2025年普通高等学校春季招生考试
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第18.(14分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=5.
15~16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.
(上海卷)
13.如图，ABCD一A1B1CD1是正四棱台，则下列各组直线中，属于
（若品-只C=受求a的值：
异面直线的是
(
(2)若ab=20,求△ABC的面积的最大值
数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7
12题每题5分)
1.已知集合A={xx>0},B={一1,0,1,2}，则A∩B
A.AB和CD
B.AA1和CC
2.不等式，乙1<0的解集为
C.BD1和B1D
D.A1D1和AB
寄3已知复数=2牛，其中i为虚数单位，则1=
14.已知幂函数y=x“在(0，十∞)上是严格减函数，且其图象经过
(一1，一1)，则a的值可能是
4.已知a=(2,1),b=(1,x),若a∥b,则x=
A-号
C
D.3
5.已知tana=1,则cos(e+)=
15.已知四边形ABCD,对于其四边AB,BC,CD,DA,按顺序分别抛
6.已知(x+)°的展开式中常数项是20，则a
掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则将其擦去；若硬币反
面朝上，则不擦去.最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可
7.已知{am}是首项为1，公差为1的等差数列，{bn》是首项为1，公比
以到达C点的概率为
(
为q(q>0)的等比数列.若数列{am·bn}的前三项和为2，则q
A.2
封
B.6
c
.关于x的方程|x一1+π一x=π一1的解集为
16.已知a∈R,若不等式[tan(x)-a][an(5-a-1]<0在(o.
9.已知P是一个圆锥的顶点，母线PA=2,该圆锥的底面半径是1，
2025)内的整数解有m个，则m的值不可能是
()
B,C均在圆锥的底面上，则异面直线PA与BC所成角的最小值
A.0
B.338
C.674
D.1012
为
品
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必
10.已知双曲线
云一6a=1(a>0)的左，右焦点分别为F1,F2.过
y2
要的步骤。
17.(利用反三角函数表示角的大小，非上海考生不作要求)(14分)
线
F2且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A,延长
如图，在三棱锥P一ABC中，平面PAC⊥平面ABC,PA=AC=
AF2至B,使得AB|=|AF1.若△BF1F2的面积为3√6，则a
CP=2,AB=BC=√2，点O是棱AC的中点.
的值为
(1)证明：BO⊥平面PAC,并求三棱锥B-OPA的体积：
11.如图所示，正方形ABCD是一块边长为4的工程用料，阴影部分
(2)求二面角B-PC-A的大小.
所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线MN是以AD为对称
轴的抛物线的一部分，|DM=|DN|=3.工人师傅现要从完好
的部分中截取一块矩形原料BQPR,当其面积取得最大值时，
AQ的长为
0
12.(数量投影，非上海考生不作要求)在平面中，e1和e2是互相垂直
的单位向量，向量a满足|a一4e1|=2,向量b满足|b一6e2|=1,
则b在a方向上的数量投影的最大值为
2025春季上海卷92025年普通高等学校春季招生考试
解法三（利用绝对值三角不等式求解）
12.4(数形结合思想十化归与转化思想)由题意，设e1(1,0),e2(0,1),a=OA,b=
:x-1|+|π-x≥|(x-1)+(π-x)=π-1，当且仅当(x-1)(r-x)≥
(上海卷)
0,即1≤x≤π时等号成立，
OB.因为向量a满足a-4e=2,所以点A在以C(4,0)为圆心，2为半径的
圆上.因为向量b满足b-62=1,所以点B在以D(0,6)为圆心，1为半径的
.x一1|+|π-x=π-1的解集为[1，π]（或{x1≤x≤π}）.
1.{1,2}由题易得A∩B={1,2}.
回上.因要求b在a方向上的数量投影的最大值，故只需考虑A,B均在第一象
9.如图，设点P在底面的射影为O,则0为底面国的圆心，
限即可.如图，过点B作BH⊥OA,垂足为H,则b在a方向上的数量投影为
10*/0
2.{x0<1(或(0.1》解法-原不等式等价于>0
1x-1>0
解得
连接OA,PO,则OA=1.由于点B,C为圆锥底面上两点，所
|OH,过点D作DG⊥OA,垂足为G,则OD在OA方向上的数量投影为OG引，
以由最小角定理可知，当直线BC与直线PA在底面的射影
OH=OG+GH.
0OA平行时，异面直钱PA与BC所成的角0最小，0min=
解法二原不等式等价于x(x一1)<0，解得0…0
0∠PA0,在R△A0P中，os∠PA0-A9-,所以∠PA0
3.5=2+_2+×D=1-2i.1:=1-2i1=√1+(-2=5.
i×(-i)
=写，即异面直线PA与BC所成角的最小值为罗
2=A
4.号解法-由a/B得a=ba∈R).即(2.1)=A1)=AA,则
10.5如图，由题意得，FF2|=2Va2十6-a=26,由双曲线的定义知，
得x=2
AFI-AF:I=ABI-AF2=BF2I=2a,SAmE,F,=2BF2IX
@解法二由a/b得2x-1X1=0,解得x=
RFsm吾-352×2aX2v5x号-36，解得a=5
当直线BH与圆D相切时，四边形BDGH为矩形，此时GH取得最大值1.
2
设直线OA的斜率为k(k>0),则OA的一个方向向量d=(1,k),又OD=(0,6),
5.0解法一因为tana=1,所以a=T十kx,k∈Z,
所以1OG引三1OD:=6k=61一十·过点0作国C的切线，设在第
d
所以cos(a+于)=cos（5+m)=0.
一象限的切点为M,连接CM,则CM⊥OM,在Rt△OCM中，|OM=
解法二国为tana=1,所以sina=cose,所以cos(a+妥）=c0sac0s至
√0c -1CM--2=2,所以tan∠COM=CM=2=5,所
TOM2√/33
sin asin年-号(eos。-ina)=0.
1.4士以A为坐标原点，以AB,AD所在直钱分别为轴y轴建立平面直角
3
6.1(+）°的道项T+1-C5(任）=Cax5-,令6-2k-0,得k=3,
坐标系，如图所示，则M(0,1),N(3,4),依题意可设曲线MN所在抛物线的方
以0|GH|max=4,所以当BH与圆D相切，且，点A位于点M处时，b在a方向上的
所以T4=C8a3=20,解得a=1.
程为y=axr2+b(a,b∈R),则/0+6=1
(6=1
数量投影取得最大值，为4，
13.D由正四棱台的性质可知，
7.号由题意得a=:6,=g1(g>0),所以a6,=g1(g>0)所以
A.AB∥A1B1∥C1D1,A错误；B、C.正四棱台ABCD-A1B1CD1的所有侧棱
号2+1.设点P(,72+1):∈[0,3]，则QB=4-,RB1=子+1，
延长交于一点，故AA1与CC相交，BB1与DD1相交，所以B,B1,D1,D四点
{am·bn}的前三项和为a1b1+a2b2十a3b3=g°+2q+3q2=2,即1+2q+3q2=
2,解得g=3或9=-1（舍去），所以9=3：
1
矩形BQPR的面积S()=(4-D(3P+1)=二+4-3+12(：∈[0.
共面，所以BD1与B1D相交，B错误，C错误；D.因为A1B1∩A1D1=A1,AB∥
3
A1B1,且AB寸平面A1B1C1D1,所以A1D1与AB是异面直线.故选D.
3,求学得S()=二381-3.令()=0，得4=4生7.当4∈
14.B因为幂函数y=x在(0，十∞)上是严格减函数，所以a<0,故排除C,D.当
8.[1,π]（或{x1≤x≤π}）解法一（分类讨论法）当x>r时，x一1十x一π=π一1，
3
3
解得x=,无解.当1≤x≤π时，x一1十π一x=π一1，.恒成立.当x<1时，
a=一号时，画数y=x子，将x=一1代入上式，得y=(-1)子=
1
「0.4二7)时，S(0<0,S()单调减当1∈(47,4+7)时，S(0>0,
(-1)8
1一x十π一x=π-1，解得x=1,无解.综上所述，x-1十r一x=π一1的
3
3
3
1
=1,所以暴函数y=x-言的图象不经过点（一1，一1），故排除A.当a=
解集为[1，π]（或{x1≤x≤π}）：
解法二（数形结合法）
S0单调递增：当1(7.3]时，S0)<0S(0单调递减.又S0)=S(3)=
-1)2
一方时，罩画数y=,将x=-1代入上式，得y=(一1)十=1
=-1,
构造函数f(x)=x一1十|π一x,作出函效f(x)的大致图象如图所示，由图可
4,S(3)(-1)
3
知，f(x)=π一1的解集为[1，π]（或{x1≤x≤π}），
所以暴函效y=x“的图象经过点（一1，一1），B满足题意.故选B.
15,B解法一鹅掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率均为合
且AB,BC,CD,DA是否保留相互独立，AB,BC同时保留记为事件F,则P(F)
-(合）°-，AD,DC同时保智记为亨件Q,则P(Q)=(合）-}，AB,BC,
CD,DA网时保留则为亭件FnQ,且亨件F与Q相互独立，则P(FnQ)-是
X是-6所以，以A为起点浴着尚未据去的边出发，可以到达C点的概率P
=PP)+PQ》-PFnQ=}+}-Gt选B■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
2025年普通高等学校春季招生考试·上海卷
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
数学答题卡
17.
18
年
考生条形码区
准考证号
此方框为缺考考生标记，由监考员用2B铅笔填涂
正确填涂示例■
0
填空题部分（请用0.5毫米黑色墨水签字笔书写】
9
11.
12
选择题部分（请用2B铅笔填涂】
A
A
B
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
■
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
20
21
请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
