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2025年普通高等学校招生全国统一考试·上海卷
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
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数学答题卡
17.
18
要
考生条形码区
准考证号
此方框为缺考考生标记，由监考员用2B铅笔填涂
正确填涂示例■
填空题部分（请用0.5毫米黑色墨水签字笔书写】
9
11.
12
选择题部分（请用2B铅笔填涂】
13
A
BB
B
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
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■
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20
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请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效7.112在△BB1D中，BB1=√DB-BD2=√81-32=7.在△ABD中，AB2+
AD=BD2,因为AB=AD,BD=4√2，所以AB=AD=4,则该正四棱柱的体积
为4×4×7=112.
846+日-(6+)(+名）=a6+6+2>26品+？=4，当且仅当6
6即a=号6=2时取等号.
9.288先排队列的头和尾，有P=12(种)排法，再排中间的4人，有P=24(种)
排法，则不同的排法有12×24=288（种）.
10.2√2设x=a十bi(,b∈R),则乏=a-i,由2=(2)2，可得(a十bi)2=(a-
bi)2,即a2-b2+2abi=a2-b2-2abi,故ab=0.由z≤1可得√Ja2+62≤1，即
a2+62≤1.
解法一当a=0时，b≤1，之一2-3i=一2+(b-3)i=√4+(b-3)2,此时
|x-2-3imm=V4+(1-3)7=2V2.当6=0时，a≤1，|z-2-3i=
|a-2-3i=√(a-2)2+9,此时2-2-3imin=V(1-2)2+9=√10.当a=
0,b=0时，x-2-3i=|-2-3i=√/4+9=√/13.综上，x-2-3i的最小
值为22.
解法二设复数z在复平面内对应的点的坐标为(x,y),其中
*(23
x=0(一1≤y1)或y=0(一1≤x≤1)，表示两条相交线段.
|之一2一3i表示之在复平面内对应的点与点(2,3)的距离，作
出图形如图，钻合图知，当：在复平面内对应的点为01)时，占。2主
|x-2-3i取到最小值，为√/(0-2)2十(1-3)2=2√2
-1
11.12.58°解法一设平行光与水平面的夹角为&，由点A处杆子在水
平面上的影子长度为0.4米，得tana=0.4=2,点B处杆子的影子
1
2025年普通高等学校招生全国统一考试
完全在斜面上，长度为0.45米，如图，BF=0.45,B0=0.45sin0,OFF0图
80
(上海卷)
=0.45cos.1ama=1amn∠EF0=105n9-；,结合m20+
0.45cos0
c0s20=1,解得0≈12.58.
1.[4,5]由题意得A=[4,5].
解法二如图，由题可设∠D=∠E=a,∠EFB=R.
「(x-3)(x-1)<0
2.(1,3)解法一
原不等式等价于工-1≠0
,解得1
在RIADAC中，AC=0.4,AD=1,则1ama=号smac
2
5
仁8仁。每得1
解法二由题意得一3>0
在△BEF中，BF=0.45,BE=
3.12解法一
该数列的前6项和为6X(-3)+6X5×2=12
2
1,则sin B sin a'
,5m,震80=a(经-。
05,则img=。40
解法二a=a1十5d=一3十10=7，则该数列的前6项和为6a十a》
=n(a+=inac0s9计c0 asin=2V7+20,解得0e12.58
2
261
6×(-3+7)=12.
12.(1,w5)若f(a·b)=f(b·c)=f(c·a)=0,则a,b,c两两垂直，在平面内显
2
ff(a·b)=1
4.80(2x一1)5的通项为T,+1=C5(2x)5-「(-1)"，令5-r=3,得r=2,所以展
然不成立；不妨设f(b·c)=0,
开式中x3的系数为C号×23×(-1)2=80.
f(c·a)=-1
5.[o由xe[-受，晋]，得0sE[01.
(a=(cosa,sina）
6.6.3E(X)=5×0.2+6×0.3+7×0.5=6.3.
即不妨设{b=(0,1)
c=(1,0)1,x>0
(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y=一0.311x+b,年
2025年普通高等学校招生全国统一考试
12.已知函数f(x)=0,x=0,a、b、c是平面内三个不同的单位向
份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01
(上海卷)
-1,x<0
秒).
量.若f(a·b)十f(b·c)十f(c·a)=0,则a十b十c可的取值
数学
范围是
二、选择题（本大题共有4题，满共18分，第13一14题每题4分，第
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
15~16题每题5分)每题有且只有一个正确选项
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7
~12题每题5分)
13.已知事件A,B相互独立，事件A发生的概率为P(A)=2,事件
1.已知全集U={x|2≤x≤5，x∈R},集合A={x|2≤x<4,x∈R},
则A=
.(非上海考生求CwA)
B发生的概率为P(B)=号，则事件AnB发生的概率P(AnB)
你2不等式}0的解集为
多
()
3.已知等差数列{a}的首项a1=一3，公差d=2,则该数列的前6项
A司
B是
c.司
D.0
和为
14.设a>0,s∈R,下列各项中，能推出a>a的一项是
(
4.在(2x一1)5的展开式中，x3的系数为
A.a>1,且s>0
B.a>1,且s<0
18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小
%
5.函数y=cosx在[一受]上的值域为
C.00
D.0题满分8分
,6.已知随机变量X的分布为
15.已知A(0,1),B(1,2),C在T:x2-y2=1(x≥1，y≥0)上，则
如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是
0.2
0.3
0-则期塑)
△ABC的面积
()
底面直径，且AB=2.
A.有最大值，但没有最小值
(1)若直线PA与圆锥底面所成角为5，求圆
7.如图，在正四棱柱ABCD一A1B1CD1中，BD=4√2，DB1=9,则
B.没有最大值，但有最小值
该正四棱柱的体积为
C.既有最大值，也有最小值
锥的侧面积；
03
我
D.既没有最大值，也没有最小值
(2)已知Q是母线PA的中点，点C,D在底
16.已知数列{an},{bn}满足an=10n-9,bn=2”.设cn=Aan+(1
面圆周上，且孤AC的长为号，CD∥AB,设点M在线段OC上，证
线
λ)bm.若对任意λ∈[0,1]，长为am,bm,cm的线段均能构成三角形
明：直线QM∥平面PBD
则满足条件的n有
(
A.1个
B.3个
8.设a,6>0,a+名=1，则b+日的最小值为
C.4个
D.无穷个
9.4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必
的头和尾均是家长，则不同的排列种数为
要的步骤。
10.已知复数之满足之2=(2)2，z≤1，则|之-2-3i的最小值是
17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小
题满分2分，第3小题满分8分
11.(非上海考生不作要求)小申同学观察
2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌，
发现，生活中有些时候影子可以完全投
杆
以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录
射在斜面上.某斜面上有两根长为1米
R
(单位：秒)，数据按照升序排列.
的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的
--0
接触点分别为A,B,它们在阳光的照射
206.78207.46207.95209.34209.35
下呈现出影子，阳光可视为平行光.其中一根杆子的影子在水平
210.68213.73214.84216.93216.93
面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为
(1)求这组数据的极差与中位数；
0.45米.则斜面的底角0=
.(结果用角度制表示，精确
(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的
到0.01)
概率；
2025上海卷
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