin Bcos C＋
sin Bsin C．因为A＋B＋C=π，所以sin A=sin(B＋C)=sin Bcos C＋cos Bsin C=
sin Bcos C＋sin Bsin C，所以cos Bsin C=sin Bsin C．因为sin C＞0，所以tan B=，则B=．由余弦定理得b2=a2＋c2－2accos B=(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3·2==4，当且仅当a=c=2时等号成立，所以b≥2，即b的最小值为2.
(多选)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin=
cos B，b=2，c=3，则( AD )
A．C=
B．a=＋
C．sin A=
D．△ABC的面积为
【解析】 因为sin=cos B且△ABC为锐角三角形，所以A－＋B= A＋B=，则C=，故A正确；由余弦定理得c2=a2＋b2－2abcos，即9=a2＋4－2a，整理得a2－2a－5=0，又a＞0，所以a=1＋，故B错误；由正弦定理=，得sin A===，故C错误；S△ABC=absin C=×(1＋)×2×==，故D正确．
7．(多选)(2025·芜湖期末)在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，∠BCA=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，则( BC )
A．△ABC是钝角三角形
B．BC=
C．AD=2
D．BD=－
【解析】 对于A，因为∠BAC=60°，∠BCA=45°，所以∠B=180°－∠BAC－
∠BCA=180°－60°－45°=75°，所以△ABC是锐角三角形，A错误；对于B，由正弦定理=，得BC==，B正确；对于C，因为∠BAC的平分线交BC于点D，∠BAC=60°，所以∠BAD=30°，由选项A可得∠B=75°，则∠ADB=180°－75°－30°=75°，所以AD=AB=2，C正确；对于D，在△ABD中，由正弦定理可得=，所以BD==－，故D错误．
8.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsin B＋csin C－asin A=
bsin C，则A= ．
【解析】 因为bsin B＋csin C－asin A=bsin C，所以由正弦定理可得b2＋c2－a2=bc，又由余弦定理可得cos A==，因为A∈(0，π)，所以A=．
9．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=50 m，在点C测得塔顶A的仰角为30°，则塔高AB= 25 m ．
【解析】 在△BCD中，由∠BCD=75°，∠BDC=60°，可得∠CBD=45°，结合已知和正弦定理可得=，解得BC=50××=25．因为在点C测得塔顶A的仰角为30°，所以AB=BC·tan 30°=25×=25(m)．
10．(2025·合肥二模)已知△ABC为锐角三角形，且AB=5，AC=6，△ABC的面积为6，则BC= 7 ．
【解析】 由S△ABC=AB·AC·sin A=×5×6×sin A=6，得sin A=，又△ABC为锐角三角形，所以cos A==．在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2＋AC2－2AB·AC·
cos A=52＋62－2×5×6×=49，则BC=7.
11．(2025·深圳二模)在△ABC中，A=，BC边上的高等于BC．
(1) 求sin Bsin C的值；
【解答】 由题意可得S△ABC=×a×a=bcsin A，即bc=a2，由正弦定理得sin Bsin C
=sin2A=．
(2) 若BC=2，求△ABC的周长．
【解答】 由正弦定理得bc===2，由余弦定理得b2＋c2=a2＋2bccos A=22＋2×2×=6，又(b＋c)2=b2＋c2＋2bc=6＋2×2=10，所以b＋c=，所以△ABC的周长为a＋b＋c=2＋．
12．(2025·肇庆三模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=8.
(1) 求ac；
【解答】 由余弦定理b2=a2＋c2－2accos B，及=8，可得==2ac=8，则ac=4.
(2) 若b=2acos Acos 2C＋2ccos Ccos 2A，求△ABC的面积．
【解答】 因为b=2acos Acos 2C＋2ccos Ccos 2A，所以由正弦定理得sin B=2sin Acos A·
cos 2C＋2sin Ccos Ccos 2A，所以sin B=sin 2Acos 2C＋sin 2Ccos 2A=sin(2A＋2C)，又A＋B＋C=π，所以sin[2(A＋C)]=sin(2π－2B)=－sin 2B=－2sin Bcos B，所以sin B=－2sin Bcos B，又B∈(0，π)，所以sin B＞0，所以cos B=－，则sin B==，所以S△ABC=ac·sin B=×4×=．(共46张PPT)
专题二
三角函数与解三角形
第9讲 解三角形
基础回归
【解析】
A
【解析】
C
【解析】
B
【解析】
C
【解析】
2或1
举题固法
正、余弦定理的直接应用
目标
1
【解答】
1
(2025·广州一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c= a(1＋2cos B)．
(1) 求证：B=2A；
因为c=a(1＋2cos B)，所以由正弦定理得sin C=sin A(1＋2cos B)．
又A＋B＋C=π，所以sin C=sin(A＋B)=sin A＋2sin Acos B，即cos Asin B－sin Acos B =sin A，所以sin(B－A)=sin A，B－A=A或B－A＋A=π(舍)，所以B=2A．
【解答】
1
(2023·全国乙卷理)在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.
(1) 求sin∠ABC的值；
【解答】
变式1－1
(2023·全国乙卷理)在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.
(2) 若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ACD的面积．
【解答】
变式1－1
【解答】
变式1－2
【解答】
变式1－2
三角恒等变换与解三角形的综合
目标
2
【解答】
2
【解答】
2
解此类题的常用方法是“化简转化法”，即先用诱导公式、同角关系、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”，然后再用正、余弦定理对三角形的边、角进行互化．
【解答】
变式2
【解答】
变式2
多三角形问题(选讲)
增分点
【解答】
3
【解答】
3
解多三角形问题的步骤：
(1) 把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中；
(2) 在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形；
(3) 寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件；
(4) 结合三角恒等变换公式进行求解．
【解答】
变式3
【解答】
变式3
热练
【解析】
C
【解析】
C
【解析】
D
【解析】
D
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】AD
【解析】
【答案】BC
【解析】
9．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=50 m，在点C测得塔顶A的仰角为30°，则塔高AB=_________.
【解析】
【解析】
7
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
