C.f(x)≥2当且仅当x≥√/5
2025年普通高等学校招生全国统一考试
D.x=一1是f(x)的极大值点
16.15分尼知椭圆C:号+芳-1a>b>0)的离心率为号.长轴长
(全国二卷)
1.双曲线C后-多
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,
为4.
(1)求C的方程；
数学
左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近
(2)过点(0，一2)的直线1与C交于A,B两点，O为坐标原点.若
线交于M,N两点，且∠NA1M=则
(
△OAB的面积为√2，求|AB.
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四
A.∠A1MA2=F
个选项中，只有一项是符合题目要求的
B.MA=2 MA2
1.样本数据2,8,14,16,20的平均数为
(
A.8
B.9
C.12
D.18
C.C的离心率为w/13
2已知=1+i,则，马
D.当a=√2时，四边形NA1MA2的面积为8√3
(
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
A.-i
B.i
C.-1
D.1
12.已知平面向量a=(x,1),b=(x一1,2x),若a⊥(a一b),则|a=
3.已知集合A={-4,0,1,2,8},B=(xx3=x},则A∩B=(
A.{0,1,2}
B.{1,2,8}
C.{2,8
D.{0,1}
13.若x=2是函数f(x)=(x一1)(x一2)(x一a)的极值点，则f(0)
4不等式二>2的解集是
14.一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度
格
A.{x|-2≤x≤1}
B.{xx≤-2}
忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为
C.{x|-2≤x<1}
D.{xx>1}
cm.
封5.在△ABC中，BC=2AC=1+3,AB=6.则A=
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程
A.45°
B.60
C.120°
D.135
或演算步骤
6.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上，过A作C
15.(13分)已知函数f(x)=c0s(2x十g)(0≤g
的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为y=一2x十2，则
|AF|=
(1)求：
A.3
B.4
C.5
D.6
(2)设函数g(x)=f(x)+fx-),求g(x)的值域和单调区间.
:7.记S,为等差数列{am}的前n项和.若S3=6,S5=一5，则S6=
线
(
A.-20
B.-15
C.-10
D.-5
8已知0(
A治
B②
C32
5
10
D语
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分
分，有选错的得0分
9.记Sn为等比数列{an}的前n项和，9为{an}的公比，g>0.若S3=
7,a3=1,则
()
A.9=2
B.a5=9
C.S5=8
D.an+Sn=8
10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x2
3)ex+2,则
()
A.f(0)=0
B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)e-x-2
2025全国二卷3■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
2025年普通高等学校招生全国统一考试·全国二卷
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数学答题卡
续15题：
17.(15分)
年
考生条形码区
准考证号
此方框为缺考考生标记，由监考员用2B铅笔填涂
正确填涂示例一
正确填涂
填！由监考老师
注
3.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用
填
责用2B铅笔填涂
错误填涂
CQ]
的答题区内
16.(15分)】
5,保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不淮使
/甲器品
用涂改液、刮纸刀。
一、选择题（共8小题，每小题5分）
1 CA]CB3 Cc]Coa
6 CA]CB3 CC]CD3
2 CAJ CB3 CCJ CD3
7 CAJ CB3 CCJ CD3
3 CA]CB3 CC3 Co3
8 CAT CB3 Cc3 Co3
4 CAJ CB3 CCJ CD
5 CA3 CB3
二、选择题（共3小题，每小题6分）
9 CA3 CB3 CC3 CD3
10CA3 CB3 CC3 Co3
11CA]CB3 Cca CD3
三、填空题（共3小题，每小题5分）
12
13.
14
四、解答题（共5小题，共77分）
15.(13分)
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■
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18.(17分)
续18题：
续19题：
19.(17分)
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请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效2025年数学(全国新课标卷2)
1.考点:平均数
C 由题意,所求平均数为=12.故选C.
2.考点:复数运算
A 由z=1+i,得=-i.故选A.
【知识拓展】复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
3.主考点:集合交集运算+次考点:解一元三次方程
D 由题意得B={-1,0,1},所以A∩B={0,1}.故选D.
【知识拓展】对于集合的交集运算,如果集合中的元素是离散的,可用Venn图表示;如果集合中的元素是连续的,可用数轴表示,此时要注意端点的情况.
4.考点:分式不等式
C 原不等式等价于-2≥0,≥0,整理得≤0,即(x+2)(x-1)≤0(x≠1),解得-2≤x<1.故选C.
【知识拓展】不等号右边不为零的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使不等号右边为零,然后再转化为整式不等式(组)求解.
5.考点:解三角形
A 在△ABC中,由余弦定理得cos A=,
又0【易错点拨】易忽略三角形中的隐含条件.
6.考点:抛物线的定义及性质
C 由直线BF的方程:y=-2x+2知F(1,0),所以=1,p=2,所以抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1,所以B(-1,4),所以yA=4,代入抛物线方程得A(4,4),所以|AF|=|AB|=+xA=1+4=5,故选C.
【知识拓展】 抛物线定义的应用
根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.
7.考点:等差数列基本量运算
B 当n为奇数时,由Sn=n有S3=3a2=6,S5=5a3=-5,解得a2=2,a3=-1,所以公差d=-3.则a6=a2+4d=-10,所以S6=S5+a6=-15,故选B.
【知识拓展】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个;
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.
8.考点:三角恒等变换
D 由0<α<π可知0<,所以sin,所以sin α=2sincos=2×,cos α=2cos2-1=2×2-1=-.所以sinα-=sin αcos-cos αsin--×.故选D.
【知识拓展】给值求值问题一般是将待求式子化简整理,看需要求相关角的哪些三角函数值,然后根据角的范围求出相应角的三角函数值,代入即可.
9.考点:等比数列基本量运算
AD 由S3=7,a3=1,得S2=6即a1(1+q)=6①,又a1q2=1②,①÷②得=6,即6q2-q-1=0,解得q=-(舍)或q=,则a1=4,A正确;a5=a3q2=1×,B错误;S5=,C错误;由Sn==24-an=8-an,所以Sn+an=8,D正确.故选AD.
【知识拓展】 等比数列基本量的运算的解题策略
(1)等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解.
(2)解方程组时常常利用“作商”消元法.
(3)运用等比数列的前n项和公式时,一定要讨论公比q=1的情形,否则会漏解或增解.
10.考点:利用导数研究函数的性质
ABD 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,A正确;当x<0时,-x>0,f(-x)=[(-x)2-3]e-x+2=(x2-3)e-x+2=-f(x),所以f(x)=-(x2-3)e-x-2,B正确;又f(-1)=2e-2=2(e-1)>2,所以C错误;当x>0时,f'(x)=ex(x+3)(x-1),当01时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以x=1是f(x)的极小值点,则由奇函数的性质可知,x=-1是f(x)的极大值点,D正确.故选ABD.
11.考点:双曲线的性质
ACD 因为A1A2与MN互相平分,所以四边形A1MA2N是平行四边形,所以∠A1MA2=π-∠NA1M=π-π=,A正确;以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,不妨取渐近线y=x,由设M(a,b),N(-a,-b),又因为A2(a,0),所以MA2⊥A1A2.在Rt△MA2A1中,∠A1MA2=,所以|MA1|∶|MA2|=2∶,所以B错误;所以|A1M|=,由|A1M|=2|A1A2|,得=4a,即c2=13a2,即e2=13,所以e=,所以C正确;因为当a=时,c2=26,从而b2=24,即b=2,所以=2=2·2a·b·=2ab=2××2=8,所以D正确.故选ACD.
【知识拓展】 求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式,利用c2=a2+b2和e=转化为关于e的方程(或不等式),通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).
12.主考点:平面向量的数量积与模长+次考点:解方程
由题意a-b=(1,1-2x),又a⊥(a-b),所以x·1+1×(1-2x)=0,解得x=1,即a=(1,1),所以|a|=.
13.考点:函数极值点
-4 f'(x)=[(x-2)(x-1)(x-a)]'=(x-1)(x-a)+(x-2)[(x-1)(x-a)]',又f'(2)=0,即2-a=0,所以a=2,则f(0)=-4.
14.考点:立体几何最值
作出轴截面ABCD,如图所示.由题意,两球半径相等,所以图中两圆的切点M到AD的距离为4,到DC的距离为,过点M作AD平行线与过点O1作DC的平行线相交于点N,在Rt△MO1N中,由MN2+O1N2=O1M2,设两球的半径为r,得(4-r)2+-r2=r2,即4r2-68r+145=0,解得r=或r=(舍).所以最大值为.
【解题技巧】1.要使两球的半径最大,则两球相外切,且两球与圆柱的侧面及上、下底面均相切.
2.空间问题平面化,轴截面转化为矩形内切两等圆.
15.主考点:三角函数的性质+次考点:三角恒等变换
解 (1)因为f(0)=cos φ=,且0≤φ<π,所以φ=,则f(x)=cos2x+.
(2)g(x)=cos2x++cos 2x=cos 2x-sin 2x+cos 2x=cos 2x-sin 2x=cos2x+.
因为x∈R,所以当cos2x+=1时,g(x)max=;
当cos2x+=-1时,g(x)min=-,
所以g(x)的值域为[-].
由2kπ-π≤2x+≤2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z;
由2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以g(x)的单调递增区间为kπ-,kπ-,k∈Z;单调递减区间为kπ-,kπ+,k∈Z.
16.主考点:直线与椭圆位置关系+次考点:三角形面积
解 (1)由题意,2a=4,a=2,又e=,所以c=,b=,故椭圆C的方程为=1.
(2)设P(0,-2),显然直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx-2.
由消去y并整理得(2k2+1)x2-8kx+4=0,
由题意Δ=64k2-4×4(2k2+1)>0,即k2>.
设点A,B的横坐标分别为x1,x2,则x1x2>0,
x1+x2=,x1x2=.
则S△OAB=|S△OAP-S△OBP|=|OP||x1-x2|=,即|x1-x2|=,
所以(x1-x2)2=2,即(x1+x2)2-4x1x2=2,即2-=2,
解得k2=,符合题意.
则|AB|=|x1-x2|=.
17.(1)证明 由题意知,EB∥FC,FC 平面CD'F,EB 平面CD'F,所以EB∥平面CD'F.
又A'E∥D'F,D'F 平面CD'F,A'E 平面CD'F,所以A'E∥平面CD'F.
又A'E∩EB=E,A'E,EB 平面A'EB,所以平面A'EB∥平面CD'F.
又A'B 平面A'EB,所以A'B∥平面CD'F.
(2)解 因为AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,CD=2AD,EF∥AD,
所以四边形AEFD为正方形且FD'=FC,所以EF⊥FC,EF⊥FD',又平面EFD'A'∩平面EFCD=EF,FD' 平面EFD'A',FC 平面EFCD,
所以∠D'FC为平面EFD'A'与平面EFCD所成的二面角的平面角,所以∠D'FC=60°,所以△D'FC为等边三角形.
(方法一)延长EF,BC交于点C1,连接C1D'.不妨设DF=1,则由题可得FC=1,BE=2,又BE∥FC,所以CF为△C1EB的中位线,所以C1F=1,所以S△D'FC·C1F=×12×1=.
又D'C1=,D'C=1,C1C=,
设△CC1D'中CD'边上的高为h1,则h1=,则CD'·h1=.
设点F到平面D'C1C的距离为h2,由,得h2=.
易知点F到D'C1的距离为D'C1=.
设平面BCD'与平面EFD'A'所成的二面角为θ,则sin θ=.
(方法二)取FC中点G,连接D'G,则D'G⊥FC.
过点G作GH∥EF,交BE于点H.由题可得EF⊥平面FCD',则GH⊥平面FCD',又D'G,FC 平面FCD',所以GH⊥D'G,GH⊥GC.
以点G为坐标原点,分别以GH,GC,GD'所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设AD=1,则C0,,0,B1,,0,F0,-,0,E1,-,0,D'0,0,,所以=(-1,-1,0),=0,-,=(-1,0,0),=0,.
设平面BCD'的一个法向量为m=(x1,y1,z1),
则
令z1=1,得y1=,x1=-,则平面BCD'的一个法向量为m=(-,1).
设平面EFD'A'的一个法向量为n=(x2,y2,z2),
则
令z2=1,得x2=0,y2=-,则平面EFD'A'的一个法向量为n=(0,-,1).
cos==-.
设平面BCD'与平面EFD'A'所成的二面角为θ,则sin θ=.
18.主考点:函数的极值与零点+次考点:不等式
(1)证明 ∵f(x)=ln(1+x)-x+x2-kx3,
∴f'(x)=-1+x-3kx2==x2-3k,
∴当x∈0,-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈-1,+∞时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
∴-1是f(x)在(0,+∞)上唯一的极值点.
∵f(0)=0,∴f-1>f(0)=0,
f=ln1+-=ln1+-.
令h(x)=ln(1+x)-x,x≥0,则h'(x)=-1=<0,
∴h(x)在[0,+∞)上单调递减,
∴f=h∴f(x)在-1,上存在零点.
又f(x)在-1,+∞上单调递减,
∴f(x)在(0,+∞)上存在唯一零点.
(2)(ⅰ)证明 由(1)知x1=-1,则k=,
∵g(t)=f(x1+t)-f(x1-t),
∴g'(t)=f'(x1+t)+f'(x1-t)
=(x1+t)2-3k+(x1-t)2-3k
=(x1+t)2+(x1-t)2
=(x1+t)2+(x1-t)2
==
=,
当t∈(0,x1)时,g'(t)<0,
∴g(t)在(0,x1)上单调递减.
(ⅱ)解 由(ⅰ)知,g(x1)∴g(x1)=f(2x1)-f(0)<0,即f(2x1)又x2为f(x)的零点,∴f(x2)=0,
∴f(2x1)由(1)知,f(x)在(x1,+∞)上单调递减,且x2>x1,∴2x1>x2.
19.解 (1)设Xk表示打完k个球后甲的得分,则此时乙的得分为Yk=k-Xk.
显然Xk~B(k,p).若甲的得分比乙的得分至少多2分,则Xk-(k-Xk)≥2,即Xk≥+1.
当k=3时,p3=P(X3=3)=p3(1-p)3-3=p3.
当k=4时,p4=P(X4=3)+P(X4=4)=p3(1-p)4-3+p4(1-p)4-4=4p3(1-p)+p4=p3(4-3p).
(2)由(1)得q3=q3,q4=q3(4-3q).
p4-p3=p3(4-3p)-p3=3p3(1-p).
q4-q3=q3(4-3q)-q3=3q3(1-q).
由=4,得=4,
又p+q=1,则=4,解得p=.
(3)当k是奇数时,
pk=PXk=+PXk=+PXk=+…+PXk=;
当k是偶数时,
pk=PXk=+PXk=+PXk=+…+PXk=.
则p2m+1=P(X2m+1=m+2)+P(X2m+1=m+3)+P(X2m+1=m+4)+…+P(X2m+1=2m+1),p2m=P(X2m=m+1)+P(X2m=m+2)+P(X2m=m+3)+…+P(X2m=2m),p2m+2=P(X2m+2=m+2)+P(X2m+2=m+3)+P(X2m+2=m+4)+…+P(X2m+2=2m+2).
p2m+1=pm+2qm-1+pm+3qm-2+pm+4·qm-3+…+p2mq1+p2m+1q0=()·pm+2qm-1+()pm+3qm-2+()·pm+4qm-3+…+()p2mq1+p2m+1q0=pm+2qm-1+pm+3qm-2+pm+4qm-3+…+p2mq1+pm+2qm-1+pm+3qm-2+pm+4·qm-3+…+p2mq1+p2m+1q0=q(pm+2qm-2+pm+3qm-3+pm+4qm-4+…+p2mq0)+p(pm+1·qm-1+pm+2qm-2+pm+3qm-3+…+p2m-1q1+p2mq0)=q·p2m-qpm+1qm-1+p·p2m=p2m-pm+1qm,即p2m+1-p2m=-pm+1qm.
同理q2m+1-q2m=-qm+1pm,
则p2m+1-p2m-(q2m+1-q2m)=qm+1pm-pm+1·qm=pmqm(q-p),因为p+q=1,且p2m+2=pm+2qm+pm+3qm-1+pm+4qm-2+…+p2m+1q1+p2m+2q0=()pm+2qm+()pm+3qm-1+()pm+4qm-2+…+()p2m+1q1+p2m+2q0=pm+2qm+pm+3qm-1+pm+4qm-2+…+p2m+1q1+pm+2qm+pm+3qm-1+pm+4qm-2+…+p2m+1q1+p2m+2q0=q(pm+2qm-1+pm+3qm-2+pm+4qm-3+…+p2m+1q0)+p(pm+1qm+pm+2qm-1+pm+3qm-2+…+p2mq1+p2m+1q0)=qp2m+1+p(pm+1qm+p2m+1)=p2m+1+pm+2qm.
又p2m+1-p2m=-pm+1qm,所以p2m+2-p2m=p2m+1-p2m+pm+2qm=-pm+1qm+pm+2qm=pm+1qm(p)=pm+1qm(p+p)=pm+1qm(p-q).
同理可得q2m+2-q2m=qm+1pm(q-p),
则q2m+2-q2m-(p2m+2-p2m)=qm+1pm(q-p)-pm+1qm(p-q)=pmqm+2-qm+1pm+1-pm+2qm+pm+1qm+1=pmqm+2-pm+2qm=pmqm(q2-p2),
因为0综上,对任意正整数m,有p2m+1-q2m+1
