二、填空题共5小题，每小题5分，共25分
17.{11分)如图，在四棱锥P-ABCD中，△1BC与
2025年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
11.地物线y2=2,x(p0)的顶点到焦点的距离为3，则力=
△ADC均为等腰直角三角形，∠BAC=S0,
12.已知(1-2x)1=e-2a1x+1a2x2-8a3x3+16a4x1,则=
∠ADC=90°，E为线段BC的中点
本试卷满分150分，考试时间120分钟
a1十a2十a3十a4一
(1)若F,G分别为线段PD,PE的中点，求
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选
13.已知a,3[0,2π]，且.sin(a+3)=sin(g-3),cos(a十3)≠cos(a-3)
证：FG∥平面PAB;
出符合题目要求的一项.
写出满足条件的一·组(a,3)=
(2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求AB与
图
1.集合M=x2x-15},N-{1,2,3},则M∩N=
(
14.某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可
平面PCD夹角的正弦值.
A.{1,2,3
B.{2,3}
C.3}
D.必
以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是
2.已知复数2满足i·之十2-2i,则z-
1
·个平行多边形，平面ARF⊥平面ABC,平面
A.
B.2②
C.4
D.8
TCD⊥平面ABC,AB⊥BC,AB∥RS∥EFA
3.双曲线x2一1y2=1的离心率为
CD,AF∥ST∥BC∥E).若AB=BC=8,AF
A要
以受
c品
D.5
CD=4,AR=Rr=TC=TD=号，则该多面体的体积为
室4，为得到函数y一9的图象，只需把函数y一3的图象上的所有点(
15.已知函数f(x)的定义域为K,则下列说法正确的有
A.横坐标变成原米的)倍，纵坐标不变
①存在在R上单调递增的函数f(.x)使得f(.x)十f(2.x)=一x恒
成立；
B.横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变
②存在在R上单调递减的函数∫(x)使得f(x)+f(2x)一一x恒
C.纵坐标变成原来的一倍，横坐标不变
成立；
③使得f(x)十f(一x)=cosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷
D.纵华标变成原来的3倍，横坐标不变
18.(13分)有一道选择题考查了一个知识点.甲、乙两校各随机抽取
5.已知{an}是公差不为0的等差数列，a1-一2，若a3,a4,a6成等比数
多个：
100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率。
新
④使得f(x)一f(一x)=0sx恒成立的函数f(x》存在且有无穷
列，则416
(1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率：
!
A.-20
B.-18
C.16
).18
多个.
(2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求怡有1人做
空6.已知a0,b0,则
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
对的概率以及X的数学期望：
1.a2-b22ab
B.111
16.13分)在△AB:中，cosA=
asin C=42.
(3)若甲校同学掌握这个知识点，则有100%的概率做对该题日，乙
a bab
校同学掌握这个知识点，则有85%的概率做对该题日，未掌握该知
(1)求c;
C,a+bab
D+
识点的问学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
该知识点的概率为1，乙校学生掌握该知识点的概率为2，试比较
.已知函数f(x)的定义域为D,则“函数f(x)的值域为R”是“对任意
得△ABC存在，求BC边上的高.
1与2的大小（结论不要求证明）.
M∈R,存在te∈D,使得f(.xo)|M"的
(
)
条件①：a-6:
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
条件②：bsin C.-102,
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3
8.设函数f(x)-sin(ax)十cos(ar)(w0),若f(x十元)-f(x)恒成立，
条t③：S△4C=102.
且f(x)在[0，]上存在零点，则。的最小值为
注：如果选举的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合
要求的条件分别解答，按第一个解答得分。
A.8
B.6
C.4
D.3
9.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练V个单位的数据量所篇
e
要时间T=1og2V(单位：小时)，其中为常数.在此条件下，已知训
练数据量V从10个单位增到1.021×10”个单位时，训练时间增
加20小时：当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096
10个单位时，训练时间增加（单位：小时）
A.2
B.4
C.20
D.40
10.已知在平面直角坐标系xOy中，OA1=O疗=2,1A方=2，设C
(3,4),则2C十A市的取值范围是
A.[6,11]
B.6,12
C.[8,11]
D.8,12]
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2025年普通高等学校招生全国统一考试·北京卷
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
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数学答题卡
续16题：
18
姓
名
考生条形码区
准考证号
、此方框为缺考考生标记，由监考员用2B铅笔填涂
正确填涂示例一
选择题部分（请用2B铅笔填涂）
1
2
3
5
AA
A
&
BBB]
B]
C]c
哥
7ABGD
:
DD
17.
非选择题部分（请用0.5毫米黑色墨水签字笔书写）
11
13
14.
15
16
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■
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20
21
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请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效2025年数学(北京卷)
1.D ∵M={x|x>3},N={1,2,3},
∴M∩N= .故选D.
2.B 由题意,得z==2+2i,
∴|z|==2故选B.
3.B 由题意得双曲线的标准方程为-y2=1,
∴a2=4,b2=1,c2=a2+b2=5,
∴a=2,c=,
则e=故选B.
4.A 把函数y=3x的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=32x=9x的图象.故选A.
5.C 设数列{an}的公差为d,则d≠0.
∵a3,a4,a6成等比数列,=a3·a6,
∴(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),
整理,得d2-2d=0,
解得d=0(舍)或d=2,
∴a10=a1+9d=16.故选C.
6.C 当a=b时,a2+b2=2ab,故A错误;
取a=b=,则=6,=9,所以,故B错误;
∵a>0,b>0,∴a+b≥2,故C正确;
∵a>0,b>0,>0,>0,2,故D错误.
故选C.
7.A ∵f(x)的定义域为D,若f(x)的值域为R,
则对任意M∈R,存在x0∈D,使得|f(x0)|>M,
∴充分性成立.
反之,若任意M∈R,存在x0∈D,使|f(x0)|>M,则f(x)的值域不一定为R,此时f(x)的值域可能为[0,+∞),
∴必要性不成立.故选A.
8.C f(x)=sinωx+,当x∈0,时,ωx++.
∵f(x)在0,上存在零点,+,解得ω≥3.
又f(x+π)=f(x),∴π为f(x)周期的整数倍,
即π=kT,k∈Z.又T=,∴π=k,k∈Z,
∴2k=ω,k∈Z,
∴ω的最小值为4.故选C.
9.B 由题意,得klog2(1.024×109)-klog2106=20,
即klog2=20,
∴klog21 024=20,
∴10k=20,解得k=2,即T=2log2N.
∴2log2(4.096×108)-2log2(1.024×108)=2log24=4.故选B.
10.D
∵||=||=,||=2,
,A,B两点在以O为圆心,为半径的圆上.
取AB的中点H,可知|OH|=1,
∴点H在以O为圆心,1为半径的圆上,则|2|2=4+4=4)+4=4+4=4()()+4=4()+4=4(-1)+4=4,
∴|2|=2||.
∵||-1≤||≤||+1,||=5,∴4≤||≤6,
即8≤2||≤12.故选D.
11.6 由题意得=3,∴p=6.
12.1 15 令x=0,得a0=1.令x=-,得16=a0+a1+a2+a3+a4,
把a0=1代入上式,得a1+a2+a3+a4=15.
13.(答案不唯一) ∵sin(α+β)=sin(α-β),
∴sin αcos β+cos αsin β=sin αcos β-cos αsin β,
∴cos αsin β=0. ①
∵cos(α+β)≠cos(α-β),
∴cos αcos β-sin αsin β≠cos αcos β+sin αsin β,
∴sin αsin β≠0. ②
由①②可知cos α=0,sin β≠0,
可取α=,β=
故答案为(答案不唯一).
14.
60 由题意可知V多面体=2VCDT-BSE,延长AB交ED于点M,连接SM,
过点B作BK∥CT交TS于点K,连接KM,过R作RP⊥AF,P为垂足.
∵RA=RF,∴P为AF的中点.过点P作PO∥AB,交BE于点O,连接SO,过点T作TQ⊥CD,Q为垂足.
∵TC=TD,∴Q为CD中点.
又O为BE中点,∴OQ为梯形CBED的中位线,
∴OQ∥ST且OQ=ST.
∵CB=8,DE=DM+ME=12,
∴QO=10,SK=TS-TK=QO-TK=2.
∵平面RAF⊥平面ABC,且交线为AF,
∴RP⊥平面ABC,同理TQ⊥平面ABC.
∵ST∥OQ且ST=OQ,
∴四边形STQO为平行四边形,
∴SO∥TQ且SO=TQ,
∴RP∥SO∥TQ,且RP=SO=TQ=
∴VCTD-BKM=S△CTD·BC=48=24,
VS-BKM=S△BKM·SK=42=2,
VS-BME=S△BEM·SO=4×4=4,
∴V多面体=2VCDT-BSE=2×(24+2+4)=60.
【方法总结】对于不规则几何体求体积问题,一是补形,二是分割.原则是补形或分割成规则几何体,然后通过减或加求体积.
15.②③ 对于①,∵y=f(x)为R上的单调递增函数,
∴f'(x)≥0在x∈R上恒成立,而y=f(2x),f'(2x)=2f'(x)≥0在x∈R上恒成立,
∴[f(x)+f(2x)]'=f'(x)+2f'(x)≥0在x∈R上恒成立.
∴y=f(x)+f(2x)为单调递增函数,而y=-x为单调递减函数.∴f(x)+f(2x)=-x不成立,故①错误.
对于②,令f(x)=-,∴f(2x)=-,
∴f(x)+f(2x)=-x.∴存在在R上单调递减的函数f(x),使得f(x)+f(2x)=-x恒成立,故②正确.
对于③,设f(x)=kx+cos x(k∈R),f(-x)=-kx+cos(-x)=-kx+cos x,
∴f(x)+f(-x)=cos x,故③正确.
对于④,令F(x)=f(x)-f(-x),x∈R,
则F(-x)=f(-x)-f(x),
∴F(-x)=-F(x),∴F(x)为奇函数.
令g(x)=cos x,x∈R,
g(-x)=cos(-x)=cos x=g(x),∴g(x)为偶函数,
∴f(x)-f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个是不成立的,故④错误.
故填②③.
【思路分析】 对于①,利用导数进行判断;对于②③,根据题意,设出f(x)的解析式(具体函数)进行判断;对于④,利用函数的奇偶性,判断结论的正确性.
16.解 (1)由cos A=-,得sin A=
∵asin C=4,∴S△ABC=absin C=4b=bcsin A,
∴4c,解得c=6.
(2)若选①,a=6,则a=c.又cos A<0,∴A为钝角,故△ABC不存在.
若选②,bsin C=,如图,作AD垂直BC于点D,则BC边上的高AD=,此时sin B=,∴B∈.
又cos A=-,∴A∈,∴A+B∈,π,
∴△ABC存在,此时BC边上的高AD=
若选③,S△ABC=10由(1)知S△ABC=4b=10,解得b=5.
由余弦定理得,a==9,∴△ABC存在.
又S△ABC=a·AD,
a·AD=10,解得AD=
17.(1)证明 取PA的中点N,PB的中点M,连接FN,MN,GM.
由题意,知∠ADC=90°,∠BAC=90°,
令AD=CD=2,则AC=AB=2,
∴BC==4.又FN=AD=1,BE=CB=2,GM=BE=1,则FN=GM.
∵∠DCA=∠ACB=45°,
∴∠ADC=∠DCB=90°,∴AD∥BC,故FN∥GM,且FN=GM,即四边形FGMN为平行四边形,∴FG∥MN.
∵FG 平面PAB,MN 平面PAB,
∴FG∥平面PAB.
(2)解 ∵PA⊥平面ABCD,AC,AB 平面ABCD,
∴PA⊥AC,PA⊥AB.
又AC⊥AB,则PA,AC,AB两两垂直.
以A为原点,AC,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AD=DC=2,则AC=AB=PA=2,
则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,0,0),D(,-,0),P(0,0,2),=(0,2,0),=(,0),=(-2,0,2).设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,则y=-1,z=1,
得n=(1,-1,1),设AB与平面PCD所成的角为θ,
则sin θ=|cos<,n>|=,
故AB与平面PCD所成角的正弦值为
18.解 (1)甲校随机抽取100人,其中有80人答对,用频率估计概率,设从甲校随机抽取1人,这个人答对的概率为事件A,则P(A)=
(2)设乙校中随机抽取1人,这个人答对题目的概率为事件B,则P(B)=,由(1)知P(A)=
∴从甲、乙两校各随机抽取1人,恰有1人做对的概率为P(X=1)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=
X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=1-×1-=,P(X=1)=,P(X=2)=
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∴E(X)=0+1+2
(3)由题意可知,p1×100%+(1-p1),解得p1=,p2×85%+(1-p2),解得p2=,∴p2>p1.
19.解 (1)由题意得解得
故椭圆E的方程为=1.
(2)取特殊值,当点M取(-2,0)时,显然=1=,故猜想
∵对于直线x0x+2y0y-4=0,令y=2,可得点A的横坐标xA=,
∴点A的坐标为,2,
同理点B的坐标为,-2,则直线OA的方程为x0x+2(y0-1)y=0,同理得直线OB的方程为x0x+2(y0+1)y=0,
∴点M到直线OA的距离d1= ○*
又点M在椭圆E上,+2=4,代入○*式化简得d1=
同理点M到直线OB的距离d2=
,猜想得证.
20.(1)解 令g(x)=f'(x)=,x∈(-1,+∞),
则g'(x)=
∵若g'(x)>0,则-1e-1,
∴g(x)在(-1,e-1)内单调递增,在(e-1,+∞)内单调递减,
∴f'(x)max=f'(e-1)=
(2)证明 切线l1的方程为y-f(a)=f'(a)(x-a),
即y=f'(a)(x-a)+f(a).
即证f(x)-[f'(a)(x-a)+f(a)]>0对x∈(-1,a)∪(a,+∞)恒成立.
令h(x)=f(x)-f'(a)x+f'(a)a-f(a),
则h'(x)=f'(x)-f'(a).显然f'(a)<0.
由(1)知,h'(x)在(-1,e-1)内单调递增,在(e-1,+∞)内单调递减.又a∈(-1,0),h'(a)=0,∴当x∈(-1,a)时,h'(x)<0,当x∈(a,e-1)时,h'(x)>0,当x∈[e-1,+∞)时,h'(x)>0显然成立.
即当x∈(a,+∞)时,h'(x)>0.
∴当x∈(-1,a)时,h(x)单调递减,h(x)>h(a)=0.
当x∈(a,+∞)时,h(x)单调递增,h(x)>h(a)=0.
综上,原命题得证.
(3)解 令y=f'(a)(x-a)+f(a)=0,
又f'(a)≠0,∴x1=+a,
同理x2=+a=f'(a)f(a)+a.
,
下面求t=f'(a)的取值范围.
由(1)知,当a>0时,t=f'(a)∈0,,即t2∈0,,
=-1+,
即,1.
21.(1)解 由题意可得,x2,y2∈A.
若则x2=6,y2=7,若则x2=7,y2=6,则第2项为(6,7)或(7,6).
(2)解 令zi=xi+yi,则zi+1∈{xi+yi+7,xi+yi-7,xi+yi+1,xi+yi-1},
故zi+1与zi奇偶性不同,zi+2与zi奇偶性相同.
若(xi,yi)=(3,2),(xj,yi)=(4,4)均在τ中,
由知i,j均为偶数,则zi与zj奇偶性应相同.
然而zi=5,zj=8,矛盾,故(3,2),(4,4)不能同时在τ中.
(3)证明 由(2)提示,给定(x1,y1)之后的(xi,yi)并非是任意的,若将M全部列出,可能后续有无法接的,因此可能有重复的(集合M的互异性).
对于M中的元素(xi,yi),当xi,yi∈{1,2,7,8}时,共16个,
其之后的(xi+1,yi+1)满足xi+1,yi+1∈{3,4,5,6},
且(xi+1,yi+1)≠(3,3),(6,6),(3,6),(6,3),共12个,
故对于16个(xi,yi),其后只有12个(xi+1,yi+1)与之对应,必定有重复的,不满足题意.
综上,M中的所有元素都不构成k列.
